2016秋九年级数学上册2.5一元二次方程的应用第3课时面积问题练习(新版)湘教版

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九年级数学一元二次方程的应用之面积问题

一元二次方程应用一、同步知识梳理列方程解应用题的步骤及注意的问题：（1）设未知数和做答时，单位要写清楚。

（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致。

（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉。

（4）对于求得的方程的解，还要看它是否有实际意义。

因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性。

二、同步题型分析题型一：面积问题——判断清楚要设什么是关键例1、如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x＝7644 B．（100－x）（80－x）＋x2＝7644C．（100－x）（80－x）＝7644 D．100x＋80x＝356例2、某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x－10）＝200 B．2x＋2（x－10）＝200C．2x＋2（x＋10）＝200 D．x（x＋10）＝200点评：本题考查列一元二次方程；由实际问题转化成几何图形，再根据长方形的面积公式得到一元二次方程是解决本题的基本思路，难度较小。

例3、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD。

求该矩形草坪BC边的长。

例4、图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是cm3。

变式训练1．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m。

若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）。

504m，道路宽应为多少？2.在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为23．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽。

湘教版数学九年级上册_同步练习：一元二次方程的应用(第1、2、3课时)

2.5 一元二次方程的应用第1课时增长(降低)率问题01 基础题知识点增长(降低)率问题1．(随州中考)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(C) A．20(1＋2x)＝28.8B．28.8(1＋x)2＝20C．20(1＋x)2＝28.8D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝28.82．(衡阳中考)某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(B)A．168(1＋x)2＝128B．168(1－x)2＝128C．168(1－2x)＝128D．168(1－x2)＝1283．某县政府2014年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2016年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2014年到2016年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是(B)A．30% B．40%C．50% D．60%4．(天水中考)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%．5．(广东中考)某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.02中档题6．股票每天的涨跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停．已知一只股票某天涨停，之后两天时间又跌回原价，若这两天此股票股价的平均下跌的百分率为x，则x满足的方程是(B)A．1－2x＝1011B．(1－x)2＝1011C．1－2x＝910D．(1－x)2＝9107．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是(A)A．10% B．11.5%C．12% D．21%8．(黔西南中考)某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(C)A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1969．(永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 120元．第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意，得400(1－x)2＝324，解得x＝0.1＝10%或x＝1.9(不合题意，舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件，根据题意，得[400(1－10%)－300]m＋(324－300)(100－m)≥3 120，解得m≥20.答：第一次降价后至少要售出该种商品20件．10．(沈阳中考)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品的利润每月的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x，依题意，得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2(不合题意，舍去)．答：这个增长率是20%.11．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年的春季都上山植树，已知这些学生在初一时植树400棵，设植树数的年平均增长率为x.(1)用含x的代数式表示这些学生在初三时的植树数；(2)若树木成活率为90%，三年来共成活了1 800棵，求x的值．(精确到1%)解：(1)这些学生在初三时的植树数为400(1＋x)2.(2)由题意，得90%×[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]＝1 800，解得x1≈56%，x2≈－356%(不合题意，舍去)．答：x的值约为56%.03综合题12．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(0＜x＜0.5)．注：步数×平均步长＝距离．(1)根据题意完成表格填空；(2)求x；(3)王老师发现好友中步数排名第一为24 000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24 000步，求王老师这500米的平均步长．解：(2)由题意，得10 000(1＋3x)·0.6(1－x)＝7 020，解得x1＝1730＞0.5(舍去)，x2＝0.1.答：x的值为0.1.(3)两次锻炼结束的步数为10 000＋10 000×(1＋0.1×3)＝23 000(步)，500÷(24 000－23 000)＝0.5(米)．答：王老师这500米的平均步长为0.5米．第2课时利润问题01 基础题知识点利润问题1．(泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．(武陵区校级期末)经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L(元)与产量x(件)的关系式为L＝－x2＋2 000x－10 000(0<x<1 900)，若要使总利润达到99万元，则这种产品应生产(A)A．1 000件 B．1 200件C．2 000件 D．10 000件3．某超市购进某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件，设每件商品提高x元出售，平均每天利润为1 210元，根据题意可列方程为(200－10x)(x ＋2)＝1__210．4．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%，若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少？解：由题意，得(170－5x)(x－16)＝280，解得x1＝20，x2＝30.∵每件商品的利润不得超过30%，∴x＝30不合题意，舍去．答：每件商品的售价应定为20元．5．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100元？解：由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达到2 100元．6．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．(1)设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，请用代数式表示每天的销售量；(2)若该经营户每天的房租等固定成本共24元，该经营户想要每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？解：(1)每天的销售量为(200＋400x)千克．(2)设应将每千克小型西瓜的售价降低y元，根据题意，得(3－y－2)(200＋400y)－24＝200，整理，得50y2－25y＋3＝0，解得y1＝0.2，y2＝0.3.答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．02中档题7．某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为M(元)，售价为每只N元，且M、N与x的关系式为M＝500＋30x，N ＝170－2x，当日产量为多少时，每日获得的利润为1 750元？依题意列方程得(170－2x)x－(500＋30x)＝1__750．8．某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1 000个，市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则多卖出100个．已知进价为每个20元，当鼠标垫的售价为32或28元/个时，这星期利润为9 600元．9．(淮安中考)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元．请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x件这种服装，根据题意，得[80－2(x－10)]x＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．∴x＝20.答：她购买了20件这种服装．10．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为多少元？解：(1)设y 与x 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，根据题意，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝90.解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝150.故y 关于x 的函数表达式为y ＝－x ＋150(20＜x ≤90)． (2)根据题意，得(－x ＋150)(x －20)＝4 000，解得x 1＝70，x 2＝100＞90(不合题意，舍去)．答：该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元．11．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但日产量减少5件，若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．解：设该产品的质量档次为x ，根据题意，得 [6＋2(x －1)]×[95－5(x －1)]＝1 120，整理，得x 2－18x ＋72＝0，解得x 1＝6，x 2＝12(不合题意，舍去)．答：该产品为第6档次的产品．03综合题12．某文具店去年8月底购进了一批文具1 160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出；若每涨价0.1元．销售量就减少2件．(1)该文具店在9月份销售量不低于1 100件，则售价应不高于多少元？(2)由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在(1)的条件下的最高售价减少215m%.结果10月份利润达到3 388元，求m的值(m＞10)．解：(1)设售价应为x元，依题意，得1 160－2（x－12）0.1≥1 100，解得x≤15.答：售价应不高于15元．(2)10月份的进价：10(1＋20%)＝12(元)，由题意，得1 100(1＋m%)[15(1－215m%)－12]＝3 388，设m%＝t，化简得50t2－25t＋2＝0，解得t1＝25，t2＝110，∴m1＝40，m2＝10.∴m＞10，∴m＝40.答：m的值为40.第3课时面积问题01 基础题知识点1 面积问题1．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(C)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为(A)A．1米 B．1.5米C．2米 D．2.5米3．如图，在长70 m，宽40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x应满足的方程是(B)A．(40－x)(70－x)＝350B．(40－2x)(70－3x)＝2 450C．(40－2x)(70－3x)＝350D．(40－x)(70－x)＝2 4504．如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：x(x＋1)＝3．5．为了绿化校园，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多4米，面积是320平方米，则操场的长为20米，宽为16米．6．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，∴AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米．知识点2 动点问题7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B开始同时移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．若点Q运动t s时，△PBQ的面积为15 cm2，则t的值为(B)A．2B．3C．4D．58．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?解：设x s后△DPQ的面积等于28 cm2，根据题意，得6×12－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，即x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.答：2 s或4 s后△DPQ的面积等于28 cm2.02中档题9．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2米．10．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求AE的长(用x的代数式表示)；(2)当y＝108时，求x的值．解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍．∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a，∴8a＋2x＝80.∴a＝－14x＋10.∴AE＝2a＝－12x＋20.(2)∵S矩形ABCD＝AB·BC，∴3(－14x＋10)·x＝108.整理，得x2－40x＋144＝0.解得x＝36或4.故当y＝108时，x的值为36或4.11．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．(1)当通道宽a为10米时，花圃的面积为800平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽．解：根据题意，得(40－2a)(60－2a)＝58×60×40，解得a1＝5，a2＝45(舍去)．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．12．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?解：设经过t秒后△PBQ的面积等于4 cm2，则PB＝6－t，QB＝2t，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE＝12QB＝t.根据题意，得12·(6－t)·t＝4.即t2－6t＋8＝0.解得t1＝2，t2＝4.当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意，舍去，∴t＝2.答：经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.03综合题13．某小区有一长100 m，宽80 m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等的矩形，设矩形的长边长为x m，短边比长边少10 m)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m，不大于60 m，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：3≈1.732)解：由题意可得4x(x－10)×50＋[80×100－4x(x－10)]×60＝469 000，整理，得x2－10x－275＝0.∴x＝5±103(负值舍去)．∴x＝5＋103≈22.32.∵50≤100－2x≤60，∴20≤x≤25.∴投资46.9万元能完成工程任务．又∵小区投资46.9万元，x取整数，∴x≥23且x为整数．∴方案一：一块矩形绿地的长为23 m，宽为13 m；方案二：一块矩形绿地的长为24 m，宽为14 m；方案三：一块矩形绿地的长为25 m，宽为15 m.。

数学人教版九年级上册一元二次方程的实际应用.3 面积问题2016-09-23 00-53-45)

本题等量关系：草坪面积= 矩形面积—道路面积
x
20m
x2
x 解法一、 32m 如图，设道路的宽为x米，所列的方程是不是 3 2 2 0 ( 3 22 x 0 x )5 4 0
图中的道路面积不是 32x20x米2。注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
2
？
32 20 32 x 20 x x 54 正确列方程为：____________________
解法二：平移法
平移
20﹣x 3_______
32 x 20 x 540
比较两种解法，哪种简便？
变式练习
2、如图，在长为32米，宽为20米的矩形场地上修建如图所示
两条等宽的平行四边形道路，剩余部分进行绿化，要使绿化
面积为540米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，
x
50㎝
x
3600
50 2 x
x
100 2 x
100㎝
x
解：设截去正方形的边长 x 厘米，
( 100 2 x ) 米则图中虚线部分长等于 _ _ _ _ _ _ 厘，
50 2 x
( 50 2 x ) 宽等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 厘米
4.一个平行四边形的底边长是10，底边上的高是6，则它的面积为。 60 5.一个菱形的两条对角线长分别为6、8，则它 24 。的面积为
二、一元二次方程在平面图形中的应用
回顾

列方程解应用题的一般步骤是:
1. 审清题意；
2. 找等量关系

3. 设未知数, 有单位的要注明单位；

人教版初三数学上册一元二次方程的实际应用.3 面积问题2016-09-23 00-53-45)

x
x
x
20m
540 202x
322x x
32m
本题等量关系：长方形草坪面积=草坪长 x 草坪宽
解:如图，设道路的宽为米，则
(3 22x)2 ( 02x)540 202x
化简得，
322x
x22x6 2 50
(x 2)5 x ( 1 ) 0
x12,x 5 21
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
动脑思考，解决问题
课本探究3
例题2：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，
上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
分析：封面的长宽之比是
9∶7，中央的矩形的长宽之比也
欢迎指导！
21.3 实际问题与一元二次方程面积问题
一、温旧而知新
1.我们学过的平面图形有哪些？ 2.它们的面积怎样计算呢？
练习：求下列图形的面积
1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、
8cm，则它的面积为
24c。m2
2.一为个矩96形c的m长2 是。12cm、宽是8cm,则它的面积
解法二：平移法
平移
20﹣x 32﹣x
正确列方程为：___3 ___ 2 _x __2 ___ 0 _x __ __5 ___40
比较两种解法，哪种简便？
变式练习
2、如图，在长为32米，宽为20米的矩形场地上修建如图所示
两条等宽的平行四边形道路，剩余部分进行绿化，要使绿化
面积为540米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为米，

数学人教版九年级上册一元二次方程的实际应用----面积问题

( 26 2 x )( 21 2 x ) 26 21 246 ( 26 2 x )( 21 2 x ) 246
B
C
举一反三，体验成功
【变式】如图,绿色矩形ABCD,AB=15m,BC=20m, 四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积 A D 为246m2,求小路的宽度.
解：设道路的宽的为x米，依题意得
x
27m x
27-2x 21m
21-2x
3 ( 27 2 x )· ( 21 2 x ) 27 21 4
x
举一反三，触类旁通
【例】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？分析：（1）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例 27 相同的矩形” （2）如何转化“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”？
解:设小路宽为x米，则
B
C
( 20 2 x )( 15 2 x ) 246 15 20
举一反三，触类旁通
3x
30m
3x 2x
21m
如图，在矩形场地上修筑两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比2∶3 ，余下的草坪面积是原来矩形面积的二分之一，则路宽应为多少？
பைடு நூலகம்
2x
解：设横纵路的宽度分别为2x和3x ，依题意得 2x
设小道进出口宽度为x米依题意得牛刀小试解决问题302x20x5323020变式某公园计划在矩形的空地上挖一矩形的人工湖矩形内部四周环绕着宽度相等的小路如图空地矩形abcdab21mbc26m已知小路的面积为246m举一反三体验成功26202462126变式如图绿色矩形abcdab15mbc20m四周外围环绕着宽度相等的小路已知小路的面积为246m2015246举一反三体验成功如图在矩形场地上修筑两度之比23余下的草坪面积是原来矩形面积的二分之一则路宽应为多少

人教版九年级上册数学《一元二次方程的应用》解决问题专项练习(含答案)

人教版九年级上册数学《一元二次方程的应用》解决问题专项练习（含答案）1．近年来，在市委市政府的宏观调控下，某市的商品房成交均价涨幅控制在合理范围内，由2018年的均价5000元/m2上涨到2020年的均价6050元/m2．（1）试求这两年此市商品房成交均价的年平均增长率；（2）如果房价继续上涨，按（1）中上涨的百分率，请预测2021年此市的商品房成交均价．2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若干个相同数目的有益菌．（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多少个有益菌？（2）按照这样的分裂速度，60个活体益生菌经过三轮培植后有多少个有益菌？3．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．4．某校初二年级以班为单位进行篮球比赛，第一轮比赛是先把全年级平分成A、B两个大组，同一个大组的每两个班都进行一场比赛，这样第一轮A、B两个大组共进行了20场比赛，问该校初二年级共有几个班？5．如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？7．“十一”黄金周期间，某旅游区，为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人；标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元/人．（1）若某单位组织22名员工去此旅游区旅游，购买门票共需费用多少元？（2）若某单位共支付此旅游区门票费用共计1500元，试求该单位这次共有多少名员工去此旅游区旅游？8．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？参考答案1．解：（1）设这两年此市商品房成交均价的年平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝6050，（1+x）2＝1.21，解得：x1＝0.1=10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这两年此市商品房成交均价的年平均增长率是10%.（2）预测2021年此市的商品房成交均价为：6050（1+10%）＝6655（元）．答：预测2021年此市的商品房成交均价是6655元．2．解：（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌，由题意，得60x2＝24000，解得x1＝20，x2＝﹣20，∵x＞0，∴x＝20．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成20个有益菌．（2）由题意，得60×203＝480000个．答：经过三轮培植后有480000个有益菌．3．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x（x+2）＝10x+（x+2），整理得：3x2﹣5x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去），∴x+2＝4，∴这个两位数为24．4．解：设全年级共有2n个班，由题意得，解得n＝5或n＝﹣4（舍），2n＝10.答：全年级一共10个班．5．解：设花圃四周绿地的宽为x m，依题意，得（8﹣2x）（6﹣2x）＝×8×6，整理，得x2﹣7x+6＝0，解得：x1＝1，x2＝6（不合题意，舍去）．答：花圃四周绿地的宽为1m．6．解：（1）∵每件衬衫降价x元，∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝10，x2＝20．∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝20．答：每件衬衫应降价20元．7．解：（1）70﹣2×（22﹣20）＝66（元/人），66×22＝1452（元）．答：购买门票共需费用1452元．（2）设该单位这次共有x名员工去此旅游区旅游，∵1500÷70＝21（人），1500÷55＝27，∴20＜x≤27．依题意，得：x[70﹣2（x﹣20）]＝1500，整理，得：x2﹣55x+750＝0，解得：x1＝25，x2＝30（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有25名员工去此旅游区旅游．8．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，依题意，得解得所以y与x的函数关系式为y＝﹣5x+200．（2）依题知（x﹣25）（﹣5x+200）＝130．整理方程，得x2﹣65x+1026＝0．解得x1＝27，x2＝38．∵此设备的销售单价不得高于35万元，∴x2＝38（舍），所以x＝27．答：该设备的销售单价应是27 万元．。

人教版九年级上册数学实际问题与一元二次方程(3)同步练习

21.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）用一元二次方程解决几何图形问题1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列出一元二次方程．2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为__5___cm.知识点1：一般图形的面积问题1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C )A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B )A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝643．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，7_cm___．4．(2014·湘潭)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.解：设AB＝ x m，则BC＝(50－2x) m，根据题意得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15 m，BC为20 m的矩形知识点2：边框与通道问题5．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( A ) A．(20－x)(32－x)＝540B．(20－x)(32－x)＝100C．(20＋x)(32－x)＝540D．(20－x)(32＋x)＝540,第5题图) ,第6题图) 6．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．7．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3 cm8．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( B ) A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144 m29．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( A )A．2－ 3 B．2＋ 3C．2＋ 5 D.5－2,第9题图) ,第11题图)10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为__1___米．11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。

九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时图形面积问题同步练习湘教版

2.5 一元二次方程的应用第2课时图形面积问题知识点 1 面积问题图2－5－11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图2－5－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm图2－5－23．如图2－5－2是一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2.那么花边的宽为________m.4．如图2－5－3，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．图2－5－35．如图2－5－4，要在一个长为10 m、宽为8 m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这个花圃的宽度．图2－5－4知识点 2 动点问题6．教材练习第2题变式如图2－5－5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，图2－5－5BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始运动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q运动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．经过几秒后，能使△PBQ的面积为15 cm2？( )A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s7．如图2－5－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，其速度均为2 cm/s，几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？图2－5－68．如图2－5－7，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．图2－5－79．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝24 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以4 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动．它们同时出发，求几秒后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半．10．2016·百色如图2－5－8，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80 m×0.80 m和1.00 m×1.00 m的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？图2－5－811．如图2－5－9①，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图②：用含x的代数式表示：AB＝________cm；AD＝________cm；矩形ABCD的面积为________cm2.(2)列出方程并完成本题的解答．图2－5－9详解详析1．C [解析] 根据题意，可知剩余的长方形空地的长为(x－1)m，宽为(x－2)m，所以可列出方程为(x－1)(x－2)＝18，故选C.2． D [解析] 设原正方形铁皮的边长是x cm，则做成的没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－3×2)cm，高为3 cm，根据题意列方程得(x－3×2)×(x－3×2)×3＝300，解得x1＝16，x 2＝－4(不合题意，舍去)．即原正方形铁皮的边长是16 cm.故选D.3．1 [解析] 设花边的宽为x m ，则地毯的长为(8－2x )m ，宽为(5－2x )m ，根据题意列方程得(8－2x )(5－2x )＝18，解得x 1＝1，x 2＝5.5(不符合题意，舍去)．故花边的宽为1 m.4．解：设垂直于墙的一边长为x m ，则平行与墙的一边长为(58－2x )m. 依题意得x (58－2x )＝200，解得x 1＝25，x 2＝4，58－2x 1＝8，58－2x 2＝50.答：矩形的长为25 m ，宽为8 m 或矩形的长为50 m ，宽为4 m. 5．解：设这个花圃的宽度为x m ，依题意，得 (10－2x )(8－x )＝10×8×(1－30%)，解得x 1＝12(不合题意，舍去)，x 2＝1. 答：这个花圃的宽度为1 m.6．B [解析] 设经过t s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2，则BP ＝(8－t )cm ，BQ ＝2t cm ，由三角形的面积计算公式列方程得12×(8－t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5(当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去)．故经过3 s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2. 7．解：设t s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，则可得此时PC ＝AC －AP ＝(12－2t )cm ，CQ ＝BC －BQ ＝(9－2t )cm ，∴△PCQ 的面积为12·PC ·CQ ＝12(12－2t )(9－2t )cm 2.∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，△ABC 的面积＝12×12×9＝54(cm 2)，∴12(12－2t )(9－2t )＝27，解得t ＝9或t ＝1.5.∵0≤t ≤4.5， ∴t ＝1.5，则1.5 s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半． 8．设AB ＝x 米，则BC ＝(100－4x )米．根据题意得x (100－4x )＝400，整理得x 2－25x ＋100＝0，解得x 1＝20，x 2＝5. 当AB ＝20米时，BC ＝20米，符合题意；当AB ＝5米时，BC ＝80米>25米，故舍去．答：羊圈的边长AB ，BC 都为20米．9．解：设x s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半，则12(24－4x )(16－2x )×32＝12×12×24×16×32，解得x ＝2或x ＝12(舍去)．答：2 s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半．10．解： (1)设矩形地面的长为x m ，则宽为(20－x )m ，由题意，得x (20－x )＝96，解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)．答：矩形地面的长为12 m.(2)需要规格为0.80 m×0.80 m 的地板砖96÷(0.8×0.8)＝150(块)，则总费用为55×150＝8250(元)；需要规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖96÷(1.0×1.0)＝96(块)，则总费用为80×96＝7680(元)．∵7680＜8250，∴用规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖费用较少．11． (1)(20－6x ) (30－4x ) (24x 2－260x ＋600)(2)根据题意，得24x 2－260x ＋600＝(1－13)×20×30，整理，得6x 2－65x ＋50＝0，解得x 1＝56，x 2＝10(不合题意，舍去)，则2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53 cm ，52 cm.。

湘教版九年级数学上册《2.5 一元二次方程的应用》同步练习(附答案)

湘教版九年级数学上册《2.5 一元二次方程的应用》同步练习(附答案)一、选择题1.某市前年年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到今年年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意所列方程正确的是( )A.300(1+x)=363B.300(1+x)2=363C.300(1+2x)=363D.363(1-x)2=3002.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是( )A.x(x+1)＝132B.x(x﹣1)＝132C.x(x+1)＝132×12D.x(x﹣1)＝132×23.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A.(32－2x)(20－x)＝570B.32x＋2×20x＝32×20－570C.(32－x)(20－x)＝32×20－570D.32x＋2×20x－2x2＝5704.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )A.x2－6＝(10－x)2B.x2－62＝(10－x)2C.x2＋6＝(10－x)2D.x2＋62＝(10－x)25.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A.(32－2x)(20－x)=570B.32x＋2×20x=32×20－570C.(32－x)(20－x)=32×20－570D.32x＋2×20x－2x2=5706.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个,如果每月的增长率x相同,则( )A.50(1+x2)=196B.50+50(1+x2)=196C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=1967.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )A.x(x-1)=10B.12x(x-1)=10C.x(x+1)=10D.12x(x+1)=108.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？( )A.4B.5C.6D.79.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为( )A.5人B.6人C.7人D.8人10.如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为3的四个小正方形，制成一个无盖箱子．若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为2x2＋17x，则无盖箱子的外表面积为( )A.48B.64C.72D.96二、填空题11.在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为 .12.如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽为x m，由题意列得方程 .13.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元.如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为 .14.篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为 .15.如图是一块长方形的土地，宽为120 m，建筑商把它分为甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形．现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开辟成面积为3200 m2的公园．若这块长方形土地的长为x(m)，则根据题意列出的方程是 [将答案写成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式]．16.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷,近50万字,代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美,且早于牛顿140年.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔共几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 .三、解答题17.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.18.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时，平均每天可销售30件.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.据此规律，请回答：(1)设每件商品降价x元(x为整数)，则商场日销售量增加件，每件商品盈利元(用含x的代数式表示).(2)在上述条件不变.销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？19.水果店张阿姨以2元/kg的价格购进某种水果若干千克，然后以4元/kg的价格出售，每天可售出100 kg.通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20 kg.为保证每天至少售出260 kg，张阿姨决定降价销售.(1)若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 kg(用含x的代数式表示).(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？20.某商店以20元/千克的价格购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(kg)与销售单价x(元)之间为一次函数关系，如图所示．(1)求一次函数的表达式．(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？21.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元.(1)填表(不需化简)入住的房间价格总维护费用房间数量提价前 60 200 60×20提价后(2)少元?(纯收入＝总收入﹣维护费用)答案1.B2.B.3.A.4.D5.A6.C7.B8.C.9.B10.B11.答案为：x(x ﹣1)＝110.12.答案为：(30－2x)(20－x)＝6×78.13.答案为：200[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝1000.14.答案为：12x(x ﹣1)＝36. 15.答案为：x 2－360x ＋32000＝0.16.答案为：x(x ﹣12)=864.17.解：设AB 为x m ，则BC 为(50﹣2x) m根据题意，得x(50﹣2x)＝300.2x 2﹣50x ＋300＝0，解得x 1＝10，x 2＝15当x 1＝10时，50﹣2x ＝30>25(不合题意，舍去)当x 2＝15时，50﹣2x ＝20<25(符合题意).答：当砌墙宽为15 m ，长为20 m 时，花园面积为300 m 2.18.解：(1)2x ，(50﹣x)；(2)设每件商品降价x 元时，商场日盈利可达到2 100元.根据题意，得(50﹣x)(30＋2x)＝2 100化简，得x 2﹣35x ＋300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20.答：在上述条件不变.销售正常的情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2 100元.19.解：（1）(100＋200x)；（2）根据题意，得(4﹣x ﹣2)(100＋200x)＝300解得x ＝12或x ＝1. ∵每天至少售出260 kg∴x ＝1.答：张阿姨需将每千克的售价降低1元.20.解：(1)设y 关于x 的函数表达式为y ＝kx ＋b把点(20，60)，(80，0)的坐标代入，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝60，80k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝80，∴y 关于x 的函数表达式为y ＝－x ＋80(20＜x ≤80)．(2)由题意，得(x －20)(－x ＋80)＝800解得x 1＝40，x 2＝60.答：销售单价应定为每千克40元或60元．21.解：(1)因为增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲以此类推，空闲的房间为间，所以入住的房间数量为(60﹣)间，房间价格是(200＋x)元，总维护费用是(60﹣)×20元.(2)依题意得(200＋x)(60﹣)﹣(60﹣)×20＝14 000 整理，得x 2﹣420x ＋32 000＝0，解得x 1＝320，x 2＝100.当x ＝320时，有游客居住的客房数量是60﹣＝28(间). 当x ＝100时，有游客居住的客房数量是60﹣＝50(间).所以当x ＝100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200＋100＝300(元). 答：每间客房的定价应为300元.。

九年级数学上册第21章一元二次方程中的面积问题课时专练 (新版)新人教版

一元二次方程中的面积问题一．选择题（共22小题）1．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=322．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×53．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20﹣x）（32﹣x）=540 B．（20﹣x）（32﹣x）=100 C．（20+x）（32﹣x）=540 D．（20+x）（32﹣x）=1004．同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为x，则可列方程为（）A．x（10﹣x）=50 B．x（30﹣x）=50 C．x（15﹣x）=50 D．x（30﹣2x）=505．用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（）A．2x（10﹣7x）=3.52 B．C．D．2x2+2x（10﹣9x）=3.526．现有一块长方形绿地，它的短边长为20m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（）A．x（x﹣20）=300 B．x（x+20）=300 C．60（x+20）=300 D．60（x﹣20）=3007．用长为4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米，若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x 的方程为（）A．x（4﹣x）=25 B．2x（2﹣x）=25 C．D．8．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行道的宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．（30﹣3x）（24﹣2x）=480 B．（30﹣3x）（24﹣x）=480C．（30﹣2x）（24﹣2x）=480 D．（30﹣x）（24﹣2x）=4809．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（）A．9cm2B．68cm2C．8cm2D．64cm210．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．32x+2×20x﹣2x2=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣2x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．（32﹣2x）（20﹣x）=57011．使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=2012．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB=x米，则可列方程（）A．x（81﹣4x）=440 B．x（78﹣2x）=440 C．x（84﹣2x）=440 D．x（84﹣4x）=44013．某广场绿化工程中有一块长2km，宽1km的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的空地如图），且保留空地的面积与绿地面积相等．设保留空地的宽度为x km，则下面列出的方程中正确的是（）A．（2﹣3x）（1﹣2x）=B．（2﹣3x）（1﹣2x）=C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 D．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 14．用长为28米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米．若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为（）A．x（28﹣x）=25 B．2x（14﹣x）=25 C．x（14﹣x）=25 D．15．如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是（）A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm16．用22cm的铁丝围成一个面积为30cm2的矩形，则这个矩形的两边长是（）A．5cm和6cm B．6cm和7cm C．4cm和7cm D．4cm和5cm17．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（）A．x（26﹣2x）=80 B．x（24﹣2x）=80 C．（x﹣1）（26﹣2x）=80 D．x（25﹣2x）=8018．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）A．B．C．D．19．有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A．4x2=3600 B．100×50﹣4x2=3600C．（100﹣x）（50﹣x）=3600 D．（100﹣2x）（50﹣2x）=360020．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为（）A．x（27﹣3x）=75 B．x（3x﹣27）=75 C．x（30﹣3x）=75 D．x（3x﹣30）=7521．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟22．如图，△ABC中，∠C=90，AB=10cm，AC=8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（）秒后四边形APQB是△ABC面积的．A．2 B．4.5 C．8 D．7二．解答题（共6小题）23．成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为90m，宽为60m，按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．（1）求各通道的宽度；（2）现有一工程队承接了对这4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2的绿化任务后，将工作效率提高25%，结果提前2天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？24．如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上修建两横竖通道，横竖通道的宽度比为2：1，其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的．（1）求横、竖通道的宽各为多少？（2）若修建1m2道路需投资750元，种植1m2花草需投资250元，此次修建需投资多少钱？25．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm．（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由；（3）如图3，若计划在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x、n满足的关系式．26．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．27．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s 的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？（3）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？28．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．参考答案一．选择题（共22小题）1．B．2．D．3．A．4．C．5．B．6．A．7．C．8．A．9．D．10．D．11．B．12．D．13．D．14．C．15．C．16．A．17．A．18．B．19．D．20．C．21．B．22．A．二．解答题（共7小题）23．解：（1）设各通道的宽度为x米，根据题意得：（90﹣3x）（60﹣3x）=4536，解得：x1=2，x2=48（不合题意，舍去）．答：各通道的宽度为2米．（2）设该工程队原计划每天完成y平方米的绿化任务，根据题意得：﹣=2，解得：y=400，经检验，y=400是原方程的解，且符合题意．答：该工程队原计划每天完成400平方米的绿化任务．24．解：（1）设竖通道的宽为xm，则横通道的宽为2xm．根据题意得：（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去），∴2x=2．答：横通道宽2m，竖通道宽1m．（2）30×20××750+30×20××250，=114 000+112000，=226000（元）．答：此次修建需要投资226000元．25．解：（1）根据题意得，AB=m，则•x=40，∴x1=20，x2=4，因为20＞15，所以x1=20舍去答：BC的长为4米；（2）不能围成花圃，根据题意得，，方程可化为x2﹣24x+150=0△=（﹣24）2﹣4×150＜0，∴方程无实数解，∴不能围成花圃；（3）∵用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，∴AB=，而正方形的边长也为，∴关系式为：．26．解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x（32﹣2x）=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y（36﹣2y）=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=（﹣18）2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．27．解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．（3）过点P作PM⊥CD于M，QN⊥AB于N则DM=AP=3cm．CQ=BN=2tcm分三种情况；∴当DP=DQ时，则DM=MQ=3tcm．∵3t+3t+2t=16．∴t=2；②当DQ=PQ时，在直角△PNQ中，由勾股定理得：（16﹣2t）2=62+（16﹣3t﹣2t）2整理，得7t2﹣32t+12=0，解得t1=，t2=；③当DP=DQ时，在直角△DAP中，由勾股定理得：（16﹣2t）2=62+（3t）2解得t1=，t2=（舍去）综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．（3）经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．28．解：（1）∵P，N重合，∴2x+x2=20，∴，（舍去），∴当时，P，N重合；（2）因为当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，依题意得20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2，当x=2时四边形PQMN是平行四边形；②当点P在点N的右侧时，依题意得20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，解得x1=﹣10（舍去），x2=4，当x=4时四边形NQMP是平行四边形，所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．。

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第3课时面积问题
基础题
知识点1 面积问题
1．(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )
A ．x(5＋x )＝6
B ．x(5－x)＝6
C ．x(10－x)＝6
D ．x (10－2x)＝6
2．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2
，则修建的路宽应为( )
A ．1米
B ．1.5米
C ．2米
D ．2.5米
3．如图，在长70 m ，宽40 m 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1
8
，则路宽x 应满足的方程是( )
A ．(40－x)(70－x)＝350
B ．(40－2x)(70－3x)＝2 450
C ．(40－2x)(70－3x)＝350
D ．(40－x)(70－x)＝2 450
4．在一幅长50 cm ，宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是1
800 cm 2
，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为________________．
5．为了绿化校园，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多4米，面积是320平方米，则操场的长为________米，宽为________米．
6．如图所示，某小区计划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 垂直，另一条与AB 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求道路的宽度．
7．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？
知识点2 动点问题
8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )
A．2秒钟B．3秒钟
C．4秒钟D．5秒钟
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P由A开始沿AB向B运动，速度是1 cm/s，点Q由B 开始沿BC向C运动，速度是2 cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．如果P、Q同时出发，经过多长时间△PBQ的面积等于4 cm2?
中档题
10．(杭州期末)如图是一个长为30 m，宽为20 m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为________米．
11．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙保留1 m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?
12．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，则张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
13．如图，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝7 cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度向B 点移动，点
Q 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2?
拔高题
14．某小区有一长100 m ，宽80 m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等的矩形，设矩形的长边长为x m ，短边比长边少10 m)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m ，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：3≈1.732)
参考答案
基础题
1.B
2.A
3.B 4(50＋2x)(30＋2x)＝1 800 5.20 16
6.设道路的宽度为x 米．依题意，得(40－2x)(26－x)＝144×6.解得x 1＝2，x 2＝44(不合题意，舍去)．答：道路的宽度为2米．
7.设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80＞25，∴x 2＝5舍去．即AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米． 8.B
9.设经过x s ，△PBQ 的面积等于4 cm 2，列方程得12×2x(5－x)＝4.整理得x 2
－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.由于
当x ＝4时，BQ ＝8＞6，故x ＝4不合题意，舍去，即x ＝1.答：经过1 s ，△PBQ 的面积等于4 cm 2
. 中档题 10．1
11.设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ，根据题意，得(x －2)(2x －4)＝288，解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，
x 2＝14.∴2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m ，宽为14 m 时，蔬菜种植区域的面积为288 m 2
.
12.设这种箱子底部宽为x 米，依题意，得x(x ＋2)×1＝15.解得x 1＝－5(舍去)，x 2＝3.∴x＋2＝5.∴这种箱子底部长为5米，宽为3米．购买矩形铁皮面积为：(5＋2)×(3＋2)＝35(平方米).35×20＝700(元)．答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元钱．
13.过点Q 作QE⊥PB 于E ，则∠QEB＝90°.∵∠ABC ＝30°，∴QE ＝12QB.∴S △PBQ ＝1
2·PB ·QE.设经过t 秒后△PBQ 的
面积等于4 cm 2，则PB ＝6－t ，QB ＝2t ，QE ＝t.根据题意，得12·(6－t)·t＝4.即t 2
－6t ＋8＝0.解得t 1＝2，t 2＝
4.当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意，舍去，取t ＝2.答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2
. 综合题
14．由题意可得4x(x －10)×50＋[80×100－4x(x －10)]×60＝469 000，整理，得－40x 2＋400x ＋11 000＝0.∴x 2
－10x －275＝0.∴x＝5±103(负值舍去)．∴x ＝5＋103≈22.32.∵20≤x ≤25，∴投资46.9万元能完成工程任务．又∵小区投资46.9万元，∴x ≥23.∴方案一：一块矩形绿地的长为23 m ，宽为13 m ；方案二：一块矩形绿地的长为24 m ，宽为14 m ；方案三：一块矩形绿地的长为25 m ，宽为15 m.。