WH6主应力法1
[材料科学]第讲主应力法的工程应用课件 (一)
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[材料科学]第讲主应力法的工程应用课件(一)随着工程技术的不断发展，工程结构的复杂度也越来越高，因此需要使用先进的分析和设计工具。
其中一种工具是主应力法，它是一种材料科学分析方法，可用于预测材料在不同应力下的行为。
主应力法基于材料科学的理论推断，它假设材料中存在一组固有应力，在该应力的作用下，所产生的应力分布会有一个最大值和最小值。
在工程应用中，主应力法被广泛应用于工程设计、模拟和优化，有助于工程师预测和控制材料的行为。
主应力法的应用有以下几个方面：1. 算力分析主应力法可以用于分析材料在不同应力下的行为。
工程师可以使用该方法来确定材料的应力和应变状态，以及其响应特征。
这有助于工程师评估材料的性能，进而优化设计。
2. 材料优化主应力法可以帮助工程师确定材料的最大和最小弯曲半径，以及成型过程中所需的力量。
这些信息可以用于改进材料的设计，使其更加适合特定的应用。
3. 模拟测试主应力法可以用于模拟材料的性能和行为。
这种模拟测试可以提供有关材料响应的详细信息，这些信息可以用于开发更好的设计方案。
4. 设计改进通过主应力法分析，工程师可以确定材料的响应特征和应变状态，从而提高设计的精度和稳定性。
这种方法特别适用于高强度材料和高精度结构的设计。
综上所述，主应力法是一种重要的工程应用方法，因为它可以帮助工程师预测和控制材料的行为。
这种方法基于材料科学和工程学的理论，可以用于算力分析、材料优化、模拟测试和设计改进中。
在未来，主应力法将继续成为一种重要的分析和设计工具，有助于提高工程结构的精度和稳定性。
6 主应力法汇总
第18章 工程应用本章内容：各种方法的原理及应用本章重点：主应力法，滑移线法，摩擦与边界条件的处理。
18．1 主应力法principal stress method塑性理论：分析变形力——确定变形力, 选设备，设计模具，定工艺精确解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫1663塑性条件应力应变关系几何方程应力平衡方程非常困难甚至无法（共18个未知量）必须简化，近似求解⇒主应力法18．1．1基本原理主应力法（切块法slab method）：基本思路：近似假设应力状态，简化应力平衡方程和塑性条件要点：1) 简化应力状态为平面问题或轴对称问题2) 沿变形体整个截面截取基元体，设正应力与一个坐标无关且均匀分布，摩擦为库伦或常摩擦条件，根据静力平衡，得简化的平衡微分方程3) 列塑性条件时，假定基之接触面上的正应力为主应力（即忽略摩擦力对塑性条件的影响）。
4) 联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求出接触面上的应力分布进而求得变形力。
注意：准确程度与假设是否接近实际有关。
18．1. 2 轴对称镦粗变形特点及变形力计算18.1.2.1 镦粗upsetting 变形特点无摩擦：均匀变形有摩擦：鼓形，双鼓形——不均匀镦粗inhomogeneous upsetting 变形分区：Ⅰ区：难变形区 Ⅱ区：大变形区 Ⅲ区：小变形区端面：滑动区，粘着区结论：镦粗是一个非稳定的塑性流动过程18.1.2.2 圆柱体镦粗时变形力计算 求接触面上的应力分布，主要步骤： 1) 截取基元 注意条件：轴对称问题，有：0==z θθρττ θσ为主应力θρσσ=2) 列径向静力平衡方程()()2sin2+++-θσθσσθσθd hdr d dr r h d hrd r r r简化为：02=-++hdr dr hdr hrd r r θστσσ圆柱体镦粗：dr d h r r τθσσσ2-==3) 引入塑性条件 设z σ为主应力 S z =-γσσ0=-⇒γσσd d zγτσd hd z 2-=∴4）设定摩擦条件 假设z μστ=rz z h cedr h z d μσμσσ22-=⇒-=∴5） 引入边界条件求积分常数 2D r =时0=r σ 此时S z =σ得C=hDSeμ()⎪⎩⎪⎨⎧===∴--r z r z Dh u Dh SeSe2222)(μμστσμ 上式即解得应力分布 但上式解存在问题，问题在τ的处理，因为τ≤S 5.0max =τ解决方法：重新设定摩擦条件 实验表明：ab 段：z μστ= 滑动区bc 段：S 5.0=τ 制动区co 段：S h r c S 22≈=γγτ停滞区将上式分别代入γστd d hz 2-=几个特殊点：b 点：b 点处有S b 21=τ 又有：()b z b u στ=ab段代入：()b dz hu se γσ-=22可求b γ 即：u u h dn b 222ιγ+=而对于bc 段（制动区），c hsz +-=γσ在处有b γs u z 5.0=σ 可求出()zb h u usC σγ及+=121 C点：CO段停滞区2222c s h z +-=γσ在处h c ==γγ，C 点z σ应相等可求C 2()[]()2222212γσγ-++=-h hs u s h h u z b18.1.2.3 讨论0<u <0.5 )1(2ψ+>h d三区并存 0<u <0.5 2≤h d≤)1(2ψ+制动区消失u >0 h d≤2 只有停滞区u ≤0.5 n d＞2 停滞区+制动区18.1.2.4 锻粗变形力计算 F=dA z σ⎰⎰ 单位流动压力：A F =ρ将前已计算出的z σ分别积分即求得常摩擦时：us =τγσd husd z 2-= ()[]γσ-+=221d h u z s ()huds p 31+=热锻中按最大摩擦条件s 5.0=τ（全部为制动区）()hd z s γσ-+=5.01()h d s p 611+=18.1.2.5 镦粗时变形功deformation work （选设备用）W=-⎰01h h Fdh=⎰-PAdh h h 01W=⎰1h h p v dh hv =⎰10h h ∈=m v hdh p ρ 注意：变形时单位流动压力与坯料体积及打击速度有关习题 18章 318.1.3 开式模锻drop-forging变形特点及变形力计算18.1.3.1 变形特点定义：利用模具die迫使金属坯料产生塑性变性并充满锻模型腔的一种塑性加工方法过程：1) 镦粗阶段2) 充满模镗阶段3) 上下模闭合阶段（打靠）飞边槽作用：1) 形成阻力2) 容纳多余金属18.1.3.2 变形力计算上下模闭合时需要力最大，所以计算此时的力以圆盘类锻件为例：可分为三个部分⎪⎩⎪⎨⎧飞边仓部飞边桥部锻件主体18.1.3.3 飞边仓部受力分析作用：阻止桥部金属向外流动受力模型：厚壁筒thick-walled barrel 受内压作用1) 取单元体 2) 列静力平衡方程()()0sin 2=⋅⋅-∂+++θγσγθσθγγσσγθγγd d d d d d22sin θθd d ≈()0=++∴γσσγσθγγγd d d即0=++γσσγσθγγd d 3) 屈服准则 ()s βσσγθ=--代入上式γγβσd r sd -=热模锻S 为常数，应力状态为平面应力1.1=βcr s r ln 1.1-=∴σ4) 边界条件21D =γ 处0=γσC=12D∴γσ21ln 1.1D r S =∴仓桥交界处()b D+=2γγγισ211.1D ns =锻模设计常识：一般b D D 21+≤1.6在b D+=2γ处，S S 5.06.1ln 15.1=≈γσ18.1.3.4 飞边桥部变形力计算 受力模型：轴对称镦粗 1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd hd 2-=热模锻用最大摩擦条件s 5.0=τγσγd hsd -=∴C hs+-=∴γσγ3) 边界条件：b D +=2γ s 5.0=γσ()hbD s C ++=∴25.0()5.0222+=∴-+hb D sγγσ4) 屈服准则（近似） s z =-γσσ()[]γσ-++=∴b s Dh z 215.1F b =⎰⎰+=22DD z bdA σγπγσd z ∂⋅()()bD b D h b b D b sb F +++⋅++=3225.1π()b D b Fb Ab Fb p b +==π模锻件D>>b 再简化132≈++b D b D()h b b s p 25.1+=∴18.1.3.5 锻件本体变形力受力模型（简化）：圆盘镦粗D φ h 0=2h (透镜状镦粗)1) 取单元体2) 列静力平衡方程γτσγd h d o2-=最大摩擦条件 s 5.0=τc hos +-=∴γσγ3) 边界条件 2D =γ ()5.0222+=-+hr b D s γσ 可求出C()oh D hbs 225.0γγσ-++=∴4) 屈服准则（近似）s z =-γσσ （h 0=2h ）()hD hbz s 425.1γσ-++=∴⎰=∴01224D d D p π()h D h b S 425.1γ-++ =()h Dh b S 125.1++结论：模锻力F=dd b b A p A p +=()()Ad S A S h Dh b b h b 1225.15.1++++=()[]h Dh b Ad Ab h b S D 12225.15.14++++π习题 18章 218.1.4 板料弯曲定义：把平板、型材（管材）弯成一定曲率（角度）的塑性成形工序应用：模具弯、折弯、滚弯、拉弯18.1.4.1 线性弹塑性弯曲 18.1.4.2 弹性弯曲弯矩小⇒弹性变形（弯曲角度小，曲率半径大） 外区受拉内区受压⇒交界处受力为0且位于板厚中间2t+==γρρσε 且应变公式为：()εεεεθρρραρεyy =∂∂-+=（ερ应变中性层曲率半径，y 到中性层距离，弯曲角度） 而弹变时0==z σσρ3ρθθεσEyE ==∴18.1.4.3 弹塑性弯曲弯矩↑⇒角度↑⇒曲率半径↓γ。
主应力法
x
x
yx
y
0
xy
y
0
x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
cos
cos
u
dx
cos
sin
l
dx
cos
sin
0
整理
xh ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
ydx
sin( ) dx cos
u
cos
dx
cos
0
y tan u 0
ij 0 （3个）
x j
f ( ij ) C （1个）
dij d ij '
（6个）
dij
1 2
(dui x j
)
(du xi
j
)
（6个）
未知量： ij , dij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化 x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
代入 u y tan l y tan
主应力法全解析
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
主应力法的基本原理
主应力法的基本原理主应力法是一种用于工程力学和地质力学中的分析方法，用于确定材料或岩石中的主应力和主应变状态。
该方法可以帮助工程师和地质学家了解材料或岩石的行为，并为设计和分析工程结构提供依据。
主应力法的基本原理包括主应力定义、主应力状态、应力椭圆和主应力轴线等。
首先，主应力是在任何给定点上作用的三个最大和最小的应力分量。
它们分别是法向应力和剪切应力的最大和最小值。
法向应力是垂直于截面的应力分量，而剪切应力是平行于截面的应力分量。
主应力的定义和计算是主应力法的基础。
主应力状态是一个已知点上的主应力分量的集合。
通过测量或计算得到的主应力可以表示为一组坐标或切线。
这些主应力称为主应力轴线。
根据这些主应力轴线，可以确定主应力的状态以及相应的主应变状态。
应力椭圆是用来表示主应力状态和主应变状态的图形。
它是根据主应力轴线的方向和大小绘制的。
应力椭圆是一个椭圆形状，其长轴对应于法向应力的最大值，即主应力1，短轴对应于法向应力的最小值，即主应力3、剪切应力对应于椭圆的主轴之间的角度。
主应力法的基本原理是基于弹性理论和材料力学的基本原理。
弹性理论认为材料在小变形范围内具有线性弹性特性。
根据弹性力学的理论，可以导出材料应力和应变之间的关系。
主应力法利用这些理论分析应力和应变在材料中的分布情况。
主应力方法的基本原理还包括确定应力的主轴方向和大小。
主轴方向是主应力的方向，它表示在给定点上材料中发生拉伸或压缩的方向。
主轴大小是主应力的大小，它表示在给定点上材料中发生的最大或最小应力。
主应力法的实际应用包括与岩石力学、土力学和结构力学等领域相关的工程设计和分析。
它的基本原理是通过测量或计算主应力来确定主应力状态和主应变状态。
然后，可以使用这些结果进行结构设计和分析，以确保结构的稳定性和安全性。
总之，主应力法是一种基于弹性力学原理的分析方法，用于确定材料或岩石中的主应力和主应变状态。
它的基本原理包括主应力定义、主应力状态、应力椭圆和主应力轴线等。
毕肖普总应立法和有效应力法公式汇总
毕肖普总应立法和有效应力法公式汇总毕肖普总应力法和有效应力法的公式啊，就像是武林中的两门绝学。
先来说说毕肖普总应力法的公式吧。
这公式就像一个神秘的魔法咒语，乍一看就像一堆乱码在聚会。
那些参数就像一群性格各异的小怪兽，有的调皮地跳来跳去，有的则稳稳地站着，像是在守卫什么宝藏。
它的计算过程就像是一场奇妙的冒险，你得小心翼翼地带着这些小怪兽在数学的迷宫里穿梭，一个不小心就可能被某个调皮的参数带偏了方向，就像你在森林里被一只狡猾的小狐狸误导了一样。
再看看有效应力法公式。
这公式简直就是一个超级复杂的机械装置，每个部分都像是一个精密的齿轮。
这些齿轮之间相互咬合得紧紧的，稍微动一下就可能引发整个装置的变化。
那些系数和变量呢，就像是机械装置里不同形状和功能的小零件，有圆形的、方形的、三角形的，每个都有自己独特的任务。
要是你想把这个公式搞明白，就像是要把这个超级复杂的机械装置拆开再重新组装起来一样困难，感觉自己像是一个手忙脚乱的小工匠，面对一堆零件不知所措。
毕肖普总应力法公式有时候就像一个任性的小孩，有时候按照一种简单的逻辑运行，有时候又突然变卦，给你来个出其不意。
而有效应力法公式更像是一个老谋深算的智者，它稳稳地站在那里，不管你怎么试探，它都有着自己严谨的规律。
把这两个公式放在一起比较，就像是把一个活泼的小猴子和一个沉稳的大象放在一起。
总应力法公式总是蹦蹦跳跳地展示它的多变性，而有效应力法公式则慢条斯理地展现它的可靠性。
在解决实际问题的时候，选择用哪个公式就像是在两个性格迥异的朋友之间做选择。
你要是想快速地得到一个大概的结果，可能会选择总应力法公式这个“急性子朋友”，但如果你想要精确到极致，那有效应力法公式这个“完美主义者朋友”就非选不可了。
不过不管是哪个公式，它们都像是两座神秘的山峰，等待着我们去攀登，去探索其中的奥秘。
虽然过程可能会很艰难，就像在布满荆棘的道路上前行，但当你真正理解了它们，那种成就感就像是登上山峰看到了无比壮丽的美景一样。
材料成形原理-第5章 主应力法
主应力法 滑移线法 上限法
特殊问题
平面应变，轴对称，平面应力等
简化模型 简化边界，简化物理模型，简化几何模型 近似解析 求解过程简化
主应力法
主应力法 主应力法是求解塑性加工问题的一种比较常用 的解析方法。又称为切块法，初等解析法，力 平衡法等 假设材料以均匀变形； 将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡 方程； 将二次方程的Mises屈服准则简化为线性方程； 最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。 优点是数学运算简单，可以确定材料参数、变 形几何体尺寸、摩擦等对成形的影响
为摩擦系数
常摩擦力模型
f = mk m为摩擦因子，0<m<1， k为剪切屈服强度
主塑性流动规律切取单元体，单元体
包含接触表面在内；
通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将
切面上的正应力假设为均匀分布的主应力
正应力的分布只随单一坐标变化，就可以将偏微 分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程
主应力法
主应力法的基本原理 在应用Mises屈服准则时，忽略应力和摩擦切应力 的影响，将Mises屈服准则简化为线性方程； 对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示
主应力法
主应力法的基本原理 假设材料变形是均匀的，变形状态属于平面应变 或轴对称问题； 在平面应变条件下，变形前为平截面变形后仍为 平截面，且与原平截面平行
在轴对称条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为 圆柱面，且与原圆柱面同轴
对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规 律，将其分成若干部分，对每一部分都近似地按 平面应变或轴对称问题处理，最后再拼合在一起， 就可以得到整个问题的解
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
塑性加工力学__第8章_主应力法
这样，力平衡方程简化为：
d x 2 f 0 dx h
或者可以从变形体上截取微元体，进行受力分析 建立力平衡方程，有：
x d x hl x hl 2 f ldx 0
则：
σx+dσx
d x h 2 f dx 0 d x 0 dx h 2 f
x d x hl x hl 2 ldx 0
2 ………（１） d x dx h 3、由Tresca屈服准则（忽略 ），
x
向受力平衡方程：
化简得：
1 3 s 3 z 其中 ： 1 x ；
所以：
x z s
镦粗 方向
σy σx
τ
σye
金属流动方向 x τ xe
σy dx
（显然，上式也是假设 在y方向均匀分布。）
x
h
σye
x
3、接触表面摩擦规律的简化
接触表面的摩擦多采用近似关系：
f n f mk (m为摩擦因子，取值在0 ~ 1） f k
其中
k
为屈服剪应力。
4、变形区几何形状的简化 根据所取坐标系以及变形特点，把变形区的 几何形状作简化处理。 如平锤下镦粗时，侧表面始终保持与接触面 垂直关系等。 5、其他假设 如将变形区材料视为均匀、各向同性，变形 均匀，剪应力在坯料厚度或半径方向线性分布， 某些数学近似处理等。
由于接触面上摩擦力的存在，正应力的分布是不 均匀的，需要利用应力平衡微分方程、应力应变关系 式、变形连续方程和塑性条件等联立求解。但是，这 种数学解析法计算十分复杂，用一般的解析方法求解 是非常困难的，甚至是不可能的。只有在某些特殊情 况下或将实际问题进行一些简化后，对于平面问题和 轴对称问题才能求解。 因此，为解决变形力的实际问题，需要引进各种 假设以简化联立方程，主应力法（也称工程法或切块 法）就是在此基础上建立起来的一种近似求解方法。
主应力法求轧制
主应力法求轧制
主应力法是一种力学分析方法，可用于计算轧制过程中的应力分布。
该方法利用主应力原理，将三维应力状态转换为等效的一维应力状态，进而确定最大和最小应力值，从而确定材料是否达到塑性变形的极限。
以下是利用主应力法求解轧制过程中应力分布的步骤：
1. 确定轧制区域内的应力状态：轧制过程中，钢坯受到的应力主要包括轧制压应力和轧制弯应力。
同时，钢坯的几何形状也会对应力状态产生影响。
因此，首先需要确定轧制区域内的应力状态，并将其表示为矩阵形式。
2. 对应力矩阵进行主应力分解：利用主应力原理，将三维应力状态转换为等效的一维应力状态，并确定最大应力值和最小应力值。
这一步骤可以使用数值方法或解析方法来完成。
3. 判断材料是否达到塑性变形的极限：根据材料的本构关系，确定材料的屈服极限和断裂极限，进而判断此时应力状态是否会使材料达到塑性变形的极限。
如果达到极限，则需要考虑采取合适的措施来避免材料破坏，如增加轧制力或调整轧制速度等。
4. 将应力分布图形化展示：最后，将计算得到的应力分布用图形化的方式展示出来，以便更好地理解和分析该区域的强度和稳定性。
第六章_主应力法复习
例如以上分析中，我们可以假设σx、σy为主应力σ1 、σ3 。 这时不考虑剪应力τ的影响。这就是塑性条件由原来 的非线性化。如果τ非常大时。误差结果也就较大。
将上述的平衡方程与近 似屈服准则联解，以求接触 面上的应力分布，这就是主 应力法。 由于该方法需要截取基元 块，又形象地称为切块法。
6
（一）平面应变的横向流动（镦粗型）
10
5、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）
变形力
P y dF
F
2 l y dx
0
xe
平均变形力
P P 1 p F l 2 xe xe 1 xe
xe 0
y dx
xe 0
2 ( x x ) e ye dx h
3
（2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标 轴无关。
根据某瞬时变形体的变形趋向， 截取包括接触平面在内的典型基元 块，在接触面上有正应力和切应力 （摩擦力），且假设在其他截面（ 非接触面）上仅有均布的正应力即 主应力。 这样处理的结果使平衡方程缩减 至一个，而且由偏微分方程变为常 微分方程。该平衡方程可以通过基 元块的静力平衡条件得到。
主应力法又称切块法，是塑性成形中求解变形力的一 种近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建 立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解 过程大大简化。 主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程 与塑性条件联解采取了一些简化条件。 2
二、主应力法要点（假设）
切块法
（1）将复杂变形体简化成 平面应变问题或轴对称问题 根据实际变形区情况，将复杂 问题近似地按轴对称问题或平面问 题来处理，并选用相应的坐标系。 对于变形复杂的过程。 如模锻， 可以分成若干部分，每一部分分别 按平面问题或轴对称问题处理，最 后组合在一起，得到整个问题的解 。
第五章主应力法及应用.ppt
3）求摩擦：
4）列出屈服条件：
5）上式和平衡微分方程联解，并将摩擦力代 入，得：
6）由边界条件求c： 当
7）求镦粗力和单位流动压力：
例2：设一球壳，外径 ，内径 ，材 料真实流动应力 ，液压胀形，求内压
轴对称问题，采用球坐标。
解：1）切取单元体。
用四个两两夹角为 的平面和两个同心 球面切取一个单元体。
第五章主应力法及应用
§5.1主应力法的基本原理 §5.2主应力法的应用
§5.1主应力法的基本原理
主应力法的基本思想
是求解金属塑性成形问题的一种简便近似 方法，通过引进一些假设，将变形体的状 态简化成平面或轴对称问题，从而建立新 的能求解的常微分形态的应力平衡方程。
主应力法求解的步骤
1）沿作用力方向选取一个基元块或单元体，画 出应力并假设应力在面元上分布均匀。 2）沿某一方向建立静力平衡微分方程。
由（1）（2）（3）式可得：
*在变形区内边缘， 最大； 最小。
*在变形区外边缘， 最大； 最小。
大作业：一块板料，长L，宽B，厚t，B/t》3，
求解板料弯曲时变形区内的主应力大小。（假设 是无硬化大塑性变形）
2）沿径向列出应力平衡微分方程：
展开且忽略高阶微量，可得：
3）列出屈服条பைடு நூலகம்：
4）上式和应力平衡微分方程(5-1)联解,得：
积分得：
5）由边界条件求c：
边界条件：
内压
例3：轴对称镦粗的变形力。
解：
例4：圆锥孔形挤压。
例5：主应力法在板料成形中的应用。
1.板料成形的特点
a）可作为平面应力问题。 板料成形时，只有一个板面与模具接触，板 厚方向的平均应力不会很大，可忽略。
主应力法及其应用
截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上的
正应力假定为主应力，且均匀分布；
3.主应力法（切块法）
§6.3 几种金属流动类型 变形公式的推导
1.平面应变镦粗型的变形力
2.平面应变挤压型的变形力
3.轴对称镦粗型的变形力
4.轴对称挤压型的变形力
1.平面应变镦粗型的变形力
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
F xe
xe 0
y
dx
mKxe h
ye
可推出宽度为b、高度为h的工件平面应变自由镦粗时接 触面上的压应力σy和单位变形力p（均为平均值）
y
2 K [1
m h
(b 2
x)]
p 2K (1 mb) 4h
2.平面应变挤压型的变形力
we
wf
ye 2 Y
3
金属
δ
ye γ 流动
方向
镦粗
σy
方向
τ
σx 金属流动方向
σx+ dx
σye h
设τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）
对基元板（设长dl）列平衡方程
Px xlh ( x d x )lh 2 ldx 0
x τ dx xe σy
d x
2mK h
dx
σy
根据屈服方程及成形镦粗成形条
件，σx<σy
h
σθ
dθ σr
σr+ dr
σr+ dr
σθ
r τ dr re σz
可得高度为h，直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的
4.1主应力法基本原理
2 d y dx S d y 2 S dx h h
依据边界条件求常数C
2 Sa c S h 3
2 S y xc h
2 S 3
当x a / 2时， x 0, 根据塑性条件可得 y
y
2 S a 2 ( x) S h 2 3
dx
4.1 主应力法的基本原理
设采用常摩擦条件
S
max min 2 K
2 S 3
2 d x dx h
补充塑性条件
2 y x , 均为压应力。 x y）= （S 3
d x d y
将平衡微分方程、摩擦条件与塑性条件联立
P 2 a p S S la 2h 3
金属塑性成形原理
第四章
接触面上的摩擦力可用库仑摩擦条件或常摩擦条件等表 示。 由基元体的静力平衡条件，得到简化的应力平衡微分方程（ 常微分方程）。
4.1 主应力法的基本原理
• 确定边界条件 假定工具与金属接触面上的边界条件为：正应力为主应
力，切应力（摩擦力）服从库伦摩擦条件，或常摩擦条件。
即：
n或 S
金属塑性成形原理
第四章 金属塑性成形基本工序的力学 分析及主应力法
4.1 4.2 主应力法的基本原理 镦粗变形
4.3
开式模锻变形特点及变形力计算
板料弯曲工序分析及变形区的应 力应变分布
4.4
4.5 挤压变形分析及单位挤压力的计算
4.1 主应力法的基本原理
主应力法：又称切块法，通过对应力状态作一些近似假设， 建立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，使求解过程 大大简化。 基本要点： • 简化问题：把变形体的应力和应变状态简化成平面问题 （平面应变和平面应力）或轴对称问题
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17:48:18
z s 1 R2 r 2 hr
F
R
0
z 2 rdr 0
平面应变时 =1.155
1 x 3 y
y
y x 1.155 s
d x 2 y h dx
x
11
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
代入原式得：
17:48:18
d y
2 y h
d x
2 y h
单位流动应力：
2 rb 2 rb 1 h 1 2 R 1 rb 2 1 h p s { ( )2 [ (1 ) (1 )] ( ) (1 ) ( )2 } 2 r 2 h h 2 R 3h 12 R
30
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
情况2： 0 , d h 2
边界条件：
2 s h
rdr
z h r2 c
2
s
停滞区:
z r h s c
r h
制动区: z
(2
rb h h
1
) s
c (1 2
rb h h
1
) s
停滞区
的应力分布：
z (2
rb h h
1
h r ) 2
b)当 0( 0.5) 时：
rb R h
滑动区和制动区同时消失。
27
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
6) 镦粗变形力计算
F
17:48:18
Z
dA
单位流动压力:
F p A
根据不同坯料的几何尺寸的变形时的润滑情况，柱体接
触面上的应力情况分为四种，按相应公式计算接触应力.
x
2 x x c h
h
o
x
x d x
6
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
x
2 x c h
17:48:18
3.边界条件 ：
x b/2
c
x 0
b
h
b y
h (2 x b）
h o
y
x
x
x
x d x
7
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
1.155 s 0
( b2 x )
h
C 1.155 s e
y 1.155 s e
2 x ) ( bh x y 1.155 s 1.155 s e 1
13
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
三、圆柱体镦粗的变形力计算
代入边界条件：
2h r
z r R s
c se
2 R h
z se
s e
2 ( Rr ) h
2 ( Rr ) h
21
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
a) 接触面上正应力与切应力的径向分布均为指数曲线。
e 2 h ( R r ) z s 2 ( Rr ) h e s
y (b 2 x ) 1.155 s
h
瞬间载荷为：
P 2l y dx lb b 1.155 s 2h 0
b 2
9
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
二、长方体镦粗的变形力计算2
17:48:18
2）长矩形板(l b h) 在变形某瞬间尺寸如图所示。设接触面上 摩擦系数为，试计算接触面上压力分布和总变形力。 b 解： y
4. 塑性条件(屈服准则)
17:48:18
1 3 s
平面应变时 =1.155
1 x
3 y
y
x
y x 1.155 s
8
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
17:48:18
x (b 2 x )
h
y x 1.155 s
3） 设基元体的正应力为主应力，建立屈服条件。
4） 根据边界情况确定积分后的待定常数。
2
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
一、镦粗的变形特点
有摩擦
17:48:18
有摩擦
无摩擦
h/d<2
h/d>2
变形前
变形后
3
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
① ② ③ ④
难变形区 大变形区 小变形区 均匀变形区
17:48:18
b) 最小值在柱体的边缘处，分别为
c) 最大值在柱体的中心，分别为：
max s e
d
h
max s e
d
h
d) 随着的增加、R/h而增加，但 = s时，就不能再增加
接触面上的摩擦切应力按单一库伦条件假设与实际不符。
22
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
28
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
情况1： 0 0.5,
d h
17:48:18
2 1 ,
ln22
同时存在停滞区、制动区、停滞区。
F z 2 rdr z 2 rdr z 2 rdr
0 rc rb
rc
rb
29
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
17:48:18
2 2 2 1 h 1 2 rb 2 R 1 rb 2 rb 1 h 2 F 1 1 1 2 R s h h 2 R 3h 12 R 2 r 2
h o
截取一个由上下接触面、半径为 r和r+dr的两个同心圆柱面及和夹角 为dθ的两个径向平面所包围的基元
体。
d
15
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
b
17:48:18
在基元体的存在径向、周向和 轴向的应力，以及剪应力；
h o
z
z
x
r
设应力沿高度均匀分布，忽 略上下接触面的摩擦力，各正应 力均为主应力(r、、z）。
dx
dx
2 x ln y c h
y e
2 x c h
y Ce
2 x h
12
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
17:48:18
x Ce
2 x h
1.155 s
得：
b
h
4. 代入边界条件 x b / 2 时 x 0
Ce
得：
2 x h
当角很小时 ：
σr hdr rhdσr -σ hdr 2τ rdr 0
d
r
r d r
17
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
由不可压缩条件，可得：
17:48:18
r 2 h const
r 2 dh 2r dh 0
dh dr 2 0 h r
2 s d z dr h
2 s z r c h
在r=rb，摩擦力等于最大剪切屈服应力：
rb 1 c ( 2 )τ s μ h
rb r 1 z (2 ) s h
25
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
Ⅲ) 停滞区的应力分布：
17:48:18
d z
解： 1. 按照变形特点切片 b l h
5
b y
h o
y
x
x
x d x
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
2. 由 x 方向静力平衡建立方程
17:48:18
x hl ( x d x )hl 2 ldx 0
2 d x dx h
b y
积分得：
y
17:48:18
金属塑性成形典型工艺的主应力 解法
1
§4.1 主应力法基本思路
主应力法的实质就是简化应力平衡微分方程与屈服条件 (准则)以求解变形力的一种简化解法，其基本内容为：
17:48:18
1） 根据物体变形特点，近似当作平面问题或轴对称问题处理。 2） 根据金属变形流动的特点，在变形上截取一基元体，根据 静力平衡建立应力平衡微分方程。
d z d r d 0
d z 2d r 0
d r d
r
根据Levy—Mises增量理论得：
d r d d z r z
r
18
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
r hdr rhd r - hdr 2 rdr 0
s e
2 ( Rr ) h 2 ( Rr ) h
设制动区与 滑动区交界处半径为rb，则：
s e
rb R
2 ( R rb ) h
s
h
24
ln s ln s 2
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
II)制动区的应力分布：
17:48:18
26
§4.1 镦粗的变形特点和及变形力计算
Ⅳ) 接触面各区存在条件
令： ln s ln s 2
rb R ln s ln s 2 h
17:48:18
rb R h