北京工业大学2010-2011概率论试题及答案(word版)
概率论2010-2011第一学期(B卷)
第 1 页共 6 页第 2 页 共 6 页4.一批产品的废品率为0.1，每次抽取1个，观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，3次中恰有2次取到废品的概率为（）。
(a) 027.0; (b) 243.0; (c) 27.0; (d) 0243.0.5.将3个不同的小球随机地放入4个杯子中去，则杯子中球的最大个数为1的概率为（）。
(a)3344P ; (b)3344C ;(c) 4343P ; (d)4343C .二、计算题（共8题，第8题8分，其余每题各11分,共85分）。
1．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。
第 3 页 共 6 页2.设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤+=其他20)1()(x x k x f(1)确定k 的值；(2)求数学期望E （X ）和方差D(X); (3)计算概率}10{<<X P3. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，⎩⎨⎧<<=-其它,0,0,),(y x e y x f y求：(1) 关于X,Y 的边缘概率密度； (2) X,Y 是否相互独立； (3) 概率}1{≤+Y X P第 4 页 共 6 页4. 从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子中发芽的种子个数不低于880粒的概率(结果用)(x Φ表示)。
5．设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<+=其他010)1()(x xx f ααn 21X ,......,X ,X 为总体X 的一个样本。
试求未知参数α的矩估计量和最大似然估计量。
第 5 页 共 6 页6．某手表厂生产的超薄女表，走时误差服从正态分布),(2σμN ，检验员随机从装配线上抽取9只进行检测，测得8.7,28.02==S x当取置信水平为95%时，求该种手表走时误差的方差2σ的置信区间。
2010年考研数学概率论真题与答案--WORD版本
2010年概率论考研真题与答案1. （2010年数学一、三）设随机变量X 的分布函数001()01211x x F x x ex -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，且{}1P X ==_________. 【C 】A ．0 B.12 C. 112e -- D. 11e -- 解：根据分布函数的性质，有{}{}{}1111111(1)(10)1.22P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=- 2. （2010年数学一、三）设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上的均匀分布的概率密度。
若12()0()(0,0)()0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度，则,a b 应满足__________. 【A 】A. 234a b +=B. 324a b +=C. 1a b +=D. 2a b +=解：根据题意，有221()()x f x x ϕ-==，2113()4x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 由概率密度的性质，有01201()()()f x dx af x dx bf x dx +∞+∞-∞-∞==+⎰⎰⎰0313()424a a x dxb dx b ϕ-∞=+=+⎰⎰234a b ∴+=3. （2010年数学一）设随机变量X 的分布律为{},0,1,2,,!CP X k k k ===L 则2()E X =___________. 【2】解：根据分布律的性质，0011,!!k k C C Ce k k +∞+∞====⋅=∑∑ 即1C e -=.于是， {}11,0,1,2,,!!k C P X k e k k k -===⋅=L 即X 为服从参数为1的泊松分布，于是22()()()112E X D X E X =+=+=4. （2010年数学三）设12,,,n X X X 是来自总体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量2=11n i i T X n =∑，则(T )=E __________. 【22σμ+】解： 2222()()()i i i E X D X E X σμ=+=+222222=1=1111()()()()n n i i i i E T E X E X n n n nσμσμ∴===⋅+=+∑∑5. （2010年数学一、三）设(,)X Y 的概率密度为22-2+2(,)=,(,)x xy y f x y Ae x R y R -∈∈，求常数A 及条件概率密度()Y X f y x .解：【方法一】根据概率密度的性质，有22-2+21(,)=x xy y f x y dxdy A edxdy +∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰⎰22()=()x y x A e dx e d y x A A π+∞+∞----∞-∞-==⎰⎰1A π∴=即： 22-2+21(,)=,,xxy y f x y e x R y R π-∈∈关于X 的边缘概率密度函数为22-2+21()(,)x xy y X f x f x y dy edy π+∞+∞--∞-∞==⎰⎰()222()1x y x x eed y x π+∞-----∞=-⎰22-+2(,)()()x xy y Y X X f x y f y x f x -∴==，,x R y R ∈∈ 【评注】充分利用积分2x e dx +∞--∞=⎰.【方法二】概率密度函数可以变形为：2222-2+2--()(,)=xxy y x y x f x y Ae Ae e --=⋅2222()112211=11x y x A e eπ---⋅⋅⋅⋅利用概率密度函数的性质2222()1122111(,)=11x y x f x y dxdy A edx edy π---⋅⋅+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞=⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰A π=(利用2()21x dx μσ--+∞-∞=⎰，同时，把第二个积分中的x 看做常数即可)1Aπ∴=2222()112211(,)=11x y xf x y e e---⋅⋅∴⋅2222()12--1()(,)y xx xXf x f x y dy e dy--⋅+∞+∞-∞-∞∴==⋅=⎰⎰22-+2(,)()()x xy yY XXf x yf y xf x-∴==，(,)x R y R∈∈【评注】充分利用22()21xdxμσ--+∞-∞=⎰。
2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案
则 Bn F ， n 1, 2, 3, ，而且
B1 B2 Bn Bn 1 ，
而且 Bn An ，所以，有
n 1 n 1
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2010-2011 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
n n P A P B lim P B lim P A lim P A P Ai ． i i n n n n n i 1 n 1 n 1 i 1 n i 1
某学生参加一项考试，他可以决定聘请 5 名或者 7 名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并 且每位考官判断他通过考试的概率均为 0.3 ，如果至少有 3 位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该 考生聘请 5 名还是 7 名考官，能使得他通过考试的概率较大？ 解：
设 A 一位考官判断他通过考试，则 P A 0.3 ．
x x
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2010-2011 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
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解方程组
A 2 B 1 A B 0 2
，得 A
1 1 ，B 2
所以，
F x 1 1 arctan x 2
2011 学年第二学期概率论期中考试试卷答案
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B2 “炮弹在目标周围横方向偏离超过 10 米”
B3 “炮弹在目标周围竖方向偏离超过 10 米”
则有 A B1 B2 B3 ，因此有
PA PB1 B2 B3 1 PB1B2 B3 1 PB1 PB2 PB3
1 1 PB1 1 PB2 1 PB3
北方工业大学概率论试卷及答案
p11 p1 p1 ， pij pi p j ， i, j 1, 2,3.
(4 分)
第 4页 共 7页
, 相互独立.
北方工业大学试卷
六、 （10 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
1 ( x y ), f ( x, y) 8 0，
0 x 2 ,0 y 2 其它
求 E ( X ), E (Y ), D( X ), D(Y ), E ( XY ), COV ( X , Y ), XY 解：
解： （１） E ( X )
0
2
2
0
xf ( x , y )dxdy
2
0
2
2
0
1 7 x (x y)dxdy 8 6
格率为 98%，乙厂产品合格率为 85%，现从市场任意购买一节电池，求：
(1)所购买的电池是合格品的概率？ (2)若已知所购买的电池是合格品，该电池是甲厂生产的概率？ 解：
A={甲厂生产}
B={乙厂生产}
C={合格}， (1 分) (1 分) (1 分)
则 P ( A) 0.8 ， P ( B ) 0.2 ，
XY
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
1 / 36 1 / 11 11 / 36
1 x , 0 x 1 七、 （10 分）设总体 X 概率密度为 f ( x ) ， 1 未知， 其他 0,
X 1 , X 2 , X n 为来自总体的一个样本. 求参数 的矩估计量和极大似然估计
2
2
0
yf ( x , y )dxdy
2
概率论与数理统计2010-2011(2)
2010-2011学年第二学期期末试卷一，填空题（每空2分，共16分） 1. 设1()(),4P A P B ==若A,B 相互独立，则A,B 中至少有一个发生的概率为______ 2. 若X 服从(01)-分布，而X 取1的概率为它取0的概率的两倍，则X 的分布律为_________3、设12,X X 相互独立，其中12~[0,6],~(0,4)X U X N ，记122Y X X =-，则()___,()___E Y D Y ==4、设12,,...,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则统计量221nii Xχ==∑服从的分布为______5、设1234,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，今有估计量1123411()()63T X X X X =+++,212341()4T X X X X =+++，问12,T T 是否都是θ的无偏估计量？答________，又问12,T T 中哪一个更有效？答________6、设有正态总体2(,)N μσ，其中2σ未知，则均值μ的置信度为1α-的置信区间为_________________________二，（16分）设连续型随机变量X 的概率密度为,01()(2),120,ax x f x a x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，求：（1）常数a （2）X 的分布函数（3）13{}22P X ≤≤三．（10分）发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“∙”和“-”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“∙”时，收报台未必收到信号“∙”，而分别以0.8和0.2的概率收到信号“∙”和“-”，同理，当发出信号“-”，收报台分别以0.9和0.1的概率收到信号“-”和“∙”，求：（1）收报台收到信号“∙”的概率；（2）当收报台收到信号“∙”时，发报台确是发出信号“∙”的概率。
四，（8分）设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布，现在对X 进行三次独立观测，求至少有2次观测值大于3的概率。
2010-2011(1)概率论与数理统计期末试卷+答案
2010-2011(1)概率论与数理统计期末试卷专业班级 姓名 得分一、单项选择题(每题2分，共20分)1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0.4,P A B P A ⋃==则()P B = ( A ) A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.422、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D )A. 101p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(p 为任意实数) B. 123450.10.30.30.20.2x x x x x ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 33()(1,2,...)!n e P X n n n -=== D. 33()(0,1,2,...)!ne P X n n n -=== 3．下列命题不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(xf ，则一定有⎰+∞∞-=1)(dx x f ；(B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率；4．若()()()E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+；5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.76．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= (C)(0)0.25P X Y +≥= (D)(max(,)0)0.25P X Y ≥=7. 设随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，其分布函数为()F x ，则对任意实数x ，有( B ) (A)()()1F x F x +-= (B)1)2()2(=-++x F x F (C)1)2()2(=-++x F x F (D)1)2()2(=-+-x F x F8．设(,)X Y 的联合分布律如下，且已知随机事件(0X =)与(1X Y +=)相互独立， 则b a ,的值为 ( A )(A) 1.0,4.0==b a ,(B) 3.0,2.0==b a ,(C) 4.0,1.0==b a ,(D) 2.0,3.0==b a 9.设袋中有编号为1，2，…，n 的n 张卡片，采用有放回地随机抽取k ()n k ≤张卡片， 记X 表示k 张卡片的号码之和，则()E X 为 ( A )(A)(+1)2k n (B) (+1)2n (C)(+1)2n k (D) (-1)2n k 10.设X ~12)-1)(X -E(X )(=且λπ，则λ= ( C ) (A)3； (B)4 ； (C)1； (D)2；二、填充题(每格2分，共32分)1、已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。
2010年《概率统计》试题
2010年《概率论与数理统计》试题（含答案）一.填空题（每小题3分，共15分）1. 掷二枚骰子，事件A 表示出现的点数之和等于3，则P(A)＝1812. 设A 、B 为两事件，且)()(,)(B A P AB P p A P ==,则p B P -=1)(3. 设随机变量X的分布列为5,4,3,2,1,15)(===k k k X P ，则2.0)5.25.0(= X P4. 设X ～⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它02cos2)(2ππx x x f ，则E （X ）＝ 05. 设),,,(21n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，μ和2σ未知，且∑==ni iXnX 11，∑=-=ni iX X122)(θ，作0H:0=μ的t 检验，应使用统计量)1(--=n n X T θμ二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设X 与Y 相互独立，且X —1 1 P0.5 0.5Y 的分布与X 相同，则（C ）成立。
（A ）X ＝Y （B ）P （X ＝Y ）＝0 （C ）P （X ＝Y ）＝0.5 （D ）P （X ＝Y ）＝1 2. 设X 是随机变量，)0,()(,)(2σμσμ==X D X E ,则对任意常数C ，（D ）成立。
（A ）222)()(C X E C X E -=- （B ）22)()(μ-=-X E C X E （C ）22)()(μ--X E C X E （D ）22)()(μ-≥-X E C X E3. 样本),,,(4321X X X X 取自总体X ，μ=)(X E 已知，2)(σ=X D 未知，则下列随机变量不能作为统计量的是（B ） （A ）∑==4141i i X X （B ）∑=-4122)(1i iX Xσ（C ）∑=-414i i X μ （D ）∑=-412)(31i iX X4. 设X ～)(x ϕ且)()(x x ϕϕ=-，X 的分布函数为)(x F ，则对任意实数a ，)(a F -＝（C ） （A ）⎰-a dx x 0)(1ϕ （B ）)(a F （C ）⎰-a dx x 0)(21ϕ （D ）1)(2-a F5. 只知道随机变量X 的期望E(X)和方差D(X)，分布未知，则对任意实数b a ,（b a ），可以估计出概率（A ）（A ）})({a b X E X P -≥- （B ）)(b X a P （C ）))((b X E X a P - （D ）)(a X a P -三．解答题（每小题8分，共24分）1.设X ～)1,0(U ,X Y ln 2-=,求)(y f Y （⎪⎩⎪⎨⎧≤=-00021)(2y y e y f yY ）2.同时抛掷3枚均匀的硬币，求恰有两枚正面向上的概率。
2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版
2011年概率论考研真题与答案1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞-∞∴⎰12()()F x F x +∞=-∞1=2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】A. ()()E U E VB. ()()E X E YC. ()()E U E YD. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==.所以，UV XY =，于是()()E UV E XY =根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =.3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=11n i i T X n =∑和12=1111n in i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】A. 1212()(),()()E T E T D T D T >>B. 1212()(),()()E T E T D T D T ><C. 1212()(),()()E T E T D T D T <>D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ(),()E X D X λλ∴==1=1=111()()()n ni i i i E T E X E X n n λ∴===∑∑12=11111()()(1)11n i n i E T E X X n n n n n nλλλλ-=+=⋅-⋅+⋅=+--∑ 12()()E T E T ∴<122=1=1111()()()n n i i i i D T E X D X n n n n nλλ===⋅⋅=∑∑11222=1=11111()()()()1(1)n n i n i n i i D T D X X D X D X n n n n --=+=+--∑∑ 222111(1)()(1)11n n n n n n n n nλλλλλ=⋅-⋅+⋅=+=+--- 21()()D T D T ∴<4. （2011年数学三）设(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ则2()E XY =____. 【22()μσμ+】解： 因为(,)X Y 服从二维正态分布，且相关系数为零，则X 与Y 相互独立.22222()()()()[()()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ∴=⋅=⋅+=+5. （2011年数学三）且{}221P X Y ==，求: (1) 二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(2) Z XY =的概率分布；(3) X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（1） 由{}221P X Y ==， 可得：{}220P X Y ≠={}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ∴==-=======因此，(,)X Y 的概率分布为（2） 显然，Z XY =的可能取值为-1,0,1，由(,)X Y 的概率分布可得：（3）(),(),()0,()393E X D X E Y D Y ====, ()0E XY = (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y ∴=-=0XY ρ==6. （2011年数学一）设12,,,n X X X 是来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2>0σ，未知. （1）求参数2σ的最大似然估计 2σ；（2）计算 2()E σ和 2()D σ.解： 总体的概率密度为: 202()22(;)x f x μσσ--=似然函数为2012()2221()(;)ni i x ni i L f x μσσσ=--=∑==∏两边取对数，得 202212()ln ()ln 22nii xnL n μσσσ=-=--∑关于2σ求导，得2212222()ln ()+22()nii x d L nd μσσσσ=--=∑令22ln ()0,d L d σσ=解得λ的最大似然估计值 22011()ni i x n σμ==-∑ （2） 20(,)i X N μσ(0,1)i X N μσ-∴222002111()()()nni ii i X Xn μμχσσ==-∴=-∑∑20211[()]ni i E Xn μσ=∴-=∑, 20211[()]2ni i D Xn μσ=-=∑于是， 2222220021111()[()]=[()]==n ni i i i E E X E X n n n nσσσμμσσ===--⋅∑∑ 4442220022211112()[()]=[()]=2=n n i i i i D D X D X n n n n nσσσσμμσ===--⋅∑∑ 7. （2011年数学三）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=以及0y =所围成的三角形区域. 求：（1）X 的概率密度()X f x ；（2） 条件概率密度()X Y f x y .解：（1）根据二维均匀分布的定义，(,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它X 的概率密度为02-010101()(,)112=2-1<200x x X dy x x x f x f x y dy dy x x x +∞-∞⎧≤≤⎪≤≤⎧⎪⎪==<≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰⎰其他其他（2） 2-2(1-y)01101()(,)=00y y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他在=(0y 1)Y y ≤≤时，X 的条件概率密度12-(,)2(1-y)()==()0X Y Y y x y f x y f x y f y ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他。
北京工业大学2010概率论考题_解答_
北京工业大学2010-2011学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
数据结果保留3位小数。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2011年1月4日1．某茶叶制造商声称其生产的一种包装茶叶平均每包重量不低于150克，已知茶叶包装重量服从正态分布，现从一批包装茶叶中随机抽取100包，经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α＝0.01的显著性水平上检验该制造商的说法是否可信？解: 已知μ0＝150 H 0: μ≥150 H 1: μ＜150 (1分)α＝0.01 左检验临界值为负 －t 0.01(99)＝－2.3640.3 3.3330.09x t -====- ∵t=－3.333<-t 0.01=-2.364 t 值落入拒绝域，∴在α＝0.05的水平上拒绝H 0，即可以认为该制造商的说法不可信，认为该批产品平均每包重量低于150克。
2.某食品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数目以及收款台的数目。
为检验工作日上午顾客到达数（用5分钟时间段内进入商店的顾客数来定义）是否服从泊松分布，随机选取了一个由3周内工作日上午的128个5分钟时间段组解：H0:5分钟时间段内进入商店的顾客数服从泊松分布。
i p =0.006737947 0.033689735 0.084224337 0.140373896 0.175467370 0.1754673700.146222808 0.104444863 0.065278039 0.068093635i np = 0.8624572 + 4.3122861 10.7807152 17.9678587 22.4598233 22.4598233 0218210966405128128μ⨯+⨯+⨯++⨯===55()!!x x e e f x x x μμ--==18.7165194 13.3689425 8.3555890 8.71598522i f =100 100 144 324 484 484 256 144 362/i i f np =19.324631 9.275822 8.014311 14.425759 21.549591 25.85950919.148859 17.233974 4.1303423.一家关于MBA 报考、学习、就业指导的网站希望了解国内MBA 毕业生的起薪是否 与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学生中按照专业分别随机抽取了5人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所示（单位： 万元），根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论？解：Analysis of Variance TableResponse: XDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)A 3 15.052 5.017 0.2987 0.8258Residuals 16 268.720 16.795>0.05(3,16) 3.240.2987F =>2221()~(1)k i i i i f e k p e χχ=-=--∑22220.050(1)10.9776 (911)14.07.k p H αχχχχ>--=--=拒域：不拒4．为定义一种变量,用来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.首先要收集（（2）对回归方程进行显著性检验（α=0.05）；（3）当x=20时,求y的95％的预测区间。
北京工业大学 期末考试 概率统计试题 概率统计(工)试题答案
北京工业大学概率论与数理统计课程期末考试(工类)试题答案一. 填空题(每空3分，共30分)1. 设()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =，则()| 2/3 P A B =。
2. 若X 为[]1,0区间上均匀分布，记}3.01.0{≤≤=X A ，Y 表示对X 进行25次独立观测时事件A 发生的次数。
则=)(Y E 5, =)(Y Var 4 。
3. 若随机变量21,X X 相互独立，且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N ，令212X X X -=,则X ～)5,1(2N ,{}46-<<P X ＝6826.0。
注1：)(x Φ为正态分布N (0,1)的分布函数，8413.0)1(=Φ。
4. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5=Var X ,用切比雪夫不等式估计得{}212P X <<≥ 0.8 。
5. 若)2(,,,21>n X X X n 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1. 则σμ/)(-X n ～ N （0，1） ，2/)(S X n μ-～n-t 1，22/)1(σS n -～21-n χ。
6．设10021,,,X X X 是抽自正态总体)1,( μN 的简单样本，则μ的置信系数为0.95的置信区间为[,0.1960.196XX]。
注2：Z 为正态分布N (0,1)的右分位点,01，96.1025.0=Z ，645.105.0=Z 。
二．计算题(每题14分，共70分，做题时须写出解题过程，否则不能得分) 1．有型号相同的产品两箱，第一箱装12件产品，其中两件为次品；第二箱装8件，其中一件为次品。
先从第一箱中随机抽取两件放入第二箱，再从第二箱中随机抽取一件。
(1). 求从第二箱中取出次品的概率；(2). 若从第二箱中取出了次品，求从第一箱中未取到次品的概率。
北京工业大学 期末考试 概率统计试题 考试 试题
《概率论与数理统计》工 考试试卷考试说明： 考试方式：闭卷 考试时间：承诺：本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，承诺在考试过程中自觉遵守有关规定，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考。
若有违反，愿接受相应的处分。
承诺人： 学号： 班号：。
注：本试卷共 六 大题，共 6 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸或草稿纸。
卷 面 成 绩 汇 总 表（阅卷教师填写）1．设A ，B 为随机事件，且P （A ）= 0.7，P (A -B ) = 0.3，则P （AB ）= 。
2．已知5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P ，则)|(B A B P ⋃ = 。
3．设A ，B 为随机事件，则 A 与B 互斥的充要条件是 ；A 与B 相互独立的充要条件是 。
4．设 X 服从参数为λ的泊松分布，且 P{X=0}=1/2 ，则λ= ；(3)E X += ； Var(21)X += 。
5. 设),(~p n B X ,已知28.1)(,6.1)(==X Var X E , 则n = ； p= 。
6. 若2~(1,)X N σ，且{}020.9544P X <<=，则{}0P X <= 。
7. 已知随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它00)1(2)(2x x x f π， 则X Y ln = 的概率密度)(y f Y =。
8. 若n X X X ,...,,21为抽自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ未知, 记∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S n i i--=∑=。
则X ～ ；22/)1(σS n -～ ；μ的置信度为α-1的双侧置信区间为 ； 2σ的置信度为α-1的双侧置信区间为 。
二.(14分) 按以往概率统计考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格。
北京工业大学 期末考试 概率统计试题 答案
“概率论与数理统计”课程(工)试题答案一、填空题（每空2分,共30分）1．设,A B 为事件，()0.4, ()0.6P A P A B ==。
当A 与B 互不相容时, =)(B P 0.2 ；当A 与B 相互独立时,=)(B P 1/3 。
2．设连续型随机变量X 的分布函数为0.5,0,()0,0.x a be x F x x -⎧+≥=⎨<⎩其中a 与b 为常数，则a = 1 ，b = -1 。
3．设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，且{1}{2}P X P X ===，则=λ 2 ,E X =（） 2 。
4．设随机变量21,X X 相互独立，且1X ～2(3, 3)N ，2X ～2(1, 2)N 。
令212X X X -=, 则E (X )= 1 , ()Var X = 25 。
进一步，记)(x Φ为标准正态分布的分布函数，且(1)0.8413Φ=，(2)0.9772Φ=，则{411}P X -<<＝ 0.8185 。
5．设)2(,,,21>n X X X n 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1. 则X ～ N (μ,σ2/n) ， 2/)(S X n μ-～n-t 1， 22/)1(σS n -～21-n χ。
6．设125,,X X 是抽自总体2~(,)X N μσ的随机样本，经计算得25, =0.09x s =。
根据本试卷第6页上的t 分布表与2χ分布表，得未知参数μ的置信系数为0.95的置信区间为[4.876166, 5.123834]，2σ的置信系数为0.95的置信区间为[0.05487, 0.17418]。
二、解答题 (每小题14分，共70分)1． 根据世界卫生组织数据，我国居民肺癌患病率为38.46人/10万人。
另外根据我国《居民营养与健康状况调查》结果，居民吸烟率为31%，而根据医学研究发现，吸烟者患肺癌的概率是不吸烟者的10.8倍。
2011_《概率论与数理统计》期末考试试题_A
2011_《概率论与数理统计》期末考试试题_A内蒙古大学电子信息工程学院《概率论与数理统计》期末考试试卷（A ）2010 - 2011 学年第二学期（闭卷 120 分钟）学号姓名专业年级重修标记□一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1. 一射手向目标射击3次，i A 表示第i 次射击中击中目标这一事件)3,2,1(=i ，则3次射击中至多2次击中目标的事件为（）。
123()A A A A ?? 123()B A A A 123()C A A A ??123()D A A A2. 袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。
则第一次和第二次都取到黄球的概率是（）。
()715A()49100B ()710C()2150D3. 设随机变量X 概率密度函数2[0,]()0x x A f x ∈?=?其它，则常数A=（）。
1()4A 1()2B()1C()2D4. 设A 、B 是两个互相对立的事件，且0)( ,0)(>>B P A P ，则下列结论正确的是（）。
()(|)0A P B A > ()(|)()B P A B P A = ()(|)0C P A B =()()()()D P AB P A P B =5. 一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）。
()0.2A ()0.3B ()0.38C()0.57D6. 随机变量X 服从参数为5的泊松分布，则()E X ，()2E X 分别为（）。
()5,5A ()5,25B 1(),55C()5,30D7. 设两个随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，()()0E X E Y ==，()()222E X E Y ==，则()2E X Y +=（）。
()6A ()5B ()2C()3D8. 设)1 , 1(~ ),1 , 0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（）。
2010―2011学年第二学期期末考试《概率论与数理统计》B(精)
第 1 页共 4 页上海海事大学试卷2010 — 2011 学年第二学期期末考试《概率论与数理统计》(B 卷(本次考试允许使用计算器班级学号姓名总分可能用到的概率值:5.00(=Φ,0.9772Φ(2=,0.01(9 2.82t =,0.01(10 2.76t =,0.025(15 2.132t =,0.025(16 2.12t=,0.025(35 2.0301t =,0.025(36 2.0281t =,0.01(49 2.33t =,0.01(50 2.31t =,0.025(8,9 4.10F =,0.025(9,8 4.3572F =,0.025(17 2.1099t =,0.05(5,7 3.97F =, 0.05(4,6 4.53F =,0.05(6,4 6.16F=,20.025(614.44c =,07.115(205.0=χ,20.05(612.592c =,20.05(17.882c =,20.025(1 5.025c =,20.05(210.597c =,0.05(16 1.746t =,0.05(15 1.753t =,0.025(15 2.132t =一、填空题(共5题,每空4分,共20分请将正确答案写在题目后面的横线上。
1. 设A 与B 相互独立,且(0.8P A B =∪,(0.2P A =,则=(B P ____________。
2.n 张奖券中含有m 张有奖的,k 个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是___________。
3. 假设(3,0.2X B ∼,(5,15Y N ∼, 则(E X Y +=_____________。
4. 设X 为连续性随机变量,则对于任意确定的常数a ,有{}P X a == 。
5. 设随机变量(100,0.5X B ∼,应用中心极限定理可算得{}≈<<6040X P _ 。
题目一二得分阅卷人--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页共 4 页二、计算题(共7题,其中1,2,5,6,7题每题10分,3,4题每题15分,共80分请将正确答案写在题目下方。
北工大概率论2010-2011_1概统试题(工)试卷
北京工业大学2010—2011学年第一学期概率论与数理统计课程期末考试试卷(工类)学号 姓名 得分一. 填空题(每空3分，共30分)1. 设()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =，则()|P A B = 。
2. 若X 为[]1,0区间上均匀分布，记}3.01.0{≤≤=X A ，Y 表示对X 进行25次独立观测时事件A 发生的次数。
则=)(Y E , =)(Y Var 。
3. 若随机变量21,X X 相互独立，且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N ，令212X X X -=,则X ～ ,{}46-<<P X ＝ 。
注1：)(x Φ为正态分布N (0,1)的分布函数，8413.0)1(=Φ。
4. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5=Var X ,用切比雪夫不等式估计得{}212P X <<≥ 。
5. 若)2(,,,21>n X X X n 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1. 则σμ/)(-X n ～ ，2/)(S X n μ-～ ，22/)1(σS n -～ 。
6．设10021,,,X X X 是抽自正态总体)1,( μN 的简单样本，则μ的置信系数为0.95的置信区间为[ ， ]。
注2：a Z 为正态分布N (0,1)的右a 分位点,01<a <，96.1025.0=Z ，645.105.0=Z 。
二．计算题(每题14分，共70分，做题时须写出解题过程，否则不能得分) 1．有型号相同的产品两箱，第一箱装12件产品，其中两件为次品；第二箱装8件，其中一件为次品。
先从第一箱中随机抽取两件放入第二箱，再从第二箱中随机抽取一件。
(1). 求从第二箱中取出次品的概率；(2). 若从第二箱中取出了次品，求从第一箱中未取到次品的概率。
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北京工业大学2010-2011学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号 姓名 成绩
注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
数据结果保留3位小数。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤
等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、
纸张、资料等。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2011年1月4日
1．某茶叶制造商声称其生产的一种包装茶叶平均每包重量不低于150克，已知茶叶包装重量服从正态分布，现从一批包装茶叶中随机抽取100包，经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α＝0.01的显著性水平上检验该制造商的说法是否可信？
解: 已知μ0＝150 H 0: μ≥150 H 1: μ＜150 (1分)
α＝0.01 左检验临界值为负 －t 0.01(99)＝－
2.364
0.3 3.3330.09x t -====- ∵t=－3.333<-t 0.01=-2.364 t 值落入拒绝域，∴在α＝0.05的水平上拒绝H 0，即
可以认为该制造商的说法不可信，认为该批产品平均每包重量低于150克。
2.某食品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数目以及收款台的数目。
为检验工作日上午顾客到达数（用5分钟时间段内进入商店的顾客数来定义）是否服从泊松分布，随机选取了一个由3周内工作日上午的128个5分钟时间段组
解：H0:5分钟时间段内进入商店的顾客数服从泊松分布。
i p =0.006737947 0.033689735 0.084224337 0.140373896 0.175467370 0.175467370
0.146222808 0.104444863 0.065278039 0.068093635
i np = 0.8624572 + 4.3122861 10.7807152 17.9678587 22.4598233 22.4598233 0218210966405128128μ⨯+⨯+⨯++⨯===55()!!x x e e f x x x μμ--==
18.7165194 13.3689425 8.3555890 8.7159852
2i f =100 100 144 324 484 484 256 144 36
2/i i f np =19.324631 9.275822 8.014311 14.425759 21.549591 25.859509
19.148859 17.233974 4.130342
3.一家关于MBA 报考、学习、就业指导的网站希望了解国内MBA 毕业生的起薪是否 与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学生中按照专业分别随机抽取了5人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所
示（单位： 万元），根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论？
解：
Analysis of Variance Table
Response: X
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A 3 15.052 5.017 0.2987 0.8258
Residuals 16 268.720 16.795
>
0.05(3,16) 3.240.2987F =>
4．为定义一种变量,用来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.首先要收集（（2） 对回归方程进行显著性检验（α=0.05）；
（3） 当x=20时,求y 的95％的预测区间。
2
221()~(1)k i i i i f e k p e χχ=-=--∑22220.050(1)10.9776 (911)14.07
.
k p H αχχχχ>--=--=拒域：不拒
x<-c(2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16)
> y<-c(15, 20, 25, 30, 35, 45, 60, 80,80, 110)
> lm.sol<-lm(y~1+x)
> summary(lm.sol)
Call:
lm(formula = y ~ 1 + x)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -8.571e+00 -2.679e+00 -1.055e-15 3.214e+00 8.571e+00
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -1.429 3.347 -0.427 0.681
x 6.429 0.363 17.707 1.06e-07 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 5.261 on 8 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9751, Adjusted R-squared: 0.972 F-statistic: 313.5 on 1 and 8 DF, p-value: 1.058e-07
predict(lm.sol, newdata=data.frame(x=20), interval="prediction") fit lwr upr
1 127.1429 110.9308 143.3549
5．
(),0{(5)4};
{(5)4,(7.5)6,(12)9};
{(5)4(12)9};
(4)[(5)],[(5)],[(5),(12)].
N t t P N P N N N P N N E N D N Cov N N λ≥======设{}服从强度为的泊松过程，求
(1)
(2) (3) ()45(1) P 54(5)N e λλ-==⎡⎤⎣⎦解：()()452 2.53 4.5(2) P 54,(7.5)6,(12)9P 54,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3[(5)4!][(2.5)2!][(4.5)N N N N N N N N e e e λλλ
λλλ---===⎡⎤⎣⎦
=-=-=⎡⎤⎣⎦
=
6．设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，其一步转移概率矩
阵为 3104
411142431044P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
其初始状态的概率分布为01(0)(),0,1,2,3
i i p P X i i ====求： （1）求2{1}P X =；
（2）求2{2|1}n n P X X +==；
（3）求012{1,2,1}P X X X ===；
（4）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
解：
2551816165311621639116
164P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2001011021(1){1}{0}(2){1}(2){2}(2)
15191131621624
P X P X p P X p P X p ===+=+=⎛⎫=++= ⎪⎝⎭
2123(2){2|1}(2)16
n n P X X p +==== 012010211221(3){1,2,1}{1}{2|1}{1|2}11131(1)(1)334416
P X X X P X P X X P X X p p ============
2(4)P 无零元，所以是遍历的。
1231
23(,,),P 1πππππππππ==⎧⎨++=⎩使 解得：123331(,,)(,,)777πππ=
7．设有随机过程()cos()sin()X t A t B t ωω=+，其中A 与B 独立且都是均值为零，方差
49449(3)[(5)4(12)9]
[(5)4,(12)(5)5(12)9]551.1212P N N P N N N N C -====-==⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()(4) E[N(5)]=5,55,
[(5),(12)]55.D N Cov N N D N λλλ=⎡⎤⎣⎦==⎡⎤⎣⎦
为2σ的正态随机变量，求（1）()X t 的一维概率密度；（2）问()X t 是否是平稳过程？
解：222222()~(0,(cos sin ))(0,)(;)x X t N t t N f x t x σ
ϖϖσσ-+=∴=-∞<<+∞
(2)(())0()E X t =常
[]
22222(,)[()()](cos sin )(cos sin )cos cos sin sin (cos cos sin sin )cos ()
X R t s E X t X s E A t B t A s B s E A t s B t s t s B t s t s ϖϖϖϖϖϖϖϖσϖϖϖϖσϖ==++⎡⎤=+⎣⎦=+=- X(t)是宽平稳的。