2高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

☑高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

一、必备公式

1．三角函数

(1)同角三角函数

①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(又叫1字替换式)；②商数关系：

sin αcos α＝tan α(又叫切弦互化式)；(2)和差倍角关系

①cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β；

②sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；③tan(α±β)＝β

βtan tan 1tan tan a a -±；④sin 2α＝2sin αcos α；⑤cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1；⑥tan 2α＝

2tan α1－tan 2α；(3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ),其中,tan φ＝b a ,|φ|＜π2

,a ＞0.2．正余弦定理

(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C

＝2R ，其中R 为外接圆半径；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；

②正弦化边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ；(2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C

注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab (3)三角形面积：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ②S △ABC ＝12

(a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径)3．平面向量：

(1)两点间向量表示：若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；(2)向量运算公式：若a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2)，则：①a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)；②λa ＝(λx 1，λy 1)；③a·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2+y 1y 2；④|a |＝a 2＝x 21＋y 21；⑤cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22；⑥a 在b 方向上的投影为：|a |cos θ＝a·b |b|；(3)平行与垂直定理：

①共线定理：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2＝x 2y 1；②垂直定理：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2+y 1y 2＝0.

二、必备结论

1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦

2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限；②原则：负化正、大化小、小化锐；3．函数y ＝tan x 的定义域是：{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z}4．形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质(1)图像变换：

①相位变换：y ＝sin x→y ＝sin(x ＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)|φ|个单位；

②周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|1ω

|倍；③振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A |倍；

注意：y ＝sin ωx→y ＝sin(ωx ＋φ)变换规则是：先提取后者x 的系数ω，然后在左(右)平移|φω|个单位；(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合”②值域：由内向外③单调性：同增异减(3)周期公式：①y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|②y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期T ＝π|ω|.(3)对称性：换元思想，将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①对称轴：最值处，令sin(ωx ＋φ)＝1，则ωx ＋φ＝k π＋π2

(k ∈Z)，可求得对称轴方程；

②对称中心：零点处，令sin(ωx ＋φ)＝0，ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；

(4)奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握①函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)；②函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2

(k ∈Z)；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z)；③函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)．

5．平面向量：

①a |a |是与a 同方向的单位向量．②共线第二定理：若A 、B 、C 三点共线⇔OC →＝xOA →＋y OB →且x ＋y ＝1．

6．平面向量与三角形的心：①OA →＋OB →＋OC →＝0⇔点O 为△ABC 的重心(中线交点)；

②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →

的垂心(高线交点)③若动点P 满足OP →＝OA →＋P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(角平分线交点)．7．三角形中：①sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；

②sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2；③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；

④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A ＜cos B ．三、必备方法

1．三角函数求值、化简时，常用方法有：

(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x ＝sin x cos x ；②降次数：公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos

θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的变形、转化；

(3)

巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2tan π4；(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2

等2．换元法：即整体思想，对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．

3．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)观察确定A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)通过周期公式求ω：即ω＝2πT

.(3)特殊点代入求φ：通常代入“最值点”或“零点”；四、必备细节

1．角度制与弧度制不可混合使用；2．利用平方关系求值时，开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域求解时，由内向外，先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合y ＝sin t 的图像；4．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．5．平面向量：(1)相等向量具有传递性，但平行向量不一定具有传递性．(2)平行向量所在直线不一定平行．(3)向量平移后，起终点坐标改变，但向量坐标不变．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．