第五章数值传热学
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false diffusion)。 计算误差 这就是假扩散
纯对流传递
纯对流传递
13/60
3) 网格倾斜交叉引起的计算误差
E
此种误差称为 交叉扩散 (Cross-diffusion) 14/60
冷热流体之间产生了温度均匀化的过程，即交叉 扩散(cross-difussion)。 讨论：对此例当流速与x轴平行时，不能认为FUD不 产生假扩散，而是此时假扩散没有体现出来；因为取 分子扩散系数为0，相当于Pe趋于无穷大，对流作用 十分强烈。本节 例 1 就是FUD具有严重假扩散的例 子。 5.5.4 非常数源项引起的假扩散 设有：
e
E P
2
1 Cur 8
中心差分插值
（方位定义） 界面曲 率修正
界面的 实际值
26/60
如何确定曲率修正CUR？需要满足两个条件： (1)能自动反应型线凹向对CD插值的正确修正：相邻 三点间二阶中心差分的结构可以反应型线的凹向 型线上凹 (W 2 P 型线下凹 (W 2 P
2 1 2 n n ) ... i [i x )i ,n x 2 i ,n 2 x x u x
4/60
t 2 ux 2 2 2 )i ,n u )i ,n ) ) ( , ) x O t 2 i ,n 2 i ,n 2 t 2 x t x 其中关于时间的二阶导数项可做如下变化：
d ( u ) d d ( ) S , S 非常数，分布给定 dx dx dx
x 0, 0 ; x L, L
15/60
对于这种具有非常 数源项的情形，无论五 种三点格式中的哪一 种，在一定条件下都会 产生较大的计算误差。 以混合格式为例，网格Peclet数小于2时，数值 解与分析解符合甚好，但大于2 后则偏差甚大。
纯对流传递
C 0.8
9/60
当Courant数小于1时，产生了严重的扩散作 用，将尖峰逐渐抹平。此种误差称为流向假扩散 (Streamwise false diffusion)。 5.5.3 网格倾斜交叉引起的计算误差 两股速度相同温 度不同的气流相遇， 设气流的扩散系数为 零，当流速与网格线 夹角倾斜时，数值计 算结果误差很大。 气流
18/60
2) Leonard问题（1996） 细高方腔中的自然对流换热
H / L 33
Gr gL3T
2
9500, Pr 0.71
32 129 4128
低阶格式无法分辨出小涡。
19/60
QUICK scheme PWL scheme 节点数增加到一定数目时乘方格式也能分辨出小 涡。格式间的差别随着网格的细化而逐渐消失
2/60
5.5 关于假扩散的讨论 5.5.1 假扩散的含义与成因 假扩散(False diffusion)又称数值黏性(Numerical viscosity)，是对流离散格式的重要特性。 1. 本来的含义 由于一阶导数项离散格式的截断误差精度小于二 阶而引起的计算误差，称为假扩散； 因为这种格式截断误差首项所含的导数为二阶， 这种离散格式所逼近的过程中扩散作用被扩大了，故 称这样的计算误差为假扩散。
u 2 y (1 x 2 ), v 2 x(1 y 3 )
已知的流场
已知的进口温度分布
Tin ( x) 1 tanh[ (1 2 x)]
称为陡度系数
17/60
用二维对流扩散方程求解，对流项采用所研究格式：
T 参 考 解
乘方格式
x
QUICK格式
QUICK格式用20X20的节点数就可达到乘方格 式80X80的精度。
aE De A( Pe ) Fe ,0 , A( Pe ) 0,1 0.5 Pe
设网格Peclet数的改变通过改变扩散系数来实现，则
P e 2, aE 之值均相同，使得所有 P e 2 数值解均同。
16/60
5.5.5 两个名例 1. Smith-Hutton问题（1982）已知流场计算温度场
0
0
10/60
1. 设x-y坐标分别与来流平行与垂直
A( P ) 1 对P控制容积，有 采用一阶迎风格式，
aE De Fe ,0 U 0, 00 aW DW FW ,0U 0, 0 F aN Dn Fn ,0 V 0, 0 aS Ds Fs ,0 V 0, 0
20/60
5.6 可以克服或减轻假扩散的格式与方法 5.6.1 采用高阶格式克服流向假扩散 1. 采用二阶迎风 2.采用三阶迎风 3. 采用QUICK格式 4. 采用SGSD格式 5.2.2 克服、减轻交叉假扩散的方法 1. 采用有效扩散系数 2.采用自适应网格
21/60
5.6 可以克服或减轻假扩散的格式与方法 5.6.1 采用高阶格式克服流向假扩散 1. 采用二阶迎风－向上游两个点获取信息构成导数 (1) Taylor展开定义－一阶导数的二阶偏差分格式
说明：这里讨论的是二阶假扩散；即在二阶截断误差 的意义上，该格式实际模拟的是一个扩散-对流过程。 一般工程计算中讨论二阶假扩散已经能够满足计算精度 的要求。
6/60
x
2. 扩充的含义
现有文献中常常将较大的计算误差都称为假扩 散，大致有以下几项原因： (1) 一阶导数的一阶截差格式； (2) 流动方向与网格线呈倾斜交叉； (3) 离散格式未计及非常数源项的影响。 5.5.2 一阶截差格式引起严重假扩散举例 1. 一维稳态对流扩散问题 对流项用FUD，扩散项用CD，当Pe较大时，数值 计算结果严重偏离精确解。
数值传热学
第五章 对流扩散方程的离散格式(2)
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流科学与工程教育部重点实验室 2012年10月17日, 西安
1/60
5.5 关于假扩散的讨论 5.5.1 假扩散的含义与成因
1.本来的含义 2.扩充的含义 3.Taylor展开法的分析
5.5.2 一阶截差格式引起严重假扩散举例 5.5.3 网格倾斜交叉引起的计算误差 5.5.4 非常数源项引起的假扩散 5.5.5 两个名例
v 0, 0 v 0, 0
0
Fs W S ! Fw Fs , aPP aW W aSS , aP aW aS , P 2
12/60
三个对流问题的归纳 1) 一维稳态对流扩散问题 2) 一维非稳态对流 问题（Noye,1976) 此种误差称为流向假 扩散 (Streamwise
3/60
以一维非稳态纯对流过程为例俩分析，其中有两 个一阶导数项，均采用一阶截差的格式。
u t x
将 ,
n i 1 n 1 i
一阶截差格式离散
in1 in
t
u>0
u
in in 1
x
对点(i,n)做Taylor展开，代入上式：
2 1 2 n i t )i ,n t 2 )i ,n ... in t 2 t t
W , P ,E
ue小于零时，取
P ,E ,WW
28/60
QUICK格式的曲率修正： Cur＝
W 2P E , u 0 P 2E EE , u 0
7/60
FUS Physically plausible solution
FUS严重的误差
CD振荡的数 值解 2. 一维非稳态对流问题（Noye,1976)
u , 0 x 1, u 0.1, (0, t ) (1, t ) 0 t x
x [0,0.1] 范围内 ，初始分布为三角形，其余为零。
如型线上凹，则 ( P 2W WW ) 0 修正为正； 如型线下凹，则
(P 2W WW ) 0 修正为负。
23/60
(2) FVM定义－向上游取两点定义界面插值
w
1.5W 0.5WW , u 0 1.5P 0.5E , u 0
两种定义等价性的说明：
ui u )i (2i 1 3i 6i 1 i 2 ), u 0 x 6x
特点：利用了下游一个节点，提高了格式精度，但减 弱了稳定性。 (2) FVM定义－向上游取两 点，向下游取一个节点来定 义界面插值。
25/60
3. 采用QUICK格式 1) FVM定义－界面的插值在中心差分基础上考虑曲 率修正
1 e w (1.5P 0.5W ) (1.5W 0.5WW ) dx x w x x x
e
3P 4W WW 2x
FVM定义的是计算区域中的 积分中值；FDM定义的是一 点的离散值。
24/60
2.采用三阶迎风 (TUD) (1) Taylor展开定义－一阶导数的三阶偏差分格式
1 E ) 0 Cur 使插值微减！ 8 1 E ) 0 Cur 使插值微增！ 8
Baidu Nhomakorabea27/60
怎样相邻的三点? (2) 为增加格式的稳定性要引入迎风思想：对e-界面 当界面流速ue大于零时，取 当界面流速ue小于零时，取
W , P ,E P ,E ,EE
ue大于零时，取
ui u )i (3i 4i 1 i 2 ), u 0 2x x
写成界面CD加附加项的形式：
P W P 2W WW ) u ) P uP ( x x 2x
22/60
相当于CD＋曲率修正－用w界面上的中心差分 P 2W WW 的斜率来代替P点的斜率要加上修正： ( ) 2x
8/60
由离散方程：
in1 in
t
得：
u
in in 1
x
纯对流传递
n 1 i
ut ut n (1 )( )i 1 x x
n i
ut 当 1 时 x
n 1 i
n i 1
C 0.8
此时只有对流，没有扩散！ 与物理问题相一致！ 此值不为1时则有严重假扩散！
Jin WW, He YL, TaoWQ. How many secondary flows are in Leonard’s vertical slot? Progress in Computational Fluid Dynamics, 2009, 9(3/4):283-291
节点数=316404
所以上述一阶截差的离散方程在二阶截差的意义上 相当于模拟了一个对流扩散方程，而不是纯对流方程。
5/60
只有当 1 u t 0 时才没有这部分的计算误差。
ut 称为Courant数，以纪念德国数学家Courant。 x ux ut 2 )i ,n u )i ,n [ (1 )] 2 )i ,n O(x 2 , t 2 ) 2 t x x x
所以
w
E
0 0
来流速度为 U
P W !
11/60
上游温度一直保持到下游。
2. 设x-y坐标分别与来流呈45度倾角 仍采用一阶迎风格式，对P控制容积，此时：
aE De Fe ,0
2 U, 来流速度为 U u v 2 u 0, 0
0
w
aW DW FW ,0 u 0, 0 F aN Dn Fn ,0 aS Ds Fs ,0
2 2 ( ) ( u ) u ( ) u ( u ) u 2 x x x 2 t x x t t t t
2
此处 是差分 方程的精确解
代入上式可得
ux ut 2 )i ,n u )i ,n [ (1 )] 2 )i ,n O(x 2 , t 2 ) t x x x 2
纯对流传递
纯对流传递
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3) 网格倾斜交叉引起的计算误差
E
此种误差称为 交叉扩散 (Cross-diffusion) 14/60
冷热流体之间产生了温度均匀化的过程，即交叉 扩散(cross-difussion)。 讨论：对此例当流速与x轴平行时，不能认为FUD不 产生假扩散，而是此时假扩散没有体现出来；因为取 分子扩散系数为0，相当于Pe趋于无穷大，对流作用 十分强烈。本节 例 1 就是FUD具有严重假扩散的例 子。 5.5.4 非常数源项引起的假扩散 设有：
e
E P
2
1 Cur 8
中心差分插值
（方位定义） 界面曲 率修正
界面的 实际值
26/60
如何确定曲率修正CUR？需要满足两个条件： (1)能自动反应型线凹向对CD插值的正确修正：相邻 三点间二阶中心差分的结构可以反应型线的凹向 型线上凹 (W 2 P 型线下凹 (W 2 P
2 1 2 n n ) ... i [i x )i ,n x 2 i ,n 2 x x u x
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t 2 ux 2 2 2 )i ,n u )i ,n ) ) ( , ) x O t 2 i ,n 2 i ,n 2 t 2 x t x 其中关于时间的二阶导数项可做如下变化：
d ( u ) d d ( ) S , S 非常数，分布给定 dx dx dx
x 0, 0 ; x L, L
15/60
对于这种具有非常 数源项的情形，无论五 种三点格式中的哪一 种，在一定条件下都会 产生较大的计算误差。 以混合格式为例，网格Peclet数小于2时，数值 解与分析解符合甚好，但大于2 后则偏差甚大。
纯对流传递
C 0.8
9/60
当Courant数小于1时，产生了严重的扩散作 用，将尖峰逐渐抹平。此种误差称为流向假扩散 (Streamwise false diffusion)。 5.5.3 网格倾斜交叉引起的计算误差 两股速度相同温 度不同的气流相遇， 设气流的扩散系数为 零，当流速与网格线 夹角倾斜时，数值计 算结果误差很大。 气流
18/60
2) Leonard问题（1996） 细高方腔中的自然对流换热
H / L 33
Gr gL3T
2
9500, Pr 0.71
32 129 4128
低阶格式无法分辨出小涡。
19/60
QUICK scheme PWL scheme 节点数增加到一定数目时乘方格式也能分辨出小 涡。格式间的差别随着网格的细化而逐渐消失
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5.5 关于假扩散的讨论 5.5.1 假扩散的含义与成因 假扩散(False diffusion)又称数值黏性(Numerical viscosity)，是对流离散格式的重要特性。 1. 本来的含义 由于一阶导数项离散格式的截断误差精度小于二 阶而引起的计算误差，称为假扩散； 因为这种格式截断误差首项所含的导数为二阶， 这种离散格式所逼近的过程中扩散作用被扩大了，故 称这样的计算误差为假扩散。
u 2 y (1 x 2 ), v 2 x(1 y 3 )
已知的流场
已知的进口温度分布
Tin ( x) 1 tanh[ (1 2 x)]
称为陡度系数
17/60
用二维对流扩散方程求解，对流项采用所研究格式：
T 参 考 解
乘方格式
x
QUICK格式
QUICK格式用20X20的节点数就可达到乘方格 式80X80的精度。
aE De A( Pe ) Fe ,0 , A( Pe ) 0,1 0.5 Pe
设网格Peclet数的改变通过改变扩散系数来实现，则
P e 2, aE 之值均相同，使得所有 P e 2 数值解均同。
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5.5.5 两个名例 1. Smith-Hutton问题（1982）已知流场计算温度场
0
0
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1. 设x-y坐标分别与来流平行与垂直
A( P ) 1 对P控制容积，有 采用一阶迎风格式，
aE De Fe ,0 U 0, 00 aW DW FW ,0U 0, 0 F aN Dn Fn ,0 V 0, 0 aS Ds Fs ,0 V 0, 0
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5.6 可以克服或减轻假扩散的格式与方法 5.6.1 采用高阶格式克服流向假扩散 1. 采用二阶迎风 2.采用三阶迎风 3. 采用QUICK格式 4. 采用SGSD格式 5.2.2 克服、减轻交叉假扩散的方法 1. 采用有效扩散系数 2.采用自适应网格
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5.6 可以克服或减轻假扩散的格式与方法 5.6.1 采用高阶格式克服流向假扩散 1. 采用二阶迎风－向上游两个点获取信息构成导数 (1) Taylor展开定义－一阶导数的二阶偏差分格式
说明：这里讨论的是二阶假扩散；即在二阶截断误差 的意义上，该格式实际模拟的是一个扩散-对流过程。 一般工程计算中讨论二阶假扩散已经能够满足计算精度 的要求。
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x
2. 扩充的含义
现有文献中常常将较大的计算误差都称为假扩 散，大致有以下几项原因： (1) 一阶导数的一阶截差格式； (2) 流动方向与网格线呈倾斜交叉； (3) 离散格式未计及非常数源项的影响。 5.5.2 一阶截差格式引起严重假扩散举例 1. 一维稳态对流扩散问题 对流项用FUD，扩散项用CD，当Pe较大时，数值 计算结果严重偏离精确解。
数值传热学
第五章 对流扩散方程的离散格式(2)
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流科学与工程教育部重点实验室 2012年10月17日, 西安
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5.5 关于假扩散的讨论 5.5.1 假扩散的含义与成因
1.本来的含义 2.扩充的含义 3.Taylor展开法的分析
5.5.2 一阶截差格式引起严重假扩散举例 5.5.3 网格倾斜交叉引起的计算误差 5.5.4 非常数源项引起的假扩散 5.5.5 两个名例
v 0, 0 v 0, 0
0
Fs W S ! Fw Fs , aPP aW W aSS , aP aW aS , P 2
12/60
三个对流问题的归纳 1) 一维稳态对流扩散问题 2) 一维非稳态对流 问题（Noye,1976) 此种误差称为流向假 扩散 (Streamwise
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以一维非稳态纯对流过程为例俩分析，其中有两 个一阶导数项，均采用一阶截差的格式。
u t x
将 ,
n i 1 n 1 i
一阶截差格式离散
in1 in
t
u>0
u
in in 1
x
对点(i,n)做Taylor展开，代入上式：
2 1 2 n i t )i ,n t 2 )i ,n ... in t 2 t t
W , P ,E
ue小于零时，取
P ,E ,WW
28/60
QUICK格式的曲率修正： Cur＝
W 2P E , u 0 P 2E EE , u 0
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FUS Physically plausible solution
FUS严重的误差
CD振荡的数 值解 2. 一维非稳态对流问题（Noye,1976)
u , 0 x 1, u 0.1, (0, t ) (1, t ) 0 t x
x [0,0.1] 范围内 ，初始分布为三角形，其余为零。
如型线上凹，则 ( P 2W WW ) 0 修正为正； 如型线下凹，则
(P 2W WW ) 0 修正为负。
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(2) FVM定义－向上游取两点定义界面插值
w
1.5W 0.5WW , u 0 1.5P 0.5E , u 0
两种定义等价性的说明：
ui u )i (2i 1 3i 6i 1 i 2 ), u 0 x 6x
特点：利用了下游一个节点，提高了格式精度，但减 弱了稳定性。 (2) FVM定义－向上游取两 点，向下游取一个节点来定 义界面插值。
25/60
3. 采用QUICK格式 1) FVM定义－界面的插值在中心差分基础上考虑曲 率修正
1 e w (1.5P 0.5W ) (1.5W 0.5WW ) dx x w x x x
e
3P 4W WW 2x
FVM定义的是计算区域中的 积分中值；FDM定义的是一 点的离散值。
24/60
2.采用三阶迎风 (TUD) (1) Taylor展开定义－一阶导数的三阶偏差分格式
1 E ) 0 Cur 使插值微减！ 8 1 E ) 0 Cur 使插值微增！ 8
Baidu Nhomakorabea27/60
怎样相邻的三点? (2) 为增加格式的稳定性要引入迎风思想：对e-界面 当界面流速ue大于零时，取 当界面流速ue小于零时，取
W , P ,E P ,E ,EE
ue大于零时，取
ui u )i (3i 4i 1 i 2 ), u 0 2x x
写成界面CD加附加项的形式：
P W P 2W WW ) u ) P uP ( x x 2x
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相当于CD＋曲率修正－用w界面上的中心差分 P 2W WW 的斜率来代替P点的斜率要加上修正： ( ) 2x
8/60
由离散方程：
in1 in
t
得：
u
in in 1
x
纯对流传递
n 1 i
ut ut n (1 )( )i 1 x x
n i
ut 当 1 时 x
n 1 i
n i 1
C 0.8
此时只有对流，没有扩散！ 与物理问题相一致！ 此值不为1时则有严重假扩散！
Jin WW, He YL, TaoWQ. How many secondary flows are in Leonard’s vertical slot? Progress in Computational Fluid Dynamics, 2009, 9(3/4):283-291
节点数=316404
所以上述一阶截差的离散方程在二阶截差的意义上 相当于模拟了一个对流扩散方程，而不是纯对流方程。
5/60
只有当 1 u t 0 时才没有这部分的计算误差。
ut 称为Courant数，以纪念德国数学家Courant。 x ux ut 2 )i ,n u )i ,n [ (1 )] 2 )i ,n O(x 2 , t 2 ) 2 t x x x
所以
w
E
0 0
来流速度为 U
P W !
11/60
上游温度一直保持到下游。
2. 设x-y坐标分别与来流呈45度倾角 仍采用一阶迎风格式，对P控制容积，此时：
aE De Fe ,0
2 U, 来流速度为 U u v 2 u 0, 0
0
w
aW DW FW ,0 u 0, 0 F aN Dn Fn ,0 aS Ds Fs ,0
2 2 ( ) ( u ) u ( ) u ( u ) u 2 x x x 2 t x x t t t t
2
此处 是差分 方程的精确解
代入上式可得
ux ut 2 )i ,n u )i ,n [ (1 )] 2 )i ,n O(x 2 , t 2 ) t x x x 2