高等数学第六章多元函数微分学

第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

一．多元函数的概念

1．二元函数的定义及其几何意义

设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 2

21y x z --=，1:2

2

≤+y x D

二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n 元函数

()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数

()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二．二元函数的极限

设()y x f ,在点()00,y x 的邻域内有定义，如果对任意0>ε，存在0>δ，只要()()δ<-+-2020y y x x ，就

有()ε<-A y x f ,

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0

0或

()()

()A y x f y x y x =→,lim

00,,

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三．二元函数的连续性 1．二元函数连续的概念

若()()00,,lim 0

0y x f y x f y y x x =→→ 则称()y x f ,在点()00,y x 处连续。

若()y x f ,在区域D 内每一点皆连续，则称()y x f ,在D 内连续。 2．闭区域上连续函数的性质

定理1．（有界性定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有界.

定理2．（最大值最小值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，则()y x f ,在D 上一定有最大值和最小值

()()M y x f D

y x =∈,max ,（最大值），()()m y x f D

y x =∈,min ,（最小值）

定理3．（介值定理）设()y x f ,在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值。若M C m ≤≤，则存在

()D y x ∈00,，使得()C y x f =00,

§6.2 多元函数的偏导数与全微分

一．偏导数 1．定义

设二元函数()y x f z ,= 若()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000

,,lim

存在，则记以()00,y x f x '，或()

00,y x x z

∂∂

或()

00,y x z x

'称为()y x f z ,=在点()00,y x 处关于x 的偏导数。

同理，若()()y y x f y y x f y ∆-∆+→∆00000

,,lim

存在，则记以()00,y x f y '，或()

00,y x y z

∂∂

或()

00,y x z y

'称为()y x f z ,=在点()00,y x 处关于y 的偏导数。

类似地，设()z y x f u ,,= ()000,,z y x f x '即

()000,,x x dx z y x df =()000,,z y x f y '即()000,,y y dy z y x df = ()000,,z y x f z ' 即()000,,z z dz

z y x df = 2．二元函数偏导数的几何意义

()00,y x f x '表示曲面()y x f z ,=与平面0y y =的截线在点()()0000,,,y x f y x 处的切线关于x 轴的斜率；

()00,y x f y '表示曲面()y x f z ,=与平面0x x =的截线在点()()0000,,,y x f y x 处的切线关于y 轴的斜率

3．高阶偏导数

设()y x f z ,=的偏导数()y x f x ,'和()y x f y ,'仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为()y x f z ,=的二阶偏导数，共有四种。

()y x f x z x z x xx ,22''=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ()y x f y

x z x z y xy ,2''=∂∂∂=

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ()y x f x y z y z x yx ,2''=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ()y x f y

z

y z y yy

,22''=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 当y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2在()y x ,处为连续则x

y z

y x z ∂∂∂=∂∂∂22

也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。

类似地可以讨论二元函数的三阶及n 阶偏导数。 也可以讨论n 元函数()3≥n 的高阶偏导数。