人教版高中数学高一必修二检测：第三章_直线与圆_课后提升作业_二十_3.2.2
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 5．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4± B ．－4C ．4D ．2± 6．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ）A ．32B ．32-C ．32±D ．12± 10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦ C ．53,124 D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D 12．若圆()2220x y rr +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1 二、填空题13．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by c ax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________． （1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上；（2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行；（3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．已知直线l经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．16．已知点P 是直线:3120l x y +-=上的一点，过P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值为__________.17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 19．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y +=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______. 三、解答题21．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈.（1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.22．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证:对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a b ab +的最小值.24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.25．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 26．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C.【点睛】 关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：（1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．A解析：A【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-.当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直；当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.3．B解析：B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+， 整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6. 故选：B.【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线31x y +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 4．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案.【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题6．C解析：C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果.【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -， 由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -， 且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线. 7．D解析：D当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-= 故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．B解析：B【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解．【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-， ∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确； 若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误． 故选：B ．本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．A解析：A【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r ，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==， 故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论． 【详解】 曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--， ∴53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．B解析：B【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA b k a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离，即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线y x =k =30， 因为直线l与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.16．【分析】利用切线长最短时取最小值找点：即过圆心作直线的垂线求出垂足点就切线的斜率是否存在分类讨论结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程【详解】设切线长为则所以当切线长取最小值时取最小值过圆心作直 解析：3利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L ，则21L PC =-，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.此时22(32)(30)10PC =-+-=，此时，213L PC =-=故答案为：3 【点睛】关键点睛：解题的关键是利用过点的圆的切线方程的求解，在过点引圆的切线问题时， 将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，即设切线长为L ，则21L PC =-，问题转变为求PC 的最小值，主要考查学生分析问题与解决问题的能力，属于中等题．17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值 【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（） 圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（）因为圆C 1 、C 2内切，1=, 即224a b 1+=， （2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.19．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆 解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果． 【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆． 由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点， ∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3． 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离5d ==，设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max ||,3OQ ==故答案为：53. 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）2132）4，240x y ++= 【分析】（1）求出动直线所过定点(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点()3,4Q 到直线l 的距离的最大．（2）直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线l 的方程为2(1)y k x +=+，求出直线在x 轴、y 轴的截距．可得AOB 的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果． 【详解】（1）直线方程为(2) (21) 340m x m y m -++++=， 可化为(24)(23)0x y m x y +++-++=对任意m 都成立， 所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(1,2)--.设定点为(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点(3,4)Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点(1,2)P --的连线的距离就是所求最大值， 22(31)(42)213+++=（2）由于直线l 经过定点(1,2)P --．直线l 的斜率k 存在且0k ≠， 因此可设直线方程为2(1)y k x +=+可得与x 轴、y 轴的负半轴交于21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)B k -两点 ∴20kk-<，20k -<，解得0k <． ∴121221|2|1(2)2224222AOBkS k k k k k -⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4此时直线l 的方程为：22(1)y x +=-+，化为：240x y ++=． 【点睛】关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得222k S k -=++-,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.22．（1）证明见解析；（2）2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【分析】（1）确定直线过定点()1,1，计算定点在圆内，得到证明.（2）由已知得点M 在以CP 为直径的圆上，求得圆心和半径可得到答案. 【详解】（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=，所以直线l 恒过定点(1,1)P .又()2211115,+-=<所以点P 在圆内，所以对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线l 恒过定点(1,1)P ，且直线l 的斜率存在. 又M 是AB 的中点，CM MP ∴⊥，所以点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P 所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=，又直线l 的斜率存在，1x ∴≠，所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.23．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-， 所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则|410|25a ， 解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为224x y +=．（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．1，解得k =.（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()22221240k x k x k +-+-=， 2212122224,11k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--， 即()()1212110k x k x x tx t--+=--，即()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =． 综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）4160x y -+=或390x y +-=；（2）9461020x y -+= 【分析】（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，求出()2,0M 关于直线l 的对称点M '，求出m 与l 的交点，即可求出直线方程. 【详解】（1）由已知得直线不过原点，设直线方程为1x y a b+=， 则可得34112a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得416a b =-⎧⎨=⎩或93a b =⎧⎨=⎩， 则直线方程为1416x y +=-或193x y +=， 整理可得4160x y -+=或390x y +-=； （2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，设(),M a b '，则2023102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得630,1313M '⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线m 与l 的交点为N ，则联立方程32602310x y x y --=⎧⎨-+=⎩可解得()4,3N ， 则m '的方程为34306341313y x --=--，即9461020x y -+=. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(),A a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点(),A m n '，则有1022n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.26．（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）⎡⎣ 【分析】（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >， 则()()313tan tan 132k k k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭k = 此时3πα=，23πβ=， 即两直线倾斜角分别为2,33ππ； （2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-， 当12332,,623k k k ===时， 直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+， 联立得()3,3P ， 当12332,,623k k k =-=-=-时， 直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+， 联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭， 故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d =====，由于22459kk++≥，当且仅当22k=时等号成立，故[)22910,145kk-∈++，12d d⎡∈⎣，即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣．【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
高中数学人教A版必修2直线和圆的综合问题课后练习一含解析
（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 直线和圆的综合问题课后练习一（含解析）新人教A 版必修2设直线l 经过点P (3,4)，圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4.若直线l 与圆C 交于两个不同的点，则直线l 的斜率的取值范围为( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1918，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1716，2720 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2720，2917 题1已知m ∈R ，直线l ：m y m mx 4)1(2=+-和圆C ：0164822=++-+y x y x ． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？题2已知圆22630x y x y ++-+=上的两点P 、Q 关于直线k x －y ＋4＝0对称，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求直线PQ 的方程． 题3在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=16上有且只有四个点到直线3x -4y +c =0的距离为2，则实数c 的取值范围为 ． 题4过点A (11, 2)作圆x 2+y 2-2x +4y +1=0的弦，则弦长为整数的弦共有（ ）． A ．4条 B ．7条 C ．8条 D ．11条 题5如果圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( )．A ．4B ．－4C ．14D ．－14题6过点（0，1）引x 2+y 2-4x +3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为________．题7过点（2，1）的直线中，被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长最短的直线方程为 ． 题8 若直线1x ya b+=通过点P （1，1），（a ＞0，b ＞0），则（ ） A ．a +b ≤4 B ．a +b ≥4 C ．ab ＜4 D ．ab ＞4 题9在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆相交于不同的两点A 、B ． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ u u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 题10在坐标平面内，与点A （1，3）的距离为2，且与点B （3，1）的距离为32的直线共有______条．课后练习详解题1答案：C ．详解：由题意，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0．又直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120．所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞，答案选C ．题2答案：（1）[－12，12]；（2）不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．详解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝m m 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12．圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2，圆心C 到直线l 的距离为d ＝21＋k2， 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．题3答案：y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54．详解：由P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称知直线kx －y ＋4＝0过已知圆的圆心(－12，3)，则k ＝2，直线PQ 的斜率k PQ ＝－12．设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋b ，P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则P 、Q 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0的解，消去y ，得54x 2＋(4－b )x ＋b 2－6b ＋3＝0，故x 1＋x 2＝－ 4(4－b )5， ①x 1x 2＝4(b 2－6b ＋3)5， ②由OP ⊥OQ ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒x 1x 2＋(－12x 1＋b )·(－12x 2＋b )＝0，54x 1x 2－b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝0，将①，②代入得b ＝32或b ＝54． 所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54．题4答案：-10＜c ＜10．详解：圆x 2+y 2=16的圆心为O ，半径等于4，圆心到直线的距离5||c d =， 要使圆x 2+y 2=16上有且只有四个点到直线3x -4y +c =0的距离为2，应有245||-<=c d ，即-10＜c ＜10． 题5答案：B ．详解：圆x 2+y 2-2x +4y +1=0的标准方程是：（x -1）2+（y +2）2=22， 圆心（1，-2），半径r =2，过点A （11，2）的最短的弦长大于0， 最长的弦长为4，只有一条，还有长度为1，2，3的弦长，各2条， 所以共有弦长为整数的1+2×3=7条．故选B ． 题6答案：D ．详解：依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)，所以－3m ＋4－1＝0．所以m ＝1，故直线l 的斜率为－14，选D ．题7 答案：53cos =α． 详解：设切线的方程为y -1=kx ，即kx -y +1=0．由切线的性质可得，圆心（2，0）到直线kx -y +1=0的距离11|12|22=++=k k d ，0=k 或43k =-，设两直线的夹角为α，则20πα≤≤，由直线的夹角公式可得，)34(01340tan -⨯-+=α， 因为925cos 1tan 122==+αα，cos α＞0，所以53cos =α． 题8答案：x -y -1=0．详解：∵圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心为C （1，2） ∴设A （2，1），得AC 的斜率12112-=--=AC K ，∵直线l 经过点A （2，1），且l 被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长最短 ∴直线l 与经过点A （2，1）的直径垂直的直线由此可得，直线l 的斜率为K =1，因此，直线l 方程为y -1=x -2，即x -y -1=0 故答案为：x -y -1=0． 题9 答案：B ． 详解：因为直线1x ya b+=通过点P （1，1）， 所以111=+ba ，又因为a ＞0，b ＞0， 由基本不等式可得1111224b aa b a b a b a b+=++=+++≥+=()()当且仅当a =b =2时，取等号，故选B ． 题10答案：（1）－34<k <0；（2）没有符合题意的常数k ．详解：(1)圆(x －6)2＋y 2＝4的圆心Q (6,0)，半径r ＝2，设过P 点的直线方程为y ＝kx ＋2，根据题意得|6k ＋2|1＋k 2<2，∴4k 2＋3k <0，∴－34<k <0． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA OB +u u u r u u u r＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，将y ＝kx ＋2代入x 2＋y 2－12x ＋32＝0中消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，∵x 1，x 2是此方程两根，∴则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k2，又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝－4k (k －3)1＋k2＋4， P (0,2)，Q (6,0)，∴PQ u u u u r＝(6，－2)，向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ u u u u r共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)， ∴8(k －3)1＋k 2＝－6k ·4(k －3)1＋k 2＋24，∴k ＝－34，由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k ．题11答案：1．详解：以A （1，32为半径作圆A ，以B （3，1）为圆心，以32圆B ．∵|AB 22(13)(31)22322-+-==， ∴两圆内切，公切线只有一条．故答案为：1．。
最新人教版必修二高中数学第三章直线与圆拔高习题十九3.2.1和答案
拔高习题十九直线的点斜式方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2016²广州高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则( )A.直线经过点(-1，2)，斜率为-1B.直线经过点(2，-1)，斜率为-1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(-2，-1)，斜率为1【解析】选C.直线的方程可化为y-(-2)=-x-(-1)]，故直线经过点(-1，-2)，斜率为-1.2.倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是( )A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1【解析】选D.倾斜角θ=135°，所以k=tanθ=-1，直线方程截距式y=-x-1.3.(2016²长春高一检测)已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行，则a等于( )A.2B.1C.0D.-1【解析】选B.根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1=a，k2=2-a.两直线平行，则有k1=k2.所以a=2-a，解得a=1.4.已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为( )A. B.2 C.log26 D.0【解题指南】先将直线l的方程化为斜截式，然后求出斜率a与截距b即可.【解析】选B.直线l的方程为y=2x+4，故a=2，b=4，所以log a b=log24=2.【延伸探究】本题条件不变，求a b的值.【解析】因为a=2，b=4，所以a b=24=16.5.(2016²成都高一检测)过点(1，0)且与直线y=x-1垂直的直线方程是( )A.y=x-B.y=x+C.y=-2x+2D.y=-x+【解析】选C.因为直线y=x-1的斜率为，设所求直线的斜率为k，则k=-2，所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2.【延伸探究】若把本题中的垂直改为平行，则此时直线的方程又是什么？【解析】由题意知所求直线的斜率k=，由点斜式方程知：y-0=(x-1)，即x-2y-1=0.6.(2016²长沙高一检测)与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A.y=x+4B.y=2x+4C.y=-2x+4D.y=-x+]【解析】选D.因为所求直线与y=2x+1垂直，所以设直线方程为y=-x+b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y=-x+4.7.直线y+2=(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A.60°，2B.60°，-2C.120°，-2D.30°，2-【解析】选B.斜率为，则倾斜角为60°，当x=0时，y=-2，即在y轴上的截距为-2.8.已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，点B(a，-1)，且l1与l 垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于( )A.-4B.-2C.0D.2【解析】选B.由题意知l的斜率为-1，则l1的斜率为1，k AB==1，a=0.由l1∥l2，得-=1，b=-2，所以a+b=-2.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016²大庆高一检测)过点(-3，2)且与直线y-1=(x+5)平行的直线的点斜式方程是__.【解析】与直线y-1=(x+5)平行，故斜率为，所以其点斜式方程是y-2=(x+3).答案：y-2=(x+3)10.直线l经过点A(-2，2)且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为____________.【解题指南】根据直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距及过点A(-2，2)求出直线l的斜率，然后再写直线l的斜截式方程.【解析】直线y=x+6在y轴上的截距为6，即所求直线过点(0，6)，直线l又经过点A(-2，2)，所以k l==2，因此直线l的斜截式方程为y=2x+6.答案：y=2x+6三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016²临沂高一检测)已知直线l经过点(0，-2)，其倾斜角是60°.(1)求直线l的方程.(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°，故其斜率为tan60°=，又直线l经过点(0，-2)，所以其方程为y=x-2.(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，-2，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=.12.(2016²宁波高一检测)求经过点A(-2，2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.【解析】因为直线的斜率存在，所以设直线方程为l：y-2=k(x+2)，即y=kx+2k+2，令x=0，得y=2k+2，令y=0，得x=-，由2k+2>0，->0，得：-1<k<0，=1，所以(2k+2)=1，因为S△解得：k=-2，或k=-，因为-1<k<0，所以k=-，所以直线方程为l：x+2y-2=0.【补偿训练】已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l的方程.【解析】设直线方程为y=x+b，令x=0得y=b；令y=0得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|²|-2b|=b2.由b2=4得b=±2.所以直线方程为y=x±2.即x-2y+4=0或x-2y-4=0.【能力挑战题】已知直线l：y=kx+2k+1.(1)求证：直线l恒过一个定点.(2)当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 【解析】(1)由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(-2，1).(2)设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即解得-≤k≤1.所以，实数k的取值范围是-≤k≤1.。
高中数学人教A版必修2《直线和圆的综合问题》课后练习二(含解析)
（同步复习精讲辅导）北京市-高中数学 直线和圆的综合问题课后练习二（含解析）新人教A 版必修2题1已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．题2已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；题3过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．题4在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．题5已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条题6圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)题7从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．题8已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．题9若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（ ）．A ．422≤+b aB ． 422≥+b aC ．41122≤+b aD ．41122≥+b a题10若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 ．题11如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．课后练习详解题1 答案：222<≤m ．详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．题2答案：(x －2)2＋y 2＝8．详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．题3答案：2x －y ＝0．详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0， 即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0．题4答案：（-15，-5）∪（5，15）．详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =， 如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，当直线介于m 、n 之间满足题意．故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，只需d 大于1小于3，即35||1<<c ， 解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．题5答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt△OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．题6答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ．题7答案：60°． 详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6，在Rt△AOP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．题8答案：（1）省略；（2）k =1，22．详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则22211d k k ==+-+（），又设弦长为L ，则2222Lr d =+）（， 即222221)224-4(1)322111L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =，所以圆被直线截得最短的弦长为22．题9答案：B ．详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2，∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当cos sin a b αα=时等号成立）故选B ．题10 答案：)223[+，．详解：因为曲线212+-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2）， 表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），到直线x -y -b =0的距离为12|2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去），当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3．所以要使直线y =x -b 与曲线212+-=y x 有两个不同的公共点， 所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，． 故答案为：)223[+，．题11答案：4．详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．。
2019-2020学年人教A版高中数学必修二检测-圆与圆的位置关系-直线与圆的方程的应用-Word版含解析
圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 检测题一、题组对点训练对点练一 圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＝r2，(x －3)2＋(y ＋1)2＝r2外切，则正实数r 的值是________． 解析：由题意得，2r ＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，即r ＝102. 答案：1022．已知圆C ：x2＋y2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－433．圆O1：x2＋y2－4y ＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．内含解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝(0－0)2＋(2－8)2＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．4．若两圆x2＋y2＝m 和x2＋y2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.对点练二直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A(0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h －3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km. 二、综合过关训练1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b)，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．已知点M 在圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a1＝22－(3)2＝1，解得a＝1.答案：16．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。
高中数学必修二直线和圆练习含答案
高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )A.2条B.3条C.4条D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )A.1、-1B.2、-2C.1D.-18.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22-C.12-D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3.与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x2+y2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A-并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
完整版)高一数学必修2第三章测试题及答案解析
完整版)高一数学必修2第三章测试题及答案解析数学必修二第三章综合检测题一、选择题1.若直线过点 (1,2)，(4,2+3)，则此直线的倾斜角是()A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.若三点 A(3,1)，B(-2,b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b 等于()A。
2 B。
3 C。
9 D。
-93.过点 (1,2)，且倾斜角为 30°的直线方程是()A。
y+2=(3/2)(x+1) B。
y-2=3(x-1)C。
3x-3y+6-3=0 D。
3x-y+2-3=04.直线 3x-2y+5=0 与直线 x+3y+10=0 的位置关系是()A。
相交 B。
平行 C。
重合 D。
异面5.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点，则该定点的坐标为()A。
(-2,1) B。
(2,1) C。
(1,-2) D。
(1,2)6.已知 ab<0，bc<0，则直线 ax+by+c=0 通过()A。
第一、二、三象限 B。
第一、二、四象限C。
第一、三、四象限 D。
第二、三、四象限7.点 P(2,5) 到直线 y=-3x 的距离 d 等于()A。
(23+5)/2 B。
(-23+5)/2 C。
(-23-5)/2 D。
(22)/38.与直线 y=-2x+3 平行，且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是()A。
y=-2x+4 B。
y=(1/2)x+4C。
y=-2x-(3/2) D。
y=(2/3)x-(3/2)9.两条直线 y=ax-2 与 y=(a+2)x+1 互相垂直，则 a 等于()A。
2 B。
1 C。
-1 D。
-210.已知等腰直角三角形 ABC 的斜边所在的直线是 3x-y+2=0，直角顶点是 C(3,-2)，则两条直角边 AC，BC 的方程是()A。
3x-y+5=0.x+2y-7=0 B。
2x+y-4=0.x-2y-7=0C。
2x-y+4=0.2x+y-7=0 D。
人教版高中数学必修二检测：第三章 直线与圆 课后提升作业 十九 3.2.1 含解析
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课后提升作业十九直线的点斜式方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2016·广州高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则( )A.直线经过点(-1，2)，斜率为-1B.直线经过点(2，-1)，斜率为-1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(-2，-1)，斜率为1【解析】选C.直线的方程可化为y-(-2)=-x-(-1)]，故直线经过点(-1，-2)，斜率为-1.2.倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是( )A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1【解析】选D.倾斜角θ=135°，所以k=tanθ=-1，直线方程截距式y=-x-1.3.(2016·长春高一检测)已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行，则a等于( )A.2B.1C.0D.-1【解析】选B.根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1=a，k2=2-a.两直线平行，则有k1=k2.所以a=2-a，解得a=1.4.已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则log a b的值为( )A. B.2 C.log26 D.0【解题指南】先将直线l的方程化为斜截式，然后求出斜率a与截距b即可.【解析】选B.直线l的方程为y=2x+4，故a=2，b=4，所以log a b=log24=2.【延伸探究】本题条件不变，求a b的值.【解析】因为a=2，b=4，所以a b=24=16.5.(2016·成都高一检测)过点(1，0)且与直线y=x-1垂直的直线方程是( )A.y=x-B.y=x+C.y=-2x+2D.y=-x+【解析】选C.因为直线y=x-1的斜率为，设所求直线的斜率为k，则k=-2，所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2.【延伸探究】若把本题中的垂直改为平行，则此时直线的方程又是什么？【解析】由题意知所求直线的斜率k=，由点斜式方程知：y-0=(x-1)，即x-2y-1=0.6.(2016·长沙高一检测)与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A.y=x+4B.y=2x+4C.y=-2x+4D.y=-x+]【解析】选D.因为所求直线与y=2x+1垂直，所以设直线方程为y=-x+b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y=-x+4.7.直线y+2=(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A.60°，2B.60°，-2C.120°，-2D.30°，2-【解析】选B.斜率为，则倾斜角为60°，当x=0时，y=-2，即在y轴上的截距为-2.8.已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，点B(a，-1)，且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于( )A.-4B.-2C.0D.2【解析】选B.由题意知l的斜率为-1，则l1的斜率为1，k AB==1，a=0.由l1∥l2，得-=1，b=-2，所以a+b=-2.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016·大庆高一检测)过点(-3，2)且与直线y-1=(x+5)平行的直线的点斜式方程是_ _.【解析】与直线y-1=(x+5)平行，故斜率为，所以其点斜式方程是y-2=(x+3).答案：y-2=(x+3)10.直线l经过点A(-2，2)且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为____________.【解题指南】根据直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距及过点A(-2，2)求出直线l的斜率，然后再写直线l的斜截式方程.【解析】直线y=x+6在y轴上的截距为6，即所求直线过点(0，6)，直线l又经过点A(-2，2)，所以k l==2，因此直线l的斜截式方程为y=2x+6.答案：y=2x+6三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·临沂高一检测)已知直线l经过点(0，-2)，其倾斜角是60°.(1)求直线l的方程.(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°，故其斜率为tan60°=，又直线l经过点(0，-2)，所以其方程为y=x-2.(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，-2，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=.12.(2016·宁波高一检测)求经过点A(-2，2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.【解析】因为直线的斜率存在，所以设直线方程为l：y-2=k(x+2)，即y=kx+2k+2，令x=0，得y=2k+2，令y=0，得x=-，由2k+2>0，->0，得：-1<k<0，因为S△=1，所以(2k+2)=1，解得：k=-2，或k=-，因为-1<k<0，所以k=-，所以直线方程为l：x+2y-2=0.【补偿训练】已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l 的方程.【解析】设直线方程为y=x+b，令x=0得y=b；令y=0得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.由b2=4得b=±2.所以直线方程为y=x±2.即x-2y+4=0或x-2y-4=0.【能力挑战题】已知直线l：y=kx+2k+1.(1)求证：直线l恒过一个定点.(2)当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.【解析】(1)由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(-2，1).。
高中数学必修二第三章 直线与方程课后作业(含答案)
5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．
6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．
7.如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
二、能力提升
9．集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是()
A．A＝BB．BA
C．ABD．以上都不对
A．k>0，b>0B．k>0，b<0
C．k<0，b>0D．k<0，b<0
4．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()
5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为_______．
6．已知一条直线经过点P(1,2)且与直线y＝2x＋3平行，则该直线的点斜式方程是________．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
一、基础过关
1．下列说法中正确的有()
①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行
12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
2021学年人教版高中数学必修2检测：第3章直线与圆课后提升作业213.2.3版含解析
课后提升作业二十一直线的一般式方程(30分钟60分)一、选择题(每题5分 ,共40分)1.直线2x +ay +3 =0的倾斜角为120° ,那么a的值是( ) A.【解析】° ,所以直线的斜率k = - ,即 - = - ,所以 a =.【补偿训练】平面直角坐标系中 ,直线x +y +2 =0的斜率为( )A. C.【解析】选B.将直线化为斜截式y = -x -.故斜率为 -. 2.(2021·海淀高一检测)直线l经过点P(2 ,1) ,且与直线2x -y +2 =0平行 ,那么直线l的方程是( )A.2x -y -3 =0B.x +2y -4 =0C.2x -y -4 =0D.x -2y -4 =0【解析】选A.由题意可设所求的方程为2x -y +c =0 ,代入点 (2 ,1) ,可得4 -1 +c =0 ,即c = -3 ,故所求直线的方程为2x -y -3 =0.3.直线3x +4y +5 =0的斜率和它在y轴上的截距分别为( )A. , , -, - D. ,【解析】选C.根据斜率公式k = - = - ,令x =0 ,那么y = - ,即在y轴上的截距为 -.l1：2x +3y +8 =0 ,l2：x -y -1 =0 ,l3：x +ky +k + =0能围成三角形 ,那么k不等于( )A.C. , -1D. , -1 , -【解析】得交点P( -1 , -2) ,假设P在直线x +ky +k + =0上 ,那么k = - ,此时三条直线交于一点；k =时 ,直线l1与l3平行；k = -1时 ,直线l2与l3平行 ,综上知 ,要使三条直线能围成三角形 ,应有k≠ - ,和 -1.5.(2021·杭州高一检测)直线l：ax +y -2 -a =0在x轴和y轴上的截距相等 ,那么a的值是( )【解析】选D.当截距都为0时 , -2 -a =0即a = -2；当截距都不为0即a≠ -2时 ,直线方程可变形为： + =1 ,由有=a +2 ,得a =1.6.(2021·北京高一检测)直线ax +by +c =0的图象如图 ,那么( )A.假设c>0 ,那么a>0 ,b>0B.假设c>0 ,那么a<0 ,b>0C.假设c<0 ,那么a>0 ,b<0D.假设c<0 ,那么a>0 ,b>0【解析】选D.由ax +by +c =0 ,得斜率k = - ,直线在x ,y轴上的截距分别为 - , -.如题图 ,k<0 ,即 -<0 ,所以ab>0 ,因为 ->0 , ->0 ,所以ac<0 ,bc<0.假设c<0 ,那么a>0 ,b>0；假设c>0 ,那么a<0 ,b<0.7.(2021·威海高一检测)直线l过点( -1 ,2)且与直线2x -3y +4 =0垂直 ,那么l的方程是( )A.3x +2y -1 =0B.3x +2y +7 =0C.2x -3y +5 =0D.2x -3y +8 =0【解析】l与直线2x -3y +4 =0垂直 ,可知直线l的斜率是 - ,由点斜式可得直线l的方程为y -2 = -(x +1) ,即3x +2y -1 =0. 【补偿训练】过点(1 ,0)且与直线x -2y -2 =0平行的直线方程是( )A.x -2y -1 =0B.x -2y +1 =0C.2x +y -2 =0D.x +2y -1 =0【解析】选A.设所求直线的方程为x -2y +m =0 ,把点(1 ,0)代入 ,得m = -1 ,应选A.≠0 ,直线ax +3my +2a =0在y轴上的截距为2 ,那么直线的斜率为( )【解析】选A.令x =0 ,得y = - ,因为直线在y轴上的截距为2 ,所以 - =2 ,所以a = -3m ,原直线化为 -3mx +3my -6m =0 ,所以k =1.【延伸探究】把题中的 "在y轴上的截距为2〞改为 "在两坐标轴上的截距之和为2〞 ,那么直线的斜率为( )A.1【解析】选D.令x =0 ,得y = - ,令y =0 ,得x = -2 ,因为在两坐标轴上的截距之和为2 ,所以 - +( -2) =2 ,所以a = -6m ,原直线化为 -6mx +3my -12m =0 ,所以k =2.二、填空题(每题5分 ,共10分)9.(2021·广州高一检测)垂直于直线3x -4y -7 =0 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.【解析】设直线方程是4x +3y +d =0 ,分别令x =0和y =0 ,得直线在两坐标轴上的截距分别是 - , -.所以6 =×× =.所以d =±12 ,那么直线在x轴上的截距为3或 -3.答案：3或 -310.假设方程(2m2 +m -3)x +(m2 -m)y -4m +1 =0表示一条直线 ,那么实数m的取值范围是______________.【解题指南】求x ,y的系数不同时为0的m值即可 ,即先求出x与y 的系数均为零时m的值 ,再取补集即可.【解析】由得m =1 ,故要使方程表示一条直线 ,需2m2 +m -3与m2 -m不同时为0 ,故m≠1.答案：m≠1三、解答题11.(10分)求与直线3x -4y +7 =0平行 ,且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.【解析】方法一：由题意知：可设l的方程为3x -4y +m =0 ,那么l在x轴 ,y轴上的截距分别为 - ,.由 - + =1知 ,m = -12.所以直线l的方程为：3x -4y -12 =0.方法二：设直线方程为 + =1 ,由题意得解得所以直线l的方程为： + =1.即3x -4y -12 =0.【补偿训练】(2021·大连高一检测)直线2x +(t -2)y +3 -2t =0 ,分别根据以下条件 ,求t的值.(1)过点(1 ,1).(2)直线在y轴上的截距为 -3.【解析】(1)因为直线2x +(t -2)y +3 -2t =0过点(1 ,1) ,所以2 +(t -2) +3 -2t =0 ,即t =3.(2)令x =0 ,得y = = -3 ,解得t =.。
人教版高中数学高一必修二检测：第三章_直线与圆_课后提升作业_十八_3.1.2 含解析
人教版高中数学高一必修二检测：第三章_直线与圆_课后提升作业_十八_3.1.2含解析两条直线平行与垂直的判定(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.若直线2mx+y+6=0与直线(m-3)x-y+7=0平行，则m 的值为 ( ) A.-1B.1C.1或-1D.3【解析】选B.因为两条直线平行，所以=≠.解得m=1.2.下列各对直线不互相垂直的是 ( )A.l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，)B.l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC.l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，)，Q(4，2)D.l 1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3)【解析】选C.选项C 中，k PQ =，所以l 1不与l 2垂直.3.已知过点A(a ，b)与B(b-1，a+1)的直线l 1与直线l 2平行，则l 2的斜率为 ( ) A.1B.-1C.不存在D.0 【解析】选B.由题意可知l 2的斜率为：k 2=k 1==-1.【延伸探究】若本题条件“平行”换为“垂直”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】选A.因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2=-1，又因为k 1==-1，所以k 2=1.4.直线l 1过点A(3，1)，B(-3，4)，直线l 2过点C(1，3)，D(-1，4)，则直线l 1与l 2的位置关系为 ( ) A.平行B.重合C.垂直D.无法判断【解析】选A.由l 1过点A(3，1)，B(-3，4)， 得k AB =-，由l 2过点C (1，3)，D(-1，4)，得k CD =-，结合所过点的坐标知l 1∥l 2.5.已知直线l 与过点M(-，)，N(，-)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( ) A.60°B.120°C.45°D.135°【解析】选C.设直线l 的倾斜角为θ.k MN ==-1.因为直线l 与过点M (-，)，N(，-)的直线垂直，所以k l k MN =-1，所以k l =1.所以tan θ=1， 因为0°≤θ<180°，所以θ=45°.6.已知l 1的斜率是2，l 2过点A(-1，-2)，B(x ，6)，且l 1∥l 2，则l o x= ( )A.B.-C.2D.-2【解析】选B.因为l1∥l 2，所以=2，即x=3，故l ox=l o3=-.7.设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为k PQ ==-，k SR ==-，k PS ==，k QS ==-4，k PR ==. 又P ，Q ，S ，R 四点不共线， 所以PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS. 故①②④正确.8.已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( ) A.1B.0C.0或2D.0或1【解题指南】分直线AB 与CD 的斜率存在与不存在两种情况分别求m 的值. 【解析】选D.当AB 与CD 斜率均不存在时，m=0，此时AB∥CD，当kAB =kCD时，m=1，此时AB∥CD.【误区警示】解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB 与CD的斜率不存在的情况.二、填空题(每小题5分，共10分)9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=____________；若l1∥l2，则b=____________.【解题指南】利用一元二次方程根与系数的关系k1·k2=-及两直线垂直与平行的条件求解.【解析】若l1⊥l2，则k1k2=-1.又k1k2=-，所以-=-1，所以b=2.若l1∥l2，则k1=k2.故Δ=(-3)2-4×2·(-b)=0，所以b=-.答案：2-10.已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则l og8(7+y)=____ ________. 【解析】由M，N，P三点的坐标，得MN垂直x轴，又∠NMP=90°，所以kMP=0，所以y=-3，所以log8(7+y)=log84=.答案：【延伸探究】若把本题中“∠NMP=90°”改为“l og8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=____________.【解析】由log8(7+y)=，得y=-3，故点P(5，-3)，因为MN垂直x轴，kMP=0，所以∠NMP=90°.答案：90°三、解答题(每小题10分，共20分)11.直线l1经过点A(m，1)，B(-3，4)，直线l2经过点C(1，m)，D(-1，m+1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值.【解析】当l1∥l2时，由于直线l2的斜率k2存在，则直线l1的斜率k1也存在，则k 1=k 2，即=，解得m=3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率k 2存在且不为0，则直线l 1的斜率k 1也存在，则k 1·k 2=-1，即·=-1，解得m=-.综上所述，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为-.12.已知点M(2，2)，N(5，-2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的点P 的坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点). (2)∠MPN 是直角. 【解析】设P(x ，0)，(1)因为∠MOP=∠OPN ，所以OM ∥NP.所以k OM =k NP .又k OM ==1，k NP ==(x ≠5)，所以1=，所以x=7，即点P 的坐标为(7，0).(2)因为∠MPN=90°，所以MP ⊥NP ， 根据题意知MP ，NP 的斜率均存在， 所以k MP ·k NP =-1.k MP =(x ≠2)，k NP =(x ≠5)，所以×=-1，解得x=1或x=6，即点P 的坐标为(1，0)或(6，0). 【能力挑战题】如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD=5m ，宽AB=3m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？【解析】如图，以点B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系.由AD=5m，AB=3m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3). 设点M的坐标为(x，0)，因为AC⊥DM，所以kAC ·kDM=-1.所以·=-1，即x==3.2，即BM=3.2m时，两条小路AC与DM相互垂直.关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学必修二检测第三章 直线与圆 课后提升作业 二十一 3.2.3 Word版含解析
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课后提升作业二十一
直线的一般式方程
(分钟分)
一、选择题(每小题分，共分)
.直线的倾斜角为°，则的值是( )
【解析】选.因为直线的倾斜角为°，所以直线的斜率，即，所以.
【补偿训练】平面直角坐标系中，直线的斜率为( )
【解析】选.将直线化为斜截式.故斜率为.
.(·海淀高一检测)已知直线经过点(，)，且与直线平行，那么直线的方程是( )
【解析】选.由题意可设所求的方程为，
代入已知点 (，)，可得，即，
故所求直线的方程为.
.直线的斜率和它在轴上的截距分别为( )
.，，
，.，
【解析】选.根据斜率公式，令，则，即在轴上的截距为.
.若三直线：，：，：能围成三角形，则不等于( )
.
.，.，，
【解析】选.由得交点(，)，若在直线上，则，此时三条直线交于一点；时，直线与平行；时，直线与平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有≠，和.
.(·杭州高一检测)已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值是( )
或或
【解析】选.当截距都为时，即；当截距都不为即≠时，直线方程可变
形为：，由已知有，得.
.(·北京高一检测)已知直线的图象如图，则( )
.若>，则>，>
.若>，则<，>
.若<，则>，<
.若<，则>，>
【解析】选.由，得斜率，直线在，轴上的截距分别为，.。
人教版高中数学必修二检测：第三章直线与圆课后提升作业十七311含解析.doc
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课后提升作业十七倾斜角与斜率（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. （2016 -烟台高一检测）若直线/经过原点和点（-1, 1）,则直线/的倾斜角为B.135°A. 45°C.45°或135。
D. -45°【解析】选B.由题可知，k二T ,所以tana二-1 ,解得a二-135。
•所以选B.2•在平面直角坐标系中，止三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC, AB所在直线的斜率之和为（）A.-2\3B. 0 D.2\你【解析】选B.由题意知，AB,AC所在直线的倾斜角分别为60。
,120° , 所以tan60° +tanl20° W+（-個二0・3. （2016 -大连高一检测）如图，若图中直线h, 12, k的斜率分别为匕，k2, k3,贝lj （）A. ki<k2<k3C. k3<k2<k1D. k1<k3<k2【解析】选B.由图象，人的倾斜角为钝角，所以斜率为负，和/2的倾斜角为锐角，斜率为正，而锐角大的斜率大，故k3<k1<k2.4. (2016 •成都高一检测)三点A(m, 2), B(5, 1), C(-4, 2m)在同一条直线上，则m的值为()A. 2B.C. 2或D.不确定【解析】选C.因为k AB=—,艰二竺，5—m -4-5且A, B, C三点共线，所以1<如二和，即戶二斗，解得吓2或.5—m —4—5【补偿训练】若三点A(3, 3), B(a, 0), C(0, b), (a, bHO)共线，则I Og3+=_______ •【解析】由于A f B , C二点共线,则k,w二kg所以口二口，即ab=3a+3b ,a-3 0—3故+二，所以I Og3+=- 1.答案：-15•经过两点A(2, 1), B(l, m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()D.m>l 或m<-l【解析】选A. k A B=-—=l-m ,1—2因为直线AB的倾斜角为锐角，所以kAB>0 ,即1-n>0 ,所以ITF1.6•若直线/经过第二、三、四象限，则直线/的倾斜角的范围是()A. 0° Wa〈90°B. 90° W a〈180°C. 90° <a <180°D. 0° W a〈180°【解析】选C.因为直线/经过第二、三、四象限，所以斜率k<0 ,所以倾斜角为钝角，故选C.【补偿训练】直线/经过第一、三、四象限，其倾斜角为a,斜率为k,则()A. ksin a >0B. ksin a 20D. kcos a WOC. kcos a <0【解析】选A.因为直线/经过第一、三、四象限，所以倾斜角a为锐角，所以sina >0 , k二tana >0 ,所以ksi na >0.7 •过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是135。
人教版高中数学必修二检测：第三章 直线与圆 课后提升作业 二十 3.2.2 Word版含解析
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课后提升作业二十直线的两点式方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为( )A.+=1B.+=1C.+ =1D.+=1【解析】选A.由题意知M(2，4)，N(3，2)，故直线MN为=，即+=1.2.过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为( )A.x=2B.y=2C.x=3D.x=6【解析】选B.由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y=2，故选B.3.(2016·衡阳高一检测)过两点(-1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为( ) A.- B.- C. D.2【解析】选A.直线方程为=，化为截距式为+=1，则在x轴上的截距为-.4.(2016·长沙高一检测)直线-=1在y轴上的截距为-3，则q= ( )A.3B.-3C.-D.【解析】选A.直线-=1化为截距式方程为+=1，由题意知-q=-3，所以q=3.5.直线l过点A(-4，-6)，B(2，6)两点，点C(1006，b)在直线l上，则b的值为( )A.2012B.2013C.2014D.2016【解析】选C.因为直线l过A(-4，-6)，B(2，6)两点，所以直线l的方程为=，即y=2x+2.又点C(1006，b)在直线l上，所以b=2×1006+2=2014.【一题多解】选C.由题意三点A(-4，-6)，B(2，6)，C(1006，b)三点共线，故k AB=k BC即=，故b=2014.6.两直线-=1与-=1的图象可能是图中的哪一个( )【解题指南】将两直线方程化为斜截式，根据斜率之间的关系判断. 【解析】选B.由-=1，得y=x-n；由-=1，得y=x-m，即两直线的斜率同号且互为倒数.7.过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为+=1.由题意得解得或综上，符合题意的直线共有3条.8.(2016·深圳高一检测)直线+=1在y轴上的截距是( )A.|b|B.-b2C.b2D.±b【解析】选C.由直线的截距式方程特点知该直线在y轴上的截距为b2.二、填空题(每小题5分，共10分)9.过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.【解析】由直线的两点式方程得=，或=.答案：=10.过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由点P(1，3)是AB的中点可得m=2，n=6，即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).则l的方程为+=1.答案：+=1三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·郑州高一检测)已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(-1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标.(2)求直线MN的方程.【解析】(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式得解得所以点C的坐标为(1，-3).(2)由(1)知：点M，N的坐标分别为M，N，由直线方程的截距式，得直线MN的方程是+=1，即y=x-.12.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l的方程.【解析】方法一：设直线l的点斜式方程为y+2=k(x-6)(k≠0).令x=0，得y=-6k-2；令y=0，得x=+6.于是-(-6k-2)=1，解得k1=-或k2=-.故直线l的方程为y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即y=-x+2或y=-x+1.方法二：设直线l的斜截式方程为y=kx+b.令y=0，得x=-.依题意，得⇒或故直线l的方程为y=-x+1或y=-x+2.【能力挑战题】为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大？【解题指南】求出点E，F的坐标，利用直线方程的两点式，写出直线EF的方程，在线段EF上取点P(m，n)，利用点P的坐标表示出草坪的面积，从而得出答案.【解析】如图建立坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，所以线段EF所在的直线方程为+=1(0≤x≤30)，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，做PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n)，又因为+=1(0≤x≤30)，所以n=20，所以S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30)，于是当m=5，即=时，草坪面积最大.关闭Word文档返回原板块。
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课后提升作业二十
直线的两点式方程
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC 的中点，则中位线MN所在直线的截距式方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+ =1
D.+=1
【解析】选A.由题意知M(2，4)，N(3，2)，故直线MN为=，即+=1.
2.过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为( )
A.x=2
B.y=2
C.x=3
D.x=6
【解析】选B.由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y=2，故选B.
3.(2016·衡阳高一检测)过两点(-1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为
( ) A.- B.- C. D.2
【解析】选A.直线方程为=，
化为截距式为+=1，则在x轴上的截距为-.
4.(2016·长沙高一检测)直线-=1在y轴上的截距为-3，则q= ( )
A.3
B.-3
C.-
D.
【解析】选A.直线-=1化为截距式方程为+=1，由题意知-q=-3，所以q=3.
5.直线l过点A(-4，-6)，B(2，6)两点，点C(1006，b)在直线l上，则b的值为( )
A.2012
B.2013
C.2014
D.2016
【解析】选C.因为直线l过A(-4，-6)，B(2，6)两点，
所以直线l的方程为=，即y=2x+2.
又点C(1006，b)在直线l上，
所以b=2×1006+2=2014.
【一题多解】选C.由题意三点A(-4，-6)，B(2，6)，C(1006，b)三点共线，故k AB=k BC即=，故b=2014.
6.两直线-=1与-=1的图象可能是图中的哪一个( )
【解题指南】将两直线方程化为斜截式，根据斜率之间的关系判断.
【解析】选B.由-=1，得y=x-n；
由-=1，得y=x-m，
即两直线的斜率同号且互为倒数.
7.过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【解析】选C.当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为+=1.
由题意得
解得或
综上，符合题意的直线共有3条.
8.(2016·深圳高一检测)直线+=1在y轴上的截距是( )
A.|b|
B.-b2
C.b2
D.±b
【解析】选C.由直线的截距式方程特点知该直线在y轴上的截距为b2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.过点(0，1)和(-2，4)的直线的两点式方程是____________.
【解析】由直线的两点式方程得=，或=.
答案：=
10.过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.
【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由点P(1，3)是AB的中点可得m=2，n=6，
即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).
则l的方程为+=1.
答案：+=1
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2016·郑州高一检测)已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(-1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标.
(2)求直线MN的方程.
【解析】(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式得
解得
所以点C的坐标为(1，-3).
(2)由(1)知：点M，N的坐标分别为M，N，
由直线方程的截距式，得直线MN的方程是+=1，即y=x-.
12.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，-2)，求直线l 的方程.
【解析】方法一：设直线l的点斜式方程为y+2=k(x-6)(k≠0).
令x=0，得y=-6k-2；令y=0，
得x=+6.
于是-(-6k-2)=1，
解得k1=-或k2=-.
故直线l的方程为y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即y=-x+2或y=-x+1.
方法二：设直线l的斜截式方程为y=kx+b.
令y=0，得x=-.
依题意，得⇒
或
故直线l的方程为y=-x+1或y=-x+2.
【能力挑战题】
为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大？
【解题指南】求出点E，F的坐标，利用直线方程的两点式，写出直线EF的方程，在线段EF上取点P(m，n)，利用点P的坐标表示出草坪的面积，从而得出答案.
【解析】如图建立坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，
所以线段EF所在的直线方程为+=1(0≤x≤30)，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，做PR⊥CD于点R，设矩形PQCR 的面积为S，则S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n)，又因为+=1(0≤x≤30)，所以n=20，所以S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30)，
于是当m=5，即=时，草坪面积最大.
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