2014届高考数学一轮专题复习 高效测试5 函数的奇偶性与周期性 新人教A版

高效测试5：函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f(x)|－g(x)是奇函数 B ．|f(x)|＋g(x)是偶函数 C ．f(x)－|g(x)|是奇函数 D ．f(x)＋|g(x)|是偶函数
解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立． 答案：D
2．对于函数y ＝f(x)，x ∈R ，“y＝|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：函数y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称，说明对任意x 恒有|f(－x)|＝|f(x)|，由此得f(－x)＝－f(x)或者f(－x)＝f(x)，此时说明y ＝f(x)可以是奇函数也可以是偶函数，条件不充分；而当f(x)是奇函数时，|f(－x)|＝|－f(x)|对于任意x 恒成立，即函数y ＝|f(x)|的图象关于y 轴对称，故条件是必要的． 答案：B
3．若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex ，则g(x)＝( ) A ．ex －e －x B.1
2(ex ＋e －x)
C.12(e －x －ex)
D.1
2
(ex －e －x) 解析：由f(x)＋g(x)＝ex 可得f(－x)＋g(－x)＝e －x ，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e －x ，则两式相减可得g(x)＝ex －e －x 2，选D.
答案：D
4．已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log213的值为( )
A ．－2
B ．－23
C ．2 D.3
2－1
解析：当x ∈(－2,0)时，－x ∈(0,2)，又∵当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x －1，∴f(－x)＝2－x －1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x －1，∴x ∈
(－2,0)时，f(x)＝1－12x .∵－2＜log213＜0，∴f(log213
)＝1－2
1
3
1
2log ＝－2.故选A.
答案：A
5．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x ，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：∵f(x )是奇函数，
∴当x ＜0时，f(x)＝－x2＋2x ，作出f(x)的大致图象如图所示．结合图象，可知f(x)是R 上的增函数，
由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a ，即－2＜a ＜1. 答案：C
6．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f(x)＝x －2，则( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3
C ．f(sin1)＜f(cos1)
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 32 解析：∵f(x)＝f(x ＋2)，∴f(x)是周期函数且2为它的一个周期，又f(x)是偶函数，由f(x)在区间[3,4]上是增函数知，f(x)在区间[－1，0]上是增函数，f(x)在区间[0,1]上是减函数．
∵0＜sin 12＜cos 12＜1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12； ∵1＞sin π3＞cos π3＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3；
∵1＞sin1＞cos1＞0，∴f(sin1)＜f(cos1)；
∵1＞sin 32＞cos 32＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 32. 答案：C
二、填空题
7．若函数f(x)＝x2－|x ＋a|为偶函数，则实数a ＝______.
解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x ＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)， ∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a ＝0. 答案：0
8．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：根据已知
g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6. 答案：6
9．设函数f(x)＝x3cosx ＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝__________.
解析：观察可知，f(x)＝x3cosx 为奇函数，且f(a )＝a3cosa ＋1＝11，∴a3cosa ＝10，则f(－a)＝－a3cosa ＋1＝－10＋1＝－9. 答案：－9 三、解答题
10．已知函数f(x)＝(1
2)|x ＋m|＋a ，且f(x)为偶函数．
(1)求m 的值；
(2)若方程f(x)＝0有两个实数解，求a 的取值范围． 解析：(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(12)|x ＋m|＋a ＝(1
2)|－x ＋m|＋a ，
∴|x ＋m|＝|x －m|恒成立，故必有m ＝0； (2)f(x)＝(1
2
)|x|＋a ，
方程f(x)＝0即为(12)|x|＋a ＝0，(1
2)|x|＝－a ，方程f(x)＝0有两个实数解，即函数g(x)
＝(1
2)|x|的图象与y ＝－a 的图象有两个交点，画出y ＝g(x )的图象(如图)，可知当0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0时，两图象有两个交点， 即方程f(x)＝0有两个实数解．
11．已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．[中国教育出版网]
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1. 从而有f(x)＝－2x ＋1
2x ＋1＋a
.
又由f(1)＝－f(－1)知－2＋1
4＋a ＝－－12＋11＋a ，
解得a ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于 f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t ＞－2t2＋k. 即对一切t ∈R 有3t2－2t －k ＞0. 从而判别式Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－1
3
.
12．(2013·合肥质检)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对任意的a 、b ∈[－1,1]，当a ＋b≠0时，总有f a ＋f b a ＋b ＞0.
(1)判断函数f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明你的结论；
(2)解不等式：f(x ＋1)＜f ⎝
⎛⎭
⎪⎫1x －1.
解析：(1)f(x)在[－1,1]上是增函数，证明如下：
任取x1、x2∈[－1,1]，且x1＜x2，则x1－x2＜0，于是有
f x1－f x2x1－x2
＝
f x1＋f －x2x1＋－x2＞0，而x1－x2＜0，故f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[－1,1]上是增函数．[中,
国教,育出,版网]
(2)由f(x)在[－1,1]上是增函数知：⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x＋1≤1，
－1≤1x －1≤1，
x ＋1＜1
x －1.
解得⎩⎨⎧
－2≤x≤0，
x≥2或x≤0，
x ＜－2或1＜x ＜
2.
即－2≤x＜－2，故不等式的解集为{x|－2≤x＜－2}.。