一元二次方程复习(三)
一元二次方程的解法三
九年级上期数学复习学案---一元二次方程的解法（三）知识点归纳：因式分解法求解一元二次方程。
重难点：1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．考点：因式分解法求解一元二次方程因式分解法定义： 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 例题讲解：例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．对应练习：1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；(3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12；(6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)； (6)(3－y)2＋y2＝9；拓展练习1、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值2、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．。
一元二次方程应用题专题复习A3
一元二次方程的应用题（一）传播问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
4.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？5.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（只需要列式子）。
4.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为5.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
6.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？7.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题3(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题3（附答案详解）1．一元二次方程x 2＋3x ＝0的解是( )A ．x ＝3B ．x 1＝0，x 2＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x ＝－32．关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1=0的判别式为（ ）A ．1﹣b 2B ．b 2﹣4C ．b 2+4D ．b 2+13．下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3=0B ．x 2﹣2x+3=0C ．2x 2﹣2x ﹣3=0D ．3x 2﹣6x+1=0 4．关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ）A ．k ＜B ．k ＞C ．k≤D ．k≥5．方程x 2﹣3x +4=0和2x 2﹣4x ﹣3=0所有实数根的和是（ ）A ．3B ．5C ．1D ．26．方程2270x ax -+=，有一根是12，则另一根为（ ） A ．7 B ．7.5C ．-7D ．15 7．已知关于x 的方程()2a 1x 2x 10--+=有实数根，则a 的取值范围是()n nA ．a 2≤B ．a 2>C ．a 2≤且a 1≠D ．a 2<-8．x=1是关于x 的一元二次方程2x 2+mx−1=0的一个根，则此方程的两根之和为A ．−1B ．1C ．12D ．−129．关于x 的方程220x x k +-=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A ．12 B ．12- C ．1? D ． 1-10．甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是....（ ）A ．x 2+4x ﹣15=0B ．x 2﹣4x ﹣15=0C ．x 2+4x+15=0D ．x 2﹣4x+15=011．若x=3是一元二次方程x 2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根为_____． 12．设x 1、x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)=_______．13．已知关于x 的方程230x x k ++=的一个根是1-，则k =________；另一根为________．14．若关于x 的一元二次方程2430kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围15．若关于x 的一元二次方程()()21220m x mx m --++=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是________．16．方程x 2－2x －3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程________________________．17．方程（2x +1）（x +2）=6化为一般形式是______，b 2—4ac ____，用求根公式求得x 1=______，x 2=______，x 1+x 2=______，12x x =______，18．关于x 的一元二次方程2310kx x --=有实数根，则k 的取值范围是________． 19．如果关于x 的方程2420x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是_______________．20．已知实数a 、b 满足a b ¹，且222018a a b b -=-=-，则11a b+的值为_______. 21．（1）不解方程，求方程5x 2﹣1=2x 的两个根x 1、x 2的和与积；（2）求证：无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根．22．如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根，那么有x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a.这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：x 1，x 2是方程x 2+6x-3=0的两根，求x 12+x 22的值.解法可以这样：因为x 1+x 2=-6，x 1x 2=-3，所以x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-6)2-2×(-3)=42. 请你根据以上解法解答下题：设x 1，x 2是方程2x 2-x-15=0的两根，求： (1)11x +21x 的值； (2)(x 1-x 2)2的值.23．关于x 的方程3x 2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，求方程的另一个根及m 的值．24．关于x 的一元二次方程()21210k x x +++=的实数解是1x 和2x ． ()1求k 的取值范围；()2如果12121x x x x k +-=-，求k 的值．25．已知2x 2﹣4x+c=0的一个根，求方程的另一个根和c 的值．26．已知：关于x 的方程x 2+2ax+a 2﹣1=0（1）不解方程，判列方程根的情况； （2）若方程有一个根为2，求a 的值．27．已知关于x 的一元二次方程2220x x k -+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求k 的取值范围；（2）若1x ，2x 满足211212325x x x x x ---<，且k 为整数，求k 的值．28．阅读材料：①韦达定理:设一元二次方程ax 2+bx+c=0（且a≠0）中，两根12x x 、有如下关系: 12b x x a +=-,12c x x a⋅=. ②已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq≠1，求1pq q+ 的值． 解：由p 2﹣p ﹣1=0及1﹣q ﹣q 2=0，可知p≠0，q≠0．又∵pq≠1，∴1p q≠ ； ∴1﹣q ﹣q 2=0可变形为21110q q⎛⎫--= ⎪⎝⎭的特征．所以p 与1q是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个不相等的实数根． 则p+1q=1， ∴1pq q+=1. 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m 2﹣5m ﹣1=0，21520n n +-=，且m≠n ．求：11m n+ 的值．29．已知关于x 的方程：2244(3)x m x m --=（1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．（2）若这个方程的两个实数根1x 、2x 满足211x x -=，求m 的值及相应的1x 、2x ．30．学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x 1，x 2，就能快速求出11x ＋21x ，x 12＋x 22，…的值了．比如设x 1，x 2是方程x 2＋2x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3，得11x ＋21x ＝1212x x x x +＝23.” (1)小亮的说法对吗？简要说明理由；参考答案1．C【解析】分析：分解因式得到x （x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．详解：x 2+3x=0，x(x+3)=0，x=0，x+3=0，x 1=0，x 2=−3，故选：C.点睛：此题考查了解一元二次方程-因式分解法，用因式分解法解方程的一般步骤是：移项、化积、转化、求解.2．C【解析】【分析】将一元二次方程的各项系数代入根的判别式24b ac ∆=-中，即可得出答案.【详解】在一元二次方程x 2+bx ﹣1=0中，∵a =1，b =b ，c =-1，∴222441(1)4b ac b b ∆=-=-⨯⨯-=+.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式.找出一元二次方程中各项的系数并准确进行计算是解题的关键.3．D【解析】【分析】先根据根的判别式,判断有无实数根的情况,再根据根与系数的关系,逐一判断即可.【详解】A. x 2+2x ﹣3=0,∴△=b²-4ac=-8<0,∴此方程没有实数根,故此选项错误;B. ∵x 2﹣2x+3=0 ,∴△=b²-4ac=-8<0,∴此方程没有实数根,故此选项错误;C. ∵2x 2﹣2x ﹣3=0,∴△=b²-4ac=32>0,∴此方程有实数根, 根据根与系数的关系可求12212b x x a -+=-=-= , 故此选项错误;D. ∵3x 2﹣6x+1=0,∴△=b²-4ac=24>0,∴此方程有实数根, 根据根与系数的关系可求12623b x x a -+=-=-=, 故此选项正确.故选D.【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，若1x ,2x 是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根时12b x x a +=-,12c x x a=. 4．C【解析】【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b 2-4ac≥0．【详解】因为关于x 的一元二次方程有实根，所以解得故选:C.【点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.5．D【解析】解：在方程x2﹣3x+4=0中，△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4=0无实数根；在方程2x2﹣4x﹣3=0中，△=（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）=40＞0，∴方程2x2﹣4x﹣3=0有两个不等的实数根．设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的实数根，∴x1+x2=2．故选D．6．A【解析】【分析】由韦达定理即可求解.【详解】解：令另一根为x，由韦达定理可知1722x ，解得x=7，故选择A.【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理.7．A【解析】【分析】分两种情况进行讨论，即一元一次方程和一元二次方程，从而得出答案．【详解】当方程为一元一次方程时，a=1，方程有实数根；当方程为一元二次方程时，a≠1且4－4(a－1)≥0，解得：a≤2且a≠1；综上所述，a≤2.故选A．【点睛】考查的是方程的解得情况以及分类讨论的思想，属于中等题型．解决这个问题的关键就是分类讨论，很多同学会把这个方程当做一元二次方程来解．8．C【解析】设方程的另一根为x1，∵x=1是关于x的一元二次方程2x2+mx−1=0的一个根，根据根与系数的关系可得：x1·1=−12，∴x1=−12，∴x1+1=12．故选C．9．D【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，代入公式求出即可．【详解】∵关于x的方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，∴△=b2+4ac=4+4k=0，解得；k=-1，故选：D．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式24b ac∆=-有如下关系：①当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆<0时，方程无实数根．10．B【解析】甲的常数项是对的，所以常数项为：-3×5 = -15，乙的一次项系数是对的，所以是一次项系数为：-（2+2）= -4，原方程是x2 - 4 x -15 = 0，故选D.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记根与系数的关系是解决此类问题的关键．【解析】【分析】由根与系数的关系，设另一个根为x ，再根据两根之和为b a -，代入计算即可． 【详解】由根与系数的关系，设另一个根为x ，则3+x =2，解得：x =−1.故答案为：x =−1.【点睛】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式1212,,b c x x x x a a +=-= 是解决本题的关键.12．52-； 【解析】【分析】根据(x 1+1)(x 2+1)=1212()1x x x x +++,依据一元二次方程的根与系数的关系,可得两根之积或两根之和,代入数值计算即可.【详解】∵x 1、x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根, ∴121232,2x x x x +=-=-, 又∵(x 1+1)(x 2+1)=121235()12122x x x x +++=--+=-, 故填空答案:52-. 【点睛】 本题考查了根与系数的关系,解题的关键是将根与系数的关系与代数式变形.13．2 -2【解析】把x=-1代入已知方程列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值；然后利用根与系数的关系来求方程的另一根．【详解】依题意，得(−1)2+3×(−1)+k =0，解得，k =2.设方程的另一根为t ，则−1×t =2， 解得t =−2.故答案是：2；−2.【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键. 14．43k <且0k ≠ 【解析】由题意可得：016430k k ≠⎧⎨∆=-⋅⋅>⎩， ∴43k <且0k ≠． 点睛:本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的定义和根的判别式∆=b 2﹣4ac ：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.15．2m <且1m ≠【解析】【详解】根据题意得：△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4()()1?2m m -+＞0， 解得m ＜2，∵方程为一元二次方程，∴m ﹣1≠0，即m≠1，则m 的取值范围是2m <且1m ≠. 故答案为2m <且1m ≠. 16．x 2－x －6＝0(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0，利用一元二次方程根与系数的关系可以求出该方程． 【详解】设该方程为ax 2+bx+c=0， x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a， 方程的两根为-2和3， 则-ba=-（-2+3）=-1， ca=（-2）×3=-6， 如果a=1，则b=-1，c=-6， 则该方程为x 2-x-6=0． 答案不唯一． 故可以填x 2-x-6=0．故答案为：x 2－x －6＝0(答案不唯一) 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，先设出一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系可求出方程．17．2x 2+5x —4=0， 57， 154x -±=, 254x -=， 52-， —2【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），据此可得出方程（2x+1）（x+2）=6的一般形式；把一般形式中a ，b ，c 的值代入计算，即可求出b 2-4ac 的值；将a ，b ，c 的值代入求根公式x =中进行计算，即可得出x 1，x 2的值；根据一元二次方程根与系数的关系即可得出x 1+x 2，x 1•x 2的值． 【详解】方程(2x +1)(x +2)=6化为一般形式是22540x x +-=； 在方程22540x x +-=中，∵a =2，b =5，c =−4，∴()2245424253257b ac -=-⨯⨯-=+=，∴x ==∴1x =,2x =，∵12x x 、是方程22540x x +-=的两根，∴121252.2x x x x +=-⋅=-，故答案为：25254057 2.2x x +-=--；， 【点睛】考查了一元二次方程的一般形式，求根公式以及根与系数的关系，属于基础题，比较简单. 18．94k ≥-且0k ≠ 【解析】 【分析】先求出∆的值，然后根据∆的值与一元二次方程根的关系列式求解即可. 【详解】 由题意得，∆=（-3）2-4×k×（-1）≥0，且k≠0，∴94k ≥-且0k ≠ 故答案为：94k ≥-且0k ≠.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 19．2m ≤ 【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=16-8m≥0,解之即可得出m 的取值范围. 详解：∵关于x 的方程2420x x m -+=有实数根, ∴△=(-4)²-4×2m=16-8m≥0, 解得:m≤2 故答案为:m≤2点睛：本题考查了根的判别式,根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式小于0,方程没有实数根. 20．12018-【解析】 【分析】由于实数a≠b ，且a ，b 满足a-a 2=b-b 2=-2018，则a ，b 可看着方程x 2-x-2018=0的两根，根据根与系数的关系得a+b=1，ab=-2018，然后把11a b+通分后变形，再利用整体代入的方法计算． 【详解】∵a ,b 满足222018a a b b -=-=-， ∴a ,b 可看着方程x 2−x −2018=0的两根， ∴a +b =1，ab =−2018，∴111.2018a b a b ab ++==- 故答案为：1.2018-【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系式是解题的关键.21．（1）x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先把右边的项移到左边，然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）先整理成一元二次方程的一般形式，然后求出∆的值即可判断. 【详解】（1）方程可化为5x 2﹣2x ﹣1=0， ∴x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15； （2）方程可化为x 2﹣3x+2﹣p 2=0， ∴△=（﹣3）2﹣4（2﹣p 2）=4p 2+1＞0，∴无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 22．(1)115；(2)1214【解析】分析：(1)根据根与系数的关系得出12x x + 和12x x ⋅的值,再把要求的式子进行通分,然后代值计算即可;(2)把要求从的式子变形为21212()4x x x x +-,再把12x x +=12,12152x x =-代入进行计算即可.详解：x 1+x 2=12，x 1x 2=-152. (1)1211x x +=2112x x x x +=12152-=- 115；(2)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=（12）2-4×（-152）=1214. 点睛：此题主要考查了根与系数的关系,根据题意得出12=bx x a +-和12c x x a=的值是解决问题的关键.23．-5，53【解析】试题分析：把x =−1代入方程2320x x m -+=得关于m 的方程，可求出m =−5，然后利用根与系数的关系求方程的另一根．试题解析：把x =−1代入方程2320x x m -+=得3+2+m =0，解得m =−5， 设方程的另一个根为t ,则13m t -⋅=-， 所以5.3t =即方程的另一个根为5.324．：()1k 的取值范围是0k ≤，且1k ≠-；()2 k 的值为2-． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程有两个实数根，故△≥0，且方程为一元二次方程，可知二次项系数不为0，据此解答即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣21k -+，x 1x 2=11k +，根据x 1+x 2﹣x 1x 2=1﹣k 列出等式，解答即可． 【详解】（1）△=22﹣4×（k ﹣1）×1=﹣4k ． ∵方程有实数根，∴△≥0且k +1≠0，解得：k ≤0且k ≠﹣1，k 的取值范围是k ≤0且k ≠﹣1； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得：x 1+x 2=﹣21k -+，x 1x 2=11k +． 由x 1+x 2﹣x 1x 2=1﹣k ，得：21k -+﹣11k +=1﹣k ，解得：k 1=2，k 2=﹣2． 经检验，k 1、k 2是原方程的解．又由（1）k ≤0且k ≠﹣1，故k 的值为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 25．,c=-1 【解析】试题分析：设出方程另一根，利用根与系数的关系建立方程求解即可得出结论． 试题解析：解：设方程的另一根为m ，由题意得：24(2m m c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，解得：21m c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 答：方程的另一根为：xc 的值为﹣1．点睛：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解答本题的关键是求出方程的另一根．26．（1）证明见解析；（2）-1或-3.【解析】分析: （1）根据根的判别式可得△=4a 2-4（a 2-1）=4即可判断根的情况； （2）由题意可知把x=2代入原方程求得a 的值，然后再把a 的值代入原方程求得方程的另外一个根即可.详解: ：（1）∵关于x 的方程x 2-2ax+a 2-1=0， ∴△=4a 2-4（a 2-1）=4＞0，即△＞0， ∴方程有两不相等的实数根； （2）∵x=2是方程的一个根，∴把x=2代入原方程中得：4-4a+a 2-1=0， ∴a=-1或a=-3，点睛: 本题主要考查了根的判别式的知识和一元二次方程的解的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根 27．（1）k ＜3（2）0，1，2 【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4（k-2）＞0，然后解不等式即可；（2）由根的定义知: 211220x x k -+-= ，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=2，x 1x 2=k-2，再代入不等式211212325x x x x x ---<，即可求得k 的取值范围，然后根据k 为整数，求出k 的值．试题解析：（1）依题意可知:()()22420k --->，解得3k <；（2）由根的定义知: 211220x x k -+-= ，∴ 21122x x k -=-，由根与系数的关系知:122x x +=, 122x x k =- ，若1x ，2x 满足211212325x x x x x ---<， 则 2111212225x x x x x x ----<，∴ ()2111212225x x x x x x --+-<， ∴ ()22225k k ----<，∴ 13k >- ，又由（1）知3k <，∴ 133k -<< ，Q k 为整数，∴ k 的值为 0，1， 2．28．-5. 【解析】 【分析】类比材料中所给的方法解答即可. 【详解】 由21520n n+-=得2n 2﹣5n ﹣1=0， 根据2m 2﹣5m ﹣1=0与2n 2﹣5n ﹣1=0的特征，且m≠n ， ∴m 与n 是方程2x 2﹣5x ﹣1=0的两个不相等的实数根 ∴m+n=52，mn=12- ，∴11m n +=5212m nmn +=-=-5. ．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的解题方法解决问题是解决本题的关键.29．（1）证明见解析（2）①112x -=，212x --=②1x =，2x =【解析】试题分析：（1）求出b 2-4ac>0，即可判断方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系求得123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤，即可得1x 、2x 异号或有1个为0．再根据211x x -=，分①10x ≥，20x <和②10x ≤，2>0x 两种情况求m 的值及相应的1x 、2x ．试题解析：（1）()2216316m m ∆=-+23296144m m =-+2332722m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭72≥．∴无论m 取何值，方程有两个异根． （2）()224430x m x m ---=．∵4a =，124b m =-，2c m =-． ∴123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤，∴1x 、2x 异号或有1个为0．211x x -=，①10x ≥，20x <，211x x --=即121x x +=-，31m -=-，∴2m =．24440x x +-=．115x -+=，215x --=．②10x ≤，2>0x ．211x x +=，4m =． 244160x x --=． 240x x --=．11172x +=，21172x -=． 30．(1) 小亮的说法不对,理由见解析；（2）答案不唯一，详见解析 【解析】 【分析】根据：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca. 注意分式的分母不能等于0. 【详解】(1)小亮的说法不对．若有一根为零时，就无法计算＋的值了，因为零作除数无意义 (2)答案不唯一，如：一元二次方程x 2－5x －6＝0.设方程的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6. 又∵x 12＋x 22＋2x 1x 2－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，将x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6代入， 得x 12＋x 22＝52－2×(－6)＝37 【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.。
一元二次方程复习题
篇一: 一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的整式方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
[]注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=?b?x1=-a+ x2=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二?b?b2?4ac2次方程的求根公式是x?(b －4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，2ab，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：一元二次方程一元二次方程总复习知识点梳理⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) =3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。
新人教版-九年级一元二次方程的应用(3)(几何问题)
九年级一元二次方程的应用（3）一．填空题（共15小题）1．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价元．2．如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为米．3．把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是cm．4．学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸（如图）．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则镶在彩纸条的宽为．5．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是米．6．在一块长40cm，宽30cm的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的，则剪下的每个小正方形的边长是厘米．7．一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，则各边垂下的长度为米．8．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成m．9．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为米．10．明德小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪，现在有一位学生设计了如图所示的方案，求图中道路的宽是米时，草坪面积为540平方米．11．如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为m与m．12．为响应市委市政府提出的建设“绿色荆州”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m 的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）则小道进出口的宽度为米．13．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．14．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为m．15．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是cm；（2）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是．二．解答题（共11小题）16．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？17．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．18．如图，某小区规划在一个长40米，宽36米的矩形场地ABCD上修建横、纵道路宽为3：2的三条道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为198平方米，求道路的宽度．19．如图，为美化环境，某小区计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于3：5时，求此时通道的宽．21．如图，矩形ABCD的长AD=5cm，宽AB=3cm，长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当增加的面积y=20cm2时，求相应的x是多少？20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？22．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？23．如图，将一张长方形纸片的四个角各剪去一个边长为2cm的正方形后，做成一个无盖的长方体盒子，若长方形纸片的长与宽的比为2：1，做出的长方体盒子的容积为1152cm3，请求出长方形纸片的长和宽．24．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？25．如图，某公司计划用32m长的材料沿墙建造的长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16m，设长方形的宽AB为xm．（1）用x的代数式表示长方形的长BC；（2）能否建造成面积为120㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由；（3）能否建造成面积为160㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．26．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．2017年08月31日y1的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共15小题）1．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元．【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（5+x）（200﹣10x）=1500，解得：x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；故答案为：5．2．如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为2米．【解答】解：设道路的宽是x米，（32﹣x）（20﹣x）=540，解得：x1=48（舍）x2=2．答：道路的宽是2米，故答案为：2．3．把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是5cm．【解答】解：设矩形的长为xcm，则宽为（7﹣x）cm，根据题意得x（7﹣x）=12解之得x=4或x=3（舍去）则宽为3cm，所以这个矩形的对角线长是=5 cm．4．学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸（如图）．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则镶在彩纸条的宽为2．【解答】解：设所镶纸边的宽为x厘米，根据题意得：2[x（18+2x）+12x]=×12×18，解得：x=2或x=﹣17（舍去），答：所镶纸边的宽约为2厘米．故答案为：2．5．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是12米．【解答】解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，根据题意得：x（x﹣2）=120，解得：x=12或x=﹣10（舍去），故答案为：12．6．在一块长40cm，宽30cm的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的，则剪下的每个小正方形的边长是10厘米．【解答】解：设剪下的小正方形的边长为x．4x2=（1﹣）×40×30x=10或x=﹣10故答案为10．7．一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，则各边垂下的长度为1米．【解答】解：设垂下的长度为x，那么（6+2x）×（4+2x）=2×6×4，解得x=﹣6或1，根据实际意义得x=1，故答案为：1．8．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成2m．【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，解得x=2或x=﹣16（舍去）．答：通道应设计成2米．故答案为2．9．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为20米．【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．故答案是：20．10．明德小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪，现在有一位学生设计了如图所示的方案，求图中道路的宽是2米时，草坪面积为540平方米．【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：（32﹣x）（20﹣x）=540，解之得x1=2，x2=50（不合题意舍去）．答：道路宽为2m．故答案为2．11．如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为10m与13m．【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得（32﹣2x+1）x=130，2x2﹣33x+130=0，（x﹣10）（2x﹣13）=0，∴x1=10或x2=6.5，当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；当x2=6.5时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去．答：仓库的长和宽分别为13m，10m．故答案为：10，13．12．为响应市委市政府提出的建设“绿色荆州”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m 的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）则小道进出口的宽度为1米．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．整理，得x2﹣35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．故答案为：1．13．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，1秒或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．【解答】解：设x秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米，根据题意可得：BP=3﹣x，BQ=2x，故×2x（3﹣x）=2，解得：x1=1，x2=2，故1或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．故答案为：1或2．14．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为20 m．【解答】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．故BC的长为20 m．故答案为：20．15．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是14cm；（2）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是7s．【解答】解：（1）当t=4s时，l=t=8+6=14（cm），答：甲运动4s后的路程是14cm；（2）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21=63cm，则t+4t=63，解得：t=7或t=﹣18（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s．故答案为14；7s．二．解答题（共11小题）16．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150解这个方程；x2=10当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m．答：鸡场的长与宽各为15m，10m．17．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．【解答】解：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为xcm．根据题意，得：20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍去），∴x=3．答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．18．如图，某小区规划在一个长40米，宽36米的矩形场地ABCD上修建横、纵道路宽为3：2的三条道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为198平方米，求道路的宽度．【解答】解：设横、纵道路的宽分别为3x米、2x米，则每块草坪的相邻两边的长度分别为（40﹣2×2x）米、（36﹣3x）米，根据题意得：（40﹣2×2x）×（36﹣3x）=198，整理得：x2﹣22x+21=0，解得：x1=1，x2=21（不合题意，舍去），∴3x=3，2x=2．答：横、纵道路的宽分别为3米和2米．19．如图，为美化环境，某小区计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于3：5时，求此时通道的宽．【解答】解：设此时通道的宽为x米，根据题意，得60×40﹣（60﹣2x）（40﹣2x）=×60×40，解得x=5或45，45不合题意，舍去．答：此时通道的宽为5米．20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？【解答】解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．∴BE=AD=1，DE=AB=3，∴EC=BC﹣BE=4，在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，∴DC==5厘米；（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，且0＜t≤2.5，作QH⊥BC于点H，∴DE∥QH，∴∠DEC=∠QHC，∵∠C=∠C，∴△DEC∽△QHC，∴=，即=，∴QH=t，∴S△PQC=PC?QH=（5﹣t）?t=﹣t2+3t，S四边形ABCD=（AD+BC）?AB=（1+5）×3=9，分两种情况讨论：①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时，﹣t2+3t=×9，即t2﹣5t+5=0，解得t1=，t2=（舍去）；②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时，﹣t2+3t=×9，即t2﹣5t+10=0，∵△＜0，∴方程无解，∴当t为秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．21．如图，矩形ABCD的长AD=5cm，宽AB=3cm，长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当增加的面积y=20cm2时，求相应的x是多少？【解答】解：（1）由题意可得：（5+x）（3+x）﹣3×5=y，化简得：y=x2+8x；（2）把y=20代入解析式y=x2+8x中得：x2+8x﹣20=0，解之得：x1=2，x2=﹣10（舍去）．∴当边长增加12m时，面积增加20cm222．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？【解答】解：（1）设宽为x米，则：x（33﹣2x+2）=150，解得：x1=10，x2=（不合题意舍去），∴长为15米，宽为10米；（2）设面积为w平方米，则：W=x（33﹣2x+2），变形为：W=﹣2（x﹣）2+故鸡场面积最大值为＜200，即不可能达到200平方米．23．如图，将一张长方形纸片的四个角各剪去一个边长为2cm的正方形后，做成一个无盖的长方体盒子，若长方形纸片的长与宽的比为2：1，做出的长方体盒子的容积为1152cm3，请求出长方形纸片的长和宽．【解答】解：设长方形纸片的宽为xcm，则长为2xcm，由题意，得（2x﹣2×2）（x﹣2×2）=1152，解得x1=20，x2=﹣14（不合题意，舍去）．2×20=40（cm）．答：长方形的长为40cm，宽为20cm．24．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【解答】解：根据题意，得（21﹣3x）（8﹣2x）=60．整理得x2﹣11x+18=0．解得x1=2，x2=9．∵x=9不符合题意，舍去，∴x=2．答：人行通道的宽度是2米．25．如图，某公司计划用32m长的材料沿墙建造的长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16m，设长方形的宽AB为xm．（1）用x的代数式表示长方形的长BC；（2）能否建造成面积为120㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由；（3）能否建造成面积为160㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）依题意得：BC=32﹣2x；（2）能．由题知：x（32﹣2x）=120，化简整理得（x﹣6）（x﹣10）=0，解得：x1=6，x2=10．经检验x1=6，x2=10都是原方程的解但x1=6不符合题意，舍去，答：能建成面积为120㎡仓库，此时长为12米，宽为10米；（3）不能由题知：x（32﹣2x）=160，化简整理得：x2﹣16x+80=0，此时△=162﹣4×1×80=﹣64＜0此方程无解，所以不能建造成面积为160㎡的长方形仓库．26．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x=4，整理得：x2﹣5x+4=0，解得：x=1或x=4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）PQ=2，则PQ2=BP2+BQ2，即40=（5﹣t）2+（2t）2，解得：t=0（舍去）或3．则3秒后，PQ的长度为2cm．（3）令S△PQB=7，即BP×=7，（5﹣t）×=7，整理得：t2﹣5t+7=0，由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则原方程没有实数根，所以在（1）中，△PQB的面积不能等于7cm2．。
一元二次方程复习课(精品)
一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数， 在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”， 而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程总复习资料
第3章 一元二次方程总复习资料主备人：张静 审核人：一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
例如：535,53,02,3422222+===-+-x x x x x x x 都是一元二次方程。
而03132=-+x x不是一元二次方程，原因是x1是分式。
2.任何关于x 的一元二次方程的都可整理成)0(02≠=++a c bx ax 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。
化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。
注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b 、c 均可以为零。
如方程013x 023x 02222=-=-=、、x x 都是一元二次方程。
3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。
如x=1时，022=-+x x成立，故x=1叫022=-+x x的解。
4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。
（1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x的解为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成()a =2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。
《一元二次方程(三))讲义(预科课)》
第十一讲一元二次方程(三）一、增长率问题eg:例1．某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（）A．580（1+x）2＝1185B．1185（1﹣x）2＝580C．580（1﹣x）2＝1185D．1185（1+x）2＝580例2．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）2＝182C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182夯1．（练）为了绿化校园，某校计划经过两年时间，让校园的绿地面积从100m2增加到121m2．设平均每年绿地面积增长率为x，则方程可列为（）A．100（1+x）2＝21B．（1+x）+（1+x）2＝21C．100（1+x）2＝121D．（1+x）+（1+x）2＝121夯5．（练）房价上涨成为热点问题．据统计，某地房价由8月份房子每平方均价由5000元涨到10月份每平方均价7200元．（1）求该地这两个月房价的平均增长率；（2）按此速度上涨，11月房价每平方能否超过8500元，请说明理由．二、面积问题1.围猪圈问题例5如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），花园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为25m．（篱笆的宽度忽略不计）（1）花园面积可能是252m2吗？若可能，求边AB的长，若不可能，说明理由；（2）花园面积可能是330m2吗？若可能，求边AB的长，若不可能，说明理由．夯4．（练）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，则x为.2.铺草坪问题夯6．如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？夯7．如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，可列出的方程正确的是.培3．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．三、握手问题 1.握手问题2.送礼（比赛）问题3. 传染病问题例6.（练）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA ），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x 支，则可列方程为 ．例7.（练）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A ．9302)1(=-x x B ．9302)1(=+x x C ．x （x +1）＝930 D ．x （x ﹣1）＝930例8.（练）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x 名同学，则可列方程为（ ） A ．x +（x +1）x ＝36 B ．1+x +（1+x ）x ＝36C ．1+x +x 2＝36D ．x +（x +1）2＝36夯3.（练）有n 支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，可列方程是 .培2．（练）有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人．四、商品销售问题例9．新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价x 元，根据题意可列方程（ ）A ． 5000)5048)(2900(=⨯+-x x B ．5000)5048)(400(=⨯+-xxC ．5000)508)(2900(4=+-x xD ．5000)508)(400(4=+-xx例10．某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m 元，每月能售出 个排球（用m 的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．夯9．（练）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．（1）根据题意，填表：每件利润（元）销售量（件）利润（元）降价前4420880降价后①②（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？直1、（练）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？直2、（练）房价上涨成为热点问题．据统计，某地房价由8月份房子每平方均价由5000元涨到10月份每平方均价7200元．（1）求该地这两个月房价的平均增长率；（2）按此速度上涨，11月房价每平方能否超过8500元，请说明理由．直3、（练）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？作业：1.整理笔记2.第十一讲剩余习题。
初中数学专题练习-一元二次方程的解法(三)公式法和因式分解法
一元二次方程的解法（三）公式法和因式分解法复习：1．直接开平方法：2．配方法：为少犯配方时计算错误,一般这样配方,例如：用配方法解方程：22510x x -+=把二次项系数化为1,得：把常数项移到等号的右边：方程两边同时加上一次项系数一半的平方： 配方,计算要准确：两边开平方：移项：正确写出原方程的解：一、求根公式法探索：我们来解一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）解：因为a ≠0,方程两边都除以a,得20b c x x a a++=． 移项,得2b c x x a a+=-． 配方,得2222()()222b b b c x x a a a a +⋅⋅+=-, 即2224()24b b ac x a a-+=． 因为a ≠0,所以42a ＞0,当24b ac -＜0时,方程无实数根；当24b ac -≥0时,直接开平方,得2422b b ac x a a-+=± 所以2422b b ac x a a-=-±, 即221244b b ac b b ac x x -+----== 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）法2：4 a 2x 2＋4abx ＋4ac ＝022a x （）＋2·2ax ·b ＋b 2＝b 2-4ac (2ax+b)2= b 2-4ac由以上研究的结果,得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式： 224(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥． 利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接求得 方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例1：用公式法解方程 2341x x =+练习：用公式法解方程：（1）2 1.53x x +=-；（2）21202x +=； （3）24320x x -+=．例2：解关于x 的方程2210x ax --=；练习：解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；小结：公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根与 系数的关系,（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式,准确找出各项系数 a 、b 、c ；（2）先求出24b ac ∆=-的值,若240b ac ∆=-≥,则代入公式 ．若240b ac ∆=-<,则 ；例3：解方程：2523x x =二、因式分解法 依据：000A B A B ⋅=⇔==或（A 、B 至少一个为0）先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使两个一 次式分别等于0,从而实现降次；这种解法叫做因式分解法．所有学 过的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法．注意：1??A B A B ⋅=⇒==（不确定A 、B 的值）． 例4：用因式分解法求解下列方程：（1） (2)22(4)(52)x x -=-．（3）(2)20x x x -+-=； （4）26x x -=；()()()24 85860x x +-++=()5(2)20x x x -+-=练习： （1）22135-2--244x x x x =+； （2）3(21)42x x x +=+；例5：2(1)234)30x x +-= 2(2)3260x -+-=()223320x mx m -+=()()224210x a x a a -+++=总结：1． 一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）2．一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法：是以平方根为基础的一种解一元二次方程的方法233p +=（2）配方法：配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；②移项, 即使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项；③配方,即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0,则原方程无解．（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是24b b ac x-±-(b2－4ac≥0),步骤是：（1）将方程化为一般形式ax2＋bx+c=0；（2）计算代数式b2－4ac的值；（3）当b2－4ac≥0由求根公式写出方程的解,当b2－4ac<0时方程无实根。
一元二次方程知识点总结和例题——复习 3
知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2）且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是,再对它进行整理。
如果能整理为 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0)3。
一元二次方程的一般形式：一般地,任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.4。
一元二次方程的解法（1)直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，,,当b〈0时,方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=—p±√q；如果q＜0，方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根, 即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x , （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
一元二次不等式及其解法(三)
一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
2.一元二次不等式的解集： 判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a>0)的 图象 一 元 二 次 方 程 有两相异实根 x1,2 有两相等实根 x ＝x 1 2 －b± b2－4ac ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ＝ 没有实根 b 2a ＝－ 2a (a>0)的根 (x1<x2) ax2＋bx＋c>0 (a>0) ax2＋bx＋c<0 (a>0)
{x|x<x1，或x>x2} {x|x1< x<x2}
b {x∈R|x≠－ } 2a
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
R
∅
∅
3.解一元二次不等式的步骤： 第一步，化二次项的系数为正数； 第二步，求解相应的一元二次方程的根； 第三步，根据根的情况结合图象写出一元 二次不等式的解集．
探究 一元二次不等式恒成立问题（导学设计49页） 问题探究一 一元二次不等式恒成立问题
价条件是
；
(5)f(x)≤a 恒成立，x∈D⇔[f(x)]max≤a，x∈D； (6)f(x)≥a 恒成立，x∈D⇔[f(x)]min≥a，x∈D.
理论迁移 典型例题
例 1 若不等式 mx2＋2mx－4<2x2＋4x 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 A．(－2,2) C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) B．(－2,2] D．(－∞，2) (B )
3．要使关于 x 的不等式 x2＋(a－1)x＋a－1>0 恒成立，则 a 的
专题01一元二次方程(3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法)(原卷版)
专题01一元二次方程（3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论题型五：一元二次方程与完全平方公式综合【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例1．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．x2+2x+3＝x（x+1）C．2x+3y＝6D．x2﹣2x+3＝0知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例2．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0例3．（2022秋•镇江期中）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（）A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0例4．（2022秋•新北区校级月考）将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化为一般形式为．例5．（2022秋•海州区校级月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是．例6．（2022秋•常州期中）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于．例7．（2021秋•淮安区期中）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值．知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．例8．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值1．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．m≠0B．m≠3C．m＝0D．m＝32．（2023•睢宁县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a≠0C．a＝1D．a≥0题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值3．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．20204．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣35．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为．6．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．7．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．8．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式÷（x+3﹣）的值．题型三：一元二次方程新定义问题9．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．10．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．11．（2017秋•句容市月考）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论12．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．13．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0；（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．题型五：一元二次方程与完全平方公式综合14．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件15．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式16．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．18．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝．19．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．20．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．404421．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．考法2根据实际问题列一元二次方程22．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常2100px q +=，可列表如下：则方程A ． 1.073-B ． 1.089-C ． 1.117-D ． 1.123-二、填空题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为三、解答题。
2022年中考数学专项复习《一元二次方程的应用(3)》练习 浙教版
一元二次方程的应用〔03〕一、选择题1．从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，那么原来这块木板的面积是〔〕A．100m2B．64m2C．121m2D．144m22．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式〔每两队之间都赛一场〕，方案安排21场比赛，那么参赛球队的个数是〔〕A．5个B．6个C．7个D．8个3．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为〔〕A．20 B．40 C．100 D．120二、填空题4．如图，一块四周镶有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm，如果十字绣中央长方形图案的面积为6000cm2，那么花边宽为．5．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，那么原菜地的长是m．6．某小区 2022年绿化面积为2000平方米，方案 2022年绿化面积要到达2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是．7．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，那么平均每次降价的百分率为．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D 方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒〔0＜t＜8〕，那么t= 秒时，S1=2S2．三、解答题9．随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速开展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．〔1〕求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？〔2〕假设甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？〔甲、乙两队的施工时间按月取整数〕10．小丽为校合唱队购置某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购置不超过10件，单价为80元；如果一次性购置多于10件，那么每增加1件，购置的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购置这种服装付了1200元．请问她购置了多少件这种服装？11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．〔1〕求每轮传染中平均一个人传染了几个人？〔2〕如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？12．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．〔1〕求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；〔2〕假设该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，那么该经销商1至3月共盈利多少元？13．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．〔1〕该项绿化工程原方案每天完成多少米2？〔2〕该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，方案在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道〔如下图〕，问人行通道的宽度是多少米？14．某工厂一种产品 2022年的产量是100万件，方案 2022年产量到达121万件．假设 2022年到2022年这种产品产量的年增长率相同．〔1〕求 2022年到 2022年这种产品产量的年增长率；〔2〕 2022年这种产品的产量应到达多少万件？15．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市 2022年销售烟花爆竹20万箱，到 2022年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市 2022年到 2022年烟花爆竹年销售量的平均下降率．16．关于x的一元二次方程〔a+c〕x2+2bx+〔a﹣c〕=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．〔1〕如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；〔2〕如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；〔3〕如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．17．某养殖户每年的养殖本钱包括固定本钱和可变本钱，其中固定本钱每年均为4万元，可变本钱逐年增长，该养殖户第1年的可变本钱为2.6万元，设可变本钱平均每年增长的百分率为x．〔1〕用含x的代数式表示第3年的可变本钱为万元；〔2〕如果该养殖户第3年的养殖本钱为7.146万元，求可变本钱平均每年增长的百分率x．18．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，假设当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．〔1〕设当月该型号汽车的销售量为x辆〔x≤30，且x为正整数〕，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；〔2〕该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司方案当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？〔注：销售利润=销售价﹣进价〕19．天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准〔如下图〕：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？20．为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会发动居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一局部用于购置书桌、书架等设施，另一局部用于购置书刊．〔1〕筹委会方案，购置书刊的资金不少于购置书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购置书桌、书架等设施？〔2〕经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的根底上增加了a%〔其中a＞0〕．那么每户平均集资的资金在150元的根底上减少了a%，求a的值．21．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．22．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店假设将准备获利2000元，那么应进货多少个？定价为多少元？23．某市为打造“绿色城市〞，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、 2022年投资1000万元，预计 2022年投资1210万元．假设这两年内平均每年投资增长的百分率相同．〔1〕求平均每年投资增长的百分率；〔2〕河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，假设要求 2022年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？24．在“文化宜昌•全民阅读〞活动中，某中学社团“精一读书社〞对全校学生的人数及纸质图书阅读量〔单位：本〕进行了调查， 2022年全校有1000名学生， 2022年全校学生人数比 2022年增加10%， 2022年全校学生人数比 2022年增加100人．〔1〕求 2022年全校学生人数；〔2〕 2022年全校学生人均阅读量比 2022年多1本，阅读总量比 2022年增加1700本〔注：阅读总量=人均阅读量×人数〕①求 2022年全校学生人均阅读量；② 2022年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果 2022年、 2022年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a， 2022年全校学生人均阅读量比 2022年增加的百分数也是a，那么 2022年读书社全部80名成员的阅读总量将到达全校学生阅读总量的25%，求a 的值．25．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．〔1〕求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；〔2〕购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？〔累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费〕26．学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．27．我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：〔1〕从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？〔2〕在〔1〕的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？〔结果精确到0.1%〕28．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．29．如图，要利用一面墙〔墙长为25米〕建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？30．实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n，可以发现．2×[1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n]=[1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n]+[n+〔n﹣1〕+〔n﹣2〕+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n〔n+1〕，于是得到1+2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕+n=n〔n+1〕这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n〔n+1〕以下用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，那么有n〔n+1〕=300整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=﹣25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料答复以下问题：〔1〕三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．〔2〕如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．。
21.2解一元二次方程(第3课时)
所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们 是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
一元二次方程的解(3)
一元二次方程的解（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．问题：已知方程230x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半． 解：设所求方程的根为y ，则2x y =，所以2x y =．把2x y =代入已知方程，得()22230y y +-=，化简，得所求方程为24230y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．应用：已知方程24150x x --=，求一个关于y 的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为（ ）A ．24150y y +-=B ．24150y y ++=C ．21540y y +-=D ．21540y y --=2．探索一元二次方程x 2+3x ﹣5＝0的一个正数解的过程如表：可以看出方程的一个正数解应界于整数a 和b 之间，则整数a 、b 分别是（ ）A ．﹣1，0 B ．0，1 C ．1，2 D ．﹣1，53．若方程230x kx +-=的一个根是-3，则k 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-24．已知2+x 的一元二次方程240x x m -+=的一个实数根，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．−3 D ．−15．已知2x =是方程220x px -+=的一个实数根，那么p 的值是（ ）A ．3B ．1C ．－3D ．－16．若x 1、x 2是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于（ ）A ．2020B ．2019C ．2029D ．20287．根据关于x 的一元二次方程20x px q ++=，可列表如下：则方程20x px q ++=的正数解满足（ ）A ．解的整数部分是1，十分位是1B ．解的整数部分是1，十分位是2C ．解的整数部分是1，十分位是3D ．解的整数部分是1，十分位是48．已知关于x 的一元二次方程230x x m +-=的一个根是2x =，则m 的值为（ ）A ．10-B ．2-C ．2D ．10二、填空题9．若关于x 的方程230x mx +=+的一个根是1x =，则m 的值为_________．10．抛物线2y ax bx c =++的对称轴及部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为______．11．若2x =是关于x 的方程2210x mx -+=的一个解，则m 的值为__________________． 12．已知x ＝1是关于x 的方程ax 2﹣2x +3＝0的一个根，则另一个根是___．13．设a ，b 是方程2x ﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，则2a ﹣2a ﹣b 的值为_____．14．若一元二次方程ax 2−bx −2022＝0有一根为x ＝−1，则a ＋b ＝_________．三、解答题15．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，求a 的值和方程的另一个根．16．已知关于x 的一元二次方程111(3)032a a xax -++-=． （1）求a 的值；（2）解这个一元二次方程．17．定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”．(1)下列函数：①y＝﹣x＋2；①y＝﹣2x；①y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是（只填序号）；(2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值；(3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．18．先阅读下面的解法，然后解答问题．例：已知多项式3x3-x2+m分解因式的结果中有一个因式是（3x+1），求实数m．解：设3x3-x2+m=（3x+1）•K（K为整式）令（3x+1）=0，则x=-13，得3（-13）3-（-13）2+m=0，①m=29这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题．（1）若多项式x2+mx-8分解因式的结果中有一个因式为（x-2），则实数m= ；（2）若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为（x+1），求实数n的值；（3）若多项式x4+mx3+nx-14分解因式的结果中有因式（x+1）和（x-2），求m，n的值．19．（1）用配方法解方程：2280x x --=；（2）若关于x 的一元二次方程22(1)310k x x k +--+=有一个解为0x =，求k 的值．20．解下列方程(1)2410x x -+=（配方法） (2)223(1)x x =+（公式法）(3)2(3)214x x +=+ (4)(21)(3)6x x +-=-21．已知关于x 的方程()222360x k x k +-+-=．（1）若1x =是此方程的一根，求k 的值及方程的另一根；（2）试说明无论k 取什么实数值，此方程总有实数根．22．已知：k 是方程3x 2﹣2x ﹣1＝0的一个根，求代数式9k 2﹣6k +7的值．参考答案：1．A2．C3．C4．B5．A6．D7．B8．D9．-410．11x =-，23x =11．9212．﹣313．202114．202215．4a =，方程的另一个根为-216．（1）3；（2）1x =，2x =17．(1)①① (2)74 (3)5522⎛⎫- ⎪⎝⎭， 18．（1）2；（2）n =3；（3）417m n ⎧⎨-⎩＝＝． 19．（1）14x =，22x =-；（2）1k =-20．(1)1222x x ==(2)12==x x (3)125,1x x =-=(4)123,12x x == 21．（1）1k =，方程的另一根为3-；（2）见解析． 22．10。
人教版九年级数学上册期末复习：一元二次方程实际应用(三)
人教版九年级数学上册期末复习：一元二次方程实际应用（三）1．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米．（1）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（2）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？3．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？4．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．5．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．（1）饲养场另一边BC＝米（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．6．某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．（1）若每份套餐售价不超过10元．①试写出y与x的函数关系式；②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？7．某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量）（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．8．现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的26名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？9．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？10．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？参考答案1．解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得x2+16x＝60，即（x﹣6）（x﹣10）＝0．解得x1＝6，x2＝10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；（2）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由（1）知，﹣x2+16x＝70，即x2﹣16x+70＝0因为△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝﹣24＜0，所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．2．解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，每天可以售出（20+5x），由题意，得（44﹣x）（20+5x）＝1600，即：（x﹣4）（x﹣36）＝0，解，得x1＝4，x2＝36，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为36，所以，若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价36元；（2）设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元，由题意，得y＝（44﹣x）（20+5x）＝﹣5（x﹣20）2+2880，当x＝20元时，该函数取得最大值2880元，3．解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，＝，解得：x＝1200，经检验x＝1200是原方程的根，则x+300＝1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）＝3200，解得：x＝1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．4．解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据题意得：x（40﹣2x）＝200，解得：x1＝x2＝10，∴40﹣2x＝20．答：鸡场平行于墙的一边长为20m．（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据题意得：y（40﹣2y）＝250，整理得：y2﹣20y+125＝0．∵△＝（﹣20）2﹣4×1×125＝﹣100＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．5．解：（1）由题意得：（48﹣3x）米．故答案是：（48﹣3x）；（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180解得x1＝6，x2＝106．解：（1）①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10）．②依题意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，又∵5＜x≤10，∴8.5≤x≤10．∵且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应为9元或10元．（2）能，理由：依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，当y＝1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，解得：x1＝11，x2＝14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1＝11，即x2＝14不符合题意．故该套餐售价应定为11元．7．解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，依题意得：150（1﹣12%）＝（1+10%）z，解得：z＝120，答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]＝660，整理得：x2+8x﹣20＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣10，此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；（3）根据题意得：1≤a≤6．8．解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：10×（1+x）2＝12.1，解得：x1＝10%，x2＝﹣210%．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），26×0.6＝15.6（万件）．∵15.6＞13.31，∴该公司现有的26名快递投递业务员能完成今年6月份的快递投递任务．9．解：设每件羽绒服应降价x元，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10；x2＝20．答：每件羽绒服应降价10元或20元．10．解：设售价定为x元，[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝10000，整理，得x2﹣130x+4000＝0，解得：x1＝50，x2＝80（舍去）．600﹣10（x﹣40）＝600﹣10×（50﹣40）＝500（个）．答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个．11/ 11。
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一元二次方程复习（三）
考点五、一元二次方程的应用
1、每每型---利润问题
例1（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
针对练习．（2013•来宾）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
2、面积问题
例2如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米．
依题意，有x（x+2）×1=15．整理，得x2+2x-15=0，
解得x
1=-5（舍去），x
2
=3，
所以这种运动箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为
（5+2）×（3+2）=35
所以做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）．
点评：题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．
针对练习1、如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个
面积为150m2的简易自行车车棚，一边利用教学楼的后墙
（可利用的墙长为18m），另外三边利用学校现有的总长
35m的铁围栏围成，试求出自行车车棚的长和宽．
2．（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．
3、增长率问题
例2（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
针对练习：1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．
2．（2013•贵阳）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．
（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．。