25.7相似多边形及位似图形的位似(2)
相似多边形及位似--知识讲解
相似多边形及位似--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号：394501关联的位置名称（播放点名称）：黄金分割及总结】定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1∵ABAP AP PB = ∴11x x x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m ，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比是否相等. 542016221616EF AB ==++=， 652420222020EH AD ==++= 而6554≠，∴EH AD EF AB ≠ ∴矩形ABCD 与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）A.1:2B. 2:3C. 2:5D.4:9【答案】D.2. 如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A. 2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 2【答案】C.A B C D E F G H【解析】长为8cm 、宽为4cm 的矩形的面积是32cm 2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是32×14=8cm 2．故选C ． 【总结升华】本题考查相似多边形的性质．相似多边形面积之比等于相似比的平方．类型二、位似3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标. AB C D E A 1 B 1 C 1D 1E 1 A B DE【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）.（2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=21OA ，OB ″=21OB ，O C ″=21OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标. 举一反三【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号： 394501关联的位置名称（播放点名称）：位似作图及例4】【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】 51-的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于F ．即矩形DCEF 为黄金矩形． 证明：在正方形ABCD 中，取2AB a =，∵ N 为BC 的中点，∴ 12NC BC a ==． G F F'B C G' A BC D EF M N在Rt DNC △中，ND ===．又∵ NE ND =，∴ 1)CE NE NC a =-=．∴ 1122CE a CD a ==）． 故矩形DCEF 为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.。
25.7 相似多边形和图形的位似 - 第1课时课件(共19张PPT)
3.如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.
解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得α=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.在四边形ABCD中，β=360°-(78°+83°+118°) = 81°.因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得x=28.
6
45°
45°
135°
135°
问题3 对应边成比例的两个多边形是相似多边形吗？
对应边成比例的两个多边形，不一定相似
5
3
4.5
7.5
45°
60°
135°
135°
归纳总结
问题4 怎么样才能保证两个多边形相似呢？
对应角相等，对应边成比例.
一般地，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.
第 二十五章 图形的相似
25.7 相似多边形和图形的位似第1课时
学习目标
1.通过具体实例认识图形的相似，掌握识别相似图形的方法.2.掌握相似多边形的特征,会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似.3.运用相似多边形的性质进行相关计算.
重点
掌握相似多边形的定义及性质.
难点
运用相似多边形的性质进行相关计算.
例 如图，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，求C1D1的长和∠A的度数.
例题解析
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
知识点3 相似多边形的性质
1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
25.7 相似多边形和图形的位似 - 第2课时课件(共25张PPT)
位似图形有哪些性质？
可以发现
对应顶点的直线都相交于位似中心.对应边互相平行或在同一条直线上.
例题示范
例1 如图，以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△ ,以下说法错误的是( )A.△ABC∽△ B.点C,O, 三点在同一直线上C.D.AB∥
创设情境
如图是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？
探索新知
知识点1 位似图形的概念
一起探究
如图，已知△ABC及△ABC外的一点O.1.请你按如下步骤画出△A'B'C'.（1）画射线OA，OB，OC.（2）分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.（3）连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.2.请你判断AB与A'B'、AC与A'C'、BC与B'C'的位置关系，并说明理由.3.△ABC与△A'B'C'相似吗？为什么？
例3 把四边形ABCD缩小到原来的1/2.
解：(1) 在四边形外任选一点 O (如图);(2) 分别在线段 OA,OB,OC,OD 上取点 A' ,B' , C' ,D' ,使得 ；(3) 顺次连接点 A' ,B' ,C' ,D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
C
归纳
冀教版数学九上25.7《相似多边形和图形的位似》ppt课件(共27张PPT)
3．(3 分)位似图形的位似中心可以在( D )
A．原图形外
B．原图形内
C．原图形的边上 D．以上三种都可以
4．(3 分)如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得
到五边形 A′B′C′D′E′，已知 OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形
A．46.8 cm2
B．48 cm2
C．24 cm2
D．54 cm2
6．(3分)一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和
它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边长为( B
)
A．12
B．18
C．24
D．30
7．(3 分)如图，矩形 ABCD 的面积是 72，AE＝12DC，EF＝12
AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是( B )
A．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是相似图形 B．AD 与 AE 的比是 2∶3 C．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的周长比是 2∶3 D．四边形 ABCD 与四边形 AEFG 的面积比是 4∶9
7．(8 分)如图，△DEF 是△ABC 经过位似变换得到的，位似中心 是点 O，确定点 O 的位置，如果 OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的 相似比．
AD，那么矩形 EBGF 的面积是( B )
A．24 C．12
B．18 D．9
8．(3 分)如图，六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL，相似比为
2∶1，则下列结论正确的是( B )
A．∠E＝2∠K B．BC＝2HI C．六边形 ABCDEF 的周长＝六边形 GHIJKL 的周长 D．S 六边形 ABCDEF＝2S 六边形 GHIJKL
最新初中数学【素材一】25.7相似多边形和图形的位似
解读相似多边形一、知识点拨相似多边形具有对应角相等，对应边之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方等性质．由于相似三角形是相似多边形的特例．因此，相似三角形具有相似多边形的一切性质．四边以上的多边形可以分割为若干个三角形，相似多边形还具有“对应三角形相似”的性质．二、典型例题例 如下图，梯形ABCD 与梯形A B C D ''''中，90A A B B ''====∠∠∠∠，D D '=∠∠，AB BC A B B C =''''．请说明：梯形ABCD ∽梯形A B C D ''''．分析：要说明梯形ABCD ∽梯形A B C D ''''．已知四个角已对应相等，只需说明四条边对应成比例即可．由AB BC A B B C =''''，90B B '==∠∠，可连结AC A C ''，，则A B C A B C '''△∽△．于是1133AC AB BC A C A B B C''====''''''∠∠，∠∠，．而在ADC △和A D C '''△中，由于29019012'=-=-=∠∠∠∠，D D '=∠∠，所以A D C A D'''△∽△．即CD AD AC C D A D A C ==''''''，所以AB BC CD AD A B B C C D A D ===''''''''．故梯形ABCD ∽梯形A B C D ''''． 说明：研究多边形的问题，常常把多边形分成若干个三角形，从而把求解多边形的问题转化为求解三角形的问题．三、注意事项相似多边形的定义、性质与相似三角形基本一致，而相似多边形的判定与相似三角形的判定是有区别的，对应角相等或对应边成比例的三角形相似，而对应角相等且对应边成比例的多边形才相似，所以不能随意地把判定相似三角形的方法套用来判定多边形相似．例如，两个矩形的各角都相等，但对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似．另外研究多边形相似时通常利用辅助线使之转化为三角形问题．。
冀教版九年级数学 25.7 相似多边形和图形的位似(学习、上课课件)
比，面积比等于相似比的平方 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 各角相等的两个多边形不一定相似，各边
成比例的两个多边形也不一定相似 .
感悟新知
知1－练
例1 如图 25-7-1，有一 块长 3 m、宽 1.5 m 的矩形黑板 ABCD，镶在其外围的木质边框宽 7.5 cm. 边框的内边 缘所成的矩形 ABCD 与边框的外边缘所成的矩形 EFGH 相似吗？为什么？
也可能位于两个位似图形之间，还可能 位于两个位似图形的内部、边上或某 一个顶点处. 常见位似图形的构成如图25-7-3所示.
知2－讲
感悟新知
3. 位似图形具有的性质(拓展)
知2－讲
(1) 位似图形每组对应顶点的连线所在的直线必过位似中心 .
(2) 位似图形任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相
感悟新知
知1－练
∴AEBF=
1.5 1.65
=
10 11
，EAHD
=
3 3.15
=
20 21
.
∵
10 11
≠
20 21
，
∴ 边框的内边缘所成的矩形 ABCD 与边框的外
边缘所成的矩形 EFGH 不相似 .
感悟新知
知1－练
1-1. [ 模拟·邢台信都区] 如图，有甲、乙、丙三个矩形， 其中相似的是( A ) A. 甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．甲、乙、丙
感悟新知
知1－练
例2 [母题 教材 P94 例] 如图 25-7-2，梯形 ABCD 与梯形 A′B′C′D′相似， AD ∥ BC， A′D′∥ B′C′，∠ A=∠ A′， AD=4， A′D′=6， AB=6，B′C′=12，∠ C=60° . (1) 求梯形 ABCD 与梯形 A′B′C′D′的相似比 k； (2)求 A′B′和 BC 的长； (3)求∠ D′的大小 .
25.7 相似多边形和图形的位似
做一做 △ABC的边长缩小到原来的一半.
连AO，并延长至A’，使
OA ' OA
1 2
B ‘
A’
连BO，并延长至B’，使
OB ' OB
1 2
C‘
连CO，并延长至C’，使 OC ' 1
OC 2
连接三个顶点就可以得到△A’B’C’.你能解 释原因吗？
同时满足下面两个条件的两个图形才叫做 位似图形．两条件缺一不可．
1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都经过同一点．
显然，位似图形是相似图形的特殊情形， 其相似比又叫做它们的位似比.
随堂练习
2. 一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6， 另一个和它相似的多边形的最短边长为6， 则这个多边形的最长边为__1_8___ 。
3. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？
A 3D 2
E 1. H 15
F
G
B
C
解：矩形ABCD ∽ 矩形EFGH
因为它们的对应角相等，对应边的比也相等。
D1
在下列图形中，找出形状相同的图形。
相似多边形
定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫
做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做他们的相似比
D A
H E
F
GБайду номын сангаас
B
C
如图，记作:四边形ABCD∽四边形EFGH
注意字母的对应顺序
如图，四边形A1B1C1D1∽A2B2C2D2，相似比为k.
D1 A
A
D2
1
如图四边
形ABCD，
现要对其 放大两倍，
A1
该如何操
作？
D
冀教版数学九年级上册 相似多边形和图形的位似
4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，2)，(6，4)， AC⊥x轴于点C，BG ⊥x轴于点G，分别以AC，BG为边作正方形 ACDE和正方形BGMN. (1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式； (2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形； (3)已知点M的坐标是(10，0)，试作一个正方形，它以点M为其中一个 顶点，且与已有正方形成位似图形(在下图中作出即可)．
∴正方形ACDE与正方形BGMN对应顶点连线交于一点，此点
为原点，且
，因此正方形ACDE和正方形
BGMN是位似图形.
(3)画图略.
思考： （1）相似三角形的判定有哪些？ （2）相似图形的性质有哪些？ （3）如何做一个图形与已知图形相似？
思考：
如图所示，已知△ABC，求作△A'B'C'，使
△A'B'C'∽△ABC，且相似比为2:1.
A
B
C
学生活动一 【一起探究】
做一做：如图所示，已知△ABC及△ABC外的一点O.
1.请按如下步骤画出△A'B'C'.
4.解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(3，2)，B(6，4)代入得：
解得
∴直线AB的表达式为y＝23 x ,同理求得直线EN的表达式为
y＝
2 5
x
.
4. (2)∵直线AB的表达式为y＝23 x ，直线EN的表达式为
y＝
2 5
x
，它们都过原点，直线DM与直线CG都与x轴重合，
C．(2，2)
D．(4，2)
在平面直角坐标系中. 如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k. 即若 原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)则其位似图形对应顶点的坐 标 为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0).
冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》说课稿
冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》说课稿一. 教材分析冀教版数学九年级上册25.7《相似多边形和图形的位似》一节，是在学生已经掌握了相似多边形的性质和判定方法的基础上进行教学的。
这部分内容是整个初中数学中重要的知识点，也是中考的热点。
通过这部分的学习，使学生能够理解和掌握相似多边形的性质，以及如何应用位似变换来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对相似多边形的性质和判定方法已经有了一定的了解。
但是，对于位似变换的理解和应用，部分学生可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来理解和掌握位似变换的性质和应用。
三. 说教学目标1.理解相似多边形的性质，掌握位似变换的性质和应用。
2.能够运用相似多边形的性质和位似变换来解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似多边形的性质，位似变换的性质和应用。
2.教学难点：位似变换的应用，如何解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过实际问题来理解和掌握位似变换的性质和应用。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示位似变换的实例，帮助学生直观地理解和掌握位似变换的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生运用已知的相似多边形的性质来解决这些问题，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍位似变换的定义和性质，引导学生理解和掌握位似变换的性质。
3.实例讲解：通过具体的实例，讲解位似变换的应用，引导学生如何运用位似变换来解决实际问题。
4.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的位似变换的知识来解决实际问题，巩固所学的内容。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，加深学生对位似变换的理解和掌握。
七. 说板书设计板书设计主要包括位似变换的定义、性质和应用，以及相关的例题。
通过板书，帮助学生直观地理解和掌握位似变换的性质和应用。
最新初中数学【素材三】25.7相似多边形和图形的位似
关于相似形和位相形的对比相似形和位相形是一对孪生兄弟，他们有着千丝万缕的联系，但也有明显的区别．我们只有正确理解和掌握了他们的区别与联系，才能更好的应用他们来为我们服务．一、从原始概念作比较形状相同的图形叫做相似形．与这些图形的大小、位置无关．形状相同而又存在一定位置关系的图形叫做位似形．与这些图形的大小无关，但与它们的位置有关．二、从数学定义作比较相似形：如果两个图形的形状相同，那么这样的两个图形叫做相似图形．如图1所示．位似形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形．所有对应点所在的直线的交点叫做位似中心．如图2所示．三、从性质方面作比较相似形：对应角相等；对应点连结的线段都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．比如相似三角形：对应角相等；对应边、对应高、对应中线、对应角的平分线以及周长等，它们的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方．又如相似多边形：对应角相等；对应边、对应对角线以及周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 例如在图3中，如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k ，CD 、C 1D 1分别是它们的高（或中线或角平分线），那么∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠ACB =∠A 1C 1B 1；AB ∶A 1B 1=BC ∶B 1C 1=AC ∶A 1C 1=CD ∶C 1D 1=k；AB +BC +AC ∶A 1B 1+B 1C 1+A 1C 1=k ；ABC S ∆∶111C B A S ∆=2k 位似形：它不仅具有相似形的所有性质，而且还有如下性质：1、任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，这个相似比也可称为位似比．2、对应线段互相平行．例如在图4中，如果△ABC 与△A 1B 1C 1位似，位似中心为O ，位似比为k ，CD 、C 1D 1分别是它们的高（或中线或角平分线等），那么除了这些等式（∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠ACB =∠A 1C 1B 1；AB ∶A 1B 1=BC ∶B 1C 1=AC ∶A 1C 1=CD ∶C 1D 1=k ；AB +BC +AC ∶A 1B 1+B 1C 1+A 1C 1=k ；ABC S ∆∶111C B A S ∆=2k ）之外，还有：O A ∶O A 1=O B ∶O B 1=O C ∶O C 1=k ；AB ∥A 1B 1，BC ∥∶B 1C 1，AC ∥∶A 1C 1，CD ∥∶C 1D 1．四、从识别方法上作比较相似形：需要满足的条件是：1、对应角相等．2、对应边成比例．位似形：需要满足的条件是：1、对应角相等．2、对应边成比例，3、每组对应点所在的直线都必须经过同一个点．五、应用方法的比较1、如图5，利用小镜子、标杆、皮尺测量建筑物的高度．这是利用的相似三角形的性质．如图6，利用太阳光下人与建筑物的影子、皮尺测量建筑物的高度．这是利用的位似三角形的性质．当然，也可以说利用的是相似三角形的性质．2、如图7，1l 、2l 是一条河的两岸，要测量这条河的宽度，可以在河的岸边用木桩确定一个直角梯形ABCD ，并且沿AD 和BC 的方向观测到河对岸一点O ，量得AB 、AD 、DC 的距离，就可以计算出O D 的长，即河的宽度．这个问题中，△O AB和△O DC 我们可以看作相似三角形，也可以看成位似三角形．总有△O AB ∽△O DC ．于是O D ∶O A =CD ∶AB ．∵O A =O D +DA ，∴O D ∶（O D +DA ）=CD ∶AB ，∴CDAB CD AD OD -∙=． 我们可以用画位似图形的方法，画一个图形的相似图形，也可以把一个图形放大或缩小．比如美术课老师带同学写生时，伸开右臂用铅笔测量景物的比例，就是根据画位似图形的道理．关于相似形和位似形的应用很多，不再枚举．从上面的讨论可以看到，相似形和位似形有着许多共同的性质．但是由于位置的不同也存在一定的区别．把两张大小不一的中国地图挂在同一个墙壁上，就形成位似图形．而挂在不同方向的墙壁上，就只能是相似形了．。
【素材二】25.7相似多边形和图形的位似
点击位似变换考题若两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似．这个交点叫做位似中心，这样的两个图形称为位似图形．利用位似，可以将一个图形放大或缩小．画一个图形的位似图形的关键在于画出图形特殊点的经过变换后的对应点，然后顺次连接这些对应点．决定一个图形的位似图形位置及大小的主要因素是位似中心和相似比．下面请看几例．一、画位似图形例1 (聊城)如图1，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，7)， B (6，8)， C (8，2)，请你完成下面的作图并写出顶点的坐标．(不要求写出作法)：以O 为位似中心，在第三象限内作出△A ′B ′C ′， 使△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为1：2；图1 图2解析：本题是一道位似作图题，以点O 为位似中心，可分别连结AO 、BO 、CO ，并延长到A ′、B ′、C ′，使A ′O ′=21OA ，B ′O ′21OB ，C ′O ′=21OC ， 连结A ′B ′、B ′C ′、C ′A ′，即得△A ′B ′C ′(如图2)．此时，点A ′(-1,-3．5), B ′(-3,-4),C ′(-4,-1)．二、求点的坐标例2（海门）某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图3所示）．则小鱼上的点（A ，B ）对应大鱼上的点（ ）A ．（－2A ，－2B ） B ．（－A ，－2B ）C ．（－2B ，－2A ）D ．（－2A ，－B ）图3解析：解决本题的关键是从已知图形中发现大鱼与小鱼的位似比．从位似图形的对应线段可以发现大鱼与小鱼的位似比是2：1，根据大鱼所在位置可知小鱼上的点（A ，B ）对应大鱼上的点（－2A ，－2B ），选A ．三、解阅读理解题例3 （南京）如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．(1)选择：如图4，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′与△PQR 是位似三角形．此时，△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比、位似中心分别为（ ）A ．2、点PB ．21、点PC ．2、点OD ．21、点O图4 图5(2) 如图5，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形．阅读后解决相应说理问题．画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上；②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′，作E ′D ′∥ED ，交OB 于点D ′；③连结C ′D ′．则△C ′D ′E ′是△AOB 的内接三角形．说明△C ′D ′E ′是等边三角形的理由．解析：本题实质上是位似变换特征的应用．它给出阅读的材料是位似三角形的定义、位似比、位似中心的说明．是一道集阅读、作图、说理于一体的综合性试题．解决本题需要认真读题，理解题意，看懂画法，然后说理．（1）根据位似三角形的定义和三角形相似的有关知识可知选（D ）．（2）因为EC //E ′C ′，所以∠CEO =∠C ′E ′0，又∠COE =∠C ′OE ′，所以△OCE ∽△OC ′E ′，所以E O OE E C CE '=''， 因为ED //E ′D ′，所以∠OED =∠OE ′D ′， 又∠DOE =∠D ′OE ′，所以△ODE ∽△OD ′E ′，所以E O OE D E ED '=''， 所以DE ED E C CE ''=''，∠CED =∠C ′E ′D ′， 因为△CDE 是等边三角形，所以CE =ED ，∠CED =60°，所以C ′E ′=E ′D ′，∠C ′E ′D ′=60°，所以△C ′E ′D ′是等边三角形．P Q R O P'Q'R'O A B CD E C'D'E'。
冀教版初中数学九年级上册相似多边形和图形的位似精品课件PPT
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们 到位似中心的距离之比等于相似比.（位似比）
冀教版初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 课件
冀教版初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 课件
应用： 应用对应点到位似中心的距离之比等于位似比，可以对 图形放大或缩小作位似图形 注意：位似中心可以在任意位置；对应点可以落在位似
•
2、人物作为支撑影片的基本骨架，在 影片中 发挥着 不可替 代的作 用，也 是影片 的灵魂 ，阿甘 是影片 中的主 人公， 是支撑 起整个 故事的 重要人 物，也 是给人 最大启 示的人 物。
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3、在生命的每一个阶段，阿甘的心中 只有一 个目标 在指引 着他， 他也只 为此而 踏实地 、不懈 地、坚 定地奋 斗，直 到这一 目标的 完成， 又或是 新的目 标的出 现。
△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都 是在小正方形的顶点上. ①画出位似中心点O； ②求出△ABC与△A1B1C1的相似比为 . ③以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的 相似比等于1.5。
冀教版初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 课件
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冀教版初中数学九年级上册 25.7 相似多边形和图形的位似 课件
综合训练：1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似
中心，若OA=2AA′,S△ABC=8,则S△A′B′C′=
.
2.图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与
A
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如图,已知△ABC∽△DEF， 它们对应顶点的连线 AD,BE,CF相交于点O,这两个 三角形是不是位似三角形?
A
D
B E
0 F C
位似图形是具有特殊位置关系的相似图形
观察下图中的五个图，回答下列问题： （ （ 21 ）在各图中，任取一对对应点，度量这 ）在各图中，位似图形的位似中心与这 两个点到位似中心的距离 两个图形有什么位置关系？ .它们的比与位似 比有什么关系？再换一对对应点试一试. 位似中心不一样，图形的位置就不一样 相等. .
3.已知：如图
1) 或 (2， A．(2， 1)
4) (8， 4) 或 (8， B．
E
y
(2， 1) C．
4) D．(8，
F
o
x
练习:
4.在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(6，0) 1 两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为 ， 3 把线段AB缩小后得到线段A’B’，则A’B’的长度 （2,1）或（-2，-1） 等于______ ． A’ 的坐标为 1 ——————————————.
位似图形的对应点和位似中心在同 一条直线上,它们到位似中心的距 离之比等于位似比.
在下列每个图形中，位似图形的对应线段AB 与A′B′是否平行？BC与B′C′，CD与C′D′， AD与A′D′是否平行？为什么？ 不经过位似中心的对应线段平行.
练习: 已知五边形ABCDE和形外一点O，请同 学们画出以O点为位似中心，位似比
练习:
5.如图，D，E分别AB，AC上的点. （1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC 是位似图形吗？为什么？
A D E C
B
解：（1） ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理由是：
因为DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B， ∠AED ＝∠C.所以∆ADE∽ ∆ABC. 又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，点D和点B是对 应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所 以∆ADE和 ∆ABC是位似图形.
练习:
5.如图，D，E分别AB，AC上的点. （2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？ 为什么？ A
D
解：（2） DE∥BC.理由是： ∆ADE和 ∆ABC是位似图形， ∆ADE∽ ∆ADE＝∠B
6.如图，在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为 A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．请在图中画出△ABC的一 个以点P(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要 求与△ABC同在P点一侧);
观察与思考:下列图形中，每个图中的四边
形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分 别观察这五个图，你发现每个图中的两个四 边形各对应点的连线有什么特征？
定义:
如果两个相似图形的每组对应点所在的直 线都交于同一点,那么这样的两个图形叫做 位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这两 个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？
1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一 点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位 似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似 比.
2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们 到位似中心的距离之比等于相似比
3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
练习:
2.已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与四 边形EFGD的位似比为（ C ） A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3
练习:
F (1， 1) ，以 O E (4， 2)， 为位似中心，按比例尺 1: 2 ，把 △EFO 缩小，则点 E 的对应点 E 的坐标为（ A ）
等于
1 2
的位似图形。
A E
B O C
D
练习：
1.下列说法正确的是（ D ） A.两个图形如果是位似图形， 那么这两个图形一定 全等； B.两个图形如果是位似图形， 那么这两个图形不一定 相似； C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位 似； D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相 似