2016年全国各地高考数学分类汇编-05 不等式

2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（05不等式）

一、选择题

1．（2016北京理）若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，则2x y +的最大值为（ ）

A.0

B.3

C.4

D.5 【答案】C 【解析】

考点：线性规划.

【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解.

2.（2016山东文、理）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪

-≤⎨⎪≥⎩

则x 2+y 2的最大值是（ ）

（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12

【答案】C 【解析】

试题分析：画出可行域如图所示，点31A -（，）

到原点距离最大， 所以22

max ()10x y +=，选C.

考点：简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

3.（2016天津理）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪+-≤⎩

则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）

（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17

【答案】

B

考点：线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

4.（2016浙江理）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域

200

340x x y x y -≤⎧⎪

+≥⎨⎪-+≥⎩

中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．

B ．4

C ．

D ．6 【答案】C 【解析】

考点：线性规划．

的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．

5.（2016浙江文）若平面区域

30,

230,

230

x y

x y

x y

+-≥

⎧

⎪

--≤

⎨

⎪-+≥

⎩

夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线

间的距离的最小值是（）

【答案】B

考点：线性规划.

【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．

6.（2016浙江理）已知实数a，b，c（）

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100 C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100 【答案】D

【解析】

试题分析：举反例排除法：

A.令10,110===-a b c ，排除此选项，

B.令10,100,0==-=a b c ，排除此选项，

C.令100,100,0==-=a b c ，排除此选项，故选D ． 考点：不等式的性质．

【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．

二、填空

1.（2016全国Ⅰ文、理）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 ______ 元.

【答案】216000

【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么

目标函数2100900z x y =+.

取得最大值.解方程组103900

53600x y x y +=⎧⎨+=⎩

,得M 的坐标(60,100).

所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用

【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.

2.（2016全国Ⅱ文）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪-≤⎩

，则2z x y =-的最小值为__________

【答案】5-

考点： 简单的线性规划.

【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

3.（2016全国Ⅲ文）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪

--≤⎨⎪≤⎩

错误！未找到引用源。 则235

z x y =+-的最大值为___________. 【答案】10-

考点：简单的线性规划问题．

【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不