平面向量的数乘山东省枣庄市第三中学高中数学必修第二册课件
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6.2.4.平面向量的数量积山东省枣庄市第三中学高中数学必修第二册课件(共53张PPT)
F
θ s
如果一个物体在力 F 的作用下产生位
移 S ，那么力 F 所做的功为：
W | F || s | cos
其中力F和位移S是向量，是F和S的夹角,
W是标量.
从力所做的功出发，我们引入向量“数
量积”的概念.
高一数学
6 . 2 . 4.平面 向量的 数量积 山东省 枣庄市 第三中 学高中 数学必 修第二 册课件 (共53张 PPT)
6 . 2 . 4.平面 向量的 数量积 山东省 枣庄市 第三中 学高中 数学必 修第二 册课件 (共53张 PPT) 6 . 2 . 4.平面 向量的 数量积 山东省 枣庄市 第三中 学高中 数学必 修第二 册课件 (共53张 PPT)
6 . 2 . 4.平面 向量的 数量积 山东省 枣庄市 第三中 学高中 数学必 修第二 册课件 (共53张 PPT)
的理解，平面向量数量积的应用.
高一数学
研究数量积的物理意义
问题（1）功的数学本质是什么？ （2）尝试练习.
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重 力做功 的大小。
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米; ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米.
s
①、在水平面上位移为10米；
向量的数量积概念：
已知非零向量a与b，我们把数量 | a || b | cos
叫作a与 b 的数量积（或内积），记作 a b，即规
定：
a b | a || b | cos.
6 . 2 . 4.平面 向量的 数量积 山东省 枣庄市 第三中 学高中 数学必 修第二 册课件 (共53张 PPT)
θ为 a与 b的夹角.
b
| OB1 || b | cos
新教材人教版高中数学必修第二册 6-2-3向量的数乘运算 教学课件
No (3)23[(4a－3b)＋13b－14(6a－7b)]. Image [解析] (1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (3)原式＝32(4a－3b＋13b－23a＋74b)＝32(52a－1112b)＝35a－1118b.
a
3a
第二页，共十七页。
小组合作探究活动1:
已知非零向量 a （如图） a
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
由向量加法的 a a
a
法则可得 O
A
B
C
-a
-a
3a
-a
N
M
Q
P3a
相同向 量相加 后，和 的长度 与方向 有什么 变化？
第三页，共十七页。
重要结论
aaa
O
A
B
C
3a
由图可知，向量 OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记 作3 a，即OC=3a.
当a与b同方向时，有b=μa; 当a与b反方向时，有b=-μa， 所以始终有一个实数λ，使b=λa。
定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一
个实数λ，使得 b=λa.
第十页，共十七页。
牛刀小试
如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为 邻边的平行四边形，又 BM＝13BC，CN＝13CD，试 用 a，b 表示O→M、O→N、M→N.
进行比较。
a 3(2a)
b
a
3(2a)
=
6a
2a 2b
ab
(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (3)原式＝32(4a－3b＋13b－23a＋74b)＝32(52a－1112b)＝35a－1118b.
a
3a
第二页，共十七页。
小组合作探究活动1:
已知非零向量 a （如图） a
试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)
由向量加法的 a a
a
法则可得 O
A
B
C
-a
-a
3a
-a
N
M
Q
P3a
相同向 量相加 后，和 的长度 与方向 有什么 变化？
第三页，共十七页。
重要结论
aaa
O
A
B
C
3a
由图可知，向量 OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记 作3 a，即OC=3a.
当a与b同方向时，有b=μa; 当a与b反方向时，有b=-μa， 所以始终有一个实数λ，使b=λa。
定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一
个实数λ，使得 b=λa.
第十页，共十七页。
牛刀小试
如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为 邻边的平行四边形，又 BM＝13BC，CN＝13CD，试 用 a，b 表示O→M、O→N、M→N.
进行比较。
a 3(2a)
b
a
3(2a)
=
6a
2a 2b
ab
向量的数乘运算 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共25张PPT)
•要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
知识清单
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫 做向量的数乘，记作： λa ，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ； 当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 . (2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ (λμ)a ； ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb ；
【跟踪训练 1】
1、设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)． 2、已知 a 与 b，且 5x＋2y＝a,3x－y＝b，求 x，y.
解：1、原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a
＝13－1－1a＋－1＋23＋2b
＝－53a＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)
特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ； λ(a－b)＝ λa－λb .
[点睛] (1)λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实 数与向量可以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有 意义． (2)对于非零向量 a，当 λ＝|a1|时，λa 表示 a 方向上的单位向 量． (3)注意向量数乘的特殊情况： ①若 λ＝0，则 λa＝0； ②若 a＝0，则 λa＝0. 应该特别注意的是结果是零向量，而非实数 0.
数学学科素养
1.数学抽象：向量数乘概念； 2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用； 3.数学运算：向量的线性运算； 4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象 出数学模型,数形结合,运用向量加法解决实际问题.
知识清单
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这种运算叫 做向量的数乘，记作： λa ，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ； 当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 . (2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μa)＝ (λμ)a ； ②(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； ③λ(a＋b)＝ λa＋λb ；
【跟踪训练 1】
1、设向量 a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)． 2、已知 a 与 b，且 5x＋2y＝a,3x－y＝b，求 x，y.
解：1、原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a
＝13－1－1a＋－1＋23＋2b
＝－53a＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)
特别地，有(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ； λ(a－b)＝ λa－λb .
[点睛] (1)λ 是实数，a 是向量，它们的积 λa 仍然是向量．实 数与向量可以相乘，但是不能相加减，如 λ＋a，λ－a 均没有 意义． (2)对于非零向量 a，当 λ＝|a1|时，λa 表示 a 方向上的单位向 量． (3)注意向量数乘的特殊情况： ①若 λ＝0，则 λa＝0； ②若 a＝0，则 λa＝0. 应该特别注意的是结果是零向量，而非实数 0.
数学学科素养
1.数学抽象：向量数乘概念； 2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用； 3.数学运算：向量的线性运算； 4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象 出数学模型,数形结合,运用向量加法解决实际问题.
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
高中数学6-2平面向量的运算6-2-3向量的数乘运算课件新人教A版必修第二册
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
向量的数乘运算
典例 1 如图，已知非零向量 a，求作向量 2a，12a，－3a，－13a.
[解析] 将向量 a 依次同向伸长为原来的 2 倍，同向缩短为原来的12， 反向伸长为原来的 3 倍，反向缩短为原来的13，就分别得到向量 2a，12a， －3a，－13a，如图所示．
B．12a＋58b D．34a＋13b
[解析] 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝4CD，则D→C＝14A→B， 因为 E 在线段 CB 上，且 CE＝2EB，则B→E＝13B→C， B→C＝B→A＋A→D＋D→C＝－a＋b＋14a＝b－34a， 所以A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C ＝a＋13b－34a＝34a＋13b.故选 D．
结 果 仍 是 向 量 ． 对 于 任 意 向 量 a ， b ， 以 及 任 意 实 数 λ ， μ1 ， μ2 ， 恒 有 λ(μ1a±μ2b)＝____λ_μ_1a_±__λ_μ_2_b____.
[提醒] 1．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或 缩小|λ|倍．
2．λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相 乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n [解析] 易知A和B正确；当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相 等，故C不正确；由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故 D正确．
知识点 2 向量共线定理 向 量 a(a≠0) 与 b 共 线 的 充 要 条 件 是 ： 存 在 唯 一 一 个 实 数 λ ， 使
高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算课件新人教A版必修第二册
1．证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在 实数 λ，使得A→B＝λA→C(或B→C＝λA→B等)即可． (2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实 数 x，y，使O→A＝xO→B＋yO→C且 x＋y＝1.
2．利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的 实数 λ，使得 a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求 λ，常根据向量共线的 条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系 数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得 λ 的值．
3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点 P，A，B，是否共线． ①O→P＝13O→A＋23O→B； ②O→P＝－2O→A＋3O→B； ③O→P＝45O→A－15O→B.
[解] ①中∵13＋23＝1，∴P，A，B 三点共线； ②中∵－2＋3＝1，∴P，A，B 三点共线； ③中∵45＋－15＝35≠1， ∴P，A，B 三点不共线．
∴A→B，B→D共线，且有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
2．本例(1)中条件“A→B＝2e1－8e2”改为“A→B＝2e1＋ke2”且 A，B， D 三点共线，如何求 k 的值？
[解] 因为 A，B，D 三点共线，则A→B与B→D共线．设A→B＝λB→D(λ∈R)， ∵B→D＝C→D－C→B＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由 e1 与 e2 不共线可得 2kee21＝＝－λe14，λe2， ∴λ＝2，k＝－8.
1．本例(1)中，设 AC 与 BD 相交于点 O，F 是线段 OD 的中点， AF 的延长线交 DC 于点 G，试用 a，b 表示A→G.
6.2.3平面向量的数乘运算课件-高中数学人教A版必修第二册
第六章 平面向量及其应用
第六章 平面向量的基本概念
6.2 平面向量的运算（3）
6.2.3 向量的数乘运算
一、呈现背景 提出问题
第六章 平面向量及其应用
探究：已知非零向量 a ，作出a a a 和 (a) (a) (a)
它们的长度和方向是怎样的？
a
aa a
AB C D
AB BC CD a a a 3a
OA a b,OB a 2b,OC a 3b 猜想A,B,C 三点之间的位置关系， 并证明你的猜想.
C
b
a
图6.2-16
B 3b
A 2b
ba O
第六章 平面向量及其应用
变式：已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点， 若 OP xOA yOB ，求x＋y的值．
四、运用新知 巩固内化
第六章 平面向量及其应用
三、猜想验证 得出结论
第六章 平面向量及其应用
(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运 算，向量线性运算的结果 仍是向量 ．对于任意向量a，b，以及任意 实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝ λμ1a±λμ2b .
四、运用新知 巩固内化
例题5: 计算
第六章 平面向量及其应用
例题6: 如图6.2-15，平行四边形ABCD的两条对角线相交于 点M，且 AB a, AD b ，用 a, b 表示 MA, MB, MC和MD
四、运用新知 巩固内化
第六章 平面向量及其应用
探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之 间的位置关系吗？ 共线
b 对于向量a(a 0),b, 如果由一个实数 ，使 b a ，那么由下列数乘的定义可知 a与 共线 b b a 已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 a 的长度的 倍，即 | b | | a | . b b 那么当 a 与 同方向时，有 b a ；当 a 与 反方向时，有 b - a
第六章 平面向量的基本概念
6.2 平面向量的运算（3）
6.2.3 向量的数乘运算
一、呈现背景 提出问题
第六章 平面向量及其应用
探究：已知非零向量 a ，作出a a a 和 (a) (a) (a)
它们的长度和方向是怎样的？
a
aa a
AB C D
AB BC CD a a a 3a
OA a b,OB a 2b,OC a 3b 猜想A,B,C 三点之间的位置关系， 并证明你的猜想.
C
b
a
图6.2-16
B 3b
A 2b
ba O
第六章 平面向量及其应用
变式：已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点， 若 OP xOA yOB ，求x＋y的值．
四、运用新知 巩固内化
第六章 平面向量及其应用
三、猜想验证 得出结论
第六章 平面向量及其应用
(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运 算，向量线性运算的结果 仍是向量 ．对于任意向量a，b，以及任意 实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝ λμ1a±λμ2b .
四、运用新知 巩固内化
例题5: 计算
第六章 平面向量及其应用
例题6: 如图6.2-15，平行四边形ABCD的两条对角线相交于 点M，且 AB a, AD b ，用 a, b 表示 MA, MB, MC和MD
四、运用新知 巩固内化
第六章 平面向量及其应用
探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之 间的位置关系吗？ 共线
b 对于向量a(a 0),b, 如果由一个实数 ，使 b a ，那么由下列数乘的定义可知 a与 共线 b b a 已知向量 与 共线，且向量 的长度是向量 a 的长度的 倍，即 | b | | a | . b b 那么当 a 与 同方向时，有 b a ；当 a 与 反方向时，有 b - a
高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件
数
.
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x_1_y_2_－__x_2y__1 ＝0 时，向量a，b(b≠0)共线.
易错辨析
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则xy11＝xy22 ×.(
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线 的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练
已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断A→B与A→C
→ 解 因为AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
→ AC＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，
→→→ AC＝OC－OA＝(1－2k，－3)，
→→ 由题意可知AB∥AC，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
解得 k＝－14(k＝1 不合题意，舍去).
反思感悟
利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解. 提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
解析 3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)， 所以0－(－10－30k)＝0，
解得 k＝－13.
→
→
→
(2)已知OA＝(k,2)，OB＝(1,2k)，OC＝(1－k，－1)，且相异三点
A，B，C
共线，则实数
k＝_－__14___.
向量数乘运算及其几何意义—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件PPT
2
2
22
1
11
讲 课
MC
AC
a
b
人 ：
2
22
邢
MD MB 1 BD 1 a 1 b
2
22
启 强
10
6.2.3 向量数乘运算及其几何意义—山东省 滕州市 第一中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共19张 PPT)
思考 6.2.3 向量数乘运算及其几何意义—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
讲 课 人 ： 邢
(1a 2b)=1a 2b
启 强
6
6.2.3 向量数乘运算及其几何意义—山东省 滕州市 第一中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共19张 PPT)
典型例题 6.2.3 向量数乘运算及其几何意义—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
且 AB=a, AD b,你能用a,b表示MA、MB、MC和MD
解：在 ABCD中
AC AB AD a b
D
C
b
M
DB AB AD a - b
A
a
B
平行四边形的两条对角线互相平分
MA 1 AC 1 a + b 1 a 1 b
2
2
22
MB 1 DB 1 a - b 1 a 1 b
讲 课 人 ： 邢 启 强
6.2.3 向量数乘运算及其几何意义—山东省 滕州市 第一中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共19张 PPT)
8
典型例题 6.2.3 向量数乘运算及其几何意义—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共19张PPT)
人教版高中数学第二章3平面向量的数乘运算(共20张PPT)教育课件
1、平面向量的数乘运算的定义： 一般地，实数 与向量 a 的积，记作 a ， (a表示一个向量)
它的长度与方向规定如下：
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反 ；
当 0 时，a 0 .
练习1、向量a和b方向相反，长度是b的 1 , 3
AC 与AE 共线 .
又 AC 与AE 有共同起点A . A、C、E三点共线.
E D
AC AE
将向量换成O为起点
OC OA (OE OA)
进一步化简
OC OE (1 )OA
A,B,C共线的等价条件为：OC OA (1 )OB
例 5：非零向量a,b,OA a b,OB a 2b,OC a 3b, A, B,C是否共xian？
2
2
DE 1 AC 1 AB 1 ( AC AB) 1 BC
2
2
2
2
DE // 1 BC 2
例 4： 如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 证明A、C、E共线 .
（分析：证明AC AE)
解： AE AD DE
3AB 3BC
C
A B
3( AB BC)
3AC ，
a,b方向相同
a,b方向相反
思考：若上述不等式中a，b为实数时还成立吗？有何区别？
高中数学《必修四》
平面向量的数乘运算
1、平面向量的数乘运算的定义：
已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
a
a
a
O
AB
C
OC a a a 3a
N
a a a
高中教育数学必修第二册《2.3.1 向量的数乘运算》教学课件
设 λ，μ 为实数，那么 (1)结合律：λ(μ a)＝_(_λ_μ_)a____； (2)第一分配律：(λ＋μ)a＝_λa_＋__μ__a__； (3)第二分配律：λ(a＋b)＝_λa_＋__λ_b___. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
状元随笔
(1)对于非零向量→a ，当
解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2. 答案：D
4．(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a＝________.
解析：原式＝(5a－3a－7a)－4b＋9b＋c－3c＝－5a＋5b－2c. 答案：－5a＋5b－2c
题型一 向量数乘的定义——自主完成 1．[多选题]已知 a，b 为非零向量，下列命题中正确的是( ) A．2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍
4－32a＋－3＋31＋74b
＝
2 3
52a－1112b＝53a－1118b.
(2)把已知中的两个等式看成关于 m，n 的方程，联立得方程组
3m＋2n＝a， m－3n＝b，
解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
答案：(1)见解析 (2)131a＋121b 111a－131b
(2)若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a，b 是已知向量， m＝1_31_a_＋__1_21_b_，n＝_1_11_a_－__13_1_b.
(1)A→C＝________； (2)M→N＝________.
解析：因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|，所以 A→B＝2D→C，D→C＝21A→B. (1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1. (2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－12D→C－A→D＋21A→B ＝－41e1－e2＋21e1＝14e1－e2. 答案：(1)e2＋12e1 (2)41e1－e2
状元随笔
(1)对于非零向量→a ，当
解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2. 答案：D
4．(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a＝________.
解析：原式＝(5a－3a－7a)－4b＋9b＋c－3c＝－5a＋5b－2c. 答案：－5a＋5b－2c
题型一 向量数乘的定义——自主完成 1．[多选题]已知 a，b 为非零向量，下列命题中正确的是( ) A．2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2 倍
4－32a＋－3＋31＋74b
＝
2 3
52a－1112b＝53a－1118b.
(2)把已知中的两个等式看成关于 m，n 的方程，联立得方程组
3m＋2n＝a， m－3n＝b，
解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
答案：(1)见解析 (2)131a＋121b 111a－131b
(2)若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a，b 是已知向量， m＝1_31_a_＋__1_21_b_，n＝_1_11_a_－__13_1_b.
(1)A→C＝________； (2)M→N＝________.
解析：因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|，所以 A→B＝2D→C，D→C＝21A→B. (1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1. (2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－12D→C－A→D＋21A→B ＝－41e1－e2＋21e1＝14e1－e2. 答案：(1)e2＋12e1 (2)41e1－e2
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共16张ppt)
综上所述，点P的坐标为(
,
)或
3
3
P1
P2
l
P
O
x
y
探究：当1 = 2 时，点P的坐标是什么？
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x
y
x1 x2
1
y1 y2
1
(定比分点公式)
x1 x2 y1 y2
问题1：已知,
Ԧ ，其中≠ 0，则两个向量共线的条件是什么？
Ԧ =
问题2：如何用坐标表示两个向量共线？
设Ԧ = (1 , 1 ), = (2 , 2 ), ≠ 0
用坐标表示(1 , 1 ) = (2 , 2 ),
1 = 2
1 = 2
消去λ，得1 2 − 2 1 = 0
1
x1 x2 y1 y2
,
)
解法1： OP (OP1 OP2 ) (
2
2
2
x1 x2 y1 y2
∴点P 的坐标为 (
,
)
2
2
解法2： 设P( x, y )，
由P1P PP2
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y )
x1 x2 y1 y2
3
1
2
1
21 + 2 21 + 2
= 1 + (2 − 1 ) = 1 + 2 = (
,
)
3
3
3
3
3
21 +2 21 +2
点P的坐标为(
,
)
3
3
,
)或
3
3
P1
P2
l
P
O
x
y
探究：当1 = 2 时，点P的坐标是什么？
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x
y
x1 x2
1
y1 y2
1
(定比分点公式)
x1 x2 y1 y2
问题1：已知,
Ԧ ，其中≠ 0，则两个向量共线的条件是什么？
Ԧ =
问题2：如何用坐标表示两个向量共线？
设Ԧ = (1 , 1 ), = (2 , 2 ), ≠ 0
用坐标表示(1 , 1 ) = (2 , 2 ),
1 = 2
1 = 2
消去λ，得1 2 − 2 1 = 0
1
x1 x2 y1 y2
,
)
解法1： OP (OP1 OP2 ) (
2
2
2
x1 x2 y1 y2
∴点P 的坐标为 (
,
)
2
2
解法2： 设P( x, y )，
由P1P PP2
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y )
x1 x2 y1 y2
3
1
2
1
21 + 2 21 + 2
= 1 + (2 − 1 ) = 1 + 2 = (
,
)
3
3
3
3
3
21 +2 21 +2
点P的坐标为(
,
)
3
3
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小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AC=λAB
且有公共点A 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
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6平.2面.3向平量面的向数量乘的山数东乘省-山枣东庄省市枣第庄三市中 第学三高中 学数高学中必 数修学第必二 修册第课二件 册课件( 共24张 PPT) 6平.2面.3向平量面的向数量乘的山数东乘省-山枣东庄省市枣第庄三市中 第学三高中 学数高学中必 数修学第必二 修册第课二件 册课件( 共24张 PPT)
例4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于
点M，且 AB a, AD b ，你能用 a 、b 来表示
MA、MB、MC 和 MD 。
D
C
M
b
A
a
B
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(3)(2a
3b
c)
(3a
2b
c)
a
5b
2c
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平面向量的数乘山东省枣庄市第三中 学高中 数学必 修第二 册课件
导学提纲二 ： “向量共线定理” P15
5.数乘向量与原向量之间有什么位置关系？ 6.向量的共线定理？ 7.解读例题7，如何应用向量共线证明三点共线？
平面向量的数乘山东省枣庄市第三中 学高中 数学必 修第二 册课件
阶段小结:
证明三点共线的方法:
AC=λAB
且有公共点A
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 AB 2e1 3e2，BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
6平.2面.3向平量面的向数量乘的山数东乘省-山枣东庄省市枣第庄三市中 第学三高中 学数高学中必 数修学第必二 修册第课二件 册课件( 共24张 PPT)
6平.2面.3向平量面的向数量乘的山数东乘省-山枣东庄省市枣第庄三市中 第学三高中 学数高学中必 数修学第必二 修册第课二件 册课件( 共24张 PPT) 6平.2面.3向平量面的向数量乘的山数东乘省-山枣东庄省市枣第庄三市中 第学三高中 学数高学中必 数修学第必二 修册第课二件 册课件( 共24张 PPT)
1. 掌握向量数乘运算定义及几何意义； 2. 掌握数乘运算的运算律，会进行向量的加、减、 数乘运算； 3. 了解向量的线性运算的含义； 4. 理解向量的共线定理，能应用向量共线证明三点 共线。
重点：
向量的数乘运算及几何意义。
难点：
用向量共线证明三点共线 。
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导学提纲一 ： “数乘向量” P13~14
a
b
3b
B
2b
A
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b
O
a
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①②④
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C
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1. 数乘运算的概念？ 2. 数乘的几何意义？ 3. 数乘向量与原向量的方向、长度有什么关系？ 4. 数乘运算法则是什么？
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作一作，看成果 已知非零向量 a ,作出a a a ,你能发现什么
？a
3a a a a
O
A
B
C
3a 与 a 方向相同 即 3a 3 a
类比上述结论，(a) (a) (a) 又如何呢？
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3.向量共线定理：
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
高高一一数数学学
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设e1,e2是两个不共线的向量，AB 2e1 ke2,CB e1 3e2,
CD 2e1 e2 ，若A、B、D三点共线，求k的值.
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例2、如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
解： AE AD DE
E
3AB 3BC
C
3 AB BC A
B
AC AB BC
D
于是 AE 3AC
∴AC与 AE 共线．
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例3、如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OA a b, OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之 间的位置关系吗？为什么？ C
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思考:
(1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何?
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
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3a a a a
N
M
Q
P
3a与 a方向相反
即 3a 3 a
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1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是
一个向量 ，这种运算叫做 向量的数乘 ，记作 a ，
它的长度和方向规定如下：
（1）| a || || a |;
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时， a 0.
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2.向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数， （1）（ a ) ( )a;
(2)( )a a a; (3) (a b) a b.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
(例1)1(、计3)算下4列a各式12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a 5b
2) b 可以是零向量吗?
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