第八章 数值积分与微分

I

b a
f ( x)dx

a
b a
Ln ( x)dx

a k 0
b n
n b f ( xk )lk ( x) dx lk ( x)dx f ( xk ) a k 0

记：
则有：
Ak lk ( x)dx (k 0,1,, n) (7 - 5)
解 对于梯形公式, 当f ( x) 1时, 左端 1dx b a
返回
代数精度 (续1 ） 例 1 试验证梯形公式具有一次代数精度。 ba
a

b
前进
右端
2
(1 1) b a,
1 2 此时公式精确成立.当f ( x) x时, 左端 xdx (b a 2 ), a 2 ba b2 a2 右端 ( a b) 2 2 b 1 3 2 2 公式也精确成立. 当f ( x) x 时, 左端 x dx (b a 3 ), a 3 ba 2 右端 (a b 2同理可证明矩形公式的 ), 代数精度也是一次的 2 此时, 左端 右端, 即公式对x 2不精确成立.

b
( x x ) d x (n 1)!
a k k 0
b f ( n 1) ( ) n
(7 - 6)
其中[a,b] 且与x有关。在插值中，因f (x) 不知 道，所以无法估计插值误差。而在这里，f (x)作为 被积函数，式（7-6）却可以用于估计积分的误差。
返回
前进
插值型求积公式代数精度定 定 关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。 理 理 2
0k n
或 Max xk 0
a
k 0
k 0
因此，式（7-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积 分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布 尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积 分，也非常便于设计算法。便于上机计算。 求积公式（7-1）的截断误差为：
R( f ) Rn I I n f ( x)dx Ak f ( xk )
返回
前进
待定系数法注释 上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的
代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。
注1：由待定系数法确定的求积公式没有确 切的误差估计式，只能从其所具有的代数精 度去判定求积公式的准确程度。 注2：因此，希望由待定系数法确定的求积 公式的代数精度越高越好，通常的方法是要 确定n +1个待定系数。可设求积公式具有n次 代数精度，去建立n +1个方程求解，否则的 话，只设其具有0次代数精度，建立1个方程 也可以求出n +1个待定参数.
返回
前进
代数精度（续2）
返回
前进
例2
确定求 I 积公式

h h
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
(7 3)
使其具有尽可能高的代数精度。
解求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（7-3）
的代数精度为m =2， 则当f (x)=1，x，x2 2h A A A 1 0 1 h 4h 时，式（7-3）应 0 h( A1 A1 ) A1 A1 , A0 准确成立，即有： 3 3 3 2h 2 h ( A1 A1 ) 代回去可得： 3
1.1 构造数值求积公式的基本思想
定积分I=∫ab f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x)所 围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于 这个曲边梯形中有一条边y=f (x)是曲边，而不是规则图形。 由积分中值定理，对连续函数f (x)，在区间[a, b] 内至少 存在一点，使： y f ( x)
§1 数值积分的基本概念
返回
前进
I

b a
f ( x)dx (b a) f ( )
也就是说，曲边梯形的面积I 恰好 等于底为（b-a），高为f ()的规则图 a ξ b 图7-1 形—矩形的面积（图7-1），f ()为曲 边梯形的平均高度，然而点的具体位置一般是不知道的， 因此难以准确地求出f ()的值。但是，由此可以得到这样 的启发，只要能对平均高度f ()提供一种近似算法，便可 以相应地得到一种数值求积公式。
2 3 2 3
0000 0
这表明，误差对f (x)=1, x, x2, x3准确成立，则对 它们的任意线性组合a0 + a1x + a2x2+ a3x3也准确成 立，所以通常检查一个求积公式是否具有m次代数 精度，只需检查对f(x)=1,x,…,xm 是否准确成立即 可。
上述方法称为待定系数法！
R( f )
b a
h 4h h f ( x)dx ( f (h) f (0) f (h)) 3 3 3
返回
前进
由于对任意的常数, 和函数f (x)，g (x) 成立:
R(f g ) R( f ) R( g )
因此：R(a0 a1x a2 x a3 x ) a0 R(1) a1R( x) a2 R( x ) a3 R( x )
具有n +1个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积 公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。
证：(充分性) 设求积公式（7-1）至少具有n次代数精度， 那么，由于插值基函数 li(x) (i=0,1,…,n)均是次数为n的 多项式，故式（7-1）对li(x)精确成立，即:
中矩形公式
更一般地，可以在区间[a, b] 上适当选取某些点xk (k=0,1, …,n)，然后用f (xk) 的加权平均值近似地表示 f ()，这样得到一般的求积公式：
I f ( x)dx Ak f ( xk ) I n
b a k 0
n
(7 - 1)
其中，点xk 称为求积节点，系数Ak 称为求积系数，Ak 仅 仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数f (x)的具体 形式，即xk决定了，Ak也就相应的决定了。
a
计算定积分
序(1)
b
前进
f ( x)dx
I

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法 时，往往会遇到下面情况： 1. 函数f (x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验 测试数据形成的表格或 图形。
返回
前进
序(2)
2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：
f ( )
构造数值求积公式的基本 如，用两端点的函数值f (a)与f (b)取算术平均值作为平均 思想（续） 高度f ()的近似值，这样可导出求积公式：
I 取
b a
返回
前进
ba f ( x)dx ( f (a) f (b)) 梯形公式 2 b ab a 2 2
3 3
因此近似式（7-4）的代数精度为m=3.
公式（7-4）不仅对特殊的次数不高于3次的多项式f (x) = 1,x,x2, x3准确成立，而且对任意次数不高于3次的多项式， a0+a1x+a2x2 + a2x3 （f (x)=1,x,x2, x3的线性组合）也准确成 立，事实上，令R( f )表式（7-4）的截断误差：
sin x x 2 1 2 3 f ( x) , e , sin x , , 1 x 等 x ln x
3. f (x) 的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。 由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算 方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积 分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。 同样，对函数f (x)求导，也有类似的问题，需要研究数 值微分方法。
b a k 0
n
Rn也称为积分余项。
返回
1.2 代数精度
前进
数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多 的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。 为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的 概念。 如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都 定义1 精确成立，而至少对一个m +1次多项式不精确成 ，则称该公式具有m次代数精度。 一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应 用，由定义1容易得到下面定理。 定理1 一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件 是该求积公式对 1,x,x2,…,xm 精确成立，而对xm+1 不精确成立。
返回
前进
返回
前进
第 8 章目录 §4 变步长方法（逐次分半算法）
4.1 梯形公式的逐次分半算法 4.2 Simpson公式的逐次分半算法 §5 龙贝格（Romberg）求积公式 5.1外推法 5.2 Romberg求积公式 §6 高斯（Gauss）型求积公式
§7 数值微分
返回
的值是经常遇到的一个问题， 由微积分理论知道：只要求出f (x)的一个原函数F(x)， 就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公式 出定积分值：
返回
前进
设给定一组节点a x0 <x1< … < xn-1<xn b，且已知f (x) 在这些节点上的函数值，则可求 n 得f (x)的拉格朗日插值多项式： Ln ( x) f ( xk )l k ( x)
1.3 插值型求积公式

k 0
其中lk(x) 为插值基函数。取f (x) Ln(x)，则有：
第8章
数值积分 与微 分
第 8 章目录 §1 数值积分的基本概念
1.1构造数值求积公式的基本思想 1.2代数精度 1.3插值型求积公式 §2 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 2.1牛顿一柯特斯公式 2.2几种低价N-C求积公式的余项 2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性 §3 复化求积公式 3.1复化梯形公式 3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式