等比数列的性质 (2)ppt课件
合集下载
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
性质一 性质二
等差数列
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
Hale Waihona Puke 追 踪利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.1 等比数列的性质》课件
法三：由等比中项的性质，得 a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到 an＞0， 所以 an＝2n.
于是 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 法四：因为 a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝a5·a2n－5＝…＝(an)2＝22n， 所以 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－ 1)(a3a2n－3)…an]＝log22n2＝n2. [答案] (1)A (2)C
＋a110＝________. 解析：因为a17＋a110＝a7a＋7a1a010，a18＋a19＝a8a＋8aa9 9，由等比数列的性质知 a7a10＝a8a9，所以a17＋a18＋a19＋a110＝a7＋a8a＋8aa99＋a10＝185÷－98＝－53. 答案：－53
题型二 灵活设元求解等比数列问题 [学透用活]
(1)三个数成等比数列设为：aq，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： …，qa2，aq，a，aq，aq2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为： qa3，aq，aq，aq3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为： …，qa5，qa3，aq，aq，aq3，aq5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a， aq，aq2，aq3.
∴log2a1·log2a3＝－3， ∴log2aq2·log2(a2q)＝－3， 即(log2a2－log2q)·(log2a2＋log2q)＝－3， 即(1－log2q)·(1＋log2q)＝－3，解得 log2q＝±2. 当 log2q＝2 时，q＝4，a1＝aq2＝12，∴an＝12×4n－1＝22n－3； 当 log2q＝－2 时，q＝14，a1＝aq2＝8，∴an＝8×14n－1＝25－2n.
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
等比数列求和公式及性质课件PPT
的符号相反。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
等比数列的性质 课件
典例导悟
类型一 等比数列的性质及应用 [例 1] 在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝－12，求数列 的通项 an.
[分析] 思路 1：设首项为 a1，公比为 q，由题目中两 等式列方程组，解出 a1，q，进一步可求出 an.
思路 2：利用 am＝anqm－n，可求 q，再进一步求 an.
[解] 方法 1：设首项为 a1，公比为 q，则 a2＝a1q＝4， a5＝a1q4＝－12，
等比数列的性质
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
多项关系
项的运算性质：若 m＋n＝
通项公式的推广：an＝ p＋q(m，n，p，q∈N*)，则
am·qn－m(m，n∈N*)
am·an＝ ap·aq
.
2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an
＝a2· an－1 ＝ak·an＋1－k (＝ ，n 为正奇数)．
3．等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 ①{c·an}(c 是非零常数)是公比为 q 的等比数列； ②{|an|}是公比为 |q| 的等比数列； (2)若{an}，{bn}分别是公比为 q1，q2 的等比数列，则数 列{an·bn}是公比为 q1·q2 的等比数列．
[解析] (1)∵{an}成等比数列， ∴a2，a6，a10 仍成等比数列． ∴a26＝a2a10，∴a10＝aa262＝1262＝128. (2)(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a65＝50，a4a5a6＝a35＝5 2.
[答案] (1)128 (2)A
类型二 等比中项的设项方法 [例 3] 有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积 是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四的关系，即找到由周长所 构成的数列的通项公式．
03 教学课件_等比数列的性质(2)
答案 C
2.在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________. 解析 由a3a12＝a5a10得1×8＝4a10，解得a10＝2. 答案 2
3.45和80的等比中项为________. 解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80， ∴G＝±60. 答案 －60或60
拓展深化 [微判断] 1.若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.( × )
提示 a，c 的等比中项应为± ac，即±b.
2.任何两个数都有等比中项.( × ) 提示 两个同号的实数a，b，才有等比中项.
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.( × ) 提示 反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则 {an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
又 a1＋a2＋a3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，
即 2q2－5q＋2＝0，解得 q＝2 或 q＝12.
由题意知q>1，所以q＝2，所以a1＝1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)已知bn＝ln a3n＋1，n＝1，2，….
由(1)得a3n＋1＝23n，所以bn＝ln 23n＝3nln 2.
角度2 等差、等比数列的综合应用 【例4】 设{an}是公比大于1的等比数列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4
构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝ln a3n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
a1＋a2＋a3＝7， 解 (1)由已知得（a1＋3）＋2 （a3＋4）＝3a2， 解得a2＝2.设数列{an}的公比为q. 由 a2＝2，可得 a1＝2q，a3＝2q.
高中数学第一章数列第3节等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5
第五页，共38页。
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
等比数列性质(第二课时)
an1 an d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
a n a1 q
an am q
n 1
an a1 (n 1)d an am (n m)d
n m
5.性质 (若m+n=p+q)
a m a n a p a q a m a n a p aq
a 等比通项公式： n a1q
函数观点：类比指数函数
公比q
n 1
a1 0, q 0
ya
q＝1 q>1
x
单调性
首项a1
q<0
0<q<1
a1>0
a1<0
不具备 单调性 不具备 单调性
递减数列 不具备 _________ 单调性 递增数列 不具备 _________ 单调性
递增数列 _________ 递减数列 _________
∴a3＋a5＝6，故选A.
答案： A
工具
第一章 数列
栏目导引
1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘
积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(
A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列
)
工具
第一章 数列
栏目导引
解析：
则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝________.
解析： 1 3 ∵a4a5a6＝a5 ＝3，∴a5＝3 3
又∵log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9 ＝log3(a1·5 ·5 )＝4log3a5＝4log333＝ . a 2
等比数列的性质和应用PPT优秀课件
公式
2.在使用等比数列n的 项前 和的公式时， 一定要注意公比是1， 否若 为不能确定 公比是否1为 ，则一定要分类.讨论
28
3.等比数列的两个重要性 质
4.解等比数列题的解要法有主两种 (1)基本量法即化a1和 到q求解 (2)灵活运用性1和 质2求解
29
祝同学们学习愉快！
再见
30
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
11
点评：解法 2采用的是等比数列的 性质1，这一性质又称为“称对性” 利用这一性质解题可减以少运算量。
12
例2、在等比 an数 中列 ，已知对任n,意正
有Sn 2n1,则a12a22an2
解：当n 2时，an Sn Sn1 (2n 1) (2n1 1) 2n1
4
一等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比都等于同一个常数(指与n无关的数), 那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫 做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
an q(q0,q是常n 数 2,n ， N) an1
5
二、等比数列的通项公式
a n a1 q n1
a1 anq 1 q
126
,
q
1 2
18
又
an
a 1 q n 1 , 即：2
64
q n1
高中数学 2.3.1 第2课时 等比数列的性质配套课件 新人
当 堂
案
双
设 计
为 等比数列 ，首项为
ak＋1
，公比为 q
；若取出所有
基 达
课 前
的 k 的倍数项，组成的数列为 等比数列 ，首项为ak ，公比
标
自 主
为 qk .
课 时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修5
教
学
思
教
“下标和”性质
法
想 方
分
法
析
技
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 必修5
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
RB ·数学 必修5
教
学
思
教 法 分
第 2 课时 等比数列的性质
想 方 法
析
教师用书独具演示
技 巧
教
学
当
方
堂
案
双
设
计
●三维目标
基 达
标
课 前
1．知识与技能
自
课
主 导
理解和掌握等比数列的性质，能选择更方便，快捷的解 时 作
学
业
题方法．
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修5
课件3：4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质
(方法二)设后三个数分别为 a－d，a，a＋d(a≠0)， 则第一个数为a－a d2.
由题意得a－a d2a－da＝27， a－d＋a＝9，
化简得a2－a－d＝d＝3，9， 解得ad＝＝63，， ∴这四个数分别为23，3,6,9.
(方法三)设前三个数分别为 a，aq，aq2(a≠0)， 则第四个数应为 2aq2－aq.
a·aq·aq2＝27， 由题意得aq＋aq2＝9，
化简得aaqq＝1＋3，q＝9，
解得a＝32， q＝2，
∴这四个数分别为23，3,6,9.
探究题 4 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这三 个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为 6，求这三个数． 解：由题意，这三个数成等差数列， 可设这三个数分别为 a－d，a，a＋d. ∵a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2， 即三个数分别为 2－d,2,2＋d. ①若 2－d 为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)， 解得 d＝6 或 d＝0(舍去)，此时三个数为－4,2,8.
②若 2＋d 是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)， 解得 d＝－6 或 d＝0(舍去)，此时三个数为 8,2，－4. ③若 2 为等比中项，则有 22＝(2＋d)(2－d)， 解得 d＝0(舍去)． 综上可知，这三个数是－4,2,8 或 8,2，－4.
探究题 5 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1＝1，an＋1＝ 2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3 ＝15，又 a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，求 Tn. 解：(1)由 an＋1＝2Sn＋1，可得 an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得 an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)． 又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1， 故{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，∴an＝3n－1.
等比数列的判定及性质(第二课时)-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息
不少于按月结算的利息（精确到− ）？
解(1)：设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列{ }，则{ }是等比数列，
① 特别地，当 m+n=2k（, , ∈ ∗ ）时， = 2
② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，
即
1 = 2 −1 = ⋯ = −+1 = ⋯
新知探究
例 1. 已知{an}为等比数列．
1
(1)若{an}满足 a2a4＝ ，求 a1a32a5；
＝
·a1.
2
n－ 1
由①②得 a1·3
因为 a1＝ 2d≠0，所以 bn ＝ 2·3n－1－1.
新知探究
1
9 +10
例3.已知等比数列 { }的各项都是正数，且 1 ， 3 ,22 成等差数列，则
2
7 +8
A.3 + 2 2
B.1 − 2
C.1 + 2
1
2
解：∵ 1 ， 3 ,22 成等差数列，
= × . − × (. − . ) = . × ( − ).
由计算工具计算
1
105.5
8
106.4
2
105.8
9
105.5
3
106.5
＝a17
9
＝－217.
高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列(二)课件 新人教
解 方法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d， a ，
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4
d＝－6.
2.3.1 等比数列(二)
12
预课当所习堂以导讲检，学义测当a＝4，d＝4时，所求栏四目个索数引为0,4,8,16； 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
2.3.1 等比数列(二)
4
预课当[预习堂习导讲检学义测导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
1.等比数列的第二通项公式
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等比数列的通项公式为：an＝ a1qn－1 ，推广形式为：an＝am·_q_n_－_m_
(n，m∈N＋).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 am·an＝ak·al .
2.3.1 等比数列(二)
6
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
要点一 等比数列性质的应CON用TENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
例1 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a23＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断成等比数列的方法.
2.3.1 等比数列(二)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4
d＝－6.
2.3.1 等比数列(二)
12
预课当所习堂以导讲检，学义测当a＝4，d＝4时，所求栏四目个索数引为0,4,8,16； 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
2.3.1 等比数列(二)
4
预课当[预习堂习导讲检学义测导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
1.等比数列的第二通项公式
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等比数列的通项公式为：an＝ a1qn－1 ，推广形式为：an＝am·_q_n_－_m_
(n，m∈N＋).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 am·an＝ak·al .
2.3.1 等比数列(二)
6
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
要点一 等比数列性质的应CON用TENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
例1 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a23＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断成等比数列的方法.
2.3.1 等比数列(二)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
等比数列的性质PPT教学课件_1
【答案】 A
3．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则 a5＝________. 【解析】 由 a25＝a1·a9，∴a25＝9，∴a5＝±3. 而 a1、a9 均为正值，故 a5 也为正值，∴a5＝3. 【答案】 3
4．三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分别 加上 1,3,9 就成为等比数列，求这三个数．
3．情感、态度与价值观 在等比数列性质学习过程中，学生通过与教师对话，主动思 考，生生交流，体验数学的发现过程，提高创新意识与能力．通 过对等比数列规律的探究，进一步树立严谨求实，一丝不苟的科 学态度．
●重点难点 重点：等比数列的性质． 难点：等比数列性质的灵活应用． 突出重点的方法：用一题多解法，直观让学生在解题过程中 发现公式的不同在应用上的区别，加深了解等比数列性质应用的 技巧. 突破难点的方法：假定不同情境，在讲解解题思路及解题手 法时，以对比法将之前学习的等差数列与本节难点等比数列加以 联系与区别．
三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数与第三个数 各减去 2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
【解】 设三个数依次为aq，a，aq， ∵aq·a·aq＝512，∴a＝8. ∵aq－2＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0.
∴q＝2 或 q＝12. ∴这三个数为 4、8、16 或 16、8、4.
不同点
(1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值．
(1)都强调每一项与前一项的关系； 相同点 (2)结果都必须是常数；
(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．
联系
(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列，则{ban}为等比数列.
3．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则 a5＝________. 【解析】 由 a25＝a1·a9，∴a25＝9，∴a5＝±3. 而 a1、a9 均为正值，故 a5 也为正值，∴a5＝3. 【答案】 3
4．三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分别 加上 1,3,9 就成为等比数列，求这三个数．
3．情感、态度与价值观 在等比数列性质学习过程中，学生通过与教师对话，主动思 考，生生交流，体验数学的发现过程，提高创新意识与能力．通 过对等比数列规律的探究，进一步树立严谨求实，一丝不苟的科 学态度．
●重点难点 重点：等比数列的性质． 难点：等比数列性质的灵活应用． 突出重点的方法：用一题多解法，直观让学生在解题过程中 发现公式的不同在应用上的区别，加深了解等比数列性质应用的 技巧. 突破难点的方法：假定不同情境，在讲解解题思路及解题手 法时，以对比法将之前学习的等差数列与本节难点等比数列加以 联系与区别．
三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数与第三个数 各减去 2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
【解】 设三个数依次为aq，a，aq， ∵aq·a·aq＝512，∴a＝8. ∵aq－2＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0.
∴q＝2 或 q＝12. ∴这三个数为 4、8、16 或 16、8、4.
不同点
(1)强调每一项与前一项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值．
(1)都强调每一项与前一项的关系； 相同点 (2)结果都必须是常数；
(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．
联系
(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2){an}为等差数列，则{ban}为等比数列.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1q2的等比数列． (3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是 公差为lg q的等差数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． [思路探索] 应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52， a1a3＝a22，化简已知，可求解． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两 项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·_a_n_－_1_
＝ak·_a_n－__k_＋_1_＝
(n 为正奇数)．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为_q_的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为_q_2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为_q_2的等比数列； (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新 数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
③数列a1n是公比为q1的等比数列；
课前探究学习
课堂讲练互动
④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列． 特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实 数常数)是公比为qm的等比数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 法二 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a32＋2a3a5＋a52＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6. (2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
第2课时 等比数列的性质及应用
【课标要求】 1．理解等比数列的性质并能应用． 2．了解等比数列同指数函数间的关系． 3．会用等比数列的性质解题． 【核心扫描】 1．等比数列的性质及应用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点) 3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
a3＝4， a7＝16，
ห้องสมุดไป่ตู้
或aa37＝＝146. ，
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3. ∴取 a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)由 a3a5＝a24，得 a3a4a5＝a34＝8. 解得 a4＝2. 又因为 a2a6＝a3a5＝a24， 所以 a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.
课前探究学习
课堂讲练互动
：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？ 提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应
的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2. 在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n ＝p＋q＝2k，如非零常数列．
整理，得 2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝21.
∴ aq＝1＝21，
a1＝4， 或q＝21.
∴an＝2n－1 或 an＝23－n
课前探究学习
课堂讲练互动
在等比数列的有关运算中，常常涉及到 次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建 立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例 可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换， 会起到化繁为简的效果．
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
自学导引
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为q. (1)两项关系：an＝_a_m_q_n_－_m_(m，n∈N*)． (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝_a_p_a_q. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数 列． 2．等比数列的项的对称性
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列． (4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列． 2．等比数列的运算性质
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 灵活设项求解等比数列
【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等 比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与 第三个数的和是12，求这四个数． [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知 数，结合题中条件求解即可． 解 法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2，
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式1】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝ 20，求a11的值．
(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的 值．
解 (1)在等比数列{an}中， ∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． [思路探索] 应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52， a1a3＝a22，化简已知，可求解． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两 项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·_a_n_－_1_
＝ak·_a_n－__k_＋_1_＝
(n 为正奇数)．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为_q_的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为_q_2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为_q_2的等比数列； (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新 数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
③数列a1n是公比为q1的等比数列；
课前探究学习
课堂讲练互动
④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列． 特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实 数常数)是公比为qm的等比数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 法二 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a32＋2a3a5＋a52＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6. (2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
第2课时 等比数列的性质及应用
【课标要求】 1．理解等比数列的性质并能应用． 2．了解等比数列同指数函数间的关系． 3．会用等比数列的性质解题． 【核心扫描】 1．等比数列的性质及应用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点) 3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
a3＝4， a7＝16，
ห้องสมุดไป่ตู้
或aa37＝＝146. ，
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3. ∴取 a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)由 a3a5＝a24，得 a3a4a5＝a34＝8. 解得 a4＝2. 又因为 a2a6＝a3a5＝a24， 所以 a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.
课前探究学习
课堂讲练互动
：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？ 提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应
的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2. 在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n ＝p＋q＝2k，如非零常数列．
整理，得 2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝21.
∴ aq＝1＝21，
a1＝4， 或q＝21.
∴an＝2n－1 或 an＝23－n
课前探究学习
课堂讲练互动
在等比数列的有关运算中，常常涉及到 次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建 立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例 可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换， 会起到化繁为简的效果．
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
自学导引
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为q. (1)两项关系：an＝_a_m_q_n_－_m_(m，n∈N*)． (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝_a_p_a_q. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数 列． 2．等比数列的项的对称性
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列． (4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列． 2．等比数列的运算性质
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 灵活设项求解等比数列
【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等 比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与 第三个数的和是12，求这四个数． [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知 数，结合题中条件求解即可． 解 法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2，
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式1】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝ 20，求a11的值．
(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的 值．
解 (1)在等比数列{an}中， ∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：