大学物理第一章1
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大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
Ax Bx Ay B y Az Bz
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
《大学物理》第一章 力和运动
x-t图
x
4
3.5
3
2.5
0
1
2
3
4
t
（2）v x3 x0 3.57 2.7 0.287m / s
3
3
（3）直线与x的交点约2.7m.
返回 退出
1-2解：（1）
v2
x2
2
x0
8 0 4m / s 2
v2
dx dt
t2
4 6t 2
t2
20m / s
（2） x13 x3 x1 44m
3i （t 2 ) j
a 2j
3i 4 j
返回 退出
y
y
x
xo
x x' x o y
lh
θ
xS
x
返回 退出
圆周运动和一般曲线运动
a
dv dt
et
1 R
v2en
lim d (rad/s) t0 t dt α lim Δω dω (rad / s2 )
Δt0 Δt dt
返回 退出
aekt bekt
消去kt
xy
ab
返回 退出
1-7
y
x
tan
1 2
v02
gx2 cos2
x a, y 0 x a b, y h
0
h
a
tan
(a
1 ga2 2 v02 cos2
b )tan 1
2
g( v02
ab cos2
)2
58
v0 4.7m / s
7 返回 退出
返回 退出
返回 退出
例题：一链条总长为L，质量为m，挂在一滑轮上， 开始时右边下垂一端的长度为b，设链条与滑轮之间
x
4
3.5
3
2.5
0
1
2
3
4
t
（2）v x3 x0 3.57 2.7 0.287m / s
3
3
（3）直线与x的交点约2.7m.
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1-2解：（1）
v2
x2
2
x0
8 0 4m / s 2
v2
dx dt
t2
4 6t 2
t2
20m / s
（2） x13 x3 x1 44m
3i （t 2 ) j
a 2j
3i 4 j
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y
y
x
xo
x x' x o y
lh
θ
xS
x
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圆周运动和一般曲线运动
a
dv dt
et
1 R
v2en
lim d (rad/s) t0 t dt α lim Δω dω (rad / s2 )
Δt0 Δt dt
返回 退出
aekt bekt
消去kt
xy
ab
返回 退出
1-7
y
x
tan
1 2
v02
gx2 cos2
x a, y 0 x a b, y h
0
h
a
tan
(a
1 ga2 2 v02 cos2
b )tan 1
2
g( v02
ab cos2
)2
58
v0 4.7m / s
7 返回 退出
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例题：一链条总长为L，质量为m，挂在一滑轮上， 开始时右边下垂一端的长度为b，设链条与滑轮之间
大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
大学物理 第一章(1)
a
v2 R
n0
dv dt
t0
R―曲率半径
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？
如B 点 at 0 , an g ,v B v 0cosθ
RB
v2
B an
(v 0cosθ)2
g
y v
B
思考
· a4 v
· a1
a·2
O
a3
O
x C
上图中分别是什么情形？ a4情形是否存在？
(2)物体各点运动情况相同
本课程力学部分,除刚体外,一般都可视为质点.
2 位置矢量（position vector of a particle）
表征某时刻质点位置的矢量, 简称位矢或矢径
r xi yj zk
r 位矢 的大小:
y
r r x2 y2 z2 r 位矢 的方向余弦:
a
ddtv
20
2
sin2ti
16
2
t 1s
cos 2tj
dt
t 1s
16 2 j (m / s2 )
x 5 sin2t
x2 y2
{
y 4 cos 2t
52 42 1
解题思路：
位移（求矢量差）
1 运动方程 轨道 方程（消去t）
：
an
v2 R
n0
（改变速度方向）
切向加速度(tangential acceleration)
：at
dv dt t0
v
aτ
（改变速度大小）
v2 dv a R n0 dt t0
大学物理第一章
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
标量形式 x x(t), y y(t), z z(t)
t 从上式消去参数 得轨迹方程 f ( x, y, z) 0
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1-2 位置矢量 位移
第一章 质点运动学
例如 质点的运动方程为
r R costi R sintj
速度的方向余弦 cos 0, cos 15 , cos 10t
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1-3 速度 加速度
第一章 质点运动学
（2）当t=1s时， 18.03m s-1
cos 0, cos 0.832, cos 0.555
即 90 , 33 42', 56
再求加速度矢量。由定义得 a 10k
质点是实际物体的一个理想模型，后面我们还会建立刚体、 理想气体、点电荷等理想模型，建立理想模型的方法在处理 实际问题中是很有意义的.
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1-2 位置矢量 位移
第一章 质点运动学
一、位置矢量和运动方程
1 位置矢量
在物理学中用一个有向线段来表示质点的位置. 这个有向线段
的长度为质点到原点的距离，方向规定为由坐标原点指向质点 所在位置P点，称为质点的位置矢量，简称位矢，记做r
解 由加速度的定义式 a d 恒量
dt
d a dt
a d t at C1
设当t=0时， 0 ，代入上式可得 C1 0
因此 0 at
由速度的定义式得
0
at
dx dt
d x (0 at) d t
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1-4 直线运动
第一章 质点运动学
积分可得 x (0 at) d t 0 d t at d t
大学物理第一章
r g
r v
r g
近日点
r g r v
r v
注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。 注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。
当质点作直线运动时 当质点作直线运动时 直线 矢量的方向性体现在指向上，用正、负号表示 矢量的方向性体现在指向上，
x = x(t )
dx v= dt
注意
r v r a
r v r a
r a
r v
速率增大，加速度与速度的夹角小于90° 速率增大，加速度与速度的夹角小于 °。 速率减小，加速度与速度的夹角大于90° 速率减小，加速度与速度的夹角大于 °。
r g
r v r v r g
r g r v
r v
r 远日点 g r v
r v r g r v r r g g
第一篇
力 学
力学
——研究机械运动的规律 研究机械运动的规律 研究机械运动
物体位置随时间的变化
(mechanics)
力学
研究随时间的推移，物体空间位置的变动。 运动学 —研究随时间的推移，物体空间位置的变动。
动力学 —研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系
∆S
是矢量
S
r r( t )
r ∆r
r r ( t + ∆t )
o
路程 ∆S 平均速率＝ ＝ >0 时间 ∆t 是标量
( 2 ) 瞬时速度
质点在t时刻的瞬时速度等于t至t + ∆t时间内 的平均速度当∆t → 0时的极限。
r r r ∆r dr v = lim = ∆t → 0 ∆t dt
即：质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的 变化率或一阶导数。
r v
r g
近日点
r g r v
r v
注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。 注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”的矢量性。
当质点作直线运动时 当质点作直线运动时 直线 矢量的方向性体现在指向上，用正、负号表示 矢量的方向性体现在指向上，
x = x(t )
dx v= dt
注意
r v r a
r v r a
r a
r v
速率增大，加速度与速度的夹角小于90° 速率增大，加速度与速度的夹角小于 °。 速率减小，加速度与速度的夹角大于90° 速率减小，加速度与速度的夹角大于 °。
r g
r v r v r g
r g r v
r v
r 远日点 g r v
r v r g r v r r g g
第一篇
力 学
力学
——研究机械运动的规律 研究机械运动的规律 研究机械运动
物体位置随时间的变化
(mechanics)
力学
研究随时间的推移，物体空间位置的变动。 运动学 —研究随时间的推移，物体空间位置的变动。
动力学 —研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系。 研究物体间相互作用与运动的关系
∆S
是矢量
S
r r( t )
r ∆r
r r ( t + ∆t )
o
路程 ∆S 平均速率＝ ＝ >0 时间 ∆t 是标量
( 2 ) 瞬时速度
质点在t时刻的瞬时速度等于t至t + ∆t时间内 的平均速度当∆t → 0时的极限。
r r r ∆r dr v = lim = ∆t → 0 ∆t dt
即：质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的 变化率或一阶导数。
大物第一章
式中，t的单位为s；x与y的单位为m。请用单位矢量表示 兔子在t=15s时刻的位臵矢量，并求出其大小和角度。
【知识点和思路】
本题的关键点是兔子位臵的坐标函数式正是位矢
r的标量分量。
大学物理
【解】根据题意可以写出
r (t ) x(t )i y(t ) j
在t=15s时，标量分量为 x (0.31) 152 7.2 15 28 66m
大学物理 物理学
第一章 宏观低速质点运动学
大学物理
力学是研究物体机械运动规律的科学，是物理学 和许多工程技术学科的基础。力学中的运动学是从几 何观点研究物体的运动，如位置、速度、加速度等， 不涉及物体间的相互作用。机械运动是物体相对于其
他物体的位置随时间发生的变化，或物体内部各部分
的相对位置随时间发生的变化。
机械运动是物质运动最基本、最简单的运动形式。
本章研究的是质点力学中的宏观低速质点运动学。
第一节
固定参考系中质点的一般 曲线运动
大学物理
一、参考系、坐标系、质点
1. 参考系
指为了描述物体运动而选择的参考物体或物体系。
运动是绝对的，而对运动的描述是相对的， 不同参考系对同一物体运动的描述是不同的。
2. 坐标系 为了定量地描述物体的运动，在选定的参考 系上建立与之相对静止的带有标尺的数学坐标， 简称坐标系。
大学物理
【解】取该质点为研究对象，由加速度定义得 dv a 4t dv 4tdt dt v t 根据初始条件，可以得到 dv 4tdt
得 v 2t 2
0
0
由速度定义得
dx 2 2 v 2t dx 2t dt dt
根据初始条件，可以得到
大学物理学第1章
第1章 质点运动学习 题一 选择题1-1 对质点的运动，有以下几种表述，正确的是[ ] (A)在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同(B)在某一过程中平均加速度不为零，则平均速度也不可能为零 (C)若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小解析：速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量，加速度是描述质点运动速度变化的物理量，两者没有确定的对应关系，故答案选C 。
1-2 某质点的运动方程为)(12323m t t x +-=，则该质点作[ ] (A)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (B)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 (C)变加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (D)变加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 解析：229dx v t dt ==-，18dva tdt==-，故答案选D 。
1-3 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速率为v ，平均速度为v ，他们之间的关系必定有[ ](A)v =v ，v =v (B)v ≠v ，v =v (C)v ≠v ，v ≠v (D)v =v ，v ≠v解析：瞬时速度的大小即瞬时速率，故v =v ；平均速率sv t∆=∆，而平均速度t∆∆rv =，故v ≠v 。
答案选D 。
1-4 质点作圆周运动时，下列表述中正确的是[ ](A)速度方向一定指向切向，所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度，但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零解析：质点作圆周运动时，2n t v dva a dtρ=+=+n t n t a e e e e ，所以法向加速度一定不为零，答案选D 。
1-5 某物体的运动规律为2dvkv t dt=-，式中，k 为大于零的常量。
当0t =时，初速为0v ，则速率v 与时间t 的函数关系为[ ](A)2012v kt v =+ (B)20112kt v v =+(C)2012v kt v =-+ (D)20112kt v v =-+解析：由于2dvkv t dt=-，所以020()vtv dv kv t dt =-⎰⎰，得到20112kt v v =+，故答案选B 。
大学物理：第一章 质点运动学-位矢、速度和加速度
7
2) 质点
2)质点 在某些问题中，物体形状 和大小可忽略，可看成一个只有 质量、没有大小和形状的点。
2.质点位置和运动描述
1)质点的位置和位置矢量
它的位置还可以用从参考点O到 质点所在位置的有向线段来表示
质点的
位矢
位置矢量 r op 矢径
坐标系中，质点P的位置
由三个坐标 x、y、z 确定
z
z
质点P
第2节
位移和速度
Displacement and Velocity
§1.2 位移和速度 1. 位移
1.位移
位置的变化 r p1p2
位移 矢量
r r (t t) r (t)
大小 r ：P1P2间直线距离
方向：由 P1 P2
注意 r r r(t t) r(t)
路程 一般
S
S
： P1Pr2，间但曲d线S距离d，r 标量
r r(t)
质点在空间运动时，位置 矢量和坐标均随时间变化
x x(t)
质点运动方程
或
y
y (t )
它们给出任一时刻质点位 置，表示质点的运动规律
z z(t)
f (x, y, z) 0 运动方程，联立消去t 质点轨道方程
y f (x) 轨道是直线的称为直线运动 轨道是曲线的称为曲线运动
11
P1 r s
r (t)
P2
r
O r (t t)
13
2.速度
运动路径
表示质点运动快慢和方向的物理量
1）平均速度
r
P(t1)
r
v r
大小：
t
O
t 方向：r 方向
Q(t2 )
瞬时速度的方向就是
马文蔚《大学物理学》第一章1
3、时间与时刻：
时刻——坐标轴上的一点， 时间——坐标轴两个点之间的一段。 注意：物理题目中的时刻表达方式。
总结： 一个物体相对参照物的运动，被简化为质点在参考 系中的运行。 保留物体的原质量，去掉其具体的形状大小，将物 体抽象为一个几何点，称为质点。
一、质点、坐标系和参考系：
这个过程就是如何将一个事物转化为一个物理 命题，同时为将这个物理问题转化为数学命题 奠定基础。 质点运动学：只研究运动随时间变化,不追究变 化原因——四维空间几何学（x,y,z,t）。 如何用一个物理量，既可以表示质点的某处方 位和方位的变化，又可以描述质点的某处位置 以及不同时间内位置的变化？
消去 t 得轨迹方程为
y 2 z 2 42 (m)
5
二、质点运动的矢量描述 （二）位置变化——位置移动的描述： 1、位移矢量：
由起始位置指向终末位置的一个矢量。 位置矢量的增量 Ｂ Ａ r r2 r1 r r r1 Ｃ 矢量增量的模 r
| r || r2 r1 |
一、质点、坐标系和参考系：
1.质点：
没有大小和形状、具有所代表物体质量的几何点。
运动的物体作为质点的几种情形 （ 1） （ 2） （ 3）
一个物体能否看作质点关键并不在于物体本身的 大小，而是取决于此物体的线度在运动中所起的 作用, 当作用很小时才能视为质点。
2、参考系与坐标系：
思想实验体验：伽利略船舱。 体会：在浩淼无边的大海上，在广阔无垠的天宇 中，你如何确定你的位置？如何了解你的方向和 运动快慢？ 任何力学实验都无法判断船是静止与水面还是 沿水面作匀速直线运动的——运动的相对性。
二、质点运动的矢量描述 （一）位置描述：
yz
大学物理第1章 质点运动学
a= R
图1-12 变速圆周运动的加速度
1.3.3 圆周运动的角量描述
质点做圆周运动时，除了线量，还 可以用角量来描述其运动。 角量有角位置、角位移、角速度、 角加速度等。
图1-13 角位置和角位移
图1-14 角位移矢量
质点做匀速或匀变速圆周运动时的 角速度、角位移与角加速度的关系式为
2 0 0 t t / 2 2 2 0 2 ( 0 )
图1-1 公转的地球可以当作质点
但是，当研究地球自转时，由于地 球上各点的速度相差很大，因此，地球 自身的大小和形状不能忽略，此时，地 球不能作为质点处理，如图1-2所示。
但可把地球无限分割为极小的质元， 每个质元都可视为质点，地球的自转就成 为无限个质点（即质点系）运动的总和。
做平动的物体，不论大小、形状如 何，其体内任一点的位移、速度和加速 度都相同，可以用其质心这个点的运动 来概括，即物体的平动可视为质点的运 动。 所以，物体是否被视为质点，完全 取决于所研究问题的性质。
图1-4 位移
1.2.3 速度
v t 时间内的位移为 r ， 若质点在 v 则定义 r 与 t 的比值为质点在这段时
间内的平均速度，写为
v v Dr v= Dt
其分量形式为
v v r x v y v z v v= = i+ j+ k t t t t
图1-5 速度推导用图
图1-3 位矢
1.2.2 位移
设在直角坐标系中，A，B为质点运动轨迹 上任意两点。t1时刻，质点位于A点，t2时刻，质 点位于B点，则在时间 t = t2 - t1 内，质点位矢的 长度和方向都发生了变化，质点位置的变化可用 uuu v uuu v 从A到B的有向线段 AB 来表示，有向线段 AB 称 为在 D t 时间内质点的位移矢量，简称位移。
图1-12 变速圆周运动的加速度
1.3.3 圆周运动的角量描述
质点做圆周运动时，除了线量，还 可以用角量来描述其运动。 角量有角位置、角位移、角速度、 角加速度等。
图1-13 角位置和角位移
图1-14 角位移矢量
质点做匀速或匀变速圆周运动时的 角速度、角位移与角加速度的关系式为
2 0 0 t t / 2 2 2 0 2 ( 0 )
图1-1 公转的地球可以当作质点
但是，当研究地球自转时，由于地 球上各点的速度相差很大，因此，地球 自身的大小和形状不能忽略，此时，地 球不能作为质点处理，如图1-2所示。
但可把地球无限分割为极小的质元， 每个质元都可视为质点，地球的自转就成 为无限个质点（即质点系）运动的总和。
做平动的物体，不论大小、形状如 何，其体内任一点的位移、速度和加速 度都相同，可以用其质心这个点的运动 来概括，即物体的平动可视为质点的运 动。 所以，物体是否被视为质点，完全 取决于所研究问题的性质。
图1-4 位移
1.2.3 速度
v t 时间内的位移为 r ， 若质点在 v 则定义 r 与 t 的比值为质点在这段时
间内的平均速度，写为
v v Dr v= Dt
其分量形式为
v v r x v y v z v v= = i+ j+ k t t t t
图1-5 速度推导用图
图1-3 位矢
1.2.2 位移
设在直角坐标系中，A，B为质点运动轨迹 上任意两点。t1时刻，质点位于A点，t2时刻，质 点位于B点，则在时间 t = t2 - t1 内，质点位矢的 长度和方向都发生了变化，质点位置的变化可用 uuu v uuu v 从A到B的有向线段 AB 来表示，有向线段 AB 称 为在 D t 时间内质点的位移矢量，简称位移。
大学物理基础学第一章
速度： v dr dt lim
t 0
r t
ˆ ˆ r xi yˆ zk j
x ˆ y ˆ z ˆ dx ˆ dy ˆ dz ˆ lim( i j k) i j k t 0 t t t dt dt dt
ˆ ˆ vxi v y ˆ vzk j
即：rB
x
rA
7. 速度 1 平均速度和平均速率 平均速度： 质点在 t时间内完成的 位移和所经历的时间之比 y （t） （t+t） A ΔS B
v
r t
r
x
z 反映质点位臵变化的平均快慢。 平均速率： 质点在 t时间内所完成 的路程和所经历的时间之比
v
S t
注意： 加速度的方向就是时间t 趋近于零时速度增量 的极限方向，一般与速度的方向不同。 （1）质点做直线运动时，加速度与速度可同向 也可反向。 （2）质点做曲线运动时，加速度方向总是指向 轨迹曲线凹的一边。 如果速率增加，加速度与速度的夹角成锐角；
如果速率减少，加速度与速度的夹角成钝角；
如果速率不变，加速度与速度的夹角成直角。
6.位移
ˆ ˆ ( xB i yB ˆ zB k) j ˆ ˆ ( x Ai y A ˆ z Ak) j ˆ ˆ xi yˆ zk j
注意：
C
rA
rB
y
o
1.位移 rAB
x rB rA 是矢量。
方向:指向被减矢量的末端B。 大小:为AB线段的长度。
速率： v v
2 2 vx v 2 vz y
8.加速度
(1)平均加速度
在t 时间内质点运动速度的增量 v 与间 t 之 比，称为质点在一段时间内运动的平均加速度。 v a t
t 0
r t
ˆ ˆ r xi yˆ zk j
x ˆ y ˆ z ˆ dx ˆ dy ˆ dz ˆ lim( i j k) i j k t 0 t t t dt dt dt
ˆ ˆ vxi v y ˆ vzk j
即：rB
x
rA
7. 速度 1 平均速度和平均速率 平均速度： 质点在 t时间内完成的 位移和所经历的时间之比 y （t） （t+t） A ΔS B
v
r t
r
x
z 反映质点位臵变化的平均快慢。 平均速率： 质点在 t时间内所完成 的路程和所经历的时间之比
v
S t
注意： 加速度的方向就是时间t 趋近于零时速度增量 的极限方向，一般与速度的方向不同。 （1）质点做直线运动时，加速度与速度可同向 也可反向。 （2）质点做曲线运动时，加速度方向总是指向 轨迹曲线凹的一边。 如果速率增加，加速度与速度的夹角成锐角；
如果速率减少，加速度与速度的夹角成钝角；
如果速率不变，加速度与速度的夹角成直角。
6.位移
ˆ ˆ ( xB i yB ˆ zB k) j ˆ ˆ ( x Ai y A ˆ z Ak) j ˆ ˆ xi yˆ zk j
注意：
C
rA
rB
y
o
1.位移 rAB
x rB rA 是矢量。
方向:指向被减矢量的末端B。 大小:为AB线段的长度。
速率： v v
2 2 vx v 2 vz y
8.加速度
(1)平均加速度
在t 时间内质点运动速度的增量 v 与间 t 之 比，称为质点在一段时间内运动的平均加速度。 v a t
大学物理 第一章 质点运动学
是否等于瞬时速率？ t 时刻位矢
瞬时速度的大小是否
r
等于瞬时速率？
A
r
r1
B t 时间内位移
x
t +t 时刻位矢
平面直角坐标系中的瞬时速度（简称速度）
v lim r dr
t0 t
dt
r(t) x(t)i y(t) j
v d r
dx
i
d
y
j
y
vy
v
dt dt dt
vx
vxi vy j
力 学
§1-1 参照系 &坐标系 质点 §1-2 位移、速度和加速度 §1-3 圆周运动 §1-5 牛顿运动定律 §1-6 牛顿运动定律的应用举例
1. 运动的绝对性 绝对静止的物体是没有的
地球自转 太阳表面的运动
太阳随银河系运动
为了确定一个物体的位置和描述一个物体的机
械运动，必须另选一个物体或内部无相对运动的物
3. 坐标系 为了定量地描述物体相对于参考系的 运动情况，要在参考系上选择一个固定的坐标系
坐标系选定后，运动物体A 中任一点 P 的位置
就可以用它在此坐标系中的坐标来描述
运动物体
运动参考系
y
A P(x,y,z)
运动物体
O
z 参考系
x
地面参考系
常用坐标系： 平面直角坐标系和自然坐标系
一、质点 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
y
y z koj
r
i
x
*P
x
方向的单位矢量.
z
位矢r 的值为
r
xi
yj
zk
r r x2 y2 z2
位矢 r 的方向余弦
大学物理第一章
大学物理第一章§1-3相对运动一、运动描述具有相对性车上的人观察地面上的人观察1、运动是相对的观察者所在的参考系为静止参考系静止参考系，2、观察者所在的参考系为静止参考系，相对观察者运动的参考系为运动参考系的参考系为运动参考系静止参考系、静止参考系、运动参考系也是相对的物体相对于静止参考系的速度叫绝对速度绝对速度，3、物体相对于静止参考系的速度叫绝对速度，相对运动参考系的速度叫相对速度相对速度，参考系的速度叫相对速度，运动参考系相对静止参考系的速度叫牵连速度的速度叫牵连速度二、相对位矢和相对速度ySZ′Orrr相对位矢：相对位矢：r=r+r′0rrrdrdr0dr′=+相对速度：相对速度：dtdtdtY′S′O′rvP某′rr0rr′rrrvrv=v0+v′相对速度某绝对速度牵连速度Zrrvdvdv0dv′+相对加速度：相对加速度：=dtdtdt绝对速度等于相对速度加牵连速度rrra=a0+a′相对加速度绝对加速度牵连加速度如图，舰自北向南以速率行驶,舰自南向北以速率舰自北向南以速率v舰自南向北以速率v例：如图，A舰自北向南以速率1行驶,B舰自南向北以速率2行驶。
当两舰连线与航线垂直时，B舰向舰发射炮弹，随后行驶。
当两舰连线与航线垂直时，舰向A舰发射炮弹，舰向舰发射炮弹击中A舰炮弹发射时的速率为v击中舰。
炮弹发射时的速率为0,求发射方向与航线的夹角忽略炮弹在竖直方向的运动)(忽略炮弹在竖直方向的运动)。
舰为“定系”舰为“动系”炮弹视为质点。
解：取B舰为“定系”,A舰为“动系”,炮弹视为质点。
建v。
vv立如图所示的坐标系。
立如图所示的坐标系=vDA+vABvDBvvDB:炮弹相对“定系”B的速度，大小v炮弹相对“定系”的速度，v0vDA:炮弹相对“动系”A的速炮弹相对“动系”度，在A舰看来炮弹自东向西vvAB:两舰相对速度两舰相对速度方向待求。
,方向待求。
vvDA vv2vvABvvv=vAvB=(v1+v2)j某′vv1A得到图中的速度矢量三角形vvABvrαv0=vDB某Bα海岸v0coα=v1+v2coα=(v1+v2)v0Y′Y。
大学物理第一章 质点运动学
这一类型问题是直线运动中较简单，也是大家 在中学就已熟习的。 •匀速直线运动： a 0, v 常量，x x0 vt
a 常量，v v0 at,
•匀变速直线运动：
1 2 x x0 v0t at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
注意：以上各式仅适用于匀加速情形。
t t
要求 v( y )，可由
dv dv dy dv a v dt dy dt dy
有
积分得
v
dv kv v dy
2
dv kdy v
y dv v ky v0 v k 0 dy ln v0 ky, v v0e
1－3 曲线运动
一．运动的分解
如图，A、B为在同一高度的两个小球。在同一 时刻，使A球自由落体，B球沿水平方向射出，虽然 两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。 说明，B球的运动可分解为在水平方向作匀速直线运 动，在竖直方向作自由落体运动。
其大小注意a aa a2 x 2 y2 z
dv dv a a dt dt
•描述质点运动的状态参量的特性 状态参量包括
r , v, a
应注意它们的
（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。 （3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
1 gx y xtg 2 2 2 v0 cos 19.6 2 50tg 50tg 19.6(1 tg ) 2 cos
两边一起定积分得
dv dv adt kv dt kdt 2 v
2
v
v0
t dv k dt 2 0 v
v0 v(t ) kv0t 1
a 常量，v v0 at,
•匀变速直线运动：
1 2 x x0 v0t at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
注意：以上各式仅适用于匀加速情形。
t t
要求 v( y )，可由
dv dv dy dv a v dt dy dt dy
有
积分得
v
dv kv v dy
2
dv kdy v
y dv v ky v0 v k 0 dy ln v0 ky, v v0e
1－3 曲线运动
一．运动的分解
如图，A、B为在同一高度的两个小球。在同一 时刻，使A球自由落体，B球沿水平方向射出，虽然 两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。 说明，B球的运动可分解为在水平方向作匀速直线运 动，在竖直方向作自由落体运动。
其大小注意a aa a2 x 2 y2 z
dv dv a a dt dt
•描述质点运动的状态参量的特性 状态参量包括
r , v, a
应注意它们的
（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。 （3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
1 gx y xtg 2 2 2 v0 cos 19.6 2 50tg 50tg 19.6(1 tg ) 2 cos
两边一起定积分得
dv dv adt kv dt kdt 2 v
2
v
v0
t dv k dt 2 0 v
v0 v(t ) kv0t 1
大学物理第1章-质点运动学
正交基矢与极坐标的微分关系
d d
当θ变化时，正交基矢同时改变方向 满足微分关系
e
d
er
der de de der
r (t )
极坐标系中位置矢量和速度的表示
位置矢量
r rer
速度
der dr d dr d (rer ) dr v er r er r e vr v dt dt dt dt dt dt
s
P 1
Δ
P2
(t )
方向
⊥
(t + t )
Δ
(t )
d = lim = lim n dt t →0 t t →0 t
s
O
Δ
(t + t )
d s ∴ = lim n dt t →0 ρt 1 ds v = n= n ρ dt ρ
径向速度
dr vr = er = vr er dt d v = r e = v e dt
横向速度
1-2-7 圆周运动及其角量描述
角位置 ：
质点所在的矢径与x 轴的夹角。
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正 顺时针转向为负
y
B
x0 10(1 e
) 10(1 1) 0 ) 10(1 0) m 10 m
x 10(1 e
x x x0 10 m
1-2-5 自然坐标系下的速度和加速度
自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
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1）角位置
y
B：t+t
(t )
2）角位移 3）角速度ω 平均角速度
r
A：t
(t t ) (t )
t
r
o
x
v
v
d 角速度 lim t 0 t dt
圆周运动的角量描述
y
B：t+t
A：t
o
4）角加速度α 平均角加速度
x
/ t
a
a
d d 2 角加速度 lim 2 t 0 t dt dt
线量与角量之间的关系
三、线量与角量之间的关系
s R
s lim R lim t 0 t t 0 t
D
v (t t )
v
v (t ) C
v (t t )
t t
A
v (t )
vt
v n
E O’
r
O R B t
v t 1）令 a t lim 叫作切向加速度 t 0 t | v t | v ( t t ) v ( t ) v dv 大小： lim at lim lim t 0 t 0 t t 0 t t dt
力
力学
学
质点运动学（从现象上） 质点动力学（从本质上） 第一章 力和运动
§1-1 基本概念
一、质点 物体
不忽略质量、空间位置 忽略大小、形状
质点
质点概念：突出平动、忽略了转动、形变
参考系和坐标系
二、参考系和坐标系
坐标系：对参考系所在空间进行数学表示
x x(t ) y y (t ) z z (t )
质点作变加速直线运动，加速度为正。
质点作变加速直线运动，加速度为负。
一般涉及两类问题：
已知 : r r (t ) 求 : r , v , a 已知 : a a(t ) 求 : v , r , r
xt
2
例：已知质点:
y t / 320
6
求：1）第2s到第4s的位移 2）第2s到第4s的平均速度 3）第2s和第4s的速度
2 x t 例：已知质点:
y t 6 / 320
r x i y j v t t v vx i v y j
dx 2t vx dt dy 5 vy 6t / 320 dt
求：1）第2s到第4s的位移 2）第2s到第4s的平均速度 3）第2s和第4s的速度 解：
注意：1） r 与路程s：s | r |
2）| r | r
| r || r (t t ) r (t ) |
r | r (t t ) | | r (t ) |
r (t )
r (t t )
Δ
Δr
r
速度
Δr 1、平均速度： v Δt | r | 大小： | v | t
例：斜上抛运动中轨道哪一点速度大小变化最 大？哪一点速度方向变化最大？
Y A
at
解： o O、B点 A点
an
B X
ห้องสมุดไป่ตู้
g
at g sin an g cos
at at max 速度大小变化最大
an an max 速度方向变化最大
圆周运动的角量描述
二、圆周运动的角量描述
§1-3 圆周运动
一、切向加速度和法向加速度
D
v (t t )
v
v ( t ) C
v (t t )
t t
A
v (t )
vt
v n
E O’
r
O R B t
v v t v n a t t v t v n v a lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
x x(t )
z y x o
x x(t ) y y(t )
z R
z
x o
y
R
参考方向
运动方程
三、运动方程 例如： x x vt 0 1 2 x x0 v0t at 2 x x (t ) 消去t y y (t ) f ( x, y, z ) 0 轨道方程 z z (t )
v
近日点
v
g
v
思考题
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误:
质点作匀加速直线运动，加速度为正。
质点作匀加速直线运动，加速度为负。
例题
讨论下列情况时，质点各作什么运动：
1、at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？ 静止或匀速直线运动
2、at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？ 匀速率曲线运动 3、at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？ 变速率直线运动 4、at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？ 变速曲线运动
§1-2 基本物理量
一、位矢 r r xi yj zk r 大小：
2 2
r 方向： cos x / r
cos y / r
r r x y z
2
z
P(x,y,z) r
cos z / r
cos cos cos 1
2 2 大小： | a | a x a y ay ^ 方向： (a，x ) arctan ax
2
d y ay 2 dt dt
总是指向曲线轨道 凹的一侧
dv y
2
加速度
v a
v a
a
v v v
g g g g v g
v g v v g g 远日点 g v
v (t Δ t )
v
| v | | a | t
方向：
a || v
注意区分 v 、v
加速度
2、加速度
2 d r d v v a lim dt dt2 t 0 t axi a y j
dv x d x ax 2 dt dt
三、速度
方向： v || r
r dr dx i dy j 2、速度： v l im t 0 t dt dt dx dy i j dt dt
dx dy vx vy dt dt 2 大小： | v | v x v2 y
B
R O
t+ t 0+ A
0 t
x
v R
dv d R dt dt
+
at R
v 2 an R R
2
思考题
思考题 1. 质点作匀变速圆周运动，则
切向加速度的大小和方向都在变化
法向加速度的大小和方向都在变化 切向加速度的方向变化，大小不变 切向加速度的方向不变，大小变化
s ds 速率： v lim t 0 t dt
2）| r | r | d r | dr
| dr | dr dr v | v | dt dt dt
加速度
四、加速度
| v |
v t
1、平均加速度：a
大小：
v (t )
2 2 2
o
y
x
位移
y
二、位移 r
Δ r AB r ( t t ) r ( t )
A
B Δr r (t ) r ( t t ) x
t
t t
o
[ x(t t )i y(t t ) j ] [ x(t )i y(t ) j ] [ x(t t ) x(t )]i [ y(t t ) y(t )] j xi yj
说明： 方向：切线方向 大小：dv / dt 作用：改变速度大小
2） an
方向：法线方向 大小： v 2
/R
作用：改变速度方向
3）
a at an
一般
4）若物体作抛体运动
dv a dt
g at an
at dv / dt
an v 2 /
轨道的曲 率半径
x t y t / 320 r2~4 x i y j
2
6
x x |t 4 x |t 2
y y |t 4 y |t 2 大小： | r | ( x ) 2 ( y ) 2 y 方向： arctan x
方向： 沿切线方向
D
v (t t )
v
v (t ) C
v (t t )
t t
A
v (t )
vt
v n
E
r
O R B t
O’ v n 2）令 a 叫作法向加速度 n lim t 0 t | v n | | v | | v n | 大小：a n lim △CO’E∽△ AOB | r | R t 0 t 2 | v | | r | | v v | | d r | a n lim ( ) t 0 R t R R dt
方向：
vy ^ (v, x ) arctan vx
y
B：t+t
(t )
2）角位移 3）角速度ω 平均角速度
r
A：t
(t t ) (t )
t
r
o
x
v
v
d 角速度 lim t 0 t dt
圆周运动的角量描述
y
B：t+t
A：t
o
4）角加速度α 平均角加速度
x
/ t
a
a
d d 2 角加速度 lim 2 t 0 t dt dt
线量与角量之间的关系
三、线量与角量之间的关系
s R
s lim R lim t 0 t t 0 t
D
v (t t )
v
v (t ) C
v (t t )
t t
A
v (t )
vt
v n
E O’
r
O R B t
v t 1）令 a t lim 叫作切向加速度 t 0 t | v t | v ( t t ) v ( t ) v dv 大小： lim at lim lim t 0 t 0 t t 0 t t dt
力
力学
学
质点运动学（从现象上） 质点动力学（从本质上） 第一章 力和运动
§1-1 基本概念
一、质点 物体
不忽略质量、空间位置 忽略大小、形状
质点
质点概念：突出平动、忽略了转动、形变
参考系和坐标系
二、参考系和坐标系
坐标系：对参考系所在空间进行数学表示
x x(t ) y y (t ) z z (t )
质点作变加速直线运动，加速度为正。
质点作变加速直线运动，加速度为负。
一般涉及两类问题：
已知 : r r (t ) 求 : r , v , a 已知 : a a(t ) 求 : v , r , r
xt
2
例：已知质点:
y t / 320
6
求：1）第2s到第4s的位移 2）第2s到第4s的平均速度 3）第2s和第4s的速度
2 x t 例：已知质点:
y t 6 / 320
r x i y j v t t v vx i v y j
dx 2t vx dt dy 5 vy 6t / 320 dt
求：1）第2s到第4s的位移 2）第2s到第4s的平均速度 3）第2s和第4s的速度 解：
注意：1） r 与路程s：s | r |
2）| r | r
| r || r (t t ) r (t ) |
r | r (t t ) | | r (t ) |
r (t )
r (t t )
Δ
Δr
r
速度
Δr 1、平均速度： v Δt | r | 大小： | v | t
例：斜上抛运动中轨道哪一点速度大小变化最 大？哪一点速度方向变化最大？
Y A
at
解： o O、B点 A点
an
B X
ห้องสมุดไป่ตู้
g
at g sin an g cos
at at max 速度大小变化最大
an an max 速度方向变化最大
圆周运动的角量描述
二、圆周运动的角量描述
§1-3 圆周运动
一、切向加速度和法向加速度
D
v (t t )
v
v ( t ) C
v (t t )
t t
A
v (t )
vt
v n
E O’
r
O R B t
v v t v n a t t v t v n v a lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
x x(t )
z y x o
x x(t ) y y(t )
z R
z
x o
y
R
参考方向
运动方程
三、运动方程 例如： x x vt 0 1 2 x x0 v0t at 2 x x (t ) 消去t y y (t ) f ( x, y, z ) 0 轨道方程 z z (t )
v
近日点
v
g
v
思考题
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。
r r s r
r r
s r
s r
质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误:
质点作匀加速直线运动，加速度为正。
质点作匀加速直线运动，加速度为负。
例题
讨论下列情况时，质点各作什么运动：
1、at 等于0, an等于0, 质点做什么运动？ 静止或匀速直线运动
2、at 等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？ 匀速率曲线运动 3、at 不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？ 变速率直线运动 4、at 不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？ 变速曲线运动
§1-2 基本物理量
一、位矢 r r xi yj zk r 大小：
2 2
r 方向： cos x / r
cos y / r
r r x y z
2
z
P(x,y,z) r
cos z / r
cos cos cos 1
2 2 大小： | a | a x a y ay ^ 方向： (a，x ) arctan ax
2
d y ay 2 dt dt
总是指向曲线轨道 凹的一侧
dv y
2
加速度
v a
v a
a
v v v
g g g g v g
v g v v g g 远日点 g v
v (t Δ t )
v
| v | | a | t
方向：
a || v
注意区分 v 、v
加速度
2、加速度
2 d r d v v a lim dt dt2 t 0 t axi a y j
dv x d x ax 2 dt dt
三、速度
方向： v || r
r dr dx i dy j 2、速度： v l im t 0 t dt dt dx dy i j dt dt
dx dy vx vy dt dt 2 大小： | v | v x v2 y
B
R O
t+ t 0+ A
0 t
x
v R
dv d R dt dt
+
at R
v 2 an R R
2
思考题
思考题 1. 质点作匀变速圆周运动，则
切向加速度的大小和方向都在变化
法向加速度的大小和方向都在变化 切向加速度的方向变化，大小不变 切向加速度的方向不变，大小变化
s ds 速率： v lim t 0 t dt
2）| r | r | d r | dr
| dr | dr dr v | v | dt dt dt
加速度
四、加速度
| v |
v t
1、平均加速度：a
大小：
v (t )
2 2 2
o
y
x
位移
y
二、位移 r
Δ r AB r ( t t ) r ( t )
A
B Δr r (t ) r ( t t ) x
t
t t
o
[ x(t t )i y(t t ) j ] [ x(t )i y(t ) j ] [ x(t t ) x(t )]i [ y(t t ) y(t )] j xi yj
说明： 方向：切线方向 大小：dv / dt 作用：改变速度大小
2） an
方向：法线方向 大小： v 2
/R
作用：改变速度方向
3）
a at an
一般
4）若物体作抛体运动
dv a dt
g at an
at dv / dt
an v 2 /
轨道的曲 率半径
x t y t / 320 r2~4 x i y j
2
6
x x |t 4 x |t 2
y y |t 4 y |t 2 大小： | r | ( x ) 2 ( y ) 2 y 方向： arctan x
方向： 沿切线方向
D
v (t t )
v
v (t ) C
v (t t )
t t
A
v (t )
vt
v n
E
r
O R B t
O’ v n 2）令 a 叫作法向加速度 n lim t 0 t | v n | | v | | v n | 大小：a n lim △CO’E∽△ AOB | r | R t 0 t 2 | v | | r | | v v | | d r | a n lim ( ) t 0 R t R R dt
方向：
vy ^ (v, x ) arctan vx