非正弦周期交流电路

(k = ku ki )
结论：
教材p215 (5-17)式
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
第五章
结束
R3
u 10μ
4
4k
C2
U '4 = 0V
直流通道
(2) 交流电源作用 （e 作用，E1 短路）
1
R1
C1
X C1 = X C2 = 1000 10 106
i " 4k
10μ
1
2k R2
= 100
+
+
e
_ E1
_
R4
4k
以下介绍近似计算法

R3
10μ
u4"
R3>>XC2
4k
C2
R3 //( jX C2) jX C
（C2称旁路电容）
同理

R1
i " 4K
1
2K R2
+
+
e
_ E1
_
C1
10μ
R4
4K
R4>>XC1
jX C + R4 R4
（C1称藕合电容）
R3
10μ
u4"
4K
C2
R2>>XC2
C2也可视为短路
对交流通道进行简化后的计算
R1
C1
i1" 4K
2K
R2
u4"
+
e + R4
_ E1
_ 4K
简化后的交流通道
u4"
=
1 2
e
= 20 2 sin1000t mV
i1"
=

u4" R1
= 5 2 sin1000t A
最后结果：交、直流迭加
u4 = u'4 +u"4
= 20 2 sin1000t mV
i1 = i'1 +i"1
= 1200 5 2 sin1000t A
i1 交流分量
Im
t
is 的最后展开式为：
T/2 T

iS = I0 + AKm sin(kwt + K ) K =1
= Im + 2Im (sin wt + 1 sin 3wt
2
3
+ 1 sin wt +）
5
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
IS0 is1 is3 is5
iS
=
Im 2
+
2Im

(sinwt
U5 = I5s Z (5w1)
= 20106 208.3 89.53 2
= 4.166 89.53mV 2
第三步 各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 = 1.57 mV
U1
=
5000 2
mV
U 3
=
12.47 2


89.2
mV
U 5
=
4.166 2


+ …..
高次谐波 （2倍频）

= A0 + Akm sin(kwt +fk )
k =1

A 周期函数 f (wt) = + 0
AkmSin(kwt + k )
k =1
Akm sin(kwt + k ) = Akm(sin kwt cosk + coskwt sink ) = Akm cosk sin kwt + Akm sin k coskwt = Bkm sin kwt + Ckm coskwt
第五章
非正弦周期交流电路
第五章 非正弦周期交流电路
§5.1. 概述
§5.2. 非正弦周期交流信号的分解
§5.3. 非正弦周期交流电路的分析 和计算
§5.4. 非正弦周期交流信号的平 均值、有效值、平均功率 的计算
§5.1. 概述
非正弦周期交流信号的特点
不是正弦波 按周期规律变化
非正弦周期交流信号举例
1. 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开
成若干种频率的谐波信号；
2. 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波
信号分别计算。 （注意对交流各谐波的 XL、XC不同，对直
流C 相当于开路、L相于短路。） 3. 将以上计算结果，用瞬时值迭加。
计算举例
例1 方波信号激励的电路
iS
Im
T/2 T
t iS
R
C
+
1 sin 3wt
3
+
1 sin 5w
5
t
+)
IS0
is1
is3
is5
代入已知数据： Im = 157μA , 得： T = 6.28μ s
直流分量
I0
=
Im 2
= 157 2
= 78.5μA
基波最大值
I1m
=
2Im

=
2 1.57 3.14
= 100μA
三次谐波最大值 五次谐波最大值
I3m
is5
=
100 sin 5
5106 t
A
第二步 对各种频率的谐波分量单独计算：
1. 直流分量 IS0 作用
IS0 = 78.5A
对直流，电容相当于断
路；电感相当于短路。所 IS0
以输出的直流分量为：
20Ω
R
C L u0
U0 = RIS0
= 20 78 .5106
= 1.57 mV
IS0
直流分量 t
计算非正弦周期交流电路应
注意的问题
1. 最后结果只能是瞬时值迭加。 不同频率正弦量不能用相量相加。
U U0 + Uw1 + Uw 3 + Uw5 + ...
2. 不同频率对应的 XC、XL不同。
§5.4. 非正弦周期交流信号 的平均值、有效值、平 均功率的计算
数学 预备知识


f (wt) = A0 + Bkm sin kwt + Ckm cos kwt
k =1
k =1


f (wt) = A0 + Bkm sin kwt + Ckm cos kwt
k =1
k =1
A0
=
1
2
2
f (wt)d (wt)
0
Bkm
=
1

2
0
+
k =1
U
km
sin
kwt
+
k

2
d
(wt)
有效值的计算
利用三角函数的正交性得：
教材p207 (5-12)式
U= =
U
2 0
+
k =1
U
2 km
2
U
2 0
+ U12
+
U
2 2
+

结论：周期函数的有效值为直流分量及 各次谐波分量有效值平方和的方根。
非正弦周期交流电路 平均功率的计算
=
1 3
I1m
=
33.3μA
I5m
=
1 5
I1m
=
20μA
角频率
w
=
2
T
=
2 3.14 6.28106
= 10 6
rad/s
电流源各频率的谐波分量为： iS
Im
t
I S 0 = 78.5 A
T/2 T
is1 = 100 sin10 6 t A
is3
=
100 3
sin
3 106 t
A
三角函数的正交性
1.正弦、余弦信号一个周期内的积分为0
2
0 sin kwtd (wt) = 0
2
0 coskwtd (wt) = 0
（ k 为整数）
2.
2
2
在一个周期内的积分为
sin , cos
2 sin2 kwtd (wt) = 0
2 cos2kwtd (wt) = 0
C
)
)
X L R
X L X C = L = 50k R RC
20Ω
R
Z (w1) = 50KΩ
is1
C L u1 is1 = 100 sin10 6 t μ A
U1
=
I1

Z (w1）=
100 106 2
50
= 5000 mV 2
3. 三次谐波 作用
20Ω R
is3
C L u3
A
1
w5C
=
5 106
1 10001012
= 0.2(KΩ)
w5L = 5106 103 = 5kΩ
Z (5w1)
=
(R + jXL5)( jXC5) R + j(5 XL5 XC5)
= 208.3 89.53
is5
=
100 sin 5 106 t 5
A
Z (5w1) = 208 .3 89.53
u
L
已知：R = 20、 L = 1mH 、C = 1000 pF
Im = 157μ A、 T = 6.28S
求： u
第一步：将激励信号展开为傅里叶级数
直流分量： IO
=
1 T
T
0
i
(t
)
dt
=
1 T
T 0
/
2
I
m
dt
=
I m
2
谐波分量：
2
BKm =
2
i(w t)sin kw td(wt)
89 .53 mV
u = U0 + u1 + u3 + u5
1.57 + 5000sin wt
+12.47sin(3wt 89.2 )
+ 4.166sin(5wt 89.53 ) mV
例2 交、直流共存的电路
解题要点：交、直流分别计算；
直流和交流瞬时值结果迭加
R1
i1 4k 2k
μA
Z (3w1) = 374 .5 89.19
U 3 = IS 3 Z (3w1)
= 33.3 10 6 374 .5 89.19 2
= 12.47 89.2 mV 2
4. 五次谐波 作用
20Ω
R
is3
C L u3
is5
=
100 sin 5106t 5
f (wt) sin kwtd(wt)
0
教材p202 (5-5)式
Ckm
=
1

2
f (wt) coskwtd(wt)
0
求出A0、Bkm、Ckm便可得到原函数 f (wt) 的
展开式。(参见教材 P203 例5-1)
例 周期性方波 的分解
直流分量
t
三次谐波
t
基波
t
五次谐波 七次谐波

u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
i(wt) = I0 + Ikm sin(kwt + k k ) k =1
1T
P = T 0 u idt
利用三角函数的正交性，整理后得：

P = U0I0 + Uk Ik cosk k =1
= P0 + P1 + P2 + ......
is3
=
100 3
sin
3 106
t
A
1
w3C
=
3106
1 10001012
= 0.33K
w3L = 3106 103 = 3kΩ
Z (3w1)
=
(R + R+
jXL3)( jXC3) j( XL3 XC3)
= 374.5 89.19
is3
=
100 3
sin
3106 t
R u0
2. 基波 作用 is1 = 100 sin10 6 t μ A
20Ω R
1
w1C
=
106
1 10001012
is1
C L u1
= 1k
w1L = 106 103 = 1k
L = 1mH
C = 1000 pF
w = 10 6rad /s
Z (w1)
=
(R + R+
jX L ) ( jX j(X L XC
t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m

=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (sinwt + 1 sin 3wt + 1 sin 5wt +)

3
5
时域 周期性函数
频域 离散谱线
§5.3. 非正弦周期交流电路的分析 和计算 要点
0
=
2Im

( 1 coskw
k
t
)

0
=

0 2Im
k
K为偶数 K为奇数
Ckm = 2
2
i(wt) coskwtd (wt)
0
=Hale Waihona Puke Baidu
2Im


1 k
sin
kwt

0
=
0
AKm =
BK2m
+ CK2m
=
BKm
=
2Im
k
（K为奇数）
K
= tg 1 CKm BKm
=0
iS
+
e
_ E1
R3 4k
C1
10μ R2
+
_
R4
4k
10μ
C2
已知： E=12 V
e = 40 2 sin1000 t mV
u4 求：ui14==？？
(1) 直流电源作用 (E1作用，e 短路)
R1
C1
i 4k
10μ
1
2k R2
I '1 =
R1
+
E1 R2
+
R3
+
+
e
_ E1
_
R4 4k
= 12 = 1.2 (mA) 10
（ k 为整数）
3. 三角函数的正交性
2
0 coskwt sin pwtd (wt) = 0
2
0 coskwt cos pwtd (wt) = 0
2
0 sin kwt sin pwtd (wt) = 0
k p
非正弦周期函数的平均值

若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
交直流共存电路
+V
Es
计算机内的脉冲信号
t
T
§5.2. 非正弦周期交流信号的分解
f (w t ) = A 直流分量 0
基波（和原 函数同频）
+ A sin( w t + f )
1m
1
+ A sin( 2w t + f )
2m
2 二次谐波
正弦量的平均值为0
则其平均值为： (直流分量)
1
U AV = 2
2
0 u(wt)dwt = U0
非正弦周期函数的有效值

若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
则有效值:
U = 1 2 u2 wtd(wt)
2 0
=
1
2
2
0
U