2019届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案： 热点探究课4 立体几何中的高考热点问题

热点探究课(四)

立体几何中的高考热点问题[命题解读] 1.立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个选择题或填空题．客观题主要考查空间概念，点、线、面位置关系的判定、三视图．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算.2.立体几何重点考查学生的空间想象能力、数学运算和逻辑推理论证能力．考查的热点是以几何体为载体的平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出了转化化归思想与数形结合的思想方法．

热点1空间点、线、面间的位置关系

空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等．

如图1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

图1

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E-ABC的体积．

【导学号：01772279】[解](1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.2分

又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.4分

①②

(2)证明：法一：如图①，取AB中点G，连接EG，FG. 因为G，F分别是AB，BC的中点，

所以FG∥AC，且FG＝1

2AC.6分

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1.

所以四边形FGEC1为平行四边形，

所以C1F∥EG.

又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.8分

法二：如图②，取AC的中点H，连接C1H，FH.

因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB.6分

又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，

所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，

所以平面ABE∥平面C1HF.

又C1F⊂平面C1HF，

所以C1F∥平面ABE.8分

(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝AC2－BC2＝ 3.10分

所以三棱锥E-ABC的体积

V＝1

3S△ABC·AA1＝

1

3×

1

2×3×1×2＝

3

3.12分

[规律方法] 1.(1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题．

(2)证明C1F∥平面ABE：①利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直

线EG ，且满足C 1F ∥EG .②利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C 1HF 满足面面平行，实施线面平行、面面平行的转化．

2．计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，而不能直接用公式时，注意进行体积的转化．

[对点训练1]

(2017·天津联考)如图2，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△

ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，CD ＝BC ＝12AB ＝1，点P 为CE

的中点．

图2

(1)求证：AB ⊥DE ；

(2)求DE 与平面ABCD 所成角的大小；

(3)求三棱锥D -ABP 的体积．

[解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接OD ，OE .

∵△ABE 是正三角形，∴AB ⊥OE .

∵四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，

∴四边形OBCD 是平行四边形，OD ∥BC .3分

又AB ⊥BC ，∴AB ⊥OD .

∵OD ，OE ⊂平面ODE ，且OD ∩OE ＝O ，

∴AB ⊥平面ODE .

∵DE ⊂平面ODE ，

∴AB ⊥DE .5分

(2)∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，

OE ⊥AB ，OE ⊂平面ABE ，

∴OE ⊥平面ABCD ，

∴∠ODE 即为所求，

在△ODE 中，OD ＝1，OE ＝3，∠DOE ＝90°，

∴tan ∠ODE ＝ 3.

又∵∠ODE 为锐角，∴∠ODE ＝60°.8分

(3)∵P 为CE 的中点，

∴V 三棱锥D -ABP ＝V 三棱锥P -ABD ＝12

V 三棱锥E -ABD .10分 ∵OE ⊥平面ABCD ，

∴V 三棱锥E -ABD ＝13S △ABD ·OE ＝13×2×12×3＝33，

∴V 三棱锥D -ABP ＝V 三棱锥P -ABD ＝12V 三棱锥E -ABD ＝36.12分

热点2 平面图形折叠成空间几何体(答题模板)

将平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查点、线、面间的位置关系及有关几何量的计算是近年高考的热点，考查学生的空间想象能力、知识迁移能力和转化思想．试题以解答题为主要呈现形式，中档难度．

(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)如图3，菱形ABCD 的对角线AC

与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，

EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.

图3

(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；