初三数学 相似三角形的性质和判定 相似多边形 位似变换知识精讲 湘教版

初三数学相似三角形的性质和判定相似多边形位似变换知识精讲湘教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

相似三角形的性质和判定相似多边形位似变换

［教学目标］

知识与技能：

1. 通一些具体的情境和应用，深入对相似三角形的理解和认识；了解相似多边形的含义，并会判断两多边形是否相似；了解位似图形及有关概念。

2. 初步掌握两个三角形相似的判定条件；理解并掌握相似三角形、相似多边形的性质，并能用来解决简单的问题；能利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。

过程与方法：

1. 经历对相似三角形的定义的探索和运用过程，进一步体会数学内容之间的内在联系。

2. 经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理意识。

3. 经历相似多边形概念的形成过程，在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平。

4. 经历对位似图形及其性质的探索过程，体验用所学的知识解决实际问题。

情感、态度与价值观：

在探索过程中，体验数学活动充满着探索性和创造性，在学习中进一步提高探究、合作与交流能力，培养学生动手操作的良好习惯。

［教学重点］

1. 相似三角形，及相似多边形的性质和应用。

2. 相似三角形的判定方法及推理论证的思路。

3. 位似图形的概念及位似图形的画法及应用。

［教学难点］

1. 应用相似三角形、相似多边形的定义和性质解决实际问题。

2. 正确运用相似三角形的判定条件找到相似三角形。

3. 正确理解位似图形的性质。

［方法指导］

（一）怎样选择相似三角形的判定定理：

1. 已知有一角相等时，可考虑证另一角相等或夹这个角的两边对应成比例，即选择判定定理1与判定定理2。

2. 已知有二边对应成比例时，可考虑证它们的夹角相等，或证与第三边对应成比例，即选择判定定理2与判定定理3。

3. 判定直角三角形相似时条件更简单。

（二）相似三角形的判定定理的作用

1. 可以用来判定两个三角形相似。

2. 间接证明角相等，线段成比例。

3. 间接地为计算线段长度、角的大小、三角形周长、面积创造条件。

（三）有关三角形相似的基本图形

1. 平行线型

2. 射影型（如图）

3. 类射影型

（四）判断两个多边形相似，既要看各个角是否对应相等。

又要看各边是否对应成比例，两个条件缺一不可。

（五）能按要求画出已知图形的位似图形

［主要内容］

（一）相似三角形的性质

1. 相似三角形对应角相等、对应边成比例。

2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3. 相似三角形周长的比等于相似比。

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（二）三角形相似的判定方法

1. 定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。

2. 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3. 判断定理1：两角对应相等的两个三角形相似。

4. 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

5. 判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

6. 判定直角三角形相似的方法：……

（三）相似多边形的概念及性质

1. 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。

2. 相似多边形的性质：

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

（四）位似变换

1. 定义：取定一点O ，把图形每一个点P 对应到射线OP （或它的反向延长线）上一点P'，使得线段OP'与OP 的比等于常数k （k ＞0），点O 对应到它自身，这种变换叫作位似变换。

点叫做位似中心，常数叫做位似比，一个图形经过位似变换叫做与O k OP OP

'

原图形位似的图形。 2. 位似图形的性质：

位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 3. 位似图形的画法及步骤： （1）确定位似中心；

（2）画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线；

（3）分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位

似中心的距离之比为相同的一个定值；(

'

)OP OP

（4）顺次连接各点。

【典型例题】

例1. 如图，已知△ABC 、△DEF 为正三角形，D 、E 分别在AB 、AC 上，请找一个与△DBE 相似的三角形，并证明。

分析：应先找到与△DBE 相似的三角形，再进行证明。根据条件和图形，同学们不难发现答案不唯一。

证明：△DBE 与△ECH 相似 ∵△ABC 与△DEF 为等边三角形 ∴∠B ＝∠C ＝60°

∴∠BDE ＋∠BED ＝120° ∠CEH ＋∠BED ＝120° ∴∠BDE ＝∠CEH ∴△DBE ∽△ECH

同学们可用类似的方法寻找与△DBE 相似的三角形并证明。

例2. 如图AB ＝9，AC ＝6，点M 在AB 上，且AM ＝3，点N 在AC 上，连结MN ，若要使△AMN 与原三角形相似，则AN 应为多长。

分析：首先同学们应对前面我们所讲的相似三角形的基本图形熟悉。

再根据图形，可看到△AMN 与△ABC 有一个公共角∠A ，只须夹∠A 的两边对应成比例，则可判断两个三角形相似。 解：（）∵∠＝∠，当时1A A AM AB AN

AC

= △AMN ∽△ABC

又AB ＝9，AC ＝6，AM ＝3

∴×AN =

=3

9

62 （）当时，由于∠＝∠2AM AC AN

AB

A A =

∴△AMN ∽△ACB

∴·×AN AM AB AC =

==3969

2

∴当或时，所得三角形△与原三角形相似AN AMN =29

2

例3. 如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，且S △ADE ：S

四边形

BCED ＝1：2，

BC DE =26，试求的长

分析：略。 解：∵DE ∥BC

∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ∴△ADE ∽△ABC