2019-2020学年天津市和平区第一中学高二上学期期末数学试题及答案解析版
天津市和平区第一中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
天津市和平区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：（每小题3分，共30分）1.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A. 13项 B. 12项C. 11项D. 10项【答案】A 【解析】试题分析：设这个数列有n 项，则1232134,146n n n a a a a a a --++=++=，因此()13n a a +=34146+180=即160n a a +=，则()16039022n n n a a nS +===，故13n =； 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n 项和公式；2.已知等比数列{}n a 中，23a a +＝1，45a a +＝2，则67a a +等于( ).A. 2C. 4【答案】C 【解析】试题分析：()2311a a a q q +=+，()34511a a a q q +=+，()56711a a a q q +=+，可见23a a +，45a a +，67a a +依旧成等比数列，所以()()()2452367a a a a a a +=++，解得674a a +=.考点：等比数列的性质3.已知数列{}n a 满足()**n+1n 1,a ka n N k R=-∈∈，若数列{}n1a -是等比数列，则k 值等于（ ） A. 1 B. -1C. -2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】将所给数列递推式变形，由数列{a n ﹣1}是等比数列求得k 的值． 【详解】解：由a n +1＝k a n ﹣1，得1212n n n a ka k a k +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭． 由于数列{a n ﹣1}是等比数列， ∴21k=，得k ＝2， 故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．4.已知数列{}n a 满足11a =-，n+1n n =12+1a a a -+，其前n 项和n S ，则下列说法正确的个数是（ ）①数列{}n a 是等差数列；②2n =3n a -；③133S =2n n --.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，可得a 2，a 3，a 4，运用等差数列的定义即可判断①，等比数列的通项公式即可判断②，由当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可判断③． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1， 可得a 2＝|1﹣a 1|+2a 1+1＝2﹣2+1＝1，a 3＝|1﹣a 2|+2a 2+1＝0+2+1＝3， a 4＝|1﹣a 3|+2a 3+1＝2+6+1＝9，则a 4﹣a 3＝6，a 3﹣a 2＝2，即有a 4﹣a 3≠a 3﹣a 2， 则数列{a n }不是等差数列，故①不正确；a n ＝3n ﹣2，不满足a 1＝﹣1，故②不正确；若S n 1332n --=满足n ＝1时，a 1＝S 1＝﹣1，但n ＝2时，a 2＝S 2﹣S 102=-（﹣1）＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣112333322n n ----=-＝3n ﹣2，n ≥2，n ∈N *．代入a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1， 左边＝3n ﹣1，右边＝3n ﹣2﹣1+2•3n ﹣2+1＝3n ﹣1，则a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1恒成立． 故③正确． 故选：B ．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A. c a b << B. b a c << C. c b a <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指对函数的图象与性质即可比较大小. 【详解】0.2020*******,a =>=2019000.20.21,b <=<=20192019c=log 0.2<log 10=,∴c b a << 故选：C【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题．6.若0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ）A.11a b b>- B. 2a ab <C. +1+1b b a a < D. n n a b >【答案】C 【解析】 分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】对于A ，当4,2a b =-=-时，显然不成立； 对于B ，∵0a b <<，∴2a ab >，不成立；对于C ，∵0a b <<，∴0a b >>，根据糖水浓度，易知：+1+1b b a a <成立； 对于D ，当n 为奇数时，显然n n a b <，不成立， 故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键． 7.若023x <<，则(32)x x -的最大值为（ ） A.916B.94C. 2D.98【答案】D 【解析】 【分析】利用均值不等式即可得到结果．【详解】解：∵0＜2x ＜3，∴3﹣2x ＞0，x ＞0，∴（3﹣2x ）x 12=（3﹣2x ）•2x 213229()228x x -+≤=， 当且仅当3﹣2x ＝2x ，即x 34=时取等号，∴(32)x x -的最大值为98．故选：D ．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．8.已知0,0x y >>，且115x y xy+++=，则x y +的最大值是（ ） A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据x ＞0，y ＞0，且x +y 11x y++=5，可得（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，然后解关于x +y 的不等式，可得x +y 范围，从而得到x +y 的最大值．【详解】∵x ＞0，y ＞0，且x +y11x y++=5，∴（x +y 11)()x y x y+++=5211()()()()x y x y x y x y +=++++22()(11)()4y xx y x y x y=+++++≥++ ∴（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，∴1≤x +y ≤4， ∴当且仅当x ＝y ＝2时，x +y 取得最大值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，给x +y 11x y++=5两边同乘（x +y ）是解题的关键，考查了转化思想，属基础题． 9.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别为20192018(1)(1),2n n n n a a b n++-=-=+，且n n a b <，对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. [)1,1-C. [)2,1-D. 32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对n 分奇偶，讨论n n a b <恒成立即可 【详解】n n a b <，故()()20192018112n n a n++--<+当n 为奇数，-a<2+1n ,又2+1n 单调递减，故2+12n ＜，故- a ≤2，解a 2≥- 当n偶数，12a n <-，又2-1n 单调递增，故2-132n ≥，故32a <，综上2-≤a 32<故选：D【点睛】本题考查数列综合，考查数列单调性，分类讨论思想，准确计算关键，是中档题10.已知函数2()4x f x =，若存在实数t ，使得任给[]1,x m ∈，不等式()f x t x +≤恒成立，则m 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 8D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由当x ∈[1，m ]时，f （x +t ）≤x 恒成立，即g （x ）＝f （x +t ）﹣x ≤0恒成立，则需满足g （1）≤0且g （m ）≤0，解出t 的范围，讨论m 的取值即可得到m 的最大值． 【详解】解：设g （x ）＝f （x +t ）﹣x 14=（x +t ）2﹣x 14=x 2+（12t ﹣1）x 14+t 2， 由题意f （x +t ）≤x 对任意的x ∈[1，m ]（m ＞1）恒成立， 即g （1）≤0且g （m ）≤0．由g （1）≤0，即14（1+t ）2﹣1≤0，得t ∈[﹣3，1]， 由g （m ）≤0，即14（m +t ）2﹣m ≤0，得m 2+（2t ﹣4）m +t 2≤0，则当t ＝1时，得到m 2﹣2m +1≤0，解得m ＝1； 当t ＝﹣3时，得到m 2﹣10m +9≤0，解得1≤m ≤9． 综上所述m 的取值范围为[1，9] ∴m 的最大值为9． 故选：D ．【点睛】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力，是中档题． 二、填空题：（每小题4分，共24分）11.已知等差数列{}n a 中，15=33a ，25=66a ，则35=a ___________. 【答案】99 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，a 15、a 25、a 35成等差数列，从而可求得a 35的值． 【详解】解：∵等差数列{a n }中，a 15、a 25、a 35成等差数列， ∴2a 25＝a 15+a 35，又a 15＝33，a 25＝66， ∴2×66＝33+a 35，解得：a 35＝99， 故答案为：99．【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练应用等差中项的性质是解决问题的关键，属于中档题．12.已知等比数列{}n a 的公比为2，99=77S ，则36999=a a a a ++++___________.【答案】44 【解析】 【分析】根据利用等比数列通项公式及（a 1+a 4+a 7+…+a 97）q 2＝（a 2+a 5+a 6+…+a 98）q ＝a 3+a 6+a 9+…a 99求得答案．【详解】解：因为{a n }是公比为2的等比数列， 设a 3+a 6+a 9+…+a 99＝x ，则 a 1+a 4+a 7+…+a 974x =，a 2+a 5+a 6+…+a 982x =． S 99＝77＝（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+（a 2+a 5+a 6+…+a 98）+（a 3+a 6+a 9+…+a 99）＝x 7244x x x ++=， ∴a 3+a 6+a 9+…a 99＝44， 故答案为：44．【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和，解题的关键是发现a 1+a 4+a 7+…+a 97、a 2+a 5+a 6+…+a 98和a 3+a 6+a 9+…a 99的联系，属于基础题．13.已知数列{}n a 满足1=15a ，且1332n n a a +=-，若10k k a a +<，则正整数k =__________. 【答案】23 【解析】 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝15，且3a n +1＝3a n ﹣2，整理得123n n a a +-=-（常数）， 所以数列{a n }是以a 1＝15为首项，23-为公差的等差数列． 则()122471333n a a n n =--=-+， 由于a k a k +1＜0，则2472453333k k ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜0，解得454722k ＜＜， 所以正整数k ＝23． 故答案为：23．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用．数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 14.若01<a <，则不等式21()10x a x a-++<的解集是_________. 【答案】1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】通过a 的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可． 【详解】原不等式可化为（x ﹣a ）（x 1a-）＜0的解集， 又01<a <，∴a 1x a＜＜即不等式的解集为：1a a ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 15.若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|取值范围是_______ 【答案】(－3,3) 【解析】 【分析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围．【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）.【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点．16.对任给0x >，0y >恒成立，则实数a 的取直范围是______.【答案】)+∞ 【解析】 【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论． 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，≤a ≥恒成立，设m =，则m ＞0，平方得m 2）2==1≤1=1+1＝2， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴m 2≤2，则0<m ≤∴要使a ≥恒成立，则a ≥故答案为：，+∞）【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强． 三、解答题：（共4题，46分）17.已知函数2()(6)4f x x a a x =-+--， （1）解关于a 的不等式(1)0f >；（2）若不等式(1)f b >的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值；（3）对任意的[]13x ∈，，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取直范围。
天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷Word版含解析
天津市部分区2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）2.命题“∃x 0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）∈（0，+∞），使得A. ∃xB. ∃x∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣86.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值7.在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A. a n＝2n+1B. a n＝4n﹣1C. a n＝2n+1D. a n＝2n﹣1+28.在空间四边形ABCD中，向量＝（0，2，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（0﹣2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（）A. B. C. － D. －9.已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.10.已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，且满足f′（x）+f（x）＜0，设g（x）＝e x•f（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A. （﹣∞，0）∪（4，+∞）B. （0，1）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣2，2）二、填空题．11.曲线f（x）＝2x+在点（1，3）处的切线方程为____．12.已知向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，则实数λ的值为____．13.已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为_____．14.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，S9＝6a8，则数列{}的前10项的和为_____．15.已知离心率为的椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为_____．三、解答题：解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤．16.已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（n∈N*），正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b5＝a6．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝a n•b n，求数列{∁n}的前n项和T n．18.如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC ＝BB＝2．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．19.已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且，其中O为坐标原点，求线段AB的长．20.已知函数f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当m＜0时，试判断函数g（x）＝-其中f′（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷参考答案一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。
2019-2020学年天津市和平区高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每题4分，共40分．1．（4分）cos120°是（）A．﹣B．﹣C．D．2．（4分）集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝，则A∪B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（0，2）3．（4分）使得函数f（x）＝log2x+x﹣5有零点的一个区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．（4分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．（4分）已知tan x＝﹣，x∈[，π]，则cos（﹣x）＝（）A．B．C．﹣D．﹣6．（4分）已知a、b都是实数，那么“”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．B．C．D．8．（4分）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A．f（x）＝3sin（x+）B．f（x）＝3sin（2x+）C．f（x）＝3sin（2x﹣）D．f（x）＝3sin（2x+）9．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）已知，若存在三个不同实数a，b，c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（0，1]B．[﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（0，1）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11．（4分）命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是．12．（4分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是．13．（4分）不等式（）＞1的解集是．14．（4分）化简log2.56.25+lg0.001+2ln﹣＝．15．（4分）已知函数y＝log2（ax+2）在（1，3）上单调递减，则a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，每题8分，共40分，要求写出文字说明、解答过程或验算步骤．16．（8分）已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求：（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求α﹣β的值．17．（8分）已知＝2．（1）求tan x的值；（2）求的值．18．（8分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a（a∈R），且f（）＝0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（8分）已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．（8分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，已知g（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．2019-2020学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每题4分，共40分．1．（4分）cos120°是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos60°，从而求得结果．【解答】解：cos120°＝cos（180°﹣60°）＝﹣cos60°＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．（4分）集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝，则A∪B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（0，2）【分析】解不等式求出集合A、B，再计算A∪B．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}＝（﹣2，3），集合B＝＝{x|1＜x＜2}＝（1，2），则A∪B＝（﹣2，3）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（4分）使得函数f（x）＝log2x+x﹣5有零点的一个区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【分析】由题意知函数f（x）＝log2x+x﹣5在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．【解答】解：函数f（x）＝log2x+x﹣5在（0，+∞）上连续，f（3）＝log23+3﹣5＜0；f（4）＝2+4﹣5＞0；故函数f（x）＝log2x+x﹣5的零点所在的区间是（3，4）；故选：C．【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4．（4分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．5．（4分）已知tan x＝﹣，x∈[，π]，则cos（﹣x）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵tan x＝﹣，x∈[，π]，∴cos（﹣x）＝cos x＝﹣＝﹣＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．（4分）已知a、b都是实数，那么“”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a＝1，b＝0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．7．（4分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据周期为π＝求得ω＝2，故排除C、D．再利用诱导公式化简A、B中的函数，判断其奇偶性，从而得出结论．【解答】解：根据周期为π＝，∴ω＝2，故排除C、D．再根据函数为偶函数，而＝﹣sin（﹣2x）＝﹣cos2x，故函数是偶函数，故满足条件．而＝cos（﹣2x）＝sin2x，为奇函数，不满足条件，故排除．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，诱导公式，属于基础题．8．（4分）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A．f（x）＝3sin（x+）B．f（x）＝3sin（2x+）C．f（x）＝3sin（2x﹣）D．f（x）＝3sin（2x+）【分析】根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】解：由图象知A＝3，函数的周期T＝﹣（﹣）＝π，即＝π，即ω＝2，则f（x）＝3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（﹣）+φ＝0，即φ＝，则f（x）＝3sin（2x+），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．9．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解【解答】解：依题意，，解得0≤a＜，故选：B．【点评】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点出函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全．10．（4分）已知，若存在三个不同实数a，b，c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（0，1]B．[﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（0，1）【分析】本题可先画出分段函数f（x）的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出bc＝1，即可得到abc的取值范围．【解答】解：由题意，可画出f（x）函数的图象大致如下：∵存在三个不同实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），可假设a＜b＜c，∴根据函数图象，可知：﹣2＜a≤0，0＜b＜1，c＞1．又∵f（b）＝f（c），∴|log2019b|＝|log2019c|，即：﹣log2019b＝log2019c．∴log2019b+log2019c＝0．∴log2019bc＝0，即bc＝1．∴abc＝a．∵﹣2＜a≤0，∴﹣2＜abc≤0．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质．本题属中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11．（4分）命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是∀x＞0，x2+x﹣1≤0．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是：∀x＞0，x2+x﹣1≤0．故答案为：∀x＞0，x2+x﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．12．（4分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是16．【分析】x+y等于x+y乘以，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件．【解答】解：∵∴＝当且仅当时，取等号．故答案为16．【点评】本题考查当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子乘起，展开，利用基本不等式．考查利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等．13．（4分）不等式（）＞1的解集是（﹣1，3）．【分析】先利用指数函数的单调性得x2﹣2x﹣3＜0，再解一元二次不等式即可．【解答】解：（）＞1⇔x2﹣2x﹣3＜0⇔﹣1＜x＜3．故答案为：（﹣1，3）【点评】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．14．（4分）化简log2.56.25+lg0.001+2ln﹣＝﹣．【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．【解答】解：原式＝2﹣3+1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（4分）已知函数y＝log2（ax+2）在（1，3）上单调递减，则a的取值范围是．【分析】依题意，一次函数y＝ax+2为减函数，且当x∈（1，3）时，y＝ax+2＞0恒成立，由此可得到a的取值范围．【解答】解：由复合函数的单调性可知，一次函数y＝ax+2为减函数，则a＜0，且当x∈（1，3）时，y＝ax+2＞0恒成立，则只需3a+2≥0，即，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题．三．解答题：本大题共5小题，每题8分，共40分，要求写出文字说明、解答过程或验算步骤．16．（8分）已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求：（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求α﹣β的值．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系分别求得cosα和sinβ的值，利用两角和公式求得sin（α﹣β）的值．（2）根据）α，β的范围判断出α﹣β的范围，最后根据sin（α﹣β）的值求得答案．【解答】解：（1）∵α，β均为锐角，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∴sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝×﹣×＝﹣，（2）∵α，β均为锐角，∴﹣＜α﹣β＜，∵sin（α﹣β）＝﹣，∴α﹣β＝﹣【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了学生基础知识的运用和运算能力．17．（8分）已知＝2．（1）求tan x的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解tan x的值；（2）利用诱导公式可求tan的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解的值．【解答】解：（1）∵＝2，可得＝2，∴解得tan x＝﹣3；（2）∵tan＝tan（π+）＝tan＝1，∴＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（8分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a（a∈R），且f（）＝0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换可得sin（2×+）+a﹣1＝0，即可解得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数解析式，由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可求解其值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a，＝cos2x+sin2x﹣2•+a，＝sin（2x+）+a﹣1，又f（）＝0．可得sin（2×+）+a﹣1＝0，解得：a＝1．（Ⅱ）由题意可得：f（x）＝sin（2x+）．由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，可得sin（2x+）∈[﹣，1]，可得f（x）＝sin（2x+）∈[﹣，]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．（8分）已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，解可得b的值，验证即可得答案；（2）根据题意，设﹣1＜x1＜x2＜1，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，则有f（0）＝＝0，则b＝0；此时f（x）＝，为奇函数，符合题意，故f（x）＝，（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝﹣又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，x1x2+1＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数；（3）根据题意，f（t﹣1）+f（t）＜0⇒f（t﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t﹣1）＜f（﹣t）⇒，解可得：＜t＜1，即不等式的解集为（，1）．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．20．（8分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，已知g（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（Ⅱ）利用三角函数的关系式中角的恒等变换的应有求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝＝．令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的单调增区间为：[]（k∈Z）．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣）+1的图象，由于g（x0）＝，即，整理得．由于x0∈[，]，所以．故．则＝＝．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
天津市和平区2019-2020学年度高二年级上学期期末考试数学试卷
天津市和平区2019～2020学年度高二年级上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“x R ∀∈，22340x x -+≥”的否定为（ ）A.x R ∀∈，22340x x -+<B.x R ∀∈，22340x x -+≤C.x R ∃∈，22340x x -+<D.x R ∃∈，22340x x -+≤2. “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 椭圆22143y x +=的焦点坐标为（ ） A.(1-，0)，(1，0) B.(2-，0)，(2，0)C.(0，2)-，(0，2)D.(0，1)-，(0，1)4. 抛物线24y x =-的焦点坐标是（ ）A.(1，0)B.(1-，0)C.(2，0)D.(2-，0)5. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A. B.12 C.6 D.6. 若双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线的倾斜角为60︒，且与椭圆2215x y +=有相等的焦距，则该双曲线的标准方程为（ ） A.2213x y -= B.22193x y -= C.2213y x -= D.22139x y -= 7. 已知0(M x ，0)y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 分别为C 的左、右焦点，若120MF MF ⋅<u u u u r u u u u r ，则0y 的取值范围是（ ）A.(3-，3B.(6-，6C.(3-3D.(3-，)38. 已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程是（ ）A.12y x =±B.2y x =±C.y =D.3y x =± 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 命题：“x R ∃∈，210x ax -+<”的否定为_________________. 10. 对于常数m ，n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的_____________条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）11. 已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆交点的最小距离为6，则椭圆的离心率为__________.12. 已知定点(3A ，2)，F 为抛物线22y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，当PA PF +最小时，P 点坐标为________.13. 已知倾斜角为α的直线l 经过抛物线24y x =的焦点交抛物线于A 、B 两点，并且4AF BF =，则cos α=_________.14. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点A 在C 上，且AH =，则AFH ∆的面积为_________. 三、解答题：本大题共5小题，共8＋10×2＋12×2＝52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. ⑴已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程；⑵已知抛物线顶点在原点，对称轴是y ，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程.16. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，该椭圆两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为.⑴求椭圆C 的方程；⑵过点(1M ，1)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且点M 且为线段AB 的中点，求直线l 的方程.17. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>经过点(2P ，2)，A 、B 是抛物线C 上异于点O的不同的两点，其中O 为原点.⑴求抛物线C 的方程，并求出该抛物线的焦点坐标和准线方程；⑵若OA OB ⊥，求AOB ∆面积的最小值.18. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(1，32，一个焦点是30). ⑴求椭圆C 的方程；⑵若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求AB PQ的取值范围.19. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，其短轴的端点分别为A 、B ，2AB =，且直线AM 、BM 分别与椭圆C交于E 、F 两点，其中点(M m ，1)2，满足0m ≠且3m ≠⑴求椭圆C 的方程；⑵若BME ∆的面积是AMF ∆的面积的5倍，求m 的值.。
天津一中2019-2020-1_高二年级期末考试数学学科试卷(理)
天津一中2019-2020-1 高二年级期末考试数学学科试卷（理）一、选择题（每题3分，共30分）1．原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则直线l 的方程是A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x2．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α内A ．不存在与l 平行的直线B ．不存在与l 垂直的直线C ．与l 垂直的直线只有一条D ．与l 平行的直线有无穷多条3．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是A ．31003cm πB ．32083cm πC ．35003cm π D34．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm5．若椭圆)0(122>>=+n m ny m x 和双曲线)0,0(122>>=-b a b y a x 有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为A ．m a -B ．m b -C ．22m a -D ．b m -6．已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．260x y --=D ．260x y +-=7．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点A ．(4,0)B ．(0,2)-C ．(0,2)D ．(2,0)8．在正四面体_P ABC 中，D E F 、、分别是AB BC CA 、、的中点，则下列四个结论中不成立．．．的是 A ．//BC 平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDE ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面ABC9．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是 A ．直线 B ．圆C ．双曲线D ．抛物线10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，面对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为A ．2 BC．2二、填空题（每题4分，共24分）11．已知二面角l αβ--为锐角，点,A A α∈到平面β的距离AH =A 到棱l 的距离4AB =，则二面角l αβ--的大小为 。
2019-2020学年天津市和平区数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年天津市和平区数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A．B C ．D 2．已知0a ≥，函数()()22xf x x ax e =-，若()f x 在[]1,1-上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ） A ．平行直线的斜二测图仍是平行直线B ．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C ．正三角形的直观图一定为等腰三角形D ．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同4．若()()()()9290129111x a a a x a x a x +=+++++++L ，若684a =，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．3-5．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有( )种. A ．25B ．52C ．25CD ．25A6．已知8a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a 的值为（ ） A ．12B ．2C ．12±D ．2±7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒∠=，若椭圆离心率12e =，则双曲线2C 的离心率2e =（ ）A B C ．3D ．48．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n+B ．C 2n mmC ．2C n mnD ．2C m mn9．指数函数x y a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A ．推理的形式错误B ．大前提是错误的C ．小前提是错误的D ．结论是真确的10．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =u u u v（ ）A ．1123AB AD -u u uv u u u vB ．1142AB AD +u u uv u u u vC ．1132AB DA +u u uv u u u vD ．1223AB AD -u u uv u u u v .11．下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（ ） （1）在大量随机试验中，事件A 出现的频率与其概率很接近； （2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限； （3）计算频率通常是为了估计概率． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）12．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( ) A 2B 22C 32D 42二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．二项式6231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 的系数为_______． 14．对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ____________. 15．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作.设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为__________．16．已知∈R，设命题P ：2,10x R mx mx ∀∈++>；命题Q ：函数32()31f x x x m =-+-只有一个零点.则使“PQ ”为假命题的实数的取值范围为______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知m R ∈，命题:p 对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-成立；命题:q 存在[]–1,1x ∈，使得m x ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围；18．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩． 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-⎣⎦L ，其中x 为样本平均数.()()()1122211ˆnniii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-。
2019-2020学年天津市和平区第一中学高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年天津市和平区第一中学高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()21ln 2=ln 2201f =--<，()22ln3=ln3102f =-->，所以(1)(2)0,f f < 所以函数()()2ln 1f x x x=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 故选B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ． b c a <<【答案】A 【解析】0.53213(1,2), log 2(0,1), cos 32a b c π===∈==-，所以c b a <<，故选A3．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则sin θ=（ ）A ．35 B ．34C ．74D ．45【答案】B【解析】试题分析：因为，42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以sin θ=1cos 22θ-34，故选B ．【考点】本题主要考查三角函数倍半公式的应用． 点评：简单题，注意角的范围．4．下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ）A ．y="sin2x+cos2x"B ．y=sin2xcos2xC ．y=cos （4x+2π）D ．y=sin 22x ﹣cos 22x 【答案】D【解析】试题分析：A 中sin2cos22sin 24y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为π；B 中1sin2cos2sin42y x x x ==，周期为2π，函数为奇函数；C 中cos 4sin42y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，周期为2π，函数为奇函数；D 中22sin 2cos 2cos4y x x x =-=-，周期为2π，函数为偶函数 【考点】函数奇偶性，周期性5．在ABC ∆中，满足tan tan >1A B ⋅，则这个三角形是（ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形 D ．钝角三角形【答案】C【解析】由tan tan >1A B ⋅可知tan A 与tan B 符号相同,且均为正,则()tan tan tan 01tan tan A BA B A B ++=<-,即tan 0C >,即可判断选项 【详解】由题,因为tan tan >1A B ⋅,所以tan A 与tan B 符号相同, 由于在ABC ∆中,tan A 与tan B 不可能均为负,所以tan 0A >,tan 0B >,又因为1tan tan 0A B -<, 所以()tan tan tan 01tan tan A BA B A B++=<-,即tan 0C -<,所以tan 0C >,所以三角形是锐角三角形 故选：C 【点睛】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号6．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A ．1318B ．322C ．1322D ．318【答案】B【解析】由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】 由题,()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+---⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝⎭, 故选：B 【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题 7．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3yxxx，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Zππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．【考点】两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．8．函数sin()y A x ωϕ=+的在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（ ）A ．22sin(2)3y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+ C ．2sin()23x y π=- D ．2sin(2)3y x π=-【答案】A【解析】由图像可得2A =,利用对称性求得T π=,即2ω=,再将5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入求解ϕ即可 【详解】由题,最大值为2,则2A =, 相邻的对称轴为12x π=-和512x π=,所以5112122T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,则T π=,所以222T ππωπ===, 因为点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线上,所以522sin 212πϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭,即()53262k k Z ππϕπ+=+∈, 所以()223k k Z πϕπ=+∈, 当0k =时,23ϕπ=,即()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,故选：A 【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式,考查数形结合思想和运算能力 9．对于函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，①关于直线12x π=-对称；②关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③可看作是把sin2y x =的图象向左平移6π个单位而得到；④可看作是把sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍而得到.以上叙述正确的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】由012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭判断①；由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭判断②；由sin2y x =的图象向左平移6π个单位，得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象判断③；由sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象判断④.【详解】 对于函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，令12x π=-，求得()0f x =，不是最值，故①不正确； 令512x π=，求得()0f x =，可得()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故②正确；把sin2y x =的图象向左平移6π个单位，得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③不正确；把sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故④正确，故选B ． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 10．已知函数()211sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是A ．10,8⎛⎤⎥⎝⎦B ．][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦C ．50,8⎛⎤⎥⎝⎦D ．][150,,148⎛⎫⋃⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】函数()()24f x sin x πω=-，，由0f x =（），可得42k x ππππω+=∉（，），，因此115590115()()()()()848484848，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞即可得出． 【详解】 函数()211111sin sin ()2222224xcos x f x x f x sin x sin x ωωπωωω-=+-=+-=-（）， 由0f x =（），可得()04sin x ，πω-= 解得42k x ππππω+=∉（，），115590115()()()()()848484848，，，，，，ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞ ∵f x （） 在区间()π,2π内没有零点，][1150,,848ω⎛⎤∴∈⋃ ⎥⎝⎦.故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题11．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为__________. 【答案】4-【解析】由三角函数定义可得4cos 5θ==-,进而求解即可 【详解】 由题,4cos 5θ==-,所以4x =-, 故答案为：4- 【点睛】本题考查由三角函数值求终边上的点,考查三角函数定义的应用 12．已知2παπ<<，且4cos 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos α的值为______．【解析】根据同角的三角函数的关系，利用66ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭结合两角和的余弦公式即可求出． 【详解】2απ<<π， 5366πππα∴<-< ，4cos 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=--⨯=，.【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，两角和的余弦公式，属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键．13．已知一个扇形的弧长为cm π，其圆心角为4π，则这扇形的面积为______2cm ． 【答案】2π【解析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可. 【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为4π， ∴弧长4l r ππ=⨯=，可得r =4，∴这条弧所在的扇形面积为21422S cm ππ=⨯⨯=，故答案为2π.【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题. 14．已知函数()sin tan 1(,)f x a x b x a b R =+-∈，若(2)2018f -=，则(2)f =_____．【答案】-2020【解析】根据题意，设g （x ）＝f （x ）+1＝a sin x +b tan x ，分析g （x ）为奇函数，结合函数的奇偶性可得g （2）+g （﹣2）＝f （2）+1+f （﹣2）+1＝0，计算可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）＝a sin x +b tan x ﹣1，设g （x ）＝f （x ）+1＝a sin x +b tan x ，有g （﹣x ）＝a sin （﹣x ）+b tan （﹣x ）＝﹣（a sin x +b tan x ）＝﹣g （x ），则函数g （x ）为奇函数，则g （2）+g （﹣2）＝f （2）+1+f （﹣2）+1＝0， 又由f （﹣2）＝2018，则f （2）＝﹣2020； 故答案为-2020． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，构造函数g （x ）＝f （x ）+1是解题的关键，属于中档题．15．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对于任意x ∈R 有(3)()f x f x +=-，若tan 2α=，则(15sin cos )f αα的值为__________.【答案】0【解析】由tan 2α=可得21cos 5α=,则可化简()(15sin cos )6f f αα=,利用(3)()f x f x +=-可得6T =,由()f x 是在R 上的奇函数可得()00f =,由此()()600f f ==【详解】由题,因为tan 2α=,所以sin 2cos αα=,由22sin cos 1αα+=,则21cos 5α=, 则()()2(15sin cos )152cos 6f f f ααα=⋅=,因为(3)()f x f x +=-,令3x x =+,则()()()()63f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦,所以6T =,因为()f x 是在R 上的奇函数,所以()00f =, 所以()()600f f ==, 故答案为：0 【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用,考查由正切值求正、余弦值 16．己知函数()()()27303230x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在[0,]2s π∈，使得()()f t a g s +≤(>0)a 成立，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(]0,2【解析】由题分析若对任意[3,3]t ∈-,总存在[0,]2s π∈,使得()()f t a g s +≤(>0)a 成立,则()f t a +的最大值小于等于()g s 的最大值,进而求解即可 【详解】由题,因为[3,3]t ∈-,对于函数()f t ,则当30t -≤≤时,是单调递增的一次函数,则()()max 03f t f ==；当03t <≤时,()f t 在()0,1上单调递增,在(]1,3上单调递减,则()()max 14f x f ==,所以()f x 的最大值为4；对于函数()g s ,()2sin 46g s s π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为[0,]2s π∈,所以2,663s πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以()max 2146g s =⨯+=；所以46a +≤,即2a ≤, 故(]0,2a ∈, 故答案为：(]0,2 【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查分段函数的最值,考查正弦型函数的最值,考查转化思想三、解答题 17．已知02πα<<，4sin 5α=． (Ⅰ)求tan α的值；(Ⅱ)求cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(Ⅲ)若02πβ<<且()1cos 2αβ+=-，求sin β的值．【答案】(Ⅰ)43；(Ⅱ)50-；(Ⅲ).【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系即可求出；(Ⅱ)根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出；(Ⅲ)由()βαβα⎡⎤=+-⎣⎦，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出． 【详解】(Ⅰ)02πα<<，4sin 5α=，3cos 5α∴==， sin 4tan cos 3ααα∴==. (Ⅱ24)sin22sin cos 25ααα==，227cos2cos sin 25ααα=-=-()724cos 2cos2sin2422252550πααα⎛⎫⎛⎫∴+=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅲ)02πα<<，02πβ<<，0αβπ∴<+<，()1cos 2αβ+=-， ()sin αβ∴+=，()()()4sin sin sin cos cos sin 10βαβααβααβα+⎡⎤∴=+-=+-+=⎣⎦ .【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 18．已知10,sin cos 25x x x π-<<+=()1求sin cos x x -的值；()2求223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x xx x-++的值.【答案】（1）75-；（2）108125-【解析】（1）作1sin cos 5x x +=的平方可得24sin 225x =-,则()249sin cos 1sin 225x x x -=-=,由x 的范围求解即可；（2）先利用降幂公式和切弦互化进行化简,得原式()12sin cos sin 22x x x ⎛⎫⎡⎤=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭,将1sin cos 5x x +=与24sin 225x =-代入求解即可【详解】（1）由题,()22221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 25x x x x x x x ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭,则24sin 225x =-, 因为()2222449sin cos sin cos 2sin cos 1sin 212525x x x x x x x ⎛⎫-=+-=-=--= ⎪⎝⎭又02x π-<<,则sin 0,cos 0x x <>,所以sin cos 0x x -<因此,7sin cos 5x x -=- （2）由题,()2222222sin cos 2sin sin 3sin 2sin cos cos 11cos sin 2222222sin cos sin cos tan cot cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫++--+ ⎪+--⎝⎭==+++()()2sin cos 112sin cos sin 22sin cos sin 2122sin cos x x x x x x x x x x--⎛⎫⎛⎫⎡⎤==--=-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭, 由（1）可24sin 225x =-,代入可得原式112410825225125⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【点睛】本题考查同角的平方关系式及完全平方公式的应用,考查降幂公式,考查切弦互化,考查运算能力 19．已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值.【答案】（1）定义域π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ，T π=； （2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-；【解析】试题分析：(1)简化原函数，()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值. 试题解析：()4tan sin cos 4tan cos cos 4sin cos 2333f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πsin2sin22sin 23x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭；（1）()f x 的定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，最小正周期2ππ2T == ；（2）()π5πππ1,2,sin 21,2,14436632x x x f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎤⎡∈-⇒-∈-⇒+∈-⇒∈- ⎪⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即最大值为1，最小值为2-，单调递增：,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减：,412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 20．已知函数()221x f x m =-+是定义在R 上的奇函数，（1）求实数m 的值； （2）如果对任意x ∈R ，不等式2(2cos )(4sin 7)0f a x f x ++--<恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1（2）1522a ≤< 【解析】(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m 值；（2）先判断出函数f(x)在R 上单调递增，利用奇偶性和单调性将不等式转为22cos 4sin 7a x x +<+恒成立，然后变量分离，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得a 的范围. 【详解】解：（1）方法1：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，即2202121x x m m --+-=++， 即220m -=，即1m =方法2：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即02012m -=+，即1m =，检验符合要求．（2）()2121x f x =-+， 任取12x x <，则()()12f x f x - 21221212x x =-++()()()12122221212x x x x -=++，因为12x x <，所以1222xx <，所以()()120f x f x -<，所以函数()f x 在R 上是增函数． 注：此处交代单调性即可，可不证明 因为()()22cos 4sin 70f a x f x ++<，且()f x 是奇函数 所以()())22cos4sin 74sin 7f a x f x fx +<--=+，因为()f x 在R上单调递增，所以22cos 4sin 7a x x +<+，即22cos 4sin 7a x x --+对任意x R ∈都成立，由于2cos 4sin 7x x --+=()2sin 22x -+，其中1sin 1x -≤≤， 所以()2sin 223x -+≥，即最小值为3所以23a <，即2120a -<，解得12-<<，故02≤，即1522a ≤<.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式恒成立问题，常用方法为利用变量分离转为函数最值问题，考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题.。
天津市和平区2019-2020学年高二上学期期末质量调查数学(文 )试题 含答案
数学（文）第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“0m n >>”是“方程321mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A ．充而分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，动点P 满足12||||4PF PF -=，则点P 的轨迹是 （ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．不存在3.已知函数2y x =，当x 由2变为1.5时，函数的增量为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．324.设曲线2y ax =在点(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则a 的值为（ ）A ．1B ．12 C. 12-D ．-15.抛物线212y x =-的准线方程是（ ） A ．12y =B ．18y = C.14x = D ．18x =6.双曲线221102x y -=的焦距为（ ） A. 22423437.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45 ）A ．22164x y +=B ．2211636x y += C. 2213616x y += D ．221499x y +=8.下列函数中，导函数是奇函数的是（ ）A ．cos y x =B ．x y e = C. ln y x = D ．x y a =9.已知函数()f x x =，则'()f π=（ ）A．2π D．2π10.已知椭圆2215x y k +=的离心率e =，则实数k 的值为（ ） A ．3 BC. 3或253 D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.顶点在原点，对称轴是y 轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是__________.12.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(的双曲线的标准方程是__________.13.曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是__________.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的三个顶点1(0,)B b -，2(0,)B b ，(,0)A a ，焦点(,0)F c ，且12B F AB ⊥，则椭圆的离心率为__________.三、解答题 （本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本题满分10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在y 轴上，6c =，23e =；（2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3.16. （本题满分10分）已知,A B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被点(2,1)M 所平分.（1）求抛物线E 的方程；（2）求直线AB 的方程.17. （本题满分10分）已知函数2()ax f x x b =+.（1）求'()f x ；（2）设()f x 的图象在1x =处与直线2y =相切，求函数()f x 的解析式.18. （本题满分10分） 已知曲线1y x =.（1）求满足斜率为13-的曲线的切线方程；（2）求曲线过点(1,0)P 的切线方程.19. （本题满分10分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，且曲线过点. （1）求椭圆的方程；（2）已知直线y x m =+与椭圆交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点不在圆2259x y +=内，求m 的取值范围.和平区2019-2020学年度第一学期高二年级数学（文）学科期末质量调查试卷参考答案及评分标准一、选择题1-5: CBCAD 6-10:DCABC二、填空题11.224x y=± 12.22194x y-=13.34 14.512e-=三、解答题15. （本题满分10分）2218145y x+=.……5分（2）解：由题意知，5a=，3c=，所以22225916b a c=-=-=，………………6分若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为2212516x y+=，………………8分若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为2212516y x+=.………………10分16. （本题满分10分）（1）解：因为抛物线E的焦点为()1,0，所以12P=，所以2P=，……2分于是，所求抛物线E的方程为24y x=.……4分（2）解：设()()1122,,,A x yB x y，则2114y x =，①2224y x =，②……4分因为点()2,1M 是线段AB 的中点，……7分所以12124,2x x y y +=+=，……7分 由②-①得，()()()2121214y y y y x x +-=-， 所以21212y y x x -=-，即2AB k =，……9分所以所求直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.……10分17.解：（1）2222'()()''()()ax x b ax x b f x x b +-+=+………………2分222()2()a x b ax x x b +-=+•222()ab ax x b -=+.………………4分（2）依题意有'(1)0,(1)2,f f =⎧⎨=⎩………………6分 所以20,()10,2,1ab a a b b a b -⎧=⎪+⎪⎪+≠⎨⎪⎪=+⎪⎩解得4a =，1b =，………………9分 所以24()1x f x x =+.………………10分18.解：（1）设切点为1(,)A a a ， 则切线斜率为21'|c a k y a ===-，………………1分 所以2113a -=-，解得a =，………………2分所以，切点坐标为或(，………………3分于是，切线方程为1(3y x -=-或1(3y x =-，整理得，30x y +-=或30x y ++=.………………5分（2）解：显然点(1,0)P 不在曲线1y x =上，………………6分 则可设过该点的切线切点为1(,)B b b ， 而斜率21'|k b k y b ===-，………………7分 于是，切线方程为211()y x b b b -=--，①………………8分 将(1,0)P 坐标代入方程①得211(1)b b b -=--，解得12b =，………………9分 把12b =代入方程①，并整理得切线方程为440x y +-=.………………10分 19.解：（1）由已知得，222111,2a b =⎪+=⎪⎩解得a =1b =，………………2分 所以椭圆方程为2212x y +=.………………3分（2）解：将y x m =+代入2212x y +=并整理得，2234220x mx m ++-=（*），………………4分由222(4)43(22)8240m m m ∆=-⨯⨯-=-+>得，m <<………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则线段AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++， 因为线段AB 的中点不在圆2259x y +=内，3≥， 所以22121220()()9x x y y +++≥，……………………7分 对于方程（*）有，1243x x m +=-， 又11y x m =+，22y x m =+， 所以224429()(2)339m m m -+-+≥，………………8分 化简得，21m ≥，解得1m ≥或1m ≤-，………………9分综上可得，m 的取值范围是1m <≤-或1m ≤<………………10分。
天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题 数学【含解析】
天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题数学一、选择题：（每题3分）1.命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈，2450x x ++> B. 0x R ∃∈，2450x x ++≤ C. x R ∀∈，2450x x ++> D. x R ∀∈，2450x x ++≤【答案】D 【解析】 【分析】直接利用命题的否定定义得到答案.【详解】命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是：x R ∀∈，2450x x ++≤ 故选D【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.2.复数2(1)12i i i-+（i 为虚数单位）等于（）A. 1355i -B.1355i + C. 3155i -D. 3155i +【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，化简2(1)131255i i i i -=++ ，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i i i i i i i --+-+===++，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.设a 是不为零的实数，则“2a <且0a ≠”是“抛物线24y ax =的焦点在点()1,0的左侧”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】计算抛物线24y ax =的焦点在点()1,0的左侧等价于1a <且0a ≠，根据范围大小得到答案.【详解】抛物线24y ax =的焦点为(),0a 在点()1,0的左侧，等价于1a <且0a ≠2a <且0a ≠是1a <且0a ≠的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.4.已知椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =（ ）2 B. 2C.14D. 4【答案】D 【解析】 【分析】计算得到长轴长为22a =短轴长为122b m=，根据数量关系计算得到答案. 【详解】椭圆221x my +=的焦点在x 轴，故长轴长为22a =短轴长为122b m= 1214m m=∴= 故选：D【点睛】本题考查了椭圆的长轴和短轴的计算，意在考查学生的计算能力.5.已知双曲线方程为224x y -=，过点()3,1A 作直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，若点A 恰好为MN 中点，则直线l 的方程为（ ） A. 38y x =- B. 38y x =-+C. 310y x =-D. 310y x =-+【答案】A【分析】先设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意得到22114-=x y ，22224-=x y ，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意可得：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式作差可得：22221212=--y x x y ， 即12121212()()()()=+-+-y y x x x x y y ，又点()3,1A 恰好为MN 中点，所以直线l 的斜率为：1212121223321==-+⨯==-+⨯y x x y k y x x y ，因此，直线l 的方程为：13(3)y x -=-，即38y x =-. 故选A【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.6.若点O 和点F 分别为椭圆22195x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A.114B. 3C. 15D. 59【答案】C 【解析】 【分析】设()3cos 5P αα，则23114cos 44OP FP α⋅=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据函数的最值得到答案. 【详解】点O 和点F 分别为椭圆22195x y +=的中心和左焦点，则()()0,02,0O F -设()3cos 5P αα 则()()223cos 53cos 59cos 6cos 5sin OP FP ααααααα+=+⋅+=223114cos 6cos 54cos 44ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当cos 1α=时，函数有最大值为15【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，向量数量积的最值，意在考查学生的计算能力.7.双曲线2212:14x y C b-=(0)b >的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >相交于O ，A ，B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则b =（ ） A. 2 B. 356【答案】C 【解析】 【分析】设:,:22b bOA y x OB y x =-=，解得2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,2b p B pb ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据AF OB ⊥计算得到答案. 【详解】设:,:22b b OA y x OB y x =-=，则222x pyb y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得：2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理2,2b p B pb ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，根据AF OB ⊥得到22,,0222b b p b p pb pb ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得5b =故选：C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. 3y x =B. 13y x =±C. 22y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】 【分析】联立方程得到21222pb y y a +=，计算22|||2|4||pb F F a B O p A F +=+=得到2212b a =，计算得到答案.【详解】联立方程222222122222122102x y y ppb y y y a bb a a x py⎧-=⎪∴-+=∴+=⎨⎪=⎩2212221||||4||222pb y y p p a b AF BF OF p a +=∴+=++===，故渐近线为2y x =故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题：（每题4分） 9.已知复数2a iz i-=+（i 为虚数单位，a 为实数)为纯虚数，则|2|a i +=_____________. 【答案】172. 【解析】 【分析】化简得到()2125a a i z --+=，计算12a =，代入计算模长得到答案.【详解】()()()()()22122225a i i a a i a i z i i i -⋅---+-===++⋅-为纯虚数，故12a = 117|2||2|2a i i +=+=17【点睛】本题考查了复数的化简，复数模的计算，意在考查学生的计算能力.10.若1F ，2F 为双曲线22:14x C y -=(0,0)a b >>的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，若12120F PF ∠=︒，则P 到x 轴的距离为_____________． 【答案】1515. 【解析】 【分析】根据余弦定理得到120163PF PF =+⋅，计算143PF PF ⋅=，再利用面积公式得到 1112sin12022ch PF PF ⨯=⋅︒，计算得到答案. 【详解】根据余弦定理得到：()2222121212121212cos120203163F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF =+-︒∴=-+⋅=+⋅故143PF PF ⋅=1212113152sin12022PF F S ch PF PF h ∆=⨯=⋅︒==15【点睛】本题考查了双曲线面积相关问题，利用等面积法可以简化运算，是解题的关键.11.已知直线:4380l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一动点到直线l 与它到抛物线准线距离之和的最小值为______________． 【答案】125【解析】 【分析】计算焦点为()1,0，根据抛物线性质得到最小值为焦点到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算得到答案.【详解】抛物线2:4C y x =焦点为()1,0抛物线上动点到直线l 与它到抛物线准线距离之和等于点到直线l 和点到焦点的距离和 最小值为焦点到直线的距离481255d +== 故答案为：125【点睛】本题考查了抛物线的最值问题，转化为点到直线的距离是解题的关键.12.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与椭圆交于点354555P ⎛- ⎝⎭，则椭圆的方程为__________________．【答案】22194x y +=.【解析】 【分析】根据5PO c ==，和122PF PF a +=得到椭圆方程. 【详解】根据题意知：916555PO c =+==，故())125,05,0F F -12426232PF PF a a b +=+==∴=∴= 椭圆的方程为22194x y +=故答案为：22194x y +=【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转换能力.13.已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若113F P FT =，则双曲线C 的离心率为________． 【答案】132【解析】 【分析】画出图像,根据线段成比例的性质与双曲线的定义进行列式求解出,,a b c 的关系,再化简求得离心率即可. 【详解】如图,由题可知,则12OF OF c +=,OT a =,则1FT b =,又113F P FT =, 12,3TP b F P b ∴==,又1222,32PF PF a PF b a ==--作2//F M OT ,可得22,F M a TM b ==.则PM b =. 在2MPF 中,22222PM MF PF +=；即()()222232b a b a +=-, 得23b a =,又222c a b =+.化简可得22413c a =,132e ∴=,双曲线的离心率为132.故答案为：13【点睛】本题主要考查了双曲线的几何意义以及离心率的求解方法等,需要画图分析其中的关系进行列式求解,属于中等题型.14.如图，过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||2||BC BF =且||4AF =，则此抛物线的方程为___________________．【答案】2(82)y x =-. 【解析】 【分析】如图所示：过点A 作AM 垂直于准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线于N ，根据相似得到(22BN p BF ==，()222BC p =，2CF =，在利用相似得到CF PFAC AM=，计算得到答案.【详解】如图所示：过点A 作AM 垂直于准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线于N()2||2||2221BC BF BN PF p BF =∴==-=+故()222BC p =-，2CF p =2422424CF PF p pp AC AM p =∴=∴=-+ 故抛物线方程为：2(842)y x =- 故答案为：2(842)y x =-【点睛】本题考查了抛物线方程，利用相似可以简化运算，是解题的关键. 三、解答题：（共52分）15.已知命题p ：方程22113x y t t +=+-所表示的曲线为焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：实数t 满足不等式2(1)0t a t a ---<．（1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）13t -<<；（2）3a > 【解析】 【分析】（1）根据题意得到1030t t +>⎧⎨-<⎩，计算得到答案.（2）根据充分不必要条件得到范围的大小关系，计算得到答案.【详解】（1）方程22113x y t t +=+-所表示的曲线为焦点在x 轴上的双曲线，故101330t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩， （2）命题q ：实数t 满足不等式2(1)0t a t a ---<．故(1)()0t t a +⋅-<命题p 是命题q充分不必要条件，则13a a >-⎧⎨>⎩3a ∴>【点睛】本题考查了根据命题的真假和充分不必要条件计算参数，抓住范围的大小关系是解题的关键.16.已知椭圆22:143x y C +=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点（1）若211PF PF -=，求12PF F ∆的面积； （2）是否存在着直线l ，使得当l 经过椭圆左顶点A 且与椭圆相交于点B ，点D 与点B 关于x 轴对称，满足207OB OD ⋅=-，若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）32；（2）1k =±或34k =±，理由见解析.【解析】 【分析】（1）联立方程解得152PF =，232PF =，122F F =，判断为直角三角形，再利用面积公式计算得到答案.（2）联立方程计算2226812,4343k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭2226812,4343k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，根据207OB OD ⋅=-计算得到答案. 【详解】（1）121241PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩∴152PF =，232PF =，122F F = 2221212PF PF F F =+212PF F F ∴⊥122121322PF F S PF F F ∆∴=⋅= （2）设()222:143y k x l x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩故()2222431616120k x k x k +++-=22161243A B k x x k -⋅=+且2A x =-，226843B k x k -=+ 2226812,4343k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭故2226812,4343k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭()()2242222222144684364240362074343k k k OB OD k k k k ⎛⎫-+⋅=-==- ⎪⎝⎭+-++ 即42162590k k -+=故()()2211690k k -⋅-=1k ∴=±或34k =±【点睛】本题考查了面积和椭圆与直线的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.17.已知曲线E 上任意一点P 到点()2,0F 的距离与它到直线:2l x =-的距离相等，若过F 的两条直线1l ，2l 的斜率之积为1，且1l ，2l 分别交曲线E 于A ，B 两点和C ，D 两点，（1）求曲线E 的方程；（2）求||||AB CD +的最小值.【答案】（1）28y x =；（2）32.【解析】【分析】 （1）直接利用抛物线定义得到答案.（2）设AB 方程为(2)(0)y k x k =-≠，联立方程计算得到28||8AB k =+，288CD k =+'，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）根据抛物线的定义知：28y x =（2）设AB 方程为(2)(0)y k x k =-≠，2(2)(0)8y k x k y x=-≠⎧⎨=⎩，()22224848k x k x k x -++=()2641k ∆=+，222228118||188k k AB k k k ++=+=⋅=+， 设CD 方程为(2)y k x '=-同理2221888k CD k k '+=⋅=+''2211||||168AB CD k k ⎛⎫+=++ ⎪'⎝⎭22116832'k k ≥+⋅= 当1k k '==±时等号成立【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长的最值问题，意在考查学生的计算能力.18.已知椭圆方程C 为：22221x y a b+=()0a b >>椭圆的右焦点为)5,0，离心率为5e =，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且1OA OB k k ⋅=（1）椭圆的方程；（2）求AOB ∆的面积的最大值.（3）若椭圆的右顶点为D ，上顶点为E ，经过原点的直线与椭圆交于P ，Q 两点，该直线与直线DE 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若EMP ∆的面积是EPQ ∆面积的2倍，求该直线方程．【答案】（1）22194x y +=；（2）3；（3）12y x =-. 【解析】【分析】（1）直接计算得到答案.（2）联立方程利用韦达定理得到22221294||194k m AB k k +=++，21o AB d k -=+，计算得到22361691165(8172)AOB S k k ∆=++=-.（3）联立方程得到223m x k =+，294p x k =+，代入计算得到答案. 【详解】（1）根据题意知：25C =，29a =，24b =故22194x y += （2）联立方程22194x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩则()22294189360k x kmx m +++-= ()22122212249494189493694k m km x x k m x x k ⎧∆=⨯⨯+-⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩22221294||194k m AB k k +=++，21o AB d k -=+ 226||4AOB m k m S ∆+=221212121212()1OA OB y y k x x km x x m k k x x x x +++∴⋅===2253636m k ∴=- ()()22236366194155AOB k k k S ∆⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦=226||4AOB m k m S ∆+=()42236819716594k k k -+-=+()()()2228116136594k k k --=+223616936513165512(8172)k k =-≤⨯=++，249k =式等号成立. （3）须：2EMP EPQ S S ∆∆=只需：41PM OP =只需：||2||1PM PQ =只需：5m p x x = 设：:(0)2:23l y kx k DE y x =<⎧⎪⎨=-+⎪⎩223m x k ∴=+203k ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩294p x k ∴=+22945263k k +⨯=+ ()282580k k ++=12k =-或89k =-(舍) 直线方程为：12y x =- 【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最大值，根据条件求直线方程，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.。
天津市和平区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
9.命题：“ ”的否定为____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“ ”的否定是“ ”.
故答案为∀x∈R，x2﹣ax+1≥0
【点睛】本题考查命题的否定及特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．
【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ，则 ， 由 ，可得 ，解得 即可求解．
【详解】解：由抛物线C： ，得焦点 ，准线方程为 过P作PM垂直准线于M，
设 ， ，则 ，
．
由 ，可得 ，
解得 ．
则 的面积为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．
【答案】（1） （2）直线l的方程为
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的几何性质求得 ， ；
（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l 方程．
【详解】∵抛物线 的焦点坐标F(1,0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
设P(m,n)，由抛物线定义知：
.
∴P点的坐标为 .
，解得： .
则渐近线方程为 .
故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
则有 ，即 ，
2019-2020学年人教A版天津市和平区高二第一学期(上)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年人教A版高二（上）期末数学试卷一、选择题1．命题“∀x∈R，2x2﹣3x+4≥0”的否定为（）A．∀x∈R，2x2﹣3x+4＜0 B．∀x∈R，2x2﹣3x+4≤0C．∃x∈R，2x2﹣3x+4＜0 D．∃x∈R，2x2﹣3x+4≤02．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣1，0），（1，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣2），（0，2）D．（0，﹣1），（0，1）4．抛物线y2＝﹣4x的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（2，0）D．（﹣2，0）5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2B．4C．6 D．126．已知双曲线C：＝1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆+y2＝1有相等的焦距，则C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．﹣＝1C．x2﹣＝1 D．﹣＝17．已知M（x0，y0）是双曲线C：＝1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．命题：“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”的否定为．10．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的条件．11．已知椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，则椭圆的离心率为．12．已知点A（3，2），F是抛物线y2＝2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．13．已知倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点交抛物线于A、B两点，并且|AF|＝4|BF|，则cosα＝．14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为H，点A在C上，且，则△AFH的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共8+10×2+12×2＝52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程；（2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程．16．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．17．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（2，2），A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为A，B，|AB|＝2，且直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点，满足m≠0且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求实数m的值．参考答案一、选择题1．命题“∀x∈R，2x2﹣3x+4≥0”的否定为（）A．∀x∈R，2x2﹣3x+4＜0 B．∀x∈R，2x2﹣3x+4≤0C．∃x∈R，2x2﹣3x+4＜0 D．∃x∈R，2x2﹣3x+4≤0【分析】否定：否定两次，否定结论．解：否定：否定两次，否定结论．故命题“∀x∈R，2x2﹣3x+4≥0”的否定为∃x∈R，2x2﹣3x+4＜0．故选：C．2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，反之，当直线和双曲线渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但此时直线与双曲线是相交的，不满足相切，故“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，故选：A．3．椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣1，0），（1，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣2），（0，2）D．（0，﹣1），（0，1）【分析】利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果．解：椭圆，可得a＝2，b＝，所以c＝1，所以椭圆的焦点坐标（±1，0）．故选：D．4．抛物线y2＝﹣4x的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（2，0）D．（﹣2，0）【分析】直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．解：抛物线y2＝﹣4x的开口向左，p＝2，焦点坐标是：（﹣1，0）．故选：B．5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2B．4C．6 D．12【分析】由椭圆+y2＝1，长轴长2a＝2，则a＝，设直线AB过椭圆的右焦点F2，则根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF2|＝2a＝2，|AC|+|F2C|＝2a＝2．三角形的周长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|＝4a＝4．即可求得△ABC的周长．解：椭圆+y2＝1，长轴长2a＝2，则a＝，设直线AB过椭圆的右焦点F2，根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF2|＝2a＝2，|AC|+|F2C|＝2a＝2．∴三角形的周长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|＝4a＝4．故选：B．6．已知双曲线C：＝1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆+y2＝1有相等的焦距，则C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．﹣＝1C．x2﹣＝1 D．﹣＝1【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有＝，即b ＝a，求出椭圆的半焦距，分析可得a2+b2＝4，解可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．解：根据题意，双曲线C：＝1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，若其一条渐近线的倾斜角为60°，则该渐近线的方程为y＝x，则有＝，即b＝a，椭圆+y2＝1中，c2＝5﹣1＝4，若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有a2+b2＝4，解可得a2＝1，b2＝3，则双曲线的方程为x2﹣＝1；故选：C．7．已知M（x0，y0）是双曲线C：＝1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．解：由题意，＝（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）＝x02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．8．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程．解：∵抛物线y2＝4x的焦点坐标F（1，0），p＝2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c，即c＝1，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|＝m+＝m+1＝，∴m＝．∴P点的坐标为（，±）∴解得：，则渐近线方程为y＝±x，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．命题：“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”的否定为∀x∈R，x2﹣ax+1≥0 ．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”的否定是：∀x∈R，x2﹣ax+1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣ax+1≥010．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．【分析】根据椭圆的标准方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：由方程mx2+ny2＝1得，所以要使方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆，则，即m＞0，n＞0且m≠n．所以，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．11．已知椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，则椭圆的离心率为．【分析】利用已知条件列出方程组，求解a、c，得到椭圆的离心率．解：椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，，解得a＝8，c＝2，所以椭圆的离心率为：e＝＝．故答案为：．12．已知点A（3，2），F是抛物线y2＝2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得到结论．．解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y＝2，此时由y2＝2x得x＝，即P（2，2），故答案为：（2，2）13．已知倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点交抛物线于A、B两点，并且|AF|＝4|BF|，则cosα＝．【分析】设A、B两点在准线上的射影分别为C、D．过B作BM⊥AC于M．则有AC＝AF，BD＝BF．设|AF|＝4|BF|＝4m，则AM＝3m．，cosα＝＝．即可．解：如图，设A、B两点在准线上的射影分别为C、D．过B作BM⊥AC于M．则有AC＝AF，BD＝BF设|AF|＝4|BF|＝4m，则AM＝3m．则cosα＝＝．故答案为：．14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为H，点A在C上，且，则△AFH的面积为4．【分析】设P（），（t＞0），则|PF|＝|PM|＝，|PH|＝．由，可得t2﹣8t+4＝0，解得t＝4．即可．解：由抛物线C：y2＝4x，得焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1．过P作PM垂直准线于M，设P（），（t＞0），则|PF|＝|PM|＝，|PH|＝．由，可得t2﹣8t+4＝0，解得t＝4．则△AFH的面积为，故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共8+10×2+12×2＝52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程；（2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程．【分析】（1）设出椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得a，c，求得b，可得所求方程；（2）设抛物线的方程为x2＝ty，t≠0，由焦点到准线的距离解得t，可得所求方程．解：（1）设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得2a＝4，即a＝2，2c＝2，即c＝1，b＝＝，则椭圆的标准方程为+＝1；（2）设抛物线的方程为x2＝ty，t≠0，焦点到准线的距离为5，可得|t|＝5，即t＝±10，则抛物线的标准方程为x2＝10y或x2＝﹣10y．16．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．【分析】（1）根据椭圆的几何性质求得a＝，b＝；（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程．【解答】解（1）∵椭圆C的离心率为，∴＝，a2＝3c2∵a2＝b2+c2∴b2＝2c2，即b＝c∵椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为2，∴bc＝∴＝，∴c＝1，从而得a＝，b＝∴椭圆C的方程为+＝1（2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k，直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx+1﹣k，直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：（3k2+2）x2+6k（1﹣k）x+3（1﹣k）2﹣6＝0且该方程显然有二不等根，记A，B两点的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），∵＝1，即x1+x2＝2，∴＝2，解得k＝﹣，∴所求直线l的方程为2x+3y﹣5＝0．17．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（2，2），A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；（Ⅱ）直线AB的方程为x＝ty+a，与抛物线的方程联立，可得y2﹣2ty﹣2a＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合OA⊥OB，结合根与系数的关系分析可得，进而可得△AOB面积的表达式，分析可得答案．解：（I）由抛物线C：y2＝2px经过点P（2，2）知4p＝4，解得p＝1．则抛物线C的方程为y2＝2x．抛物线C的焦点坐标为，准线方程为，（II）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x＝ty+a，由消去x，得y2﹣2ty﹣2a＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2t，y1y2＝﹣2a．因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，即，解得y1y2＝0（舍）或y1y2＝﹣4．所以﹣2a＝﹣4．解得a＝2．所以直线AB：x＝ty+2．所以直线AB过定点（2，0）.＝＝＝4．当且仅当y1＝2，y2＝﹣2或y1＝﹣2，y2＝2时，等号成立．所以△AOB面积的最小值为4．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2＝c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．解：（Ⅰ）由题意得，解得a＝2，b＝1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y＝0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又＝．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．19．已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为A，B，|AB|＝2，且直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点，满足m≠0且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）列方程组，求出a，b即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）用m表示出直线方程，得出出E，F的横坐标，根据面积关系列方程得出m的值即可．解：（Ⅰ）由题意可得：，解得，∴椭圆C的方程为：+y2＝1．（Ⅱ）A（0，1），B（0，﹣1），直线AM的方程为：y＝﹣x+1，直线BM的方程为：y＝x﹣1，联立方程组，消元可得：（1+）x2﹣＝0，∵x E＝，同理可得：x F＝，∴S△BME＝S△ABE﹣S△ABM＝|x E|﹣|m|＝|m|，S△AMF＝S△ABF﹣S△ABM＝|x F|﹣|m|＝|m|，∴＝，解得m2＝1．∴m＝±1．。
天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题 数学【含解析】
天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题：（每小题3分，共30分）1.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A. 13项 B. 12项C. 11项D. 10项【答案】A 【解析】试题分析：设这个数列有n项，则1232134,146n n n a a a a a a --++=++=，因此()13n a a +=34146+180=即160n a a +=，则()16039022n n n a a nS +===，故13n =； 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n 项和公式；2.已知等比数列{}n a 中，23a a +＝1，45a a +＝2，则67a a +等于( ). A. 2 2C. 42【答案】C 【解析】试题分析：()2311a a a q q +=+，()34511a a a q q +=+，()56711a a a q q +=+，可见23a a +，45a a +，67a a +依旧成等比数列，所以()()()2452367a a a a a a +=++，解得674a a +=.考点：等比数列的性质3.已知数列{}n a 满足()**n+1n 1,a ka n N k R=-∈∈，若数列{}n1a -是等比数列，则k 值等于（ ）A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】将所给数列递推式变形，由数列{a n ﹣1}是等比数列求得k 的值．【详解】解：由a n +1＝k a n ﹣1，得1212n n n a ka k a k +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭． 由于数列{a n ﹣1}是等比数列， ∴21k=，得k ＝2， 故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．4.已知数列{}n a 满足11a =-，n+1n n =12+1a a a -+，其前n 项和n S ，则下列说法正确的个数是（ ） ①数列{}n a 是等差数列；②2n =3n a -；③133S =2n n --.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，可得a 2，a 3，a 4，运用等差数列的定义即可判断①，等比数列的通项公式即可判断②，由当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可判断③． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1， 可得a 2＝|1﹣a 1|+2a 1+1＝2﹣2+1＝1，a 3＝|1﹣a 2|+2a 2+1＝0+2+1＝3， a 4＝|1﹣a 3|+2a 3+1＝2+6+1＝9，则a 4﹣a 3＝6，a 3﹣a 2＝2，即有a 4﹣a 3≠a 3﹣a 2， 则数列{a n }不是等差数列，故①不正确；a n ＝3n ﹣2，不满足a 1＝﹣1，故②不正确；若S n 1332n --=满足n ＝1时，a 1＝S 1＝﹣1，但n ＝2时，a 2＝S 2﹣S 102=-（﹣1）＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣112333322n n ----=-＝3n ﹣2，n ≥2，n ∈N *． 代入a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，左边＝3n ﹣1，右边＝3n ﹣2﹣1+2•3n ﹣2+1＝3n ﹣1，则a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1恒成立． 故③正确． 故选：B ．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A. c a b << B. b a c << C. c b a <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指对函数的图象与性质即可比较大小. 【详解】0.2020*******,a =>=2019000.20.21,b <=<=20192019c=log 0.2<log 10=,∴c b a << 故选：C【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题． 6.若0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A.11a b b>- B. 2a ab <C.+1+1b b a a < D. n n a b >【答案】C 【解析】 分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】对于A ，当4,2a b =-=-时，显然不成立； 对于B ，∵0a b <<，∴2a ab >，不成立；对于C ，∵0a b <<，∴0a b >>，根据糖水浓度，易知：+1+1b ba a <成立； 对于D ，当n 为奇数时，显然n n ab <，不成立， 故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键． 7.若023x <<，则(32)x x -的最大值为（ ） A.916B.94C. 2D.98【答案】D 【解析】 【分析】利用均值不等式即可得到结果．【详解】解：∵0＜2x ＜3，∴3﹣2x ＞0，x ＞0，∴（3﹣2x ）x 12=（3﹣2x ）•2x 213229()228x x -+≤=， 当且仅当3﹣2x ＝2x ，即x 34=时取等号，∴(32)x x -的最大值为98．故选：D ．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．8.已知0,0x y >>，且115x y x y+++=，则x y +的最大值是（ ） A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据x ＞0，y ＞0，且x +y11x y++=5，可得（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，然后解关于x +y 的不等式，可得x +y 范围，从而得到x +y 的最大值．【详解】∵x ＞0，y ＞0，且x +y 11x y++=5， ∴（x +y 11)()x y x y+++=5211()()()()x y x y x y x y +=++++22()(11)()4y x x y x y x y =+++++≥++ ∴（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，∴1≤x +y ≤4， ∴当且仅当x ＝y ＝2时，x +y 取得最大值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，给x +y 11x y++=5两边同乘（x +y ）是解题的关键，考查了转化思想，属基础题． 9.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别为20192018(1)(1),2n n n n a a b n++-=-=+，且n n a b <，对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. [)1,1-C. [)2,1- D. 32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对n 分奇偶，讨论n n a b <恒成立即可【详解】n n a b <，故()()20192018112n n a n++--<+当n 为奇数，-a<2+1n ,又2+1n 单调递减，故2+12n ＜，故- a ≤2，解a 2≥- 当n偶数，12a n <-，又2-1n 单调递增，故2-132n ≥，故32a <，综上2-≤a 32<故选：D【点睛】本题考查数列综合，考查数列单调性，分类讨论思想，准确计算是关键，是中档题10.已知函数2()4x f x =，若存在实数t ，使得任给[]1,x m ∈，不等式()f x t x +≤恒成立，则m 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 8D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由当x ∈[1，m ]时，f （x +t ）≤x 恒成立，即g （x ）＝f （x +t ）﹣x ≤0恒成立，则需满足g （1）≤0且g （m ）≤0，解出t 的范围，讨论m 的取值即可得到m 的最大值． 【详解】解：设g （x ）＝f （x +t ）﹣x 14=（x +t ）2﹣x 14=x 2+（12t ﹣1）x 14+t 2， 由题意f （x +t ）≤x 对任意的x ∈[1，m ]（m ＞1）恒成立，即g （1）≤0且g （m ）≤0．由g （1）≤0，即14（1+t ）2﹣1≤0，得t ∈[﹣3，1]， 由g （m ）≤0，即14（m +t ）2﹣m ≤0，得m 2+（2t ﹣4）m +t 2≤0，则当t ＝1时，得到m 2﹣2m +1≤0，解得m ＝1； 当t ＝﹣3时，得到m 2﹣10m +9≤0，解得1≤m ≤9． 综上所述m 的取值范围为[1，9] ∴m 的最大值为9． 故选：D ．【点睛】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力，是中档题． 二、填空题：（每小题4分，共24分）11.已知等差数列{}n a 中，15=33a ，25=66a ，则35=a ___________. 【答案】99 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，a 15、a 25、a 35成等差数列，从而可求得a 35的值． 【详解】解：∵等差数列{a n }中，a 15、a 25、a 35成等差数列， ∴2a 25＝a 15+a 35，又a 15＝33，a 25＝66， ∴2×66＝33+a 35， 解得：a 35＝99， 故答案为：99．【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练应用等差中项的性质是解决问题的关键，属于中档题． 12.已知等比数列{}n a 的公比为2，99=77S ，则36999=a a a a ++++___________.【答案】44 【解析】 【分析】根据利用等比数列通项公式及（a 1+a 4+a 7+…+a 97）q 2＝（a 2+a 5+a 6+…+a 98）q ＝a 3+a 6+a 9+…a 99求得答案． 【详解】解：因为{a n }是公比为2的等比数列，设a 3+a 6+a 9+…+a 99＝x ，则 a 1+a 4+a 7+…+a 974x =，a 2+a 5+a 6+…+a 982x =． S 99＝77＝（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+（a 2+a 5+a 6+…+a 98）+（a 3+a 6+a 9+…+a 99）＝x 7244x x x ++=， ∴a 3+a 6+a 9+…a 99＝44， 故答案为：44．【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和，解题的关键是发现a 1+a 4+a 7+…+a 97、a 2+a 5+a 6+…+a 98和a 3+a 6+a 9+…a 99的联系，属于基础题．13.已知数列{}n a 满足1=15a ，且1332n n a a +=-，若10k k a a +<，则正整数k =__________. 【答案】23 【解析】 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝15，且3a n +1＝3a n ﹣2，整理得123n n a a +-=-（常数）， 所以数列{a n }是以a 1＝15为首项，23-为公差的等差数列． 则()122471333n a a n n =--=-+， 由于a k a k +1＜0，则2472453333k k ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜0，解得454722k ＜＜， 所以正整数k ＝23． 故答案为：23．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用．数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.若01<a <，则不等式21()10x a x a-++<的解集是_________. 【答案】1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】通过a 的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可．【详解】原不等式可化为（x ﹣a ）（x 1a-）＜0的解集， 又01<a <，∴a 1x a ＜＜即不等式的解集为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故答案为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 15.若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的取值范围是_______ 【答案】(－3,3) 【解析】 【分析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围．【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）.【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 16.x y a x y ≤+对任给0x >，0y >恒成立，则实数a 的取直范围是______.【答案】)2,⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论． 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，x y x y +等价为a x y x y+≥+恒成立，设m x y x y+=+，则m ＞0，平方得m 2x y x y++）22x y xy ++==12xy≤122xy xy =1+1＝2， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴m 2≤2，则0<m 2≤∴要使a x y x y+≥+恒成立，则a 2≥故答案为：2+∞）【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题：（共4题，46分）17.已知函数2()(6)4f x x a a x =-+--， （1）解关于a 的不等式(1)0f >；（2）若不等式(1)f b >的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值；（3）对任意的[]13x ∈，，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取直范围。
天津市和平区2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
我读书、学习、积累知识一般是用快速阅读法，这里说的快速阅读不是简单地阅读速度快，跟略读、跳读扫读等有着本质的区别。快速阅读是一种科学高效的阅读、学习方法。快速阅读不仅体现在阅读速度的高效上，更是理解的高效：对抓住文章段落的脉络和重点有非常好的作用，帮助我们对文章做整理、分析和归纳。掌握速读记忆之后，可以把阅读效率提高很多倍，无论是阅读素材积累还是学习，都有极大的帮助的，特别是对于时间紧张的高中生来说，非常有必要练习提高一下。具体练习可以参考《精英特全脑速读记忆训练》，我自己用的是这个。
故答案为A
【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)使用周期公式，必须先将解析式化为 或 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 .
8.如图是函数 在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据图象得出 的值以及函数 的最小正周期，利用周期公式可求出 的值，再将点 的坐标，代入函数 的解析式，结合 的取值范围可求得 的值.
即 ，化简得 ，因此， ；
（2）任取 、 ，且 ，即 ，
则 ，
， ， ， ， ， ， .
， ，因此，函数 在区间 上是减函数；
（3）由（2）可知，函数 是定义域为 的减函数，且为奇函数，
由 得 ，所以 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
天津市和平区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
D.+− 2 = 0}，则 ∪ = ( )2 ⌀(−2,1) C.(−2,0，1，2)D.(1,2)(−23， ， 1 2D. D. <<<< < < < <5. 已知 ∈ (0, )，cos( −= √3，则−= ( )222√3或− 3√ √3或√3− 33∈∗， = ”是“数列 }为等比数列”的( )2C.2D. == = | |= ||=+> 0,= 0, | | < )在一个周期内的图象，则其解析式是23336b2[2,3)(1,3)(2,3)=2，−+=2b a2b=0，则的取值范围()(−1,5)(−∞,−1]∪[5,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.命题“∈[2,+∞)，≥4”的否定为________．2+1++11的解集为__________．322=2+,2)上为增函数，则a的取值范围为______．15.函数三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知，都是锐角，=,35+的值．5133+),−)的值。
17.已知=−,∈(,，求526418.已知函数(Ⅰ)求函数=2√++，其中，∈且≠0．2a的图象的对称轴方程；(Ⅱ)当∈[0,]时．函数的值域为[1,2]，求，的值．a b419.已知奇函数的定义域为[−2,2]，且在区间[−2,2]上是增函数，−1)<，求实数的取值范围．m20. 已知函数(1)求函数=− 3sin + √3． √2 2的单调增区间；(2)若) = ， ∈ [ , ]，求 3 0的值．56 3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了诱导公式，=cos(2×360°+60°)=，即可得出结论．1解：=cos(2×360°+60°)==．2故选C．2.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．化简集合B，根据并集的定义写出∪．解：集合={−2,0，2}，=则∪={−2,0，1，2}．故选：D．2+−2=0}==−2或=1}={−2，1}，3.答案：B 解析：要判断函数上若=3−log的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数在区间2⋅<0，则函数在区间上有零点，易得答案．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，牢固掌握零点存在定理，即函数在区间上若⋅<0，则函数在区间上有零点，是解答本题的关键．解：∵=3−2−log2<021=3−log1=>0−123∴·<0，且在(−2,−1)单调递增。
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高二数学试题及答案
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知空间向量(1,1,0),(,1,1)a b m =-=r r ，若a b ⊥r r，则实数m = （A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）22．在复平面内，复数11i+(i 是虚数单位)对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．设x ∈R ，则“11||22x -<”是“02x <<”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为 （A ）20里 （B ）10里 （C ）5里（D ）2.5里5．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点，则p =（A ）2（B ）10（C（D ）6．已知函数2ln ()xf x x =，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '= （A ）3ln xx （B ）31x （C ）31ln xx -（D ）312ln xx - 7．正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是111,BB D B 的中点，则EF 与1DA 所成角的余 弦值为 （A ）0（B ）15（C ）14（D ）138．曲线12y x =在点()1,1处的切线方程为 （A ）210x y -+= （B ）0x y -=（C ）20x y +-=（D ）210x y --=9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线0x += 上，O 为坐标原点，若OF PF =且POF ∆的面积为C 的方程为（A ）2212x y -= （B ）22142x y -=（C ）22163x y -= （D ）22184x y -= 10．若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（A ）(]1,0- （B ）[)0,1 （C ）()1,1-（D ）[1,1]-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．i 是虚数单位，则2i1i+-的值为__________. 12．已知函数2(),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(1)f '的值为__________.13．已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点，则a =_________.14．已知“1[2]2x ∃∈，，210x mx -+≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________． 15．设0,0a b >>，21a b -=，则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数32(),(,)f x x ax b a b =-+∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为10x y +-=，求,a b 的值； （Ⅱ）若0a >，求的单调区间.17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,,//AD CD AD BC ⊥,4BC =，2PA AD CD ===,点E 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//DE 平面PAB ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.()f x18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{}n b 满足121b a =-，445b a a =+，()n *∈N .（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和．19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为2.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =交C 于,A B 两点，点A 在第一象限，AM x ⊥轴，垂足为M ，连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.20．（本小题满分12分）已知函数()cos sin 1f x x x x =+-． （Ⅰ）若()0,x π∈，求()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当[]0,x π∈时，2sin cos x x x x -≥．天津市部分区2019～2020学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11 12．3e 13．2 14．(,2)-∞ 15．4 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解（Ⅰ）2()32f x x ax '=- ……………………………………1分 (1)321f a '=-=- ……………………………………2分 (1)10f a b =-+= ……………………………………3分所以2,1a b == ……………………………………5分（Ⅱ）22()323()3a f x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=，得0x =或23ax =. ……………………………………7分 因为0a >，所以2(,0)(,)3ax ∈-∞+∞U ，()0f x '> ；……………………………9分 20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． ……………………………………11分 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增，在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；……12分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ，易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意，可以建立以A 为原点，分别以AF u u u r ,AD u u u r ,AP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(2,0,0)F ,(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,1,1)E . ……………………………………1分取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =-u u u u r……………………………………2分 又(1,1,1)DE =-u u u r ，可得//AM DE ， …………………………………………4分 又因为直线DE ⊄平面PAB ， ………………………………………5分 所以//DE 平面PAB . …………………………………………6分（Ⅱ）解：依题意，(0,2,2)PD =-u u u r ,(2,0,0)CD =-u u u r ,(2,2,2)PB =--u u u r，……………7分设(,,)n x y z =r为平面PCD 的法向量，则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =，可得(0,1,1)n =r ，………………9分因此有cos ,||||PB n PB n PB n ⋅<>==⋅u u u r ru u u r r u u u r r .（公式1分，结果1分）………………11分所以直线PB 与平面PCD. …………………………12分 18．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由2n S n =，得当1n =时，111a S == ； ……………………………………1分 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=- ， ………………………………3分 经检验1n =时也成立，所以*21()n a n n =-∈N ……………………………………4分 即1212b a =-=，44516b a a =+= 记数列{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，所以2q = ………………………………5分 即*2()n n b n =∈N ……………………………………6分 （Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，由21n a n =-，2n n b =，有(21)2nn n a b n =-⨯， ………………………………7分 故23123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ， ……………8分上述两式相减，得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L ……9分1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+. ……………………………………11分所以，数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N …………………12分19．（本小题满分12分）解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c a a ==，又222a b c =+，可得2,a b c ==. ……………………………………3分所以，椭圆的方程为22142x y +=. (4)分（Ⅱ）由得……………………………………5分记，则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为，方程为．…………………………………7分 由得．① …………………8分 设(,)N N N x y ，则和N x 是方程①的解，故22(32)2N u k x k +=+ ，由此得322N uk y k =+ ． ……………………………………9分22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩x =u =2k ()2ky x u =-22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222(2)280k x uk x k u +-+-=u -从而直线AN 的斜率为． …………………………………11分所以AB AN ⊥，即点A 在以BN 为直径的圆上.．…………………………………12分 20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）()cos f x x x '=， ……………………………………1分 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，…………………………3分当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：分因此，当2x π=时，()f x 有极大值，并且极大值为()122f ππ=-.…………………5分（Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--，()cos sin 1()g x x x x f x '=+-=…………6分 由（Ⅰ）知()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-< …………………………………8分故()f x 在存在唯一零点.设为，则00()()0g x f x '==………………………9分 当时，()0g x '>；当时，()0g x '<，所以()g x 在区间上单调递增，在区间上单调递减.…………………11分又(0)0,()0g g π== ，所以，当时，()0g x ≥.故2sin cos x x x x -≥. ……………………………………12分322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+π(0,)2π,π2⎛⎫⎪⎝⎭(0,π)0x ()00,x x ∈()0,πx x ∈()00,x ()0,πx [0,π]x ∈。
天津市和平区2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
天津市和平区2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若实数，x y 满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1yz x =+的最小值为A ．13B ．12C ．34D ．12．已知定义在R 上的函数(1)y f x =+的图象关于1x =-对称，且当0x >时，()f x 单调递增，若1.350.5(log 3),(0.5),(0.6)a f b f c f -===，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．设,x y 满足约束条件 2360200x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．-3B ．2C ．4D ．64．已知函数2y x 的图象在点200(,)x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，(0,1)x ∈的图象相切，则0x 必满足（ ） A ．0102x <<B ．0112x << C ．022x << D ．023x <<5．点的极坐标，它关于极点的对称点的一个极坐标是A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，f （－2）＝－3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）＋f （a 2）＋f （a 3）＋…＋f （a 2018）＝（ ） A ．－2B ．－3C ．2D ．37．已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知椭圆22124x y+=，则以点()1,1M为中点的弦所在直线方程为（）A．230x y+-=B．4590x y-+=C．5490x y-+=D．230x y--=9．球的体积是323π，则此球的表面积是（）A．12πB．16πC．163πD．643π10．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（）A．小B．大C．相等D．大小不能确定11．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）A．2 B．4 C．442+D．642+12．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数x（个） 2 3 4 5加工时间y（分钟）26 a49 54根据上表可得回归方程9.49.1y x=+，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{}n a的前n项和n S，若131132a a+=，22a=，则3S=__________．14．己知矩阵1106,0114A B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若矩阵C满足AC B=，则矩阵C的所有特征值之和为____. 15．若实数x、y满足2214xy+=，则()()121x y++的取值范围是_________.16．设随机变量ξ的分布列为()Pξk,1,2,3,1ck ck k===+为常数，则()0.5ξ 2.5P<<=______三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()f x 的导函数为'()f x .若不等式()'()f x f x ≥对任意实数x 恒成立，则称函数()f x 是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数()g x 与()h x 都是“超导函数”，且其中一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，求证：函数()()()F x g x h x =是“超导函数”；（3）若函数()y x ϕ=是“超导函数”且方程()'()x x ϕϕ=无实根，(1)e ϕ=（e 为自然对数的底数），判断方程ln (ln )x xx x eϕ----=的实数根的个数并说明理由.18．已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()+()+2f x+y =f x f y xy ，且(1)1f =. （I ）求(2), (3), (4)f f f 的值，并猜想()()f n n +∈N 的表达式； （II ）用数学归纳法证明（I ）中的猜想. 19．（6分）已知函数1()1ln f x x x=--. （1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；20．（6分）如图，四边形SABC 中，ABSC ，AB BC ⊥，22SC AB BC ==，D 为边SC 的中点，现将SAD 沿AD 折起到达PAD 的位置（折起后点S 记为P ）．（1）求证：AD PC ⊥；（2）若M 为PD 中点，当23PDC π∠=时，求二面角A MB C --的余弦值． 21．（6分）已知虚数z 满足||1z =. （1）求|2|z +的取值范围； （2）求证：1z z-是纯虚数. 22．（8分）设命题p ：方程22112x y m m +=-+表示双曲线；命题q ：“方程22212x ym m+=表示焦点在x 轴上的椭圆”.（1）若p 和q 均为真命题，求m 的取值范围;（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：作出约束条件的平面区域，易知z=1yx +的几何意义是点A （x ，y ）与点D （﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．详解：由题意作实数x ，y 满足条件1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的平面区域如下，z=1yx +的几何意义是点P （x ，y ）与点D （﹣1，0），连线的直线的斜率，由1x y x=⎧⎨=⎩，解得A （1，1）故当P 在A 时，z=1yx +有最小值， z=1yx +=12．故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查线性规划和斜率的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)2121y y x x --表示两点1122(,),(,)x y x y 所在直线的斜率.2．D 【解析】分析：由题意可得函数()f x 为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质比较即可得到结果 详解：定义在R 上的函数()1y f x =+的图象关于1x =-对称，∴函数()f x 的图象关于y 轴对称即函数()f x 为偶函数0.523log 3log =-()()0.523log 3f log f ∴=21log 32<<， 1.3 1.30.522-=>，500.61<<当0x >时，()f x 单调递增b ac ∴>>故选D点睛：本题利用函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小，根据单调性的概念，只要判定输入值的大小即可判断函数值的大小。
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2019-2020学年天津市和平区第一中学高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是（ ） A ．0x R ∃∈，2450x x ++> B ．0x R ∃∈，2450x x ++≤ C ．x R ∀∈，2450x x ++> D ．x R ∀∈，2450x x ++≤【答案】D【解析】直接利用命题的否定定义得到答案. 【详解】命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是：x R ∀∈，2450x x ++≤ 故选：D 【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.2．复数2(1)12i i i-+（i 为虚数单位）等于（）A ．1355i -B ．1355i +C ．3155i -D ．3155i +【答案】B【解析】根据复数的四则运算，化简2(1)131255i i i i -=++，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i i i i i i i --+-+===++，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．设a 是不为零的实数，则“2a <且0a ≠”是“抛物线24y ax =的焦点在点()1,0的左侧”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】计算抛物线24y ax =的焦点在点()1,0的左侧等价于1a <且0a ≠，根据范围大小得到答案.【详解】抛物线24y ax =的焦点为(),0a 在点()1,0的左侧，等价于1a <且0a ≠2a <且0a ≠是1a <且0a ≠的必要不充分条件故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力. 4．已知椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =（ ）AB ．2C ．14D ．4【答案】D【解析】计算得到长轴长为22a =短轴长为2b =，根据数量关系计算得到答案. 【详解】椭圆221x my +=的焦点在x 轴，故长轴长为22a =短轴长为2b =14m =∴= 故选：D 【点睛】本题考查了椭圆的长轴和短轴的计算，意在考查学生的计算能力.5．已知双曲线方程为224x y -=，过点()3,1A 作直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，若点A 恰好为MN 中点，则直线l 的方程为（ ） A ．38y x =- B ．38y x =-+ C ．310y x =- D ．310y x =-+ 【答案】A【解析】先设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意得到22114-=x y ，22224-=x y ，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程. 【详解】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意可得：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式作差可得：22221212=--y x x y ， 即12121212()()()()=+-+-y y x x x x y y ，又点()3,1A 恰好为MN 中点，所以直线l 的斜率为：1212121223321==-+⨯==-+⨯y x x y k y x x y ， 因此，直线l 的方程为：13(3)y x -=-，即38y x =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.6．若点O 和点F 分别为椭圆22195x y +=的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ）A ．114B ．3C ．15D ．59【答案】C【解析】设()3cos P αα，则23114cos 44OP FP α⋅=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据函数的最值得到答案. 【详解】点O 和点F 分别为椭圆22195x y +=的中心和左焦点，则()()0,02,0O F -设()3cos P αα则()()223cos 3cos 9cos 6cos 5sin OP FP ααααααα+=+⋅+=223114cos 6cos 54cos 44ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当cos 1α=时，函数有最大值为15 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，向量数量积的最值，意在考查学生的计算能力.7．双曲线2212:14x y C b-=(0)b >的渐近线与抛物线22:2C x py=()0p >相交于O ，A ，B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则b =（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】C【解析】设:,:22b bOA y x OB y x =-=，解得2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,2b p B pb ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据AF OB ⊥计算得到答案. 【详解】设:,:22b b OA y x OB y x =-=，则222x pyb y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得：2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理2,2b p B pb ⎛⎫⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据AF OB ⊥得到22,,0222b b p b p pb pb ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得b =故选：C 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y =±B ．13y x =± C．y = D ．12y x =± 【答案】C【解析】联立方程得到21222pb y y a +=，计算22|||2|4||pb F F a B O p A F +=+=得到2212b a =，计算得到答案. 【详解】联立方程222222122222122102x y y ppb y y y a b b a a x py ⎧-=⎪∴-+=∴+=⎨⎪=⎩2212221||||4||222pb y y p p a b AF BF OF p a +=∴+=++===，故渐近线为2y x =±故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题9．已知复数2a iz i -=+（i 为虚数单位，a 为实数)为纯虚数，则|2|a i +=_____________.【答案】2.【解析】化简得到()2125a a i z --+=，计算12a =，代入计算模长得到答案. 【详解】()()()()()22122225a i i a a i a i z i i i -⋅---+-===++⋅-为纯虚数，故12a =1|2||2|2a i i +=+=故答案为：2【点睛】本题考查了复数的化简，复数模的计算，意在考查学生的计算能力.10．若1F ，2F 为双曲线22:14xC y -=(0,0)a b >>的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，若12120F PF ∠=︒，则P 到x 轴的距离为_____________．【答案】15.【解析】根据余弦定理得到120163PF PF =+⋅，计算143PF PF ⋅=，再利用面积公式得到1112sin12022ch PF PF ⨯=⋅︒，计算得到答案. 【详解】根据余弦定理得到：()2222121212121212cos120203163F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF=+-︒∴=-+⋅=+⋅ 故143PF PF ⋅=1212112sin12022PF F S ch PF PF h ∆=⨯=⋅︒==【点睛】本题考查了双曲线面积相关问题，利用等面积法可以简化运算，是解题的关键.11．已知直线:4380l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一动点到直线l 与它到抛物线准线距离之和的最小值为______________．【答案】125.【解析】计算焦点为()1,0，根据抛物线性质得到最小值为焦点到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】抛物线2:4C y x =焦点为()1,0抛物线上动点到直线l 与它到抛物线准线距离之和等于点到直线l 和点到焦点的距离和 最小值为焦点到直线的距离481255d +==故答案为：125【点睛】本题考查了抛物线的最值问题，转化为点到直线的距离是解题的关键.12．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与椭圆交于点55P ⎛- ⎝⎭，则椭圆的方程为__________________．【答案】22194x y +=.【解析】根据PO c ==，和122PF PF a +=得到椭圆方程.【详解】根据题意知：PO c ===，故())12F F12426232PF PF a a b +=+==∴=∴= 椭圆的方程为22194x y +=故答案为：22194x y +=【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转换能力.13．已知双曲线()2222:10x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若113F P FT =，则双曲线C 的离心率为________．【解析】画出图像,根据线段成比例的性质与双曲线的定义进行列式求解出,,a b c 的关系,再化简求得离心率即可. 【详解】如图,由题可知,则12OF OF c +=,OT a =,则1FT b =,又113F P FT =,12,3TP b F P b ∴==,又1222,32PF PF a PF b a ==-- 作2//F M OT ,可得22,F M a TM b ==.则PM b =.在2MPF 中,22222PM MF PF +=；即()()222232b a b a +=-,得23b a =,又222c a b =+.化简可得22413c a =,13e ∴=,双曲线的离心率为13.故答案为：132【点睛】本题主要考查了双曲线的几何意义以及离心率的求解方法等,需要画图分析其中的关系进行列式求解,属于中等题型.14．如图，过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||2|BC BF =且||4AF =，则此抛物线的方程为___________________．【答案】2(82)y x =-.【解析】如图所示：过点A 作AM 垂直于准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线于N ，根据相似得到(22BN p BF ==，()222BC p =，2CF =，在利用相似得到CF PFAC AM=，计算得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作AM 垂直于准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线于N(2||2|2221BC BF BN PF p BF =∴===+故()222BC p =，2CF =2422424CF PF pp AC AM p =∴=∴=-+故抛物线方程为：2(842)y x =-故答案为：2(842)y x =-【点睛】本题考查了抛物线方程，利用相似可以简化运算，是解题的关键.三、解答题15．已知命题p ：方程22113x yt t +=+-所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线；命题q ：实数t 满足不等式2(1)0t a t a ---<． （1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13t -<<；（2）3a >.【解析】（1）根据题意得到1030t t +>⎧⎨-<⎩，计算得到答案.（2）根据充分不必要条件得到范围的大小关系，计算得到答案. 【详解】（1）方程22113x y t t +=+-所表示的曲线为焦点在x 轴上的双曲线，故101330t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩，（2）命题q ：实数t 满足不等式2(1)0t a t a ---<．故(1)()0t t a +⋅-<命题p 是命题q 的充分不必要条件，则13a a >-⎧⎨>⎩3a ∴> 【点睛】本题考查了根据命题的真假和充分不必要条件计算参数，抓住范围的大小关系是解题的关键.16．已知椭圆22:143x y C +=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点（1）若211PF PF -=，求12PF F ∆的面积；（2）是否存在着直线l ，使得当l 经过椭圆左顶点A 且与椭圆相交于点B ，点D 与点B 关于x 轴对称，满足207OB OD ⋅=-，若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）32；（2）1k =±或34k =±，理由见解析. 【解析】（1）联立方程解得152PF =，232PF =，122F F =，判断为直角三角形，再利用面积公式计算得到答案.（2）联立方程计算2226812,4343k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭2226812,4343k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，根据207OB OD ⋅=-计算得到答案. 【详解】（1）121241PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩∴152PF =，232PF =，122F F =2221212PF PF F F =+212PF F F ∴⊥122121322PF F S PF F F ∆∴=⋅= （2）设()222:143y k x l x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩故()2222431616120k x k x k +++-=22161243A B k x x k -⋅=+且2A x =-，226843B k x k -=+ 2226812,4343k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭故2226812,4343k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭()()2242222222144684364240362074343k k k OB OD k k k k ⎛⎫-+⋅=-==- ⎪⎝⎭+-++ 即42162590k k -+=故()()2211690kk -⋅-=1k ∴=±或34k =±【点睛】本题考查了面积和椭圆与直线的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.17．已知曲线E 上任意一点P 到点()2,0F 的距离与它到直线:2l x =-的距离相等，若过F 的两条直线1l ，2l 的斜率之积为1，且1l ，2l 分别交曲线E 于A ，B 两点和C ，D 两点，（1）求曲线E 的方程； （2）求||||AB CD +的最小值. 【答案】（1）28y x =；（2）32.【解析】（1）直接利用抛物线定义得到答案. （2）设AB 方程为(2)(0)y k x k =-≠，联立方程计算得到28||8AB k =+，288CD k =+'，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义知：28y x =（2）设AB 方程为(2)(0)y k x k =-≠，2(2)(0)8y k x k y x =-≠⎧⎨=⎩，()22224848k x k x k x -++=()2641k ∆=+，222218||88k AB k k k +==⋅=+，设CD 方程为(2)y k x '=-同理2221888k CD k k '+=⋅=+''2211||||168AB CD k k ⎛⎫+=++ ⎪'⎝⎭16832≥+⋅= 当1k k '==±时等号成立 【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长的最值问题，意在考查学生的计算能力.18．已知椭圆方程C 为：22221x y a b+=()0a b >>椭圆的右焦点为)，离心率为e =，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且1OA OB k k ⋅=（1）椭圆的方程；（2）求AOB ∆的面积的最大值.（3）若椭圆的右顶点为D ，上顶点为E ，经过原点的直线与椭圆交于P ，Q 两点，该直线与直线DE 交于点M ，且点P ，M均在第四象限.若EMP ∆的面积是EPQ ∆面积的2倍，求该直线方程．【答案】（1）22194x y +=；（2）3；（3）12y x =-. 【解析】（1）直接计算得到答案.（2）联立方程利用韦达定理得到||AB =，o AB d -=，计算得到AOB S ∆==不等式得到答案. （3）联立方程得到223m x k =+，p x =答案. 【详解】（1）根据题意知：25C =，29a =，24b =故22194x y +=（2）联立方程22194x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩则()22294189360k x kmx m +++-=()22122212249494189493694k m km x x k m x x k ⎧∆=⨯⨯+-⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩||AB =o AB d -=26||94AOBm S k ∆=+221212121212()1OA OBy y k x x km x x m k k x x x x +++∴⋅===2253636m k ∴=-AOB S ∆=26||94AOBm S k ∆=+==3653512=≤⨯=，249k =式等号成立.（3）须：2EMP EPQ S S ∆∆=只需：41PM OP =只需：||2||1PM PQ =只需：5m px x =设：:(0)2:23l y kx k DE y x =<⎧⎪⎨=-+⎪⎩223m x k ∴=+203k ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭22194y kxx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩p x ∴=只需：2523k =+()282580kk ++=12k =-或89k =-(舍) 直线方程为：12y x =- 【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最大值，根据条件求直线方程，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.。