2个本原有向图的scrambling指数及广义scrambling指数
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Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ５
ｌ ２月
文 章编 号 ：１ ０ ０ ７ — ９ ８ ３ １（ ２ ０ １ ５）１ ２ — ０ ０ ０ １ — ０ ５
２个本原有 向图的 ｓ ｃ ｒ Leabharlann ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数及
广义 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数
段 洁 ，雷 英 杰
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｗｏ ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｗｏ Ｓ－ ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ａ Ｆ ／ － ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ｗ ａ ｓ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ ｓ ｅ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｖ ｅ ｔｉ ｒ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｅ ａ ｃ ｈ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ ｉ ｎ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｒ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｄ ｂ ｙ ａ ｗ ａ ｌ ｋ ｏ ｆ ｌ ｅ ｎ ｇ ｔ ｈ ｔ， ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ｗ ｉ ｔ ｈ ｒａ ｇ ｐ ｈ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｙ，ｔ ｒ ｈ ｅ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｗｅ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ．
（ 中北 大学 理 学 院 ，山西 太 原 ０ ３ ０ ０ ５ １ ）
摘 要 ：考虑 ２个含 有 ２个 Ｓ圈和 １ 个 圈的 本原 有 向 图．通 过 分析 图中每 一 点 经 ｔ 长途 径所 到达顶 点 的 集合及 顶 点 的个数 ，并 且结 合 图论及 组合 数 学的知 识 ，得 出本原 有 向 图的 ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指 数 以
设有向图Ｄ ， 若存在一个正整数 ， ， 使得 Ｄ中任意顶点 ， Ｙ（ 可以相同 ） ， 在 Ｄ中都存在从 到 Ｙ的，
长途径， 则称Ｄ是本原有向图， 其中 最小的正整数， 称为本原指数， 记为ｅ ｘ ｐ （ Ｄ １ ．Ｄ是本原有向图的充分
必 要条 件是 Ｄ强 连通 ，且 Ｄ所有 圈长 的最 大公 因子为 １ … ． 目前 ，对 本原有 向图 的本原 指数 的研 究 已扩展 到对 本 原有 向 图 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数 的研 究 ．本 原有 向 图 的ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数及广义 ｓ ｃ ｒ ａ ｂｌ ｍ ｉ ｎ ｇ 指数是一个新兴研究分支 ， 在计算机科学 中具有广泛的实际应用背景．
定义 １ 【 ２ Ｉ “ “ 本原有 向图 Ｄ 的 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数是最小的正整数 ｋ，对任意一对顶点 Ｕ 和 ｖ，都存在
Ｗ∈ Ｖ （ Ｄ １ ， 使得从 和１ ， 到Ｗ 都有ｋ 长途径， 这样的ｋ 称为本原有向图Ｄ的 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数， 记为ｋ （ Ｄ １ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ：ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄｉ ｇ ｒ ａ ｐｈ； ｓ ｃ ｒ ａ ｂ ｌ ｍ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ； ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎｄ ｉ ｃ ｅ ｓ
１ 引言及 预备知识
Ｔｈ ｅ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｗｏ ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ
Ｄ Ｕ Ａ Ｎ Ｊ ｉ ｅ ，Ｌ Ｅ Ｉ Ｙ ｉ ｎ ｇ － ｊ ｉ ｅ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｎ ｏ ｒ ｔ ｈＵ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ，Ｔ ａ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ ０ ３ ０ ０ ５ １ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
及广义 ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指 数 ．
关键 词 ：本原 有 向 图 ；ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数 ；广 义 ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数
中图分 类 号 ：Ｏ １ ５ ７ ． ５ 文 献标识 码 ：Ａ ｃ ｌ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ － ９ ８ ３ １ ． ２ ０ １ ５ ． １ ２ ． ０ ０ １
第 ３ ５ 卷 第 ｌ ２ 期
２ ０１ ５正
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ａ ｎ ｄ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ ５ Ｎｏ ． １ ２
定义 ２ 【 ３ Ｊ ” ％ 设Ｄ是 阶本原有向图， ， ∈ Ｚ ＋ ，１ ， ／ ｚ ． 对于集合 Ｘ Ｖ （ Ｄ ） ， 定义尼 （ Ｄ ） 为 最小的正整数， ， 使得存在 个顶点 ， ｗ ２ ，…， ｗ ∈ （ Ｄ ） ， 对于任意Ｘ ∈ ， 从Ｘ 到 （ １ ，２ ，…， ） ，
ｌ ２月
文 章编 号 ：１ ０ ０ ７ — ９ ８ ３ １（ ２ ０ １ ５）１ ２ — ０ ０ ０ １ — ０ ５
２个本原有 向图的 ｓ ｃ ｒ Leabharlann ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数及
广义 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数
段 洁 ，雷 英 杰
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｗｏ ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｗｏ Ｓ－ ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ａ Ｆ ／ － ｃ ｙ ｃ ｌ ｅ ｗ ａ ｓ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ ｓ ｅ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｖ ｅ ｔｉ ｒ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｅ ａ ｃ ｈ ｖ ｅ ｒ ｔ ｅ ｘ ｉ ｎ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｒ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｄ ｂ ｙ ａ ｗ ａ ｌ ｋ ｏ ｆ ｌ ｅ ｎ ｇ ｔ ｈ ｔ， ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ｗ ｉ ｔ ｈ ｒａ ｇ ｐ ｈ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｂ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｙ，ｔ ｒ ｈ ｅ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｗｅ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ．
（ 中北 大学 理 学 院 ，山西 太 原 ０ ３ ０ ０ ５ １ ）
摘 要 ：考虑 ２个含 有 ２个 Ｓ圈和 １ 个 圈的 本原 有 向 图．通 过 分析 图中每 一 点 经 ｔ 长途 径所 到达顶 点 的 集合及 顶 点 的个数 ，并 且结 合 图论及 组合 数 学的知 识 ，得 出本原 有 向 图的 ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指 数 以
设有向图Ｄ ， 若存在一个正整数 ， ， 使得 Ｄ中任意顶点 ， Ｙ（ 可以相同 ） ， 在 Ｄ中都存在从 到 Ｙ的，
长途径， 则称Ｄ是本原有向图， 其中 最小的正整数， 称为本原指数， 记为ｅ ｘ ｐ （ Ｄ １ ．Ｄ是本原有向图的充分
必 要条 件是 Ｄ强 连通 ，且 Ｄ所有 圈长 的最 大公 因子为 １ … ． 目前 ，对 本原有 向图 的本原 指数 的研 究 已扩展 到对 本 原有 向 图 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数 的研 究 ．本 原有 向 图 的ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数及广义 ｓ ｃ ｒ ａ ｂｌ ｍ ｉ ｎ ｇ 指数是一个新兴研究分支 ， 在计算机科学 中具有广泛的实际应用背景．
定义 １ 【 ２ Ｉ “ “ 本原有 向图 Ｄ 的 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数是最小的正整数 ｋ，对任意一对顶点 Ｕ 和 ｖ，都存在
Ｗ∈ Ｖ （ Ｄ １ ， 使得从 和１ ， 到Ｗ 都有ｋ 长途径， 这样的ｋ 称为本原有向图Ｄ的 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数， 记为ｋ （ Ｄ １ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ：ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄｉ ｇ ｒ ａ ｐｈ； ｓ ｃ ｒ ａ ｂ ｌ ｍ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ； ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎｄ ｉ ｃ ｅ ｓ
１ 引言及 预备知识
Ｔｈ ｅ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｗｏ ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ
Ｄ Ｕ Ａ Ｎ Ｊ ｉ ｅ ，Ｌ Ｅ Ｉ Ｙ ｉ ｎ ｇ － ｊ ｉ ｅ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｎ ｏ ｒ ｔ ｈＵ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ，Ｔ ａ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ ０ ３ ０ ０ ５ １ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
及广义 ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指 数 ．
关键 词 ：本原 有 向 图 ；ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数 ；广 义 ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ指数
中图分 类 号 ：Ｏ １ ５ ７ ． ５ 文 献标识 码 ：Ａ ｃ ｌ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ － ９ ８ ３ １ ． ２ ０ １ ５ ． １ ２ ． ０ ０ １
第 ３ ５ 卷 第 ｌ ２ 期
２ ０１ ５正
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ａ ｎ ｄ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ ５ Ｎｏ ． １ ２
定义 ２ 【 ３ Ｊ ” ％ 设Ｄ是 阶本原有向图， ， ∈ Ｚ ＋ ，１ ， ／ ｚ ． 对于集合 Ｘ Ｖ （ Ｄ ） ， 定义尼 （ Ｄ ） 为 最小的正整数， ， 使得存在 个顶点 ， ｗ ２ ，…， ｗ ∈ （ Ｄ ） ， 对于任意Ｘ ∈ ， 从Ｘ 到 （ １ ，２ ，…， ） ，