江苏省淮阴区2020届高三数学第二学期期初模拟训练七(word版,有答案)

淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1.已知集合}1,1,0{-=A ，}01|{2≥-=x x B ，则B A ⋂= ▲ .2.已知复数z 满足i i z 23-=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是 ▲ .3.已知角510°的终边经过点),3(a P -，则实数a 的值是 ▲ .4.如下图所示的流程图，输出n 的值是 ▲ .5.已知函数)sin 3()(x a x x f +=为偶函数，则实数a 的值是 ▲ .6.现有5根铁丝，长度（单位：cm ）分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是 ▲ ．7.已知单位向量b a ,的夹角为120°，则|2|b a -的值是 ▲ ．8.如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，AB =3，41=AA ，若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱11B A 运动到点C 1，则点P 运动的最短路程为 ▲ .9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足6224=-a a ，则11S 的值= ▲ ． 10.已知函数())0(1>-=a x ax f ，3)1()(-=x x g ，若()x f 与()x g 的图像交于A 、B 两个不同的点，点P 在圆C ：1)1(22=-+y x的取值范围是 ▲ .11.如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE （点E 在BD 下方）组成一个“风筝骨架”，O 为正方形ABCD 的中心，点P 是“风筝骨架”上一点，设n m +=),(R n m ∈，则n m +的最大值是 ▲ .A 1B 1C 1ABC第8题第11题12.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，满足2=BFAF，则椭圆C 离心率的最小值是 ▲ . 13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤≤-+-=ax t x t x x x f ,1|1|21),1(log )(21，若存在实数t ，使()x f 的值域为]1,1[-，则实数a 的取值范围是 ▲ . 14.对任意R x ∈，不等式()()322244≤+++--x xxx b a 恒成立，则b a +的最大值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知32cos =A ，CB cos 5sin =. （1）求C tan 的值； （2）若2=a ，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC ． （1）求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2）点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE的值．17．（本小题满分14分）某工厂C 发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟km 1的速度增大. 一所学校A ，位于工厂C 南偏西ο45，且与工厂相距km 5. 消防站B 位于学校A 的正东方向，且位于工厂C 南偏东ο60，立即以每分钟km 2的速度沿直线BC 赶往工厂C 救援，同时学校组织学生P 从A 处沿着南偏东ο75的道路，以每分钟a km 的速度进行安全疏散（与爆炸的时间差忽略不计）. 要想在消防员赶往工厂的时间内（包括消防员到达工厂的时刻），保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么要求？18．（本小题满分16分）如图所示，已知椭圆：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，右准线方程是直线4:=x l ，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B （点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方）. （1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：分别以PA 、PB 为直径的两圆都恒过定点C ；②若21=，求直线PC 的方程.A C BP x19．（本小题满分16分）设函数x a x x f ln 2)(2+=，（R a ∈）.（1）若曲线y=f （x ）在点（1，f (1)）处的切线方程为y =2x +m ，求实数a 、m 的值； （2）关于x 的方程f （x ）+2cosx =5能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若f （2x -1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分16分）若无穷数列}{n a 满足：0>n a ，且对任意n l k s <<<，l k n s +≥+（*∈N n l k s ,,,）都有l k n s a a a a +≥+，则称数列}{n a 为“T ”数列. （1）证明：正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列；（2）记正项等比数列}{n b 的前n 项之和为n S ，若数列}{n S 是“T ”数列，求数列}{n b 公比的取值范围；（3）若数列}{n c 是“T ”数列，且数列}{n c 的前n 项之和n T 满足21nn c c n T +≥， 求证：数列}{n c 是等差数列.淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七 数 学（附加卷）注：本卷共三大题计4小题，共计40分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤．21A ．(本小题满分10分)已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a 的值．21B ．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t 是参数）， 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，且直线与圆C 相切，求实数m 的值．22.(本小题满分10分)某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．23.(本小题满分10分)随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有个新农村集结区按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路，两条道路的交汇处安装红绿灯（集结区除外），在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为. （1）求；（2）求，并用数学归纳法证明.淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练七数学参考答案一、填空题1.{1,-1}2.i 32+-3.14.45.06.1037．7 8.31 9．66 10. [].222,222+- 11.3 12.31 13.]2,21( 14.4333-二、解答题15．解：（1）由32cos =A ，1cos sin 22=+A A 且),0(π∈A 得35sin =AO因为A+B+C=π，所以)sin(sin C A B += 又因为C B cos 5sin = 所以C C C C A cos 5sin 32cos 35)sin(=+=+ 得C C cos 352sin 32= 若0cos =C ，则1sin =C 不符合上式，所以0cos ≠C所以5tan =C（2）由5tan =C ，1cos sin 22=+C C 且),0(π∈C得630sin =C ，66cos =C C B cos 5sin =630= 由Bb A a sin sin =得3=b 25sin 21==∴∆C ab S ABC16．证明：（1）矩形ABCD 中AB ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面BCE ， 平面ABCD ∩平面BCE = BC ，AB ⊂平面ABCD ∴AB ⊥平面BCE 又CE ⊂平面BCE ∴AB ⊥CE而BE ⊥EC 且AB ∩BE = B ，AB ，BE ⊂ 平面ABE ∴ CE ⊥平面ABE ，由CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE （2）连接BD ，设BD ∩AC = O ，连接OF ， 矩形ABCD 中，O 是BD 中点若DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面DBE ，平面DBE ∩平面AFC = OF ∴OF ∥DE在△BDE 中，∵OF ∥DE ，O 是BD 中点，∴F 是BE 中点 ∴BEBF= 2 17. BC=25因为安全撤离，所以t PC >在]5,0[∈t 上恒成立CAP AP AC AP AC PC ∠⋅-+=cos 2222222525t at t a >-+=在]5,0[∈t 上恒成立所以0255)1()(22>+--=at t a t f1°a=1时，0255)(>+-=t t f 在]5,0[∈t 上恒成立，所以a=1符合题意2°0<a<1时，)(t f 的最小值只可能在端点处取得，所以只要0)0(>f 且0)5(>f ，解得10><a a 或，舍去3°a>1时（1）当5)1(252≥-a a即41711+<<a 时，)(t f 的最小值为0)5(>f ，得10><a a 或，所以41711+<<a （2）当5)1(252<-a a即4171+>a 时，0<∆得332>a ， 因为3324171>+所以4171+>a 综上，1≥a 即学生撤离的速度至少要是每分钟1km18. （1）13422=+y x （2）①设切点A ),(00y x ，则可证切线AP ：13400=+yy x x 所以点P ))1(3,4(00y x - 以AP 为直径的圆：0))1(3)(()4)((0000=---+--y x y y y x x x 由对称性可知定点在x 轴上，令y=0得03)4(002=+++-x x x x ，所以过定点C （1,0）同理，以BP 为直径的圆过定点C （1,0） ②设A ),(11y x ，B ),(22y x ，C （1,0） 因为21=，所以⎩⎨⎧-=-=1212223y y x x 又因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x yx ，所以A )853,47( P )556,4(-， 所以直线PC 的方程为552552+-=x y 19.（1）0,2=-=m a（2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令g(x)= f （x ）+2cosx如果g （x ）=5有三个不同的实根，则g （x ）至少要有三个单调区间，则0)(='x g 至少两个不等实根，所以只要证明0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根x x a x x g sin 24)(-+='，2cos 24)(xax x g --=''， 1°当a<0时，0,0cos 242>->-x ax ，∴0)(>''x g ，∴)(x g '在),0(+∞单调递增，∴0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根；2°当a ≥0时，0cos 24)sin 24(>-='-x x x ，∴x x y sin 24-=在),0(+∞单调递增， ∴x x y sin 24-=>0，又因为a ≥0时0≥x a ，∴0sin 24)(>-+='x xax x g ， ∴0)(='x g 在),0(+∞没有实根综合1°2°可知，0)(='x g 在),0(+∞至多1个实根，所以得证（3）∵f （2x-1）+2>2f （x ）对任意),2[+∞∈x 恒成立，且x a x x f ln 2)(2+=， ∴x a x a x x ln 2)12ln(4842>-++-对任意),2[+∞∈x 恒成立， ∴)12ln()12(4ln 422--->-x a x x a x 对任意),2[+∞∈x 恒成立， 令t a t t h ln 4)(-=，则)12()(2->x h x h 对任意),2[+∞∈x 恒成立，∵),2[+∞∈x 时122->x x ，且)12()(2->x h x h ，),3[12),4[2+∞∈-+∞∈x x ，∴t a t t h ln 4)(-=在),3[+∞∈t 单调递增∴04)(≥-='tat h 在),3[+∞∈t 恒成立， ∴12≤a20.（1）证明：l k n s a a a a --+=d l k n s )(--+因为正项无穷等差数列}{n a ，所以d>0，且l k n s +≥+，所以l k n s a a a a +≥+ 所以正项无穷等差数列}{n a 是“T ”数列（2）1°q=1时l k n s S S S S --+0)(1≥--+=a l k n s 成立，所以q=1； 2°q>1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q q a --+-=)1(11--+-=---s n s l s k s q q q q qa因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为q>1，所以s l s k s l k sn q q q q ---+-⋅=≥2所以1--+---s n s l sk q q q1-⋅-+≤----s l s k s l s k q q q q )1)(1(s l s k q q ----=<0所以l k n s S S S S --+)1(11--+-=---s n s l sk s q q q q qa >0，所以q>1 3°0<q<1时l k n s S S S S --+)(11s n l k q q q q qa --+-=)1(11--+-=---n s n l n k n q q q q q a)1111(11-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---sn ln kn n q q q q q a因为l k n s +≥+，所以s l k n -+≥，又因为0<q<1，所以sl sk sn q q q ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛111所以1111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---sn ln kn q q q sl sk ls ks q q q q ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111]11][11[-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--sl sk q q <0所以l k n s S S S S --+)1111(11ln kn sn n q q q q q a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<0舍去综上：q ≥1（3）n n c c c T +++=Λ2111c c c T n n n +++=-Λ所以)()()(21121c c c c c c T n n n n ++++++=-Λ数列}{n c 是“T ”数列，所以n n c c c c +≤+-112，n n c c c c +≤+-123，…，n n c c c c +≤+11 所以)(21n n c c n T +≤，所以21nn c c n T +≤又因为21n n c c n T +≥，所以21nn c c n T +=，即)(21n n c c n T += 两次退位相减，可证数列}{n c 是等差数列21A.设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1．21B.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即圆C 的方程为()2224x y -+=，又由,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消t，得0x m -=，由直线l 与圆C 相切， 所以222m -=，即2m =-或6m =22.（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A ，则41)(2413==A A A P ，故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率14． （2）随机变量X 的所有取值为0,10,20,30,40．1(0)4P X ==，12241(10)6P P X P ===,22324411(20)6P P X P P ==+=，1222341(30)6C P P X P ===，33441(40)4P P X P ===所以，随机变量X 的分布列为:111110102030402046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．23.解：（1）5)5(,1)4(==P P（2）证明：①1)4(,444===C P n ，命题成立；假设)4(≥=k k n 时，4)(k C k P =则1+=k n 时，1321,,...,,,+k k A A A A A 按逆时针方向排列，依次连结k k k k A A A A A A 12111,......,,+++可增加k 条道路，则 11A A k +与凸四边形内部的道路交点为0；21A A k +与凸四边形内部的道路交点为)2(1-⋅k ； 31A A k +与凸四边形内部的道路交点为)3(2-k ；依次类推11-+k k A A 与凸四边形内部的道路交点为1)2(⋅-k ；则41334212322423)...(22)2)(1()]1)(2(...3221[)2(...32)1(+-=-+=+++---+=--++⨯+⨯--++++=+k k k k k k C C C C C C C k k k C k k k k k k k k P。