魅力微积分齐次方程

齐次方程
主讲教师 宁燕
齐次方程
如果一阶微分方程可化为
的形式，那么就称这方程为齐次方程.
齐次方程
例如： xy y2 dx x2 2xydy 0,
可化为： dy xy y 2

y

y
2

x x .
dx x 2 2xy 1 2 y
x
x
内容小结
齐次方程
齐次方程的求解方法:
作变换
使之成为可分离变量的微分方程,
再分离变量并积分,
再以 代替 即可.
思考与练习
齐次方程
解微分方程
dx
dx
于是原方程变为 u xu u2 .
u 1
齐次方程
即
x du u , dx u 1
分离变量，得 (u 1) d u d x ,
u
x
或写为
ln xu u C,
两端积分，得 u ln u C ln x ,
以
y x
代替上式中的 u,
便得所给方程的通解 ln | y | y C.
sin u
ln
x
C , 1
故原方程的通解为 sin y C x ( 其中C eC1 为任意常数 ).
x
齐次方程
例2 解微分方程
解 原方程可写成
dy dx

y2 xy x2

( y) 2
x
y x
1
,
因此是齐次方程, 令 u
y x
,
则
y ux, dy u x du ,
齐次方程
齐次方程的解法
令 u y,
x
代入原方程得 u x d u (u),
dx
分离变量:
du dx,
(u) u x
两边积分, 得

du百度文库
(u) u


d x, x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
齐次方程
齐次方程的解题思路：
作变换 u y , y ux ，使之成为可分离变 x
量的微分方程．
齐次方程
例1
解微分方程
y

y x

tan
y x
.
解
令
u

y x
, 则 y u xu,
代入原方程得
u xu u tanu,
分离变量 cosu d u dx ,
sin u
x
即 sin u eC1 x
两边积分

cosu sin u
d
u


dx x
,
得
ln