工程力学B 第10章 弯曲变形

DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第十章
Deflections of Beams
弯曲变形
第十章 弯曲变形 Deflections of Beams
材料力学
10.1 引 言
C
挠曲线上的一点包含了梁的两种位移：
1. 挠度：横截面形心沿y方向的线位移.记为:w 。 w＝ f (x) (a) 称为挠曲线方程。
材料力学
3. 将以上结果叠加，得到截面 C的挠度和截面 B的 转角: 11ql 4
wC wCi wC 1 wC 2 wC 3
384 EI
11ql 3 q B q Bi q B1 q B 2 q B 3 48 EI
积分叠加法(载荷叠加法)： 见例10.4，P233。
q F=qa
A
a
C
a
B
a
D
连续条件：wC左 wC右 w B左 w B右 q B左 q B右
2.8 应分为3段， 共有6个积分常数
A
题2.7图
F=qa B
m=qa2 D
a
C
a
a
支承条件： w A 0 wB 0 wD 0 题2.8图 连续条件： wC左 wC右 w B左 w B右 q B左 q B右
材料力学
w( x )
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材料力学
y
挠曲线
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材料力学
10.2 梁变形的基本方程
10.2.1 梁的挠曲线微分方程
挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系为：
y
1 M ( x) ( x) EI z
1 C ql 3 6 1 4 D ql 24 q [( l x )4 4l 3 x l 4 ] 24 EI
当x 0时，w 0
5. 求转角方程和挠曲线方程:
q q [( l x )3 l 3 ] 6 EI
O x
dw 1 EI EIq q( l x )3 C dx 6
材料力学
1 (dw dx)
dw 1 dx
2
d 2 w dx 2
2 32
M ( x) EI z
(10.2)
dw 1 1 dx
1 d 2w 2 ( x) dx
d 2w M ( x) 2 dx EI z (10.3)
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材料力学
边界条件
~ ~
连续性条件
A A AA A
~
~
A
~ ~
~ ~
~ ~
~
A A
A
A
~ ~ ~
FA
在分段点 处
在中间铰 处
A右
w =0
w =0
A
qA 0
w =Δ -弹簧变形
A
w =w
A左
q A左 q A右
w =w
A左
若弹簧的刚度为K，则： FA K 即：w A FA K 在确定了常数 C 和 D 之后，可以很容易地得到梁的转角方程 和挠曲线方程，也就能够计算梁任意横截面的转角和挠度了。
~ ~ ~ ~
ห้องสมุดไป่ตู้A右
A A A A A
F AA A AA
A A AAA
~
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材料力学
例10.1 用积分法求梁的挠度时，弯矩方程应分为几段列 出？共有几个积分常数？写出确定这些积分常数的支承 条件和连续条件。 （练习册P35，填2.7，2.8） 2.7 应分为3段， 共有6个积分常数 支承条件：w A 0 q A 0 wB 0
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材料力学
10.3.2
逐段分析求和法 （逐段刚化法）
常用于求外伸梁、分段等直梁的弯曲变形。 例10.5 外伸梁受载荷如图所示，试用叠加法中的逐 段刚化法计算外伸端C截面的挠度和转角。
F A l B a C
解：将梁分成 AB 和 BC 两段，研究其中一段的变 形时将另一段视作刚体（即不变形或刚化）。
材料力学
上述方法即为求弯曲变 形的逐段刚化法（逐段 分析求和法）。 注意：
F
A l
B a
C
1. 对 于 变 形 表 10.1 中 没 有 的 梁 （ 如 外 伸 梁 等），首先将其分解成表中有的梁（如简 支梁、悬臂梁）；然后分段进行刚化分析。
2. 当以某一段为研究对象时，其余各段均视 为刚体（刚化）。
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材料力学
解: 1. 有三个载荷作用的梁可 y 以看作是每个载荷单独作用 时的三个梁的叠加，即：


因此，由叠加原理：
y

y
wC wC1 wC 2 wC 3
q B q B1 q B 2 q B3
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材料力学
F A l B a F A B C
1. 研究AB段的变形：
将BC 段视作刚体（刚化）。
q B1 q C 1
Fal 3 EI
wC 1
Fa 2 l q B 1a 3 EI
Fa
qB1
C 2. 研究BC 段的变形： wC1 将AB段视作刚体(刚化)。
y
解: 1. 取直角 坐标系Oxy（不能任取），如图。 2. 写出梁的弯矩方程:
1 M ( x ) q( l x ) 2 2 （ 0 x l）
O
x
x
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材料力学
1 M ( x ) q( l x ) 2 2
（ 0 x l）
(9.4)
由高等数学，可得ρ(x)与w(x)之间的关系 为： 1 d 2 w dx 2 2 32 ( x) 1 (dw dx )


挠曲线
d 2 w dx 2 dw 2 1 ( ) dx
32

M ( x) EI z
(10.2)
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材料力学
10.4
简单超静定梁
（大纲未要求，不讲）
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材料力学
10.5 梁的刚度条件与合理刚度设计
10.5.1 梁的刚度条件
w max
（ 10.7 ） （ 10.8 ）
q
max
EIw" M ( x )
4) 根据支承条件和连续性条件确定积分常数;
注意： 积分常数的个数是梁分段数的两倍。 5) 求挠曲线方程和转角方程; 6) 计算梁的最大位移和最大转角。
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材料力学
例10.3 梁的荷载及尺寸如图所示，若AB梁的抗弯刚度 为 EI 。试用积分法求 AB 梁的转角方程和挠曲线方程。 并求B截面的转角和挠度。 （练习册P36，计3.2）
w B左 w B右
wB 0
a
q A左 q A右
q B左 q B右
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材料力学
10.2.3
计算梁变形的二次积分法
用二次积分法计算梁的变形的主要步骤:
1) 选择正确的坐标系; 2) 分段列出弯矩方程 M(x) ; 3) 写出挠曲线近似微分方程并对其进行二次积分 ；
2
这里的正负号应该如何选定呢？看下面的分析：
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材料力学
y
M w" 0 M
x
d 2w M ( x) 2 dx EI z （ 10.3 ）
M 0
y
M 0
M w" 0 M
x
挠曲线近似 微分方程
d 2w M ( x) 2 dx EI z
dx 2
6
挠曲线方程:
1 EIw q( l x )4 Cx D 24
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材料力学
1 EIw q( l x )4 Cx D 24
4. 求积分常数： 由固定端的边界条件:
dw 当x 0时，q 0 dx
2. 转角： 横截面绕中性轴的转角或挠曲线的切线与 x 轴的夹角。 记为：q 。 逆时针转向为正
dw q tan q w' ( x ) dx
q
q
y
x
F
x
w
平面弯曲时，梁轴线弯曲成一 条光滑、连续的平面曲线；称 为挠曲线。 挠度和转角。
向上为正
（ 10.1 ）称为转角方程。
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2
A
B
3 Fa Fa wC 2 qC 2 3 EI F 2 EI 2 Fa C w w w (l a ) C C1 C2 w 3 EI qC2 C2 Fa qC qC1 qC 2 ( 2l 3a ) 6 EI
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q

许用挠度