随机子空间法的结构模态识别
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节 点 的 高斯 白噪 声 激 励 模 拟 环 境 激 励 ， 用 有 限 元 方 法 计 算 随 机 荷 栽 下 个 节 点 的加 速 度 响 应 作 为 “ 实 测 信 号 ”． 信 号 的 采 样
频 率为 １ ０ ０ Ｈｚ 。
以部 分或 全部 由相 应 的传 感 器测 出 ． 并由 ｙ （ ｔ ） 表示 ：
式 中： ｘ （ ｔ ） 一 系统 状 态 向量 ； Ａ 广 系统 状 态矩 阵 ； Ｂ ｃ 一 系统 输入
对 于振 动 系统 ． 系统 的 动 力 响 应 如 加 速 度 、 速度、 位 移 可
１ ０ Ｇ Ｐ ａ 。 密度 为 ７ ８ ５ ０ ｋ ｇ ／ ｍ ． 采用ａ ｎ ｓ ｙ ｓ 有限元 ｂ ｅ ａ ｍ ３单 元 进 行 模 拟 分析 。 为 了获得 实测 动 力响 应 数 据 ， 通 过 在 梁 上 施 加 ６个
Ａ ＝ ￣ Ａ Ｏ 。
（ ７ ）
式 中： Ａ ＝ ｄ ｉ ａ ｇ ［ ｘ ｉ 。 ． ］ ， 是 以特征 向量 为 列向 量组 成 的矩 阵 。
＝ ｅ ｘ ｐ（ 。 Ａ ｔ ） ｅ ： ＊ Ｘ ＝ （ ８）
２ 随机子 空间识别法ｉ ｔ ， ２ Ｊ
随机 子 空 间 法 以 系统 的 离散 时 间状 态空 间模 型 为 基 础 ．
１ 引 言
随 机 子 空 间识 别 法是 一 种 先 进基 于环 境 振 动 模 态参 数 识 别 的 时域 方 法 ．也 是 近 年 来 国 内外模 态分 析 专 家和 学者 讨 论
行 空 间上 ， 投 影 的 结 果保 留 了过 去 的 全部 信 息 ， 并 用此 来 预 测
未 来 。其 详 细过 程 可 参 考 文 献【 ” 。
识别、 线 性 代 数 和 统 计 学 的理 论 建 立 随 机 状 态 空 间 模 型 ， 进 行 模 态 参 数 识 别 。 通 过 一 个 三 跨连 续梁 为 算例 ， 验 证 了随 机 子 空 间 法 模 态 参 数 识 别
的可 行 性 。
【 关键词 】 模态参数 ； 随机子空间法 ； 系统识别 【 中图分类－ ￣ － ］ Ｕ ４ ４ １ ＋ ． ３ 【 文献标识码 】 Ａ 【 文章￣＇ Ｎ － ］ ２ ０ ９ ５ — ２ ０ ６ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ２ ４ — ０ １ ６ ０ — ０ ２
Ａｃ ＝ Ａｃ
（ ６ ）
对 于 离散 系统 ． 状 态矩 阵 Ａ 同样 可 以 进 行特 征 值 分解 ：
识 别 结 果 更有 意 义 和 实 用 价 值 ．这 是 峰 值 法和 频 域 分解 法 等 频域 方 法 无 法做 到 的 。 随机 子 空 间识 别 算 法概 念 清 楚 ， 理 论 严 密、 计算过程规 范， 特 别 适 合 借 助 计 算 机 程 序 实现１ ３ － － － 。
Ｍ 菌 （ ｔ ） ＋ Ｃ 如（ ｔ ） ＋ Ｋ ｑ （ ｔ ） ＝ Ｂ ２ ｕ （ ｔ ）
通 过 变换 ， 式（ １ ） 可 写为 ： 文 （ ｔ ） ＝ Ａｃ ｘ （ ｔ ） ＋ Ｂ ｃ ｕ （ ｔ ） 矩阵。
建 立一 等 截 面的 三 跨 连 续 粱有 限元 模 型 ， 该 梁总长 ３ ０ ｍ， 每跨 １ ０ ｍ， 划分为等长的 ６ ０段 有 限 元 单 元 。 截 面 惯 性 矩 为惯 性矩 １ ． ６ ５ ２ ｘ １ ０ ｍ ４ ．面 积 为 １ ． ６ ７ １ ｘ １ ０ Ｉ ｌ ｌ ，材 料 弹 性 模 量 为 ２ ×
建筑 ・ 能
Ｌ Ｏ Ｗ Ｃ Ａ Ｒ Ｂ Ｏ Ｎ Ｏ Ｒ Ｌ Ｄ ２ ０ １ ７ ／ ８
识 别 随机 子 空 间法 的结构模 态
陶 杰（ 江西省建 筑设 计研究总院， 南昌３ ３ ０ ０ ０ ０ ）
【 摘 要】 随机子 空间法的模 态识 别正逐渐成 为国内外结构损伤识别研究的一大热点。随机子空间识别法是 一般基于环境振动信号 ， 结合系统
２ ． ２ 模 态参 数识 别
矩 阵 Ａ． Ｃ就 可 以计 算 系统模 态参 数 ， 由式（ ２ ） 已知 连 续状
态矩 阵 Ａ 为 ：
的一个热点。 该 方 法 结合 了系统 识 别 、 线 性 代数 和统 计 学 的理
论 ， 通过 矩阵计算 ． 从 状 态 空 间 方 程 中识 别 动 态 系统 ， 适用 于 环境 激 励 务件 下结 构 模 态 参 数 的 识 别 。 该 方 法 不 但 能 准确 识 男 ｌ 】 系统 的频 率 ． 而 且 能 很 好 的 识 别 系统 的 模 态振 型 和 阻 尼 ， 使
ｙ （ ｔ ） ＝ Ｃ （ ｔ ） ＋ Ｃｖ ｄ Ｉ （ ｔ ） ＋ Ｃｄ ｑ（ ｔ ）
通 过 变换 ． 上式可写为：
（ ３ ）
沿 梁长 单 号 节 点 的 ３ １个 点 上 采 集 ａ ｎ ｓ ｙ ｓ时程 分析 加 速 度
式 中： 入 一 表 示 系统 特征 值 ； △ ｔ 一 表示采样时间间隔。 系 统特 征 值 ， 与 系 统 固有 频 率 ∞ 以及 系统 模 态 阻尼 比
输入项 和噪 声项 由白噪声代 替 （ 系统 的 输 入 隐含 在 噪 声 项
中） ， 利 用白噪声 的统计特性 进行计 算 ， 应 用矩 阵 Ｑ Ｒ 分 解 和 ￡ 的 关 系 ，可 以 计 算 出 结构 的模 态参 数 第 ｉ 阶 固有 频 率 ∞ 、 阻 奇异值分解 （ Ｓ Ｖ Ｄ） 以及 最 小 二 乘 等 来 识 别 离散 后 的 系统 状 态 尼 比 ∈ 以 及 振 型 ， 分别为 ：
空 间矩 阵 ． 识别模态参数。
２ ． １ 随机状态空间模型
由结 构 动 力 学知 识 知 ．此 系统 的 动 力 特 性 可 以 用振 动 微 分 方程 表 示 ：
￡ ：
， 《 。 ：
， 中 ． ： ｃ ．
（ ９ ）
２ Ｖ ．
３ 算例分析
（ １ ）
（ Байду номын сангаас ）
频 率为 １ ０ ０ Ｈｚ 。
以部 分或 全部 由相 应 的传 感 器测 出 ． 并由 ｙ （ ｔ ） 表示 ：
式 中： ｘ （ ｔ ） 一 系统 状 态 向量 ； Ａ 广 系统 状 态矩 阵 ； Ｂ ｃ 一 系统 输入
对 于振 动 系统 ． 系统 的 动 力 响 应 如 加 速 度 、 速度、 位 移 可
１ ０ Ｇ Ｐ ａ 。 密度 为 ７ ８ ５ ０ ｋ ｇ ／ ｍ ． 采用ａ ｎ ｓ ｙ ｓ 有限元 ｂ ｅ ａ ｍ ３单 元 进 行 模 拟 分析 。 为 了获得 实测 动 力响 应 数 据 ， 通 过 在 梁 上 施 加 ６个
Ａ ＝ ￣ Ａ Ｏ 。
（ ７ ）
式 中： Ａ ＝ ｄ ｉ ａ ｇ ［ ｘ ｉ 。 ． ］ ， 是 以特征 向量 为 列向 量组 成 的矩 阵 。
＝ ｅ ｘ ｐ（ 。 Ａ ｔ ） ｅ ： ＊ Ｘ ＝ （ ８）
２ 随机子 空间识别法ｉ ｔ ， ２ Ｊ
随机 子 空 间 法 以 系统 的 离散 时 间状 态空 间模 型 为 基 础 ．
１ 引 言
随 机 子 空 间识 别 法是 一 种 先 进基 于环 境 振 动 模 态参 数 识 别 的 时域 方 法 ．也 是 近 年 来 国 内外模 态分 析 专 家和 学者 讨 论
行 空 间上 ， 投 影 的 结 果保 留 了过 去 的 全部 信 息 ， 并 用此 来 预 测
未 来 。其 详 细过 程 可 参 考 文 献【 ” 。
识别、 线 性 代 数 和 统 计 学 的理 论 建 立 随 机 状 态 空 间 模 型 ， 进 行 模 态 参 数 识 别 。 通 过 一 个 三 跨连 续梁 为 算例 ， 验 证 了随 机 子 空 间 法 模 态 参 数 识 别
的可 行 性 。
【 关键词 】 模态参数 ； 随机子空间法 ； 系统识别 【 中图分类－ ￣ － ］ Ｕ ４ ４ １ ＋ ． ３ 【 文献标识码 】 Ａ 【 文章￣＇ Ｎ － ］ ２ ０ ９ ５ — ２ ０ ６ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ２ ４ — ０ １ ６ ０ — ０ ２
Ａｃ ＝ Ａｃ
（ ６ ）
对 于 离散 系统 ． 状 态矩 阵 Ａ 同样 可 以 进 行特 征 值 分解 ：
识 别 结 果 更有 意 义 和 实 用 价 值 ．这 是 峰 值 法和 频 域 分解 法 等 频域 方 法 无 法做 到 的 。 随机 子 空 间识 别 算 法概 念 清 楚 ， 理 论 严 密、 计算过程规 范， 特 别 适 合 借 助 计 算 机 程 序 实现１ ３ － － － 。
Ｍ 菌 （ ｔ ） ＋ Ｃ 如（ ｔ ） ＋ Ｋ ｑ （ ｔ ） ＝ Ｂ ２ ｕ （ ｔ ）
通 过 变换 ， 式（ １ ） 可 写为 ： 文 （ ｔ ） ＝ Ａｃ ｘ （ ｔ ） ＋ Ｂ ｃ ｕ （ ｔ ） 矩阵。
建 立一 等 截 面的 三 跨 连 续 粱有 限元 模 型 ， 该 梁总长 ３ ０ ｍ， 每跨 １ ０ ｍ， 划分为等长的 ６ ０段 有 限 元 单 元 。 截 面 惯 性 矩 为惯 性矩 １ ． ６ ５ ２ ｘ １ ０ ｍ ４ ．面 积 为 １ ． ６ ７ １ ｘ １ ０ Ｉ ｌ ｌ ，材 料 弹 性 模 量 为 ２ ×
建筑 ・ 能
Ｌ Ｏ Ｗ Ｃ Ａ Ｒ Ｂ Ｏ Ｎ Ｏ Ｒ Ｌ Ｄ ２ ０ １ ７ ／ ８
识 别 随机 子 空 间法 的结构模 态
陶 杰（ 江西省建 筑设 计研究总院， 南昌３ ３ ０ ０ ０ ０ ）
【 摘 要】 随机子 空间法的模 态识 别正逐渐成 为国内外结构损伤识别研究的一大热点。随机子空间识别法是 一般基于环境振动信号 ， 结合系统
２ ． ２ 模 态参 数识 别
矩 阵 Ａ． Ｃ就 可 以计 算 系统模 态参 数 ， 由式（ ２ ） 已知 连 续状
态矩 阵 Ａ 为 ：
的一个热点。 该 方 法 结合 了系统 识 别 、 线 性 代数 和统 计 学 的理
论 ， 通过 矩阵计算 ． 从 状 态 空 间 方 程 中识 别 动 态 系统 ， 适用 于 环境 激 励 务件 下结 构 模 态 参 数 的 识 别 。 该 方 法 不 但 能 准确 识 男 ｌ 】 系统 的频 率 ． 而 且 能 很 好 的 识 别 系统 的 模 态振 型 和 阻 尼 ， 使
ｙ （ ｔ ） ＝ Ｃ （ ｔ ） ＋ Ｃｖ ｄ Ｉ （ ｔ ） ＋ Ｃｄ ｑ（ ｔ ）
通 过 变换 ． 上式可写为：
（ ３ ）
沿 梁长 单 号 节 点 的 ３ １个 点 上 采 集 ａ ｎ ｓ ｙ ｓ时程 分析 加 速 度
式 中： 入 一 表 示 系统 特征 值 ； △ ｔ 一 表示采样时间间隔。 系 统特 征 值 ， 与 系 统 固有 频 率 ∞ 以及 系统 模 态 阻尼 比
输入项 和噪 声项 由白噪声代 替 （ 系统 的 输 入 隐含 在 噪 声 项
中） ， 利 用白噪声 的统计特性 进行计 算 ， 应 用矩 阵 Ｑ Ｒ 分 解 和 ￡ 的 关 系 ，可 以 计 算 出 结构 的模 态参 数 第 ｉ 阶 固有 频 率 ∞ 、 阻 奇异值分解 （ Ｓ Ｖ Ｄ） 以及 最 小 二 乘 等 来 识 别 离散 后 的 系统 状 态 尼 比 ∈ 以 及 振 型 ， 分别为 ：
空 间矩 阵 ． 识别模态参数。
２ ． １ 随机状态空间模型
由结 构 动 力 学知 识 知 ．此 系统 的 动 力 特 性 可 以 用振 动 微 分 方程 表 示 ：
￡ ：
， 《 。 ：
， 中 ． ： ｃ ．
（ ９ ）
２ Ｖ ．
３ 算例分析
（ １ ）
（ Байду номын сангаас ）