河南省洛阳市2017-2018学年高三毕业班三练理数试题 Word版含答案

2017-2018学年 数学试卷（理A ） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知复数(1)(1)z i ai =+-是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．1±
2.下列正确的个数为（ ） （1）“2000,||0
x Rx x ∃∈+<”的否定是“2
,||0x R x x ∀∈+≥”；
（2）若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；
（3）a b >是33()()44
a b
>的充分不必要条件.
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3.执行如图所示的程序框图，输出的S 是下列哪个式子的值（ ）
A ．11112310S =+
+++ B ．1111
24620S =++++
C ．111
12311S =++++
D ．1111
24622
S =++++
4.若{}n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和为n S ，已知241a a =且37S =，则5S =（ ） A ．
172 B ．334
C ．314
D ．152 5.已知实数,x y 满足约束条件20
00x y x y y x k -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩，若3z x y =+的最小值为4，
则实数k =（ ） A ．2 B ．1 C ．
125 D ．45 6.函数||
()32ln 2
x f x x =-的图象可能是（ ）
7.牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另两个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有（ ） A ．15种 B ．30种 C ．90种 D ．180种
8.已知,A B 为抛物线2
4y x =上异于原点的两个点，O 为坐标原点，直线AB 斜率为2，则
ABO ∆重心的纵坐标为（ ）
A ．2
B ．
43 C ．2
3
D ．1 9.已知函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为
23
π
B ．函数()f x 的图象可由()cos()g x A x ω=的图象向右平移12
π
个单位得到 C ．函数()f x 的图象关于直线12
x π
=对称
D ．函数()f x 在区间(
,)42
ππ
上单调递增
10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．2 B ．6 C ．
43 D ．83
11.已知点P 在双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右支上，12,F F 分别为双曲线的左、右
焦点，若22
2
1212PF PF a -= ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A ．[3,)+∞
B ．(2,4]
C ．(2,3]
D ．(1,3]
12.已知'
()f x 为函数()f x 的导函数，且2
'11()(0)(1)2
x f x x f x f e -=
-+，若21()()2g x f x x x =-+，则方程2
()0x g x x a
--=有且仅有一个根时a 的取值范围是
（ ）
A ．(,0){1}-∞
B ．(,1]-∞
C ．(0,1]
D ．[1,)+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.采用随机模拟实验估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：由计算机产生随机数0或1，其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三个随机数作为一组，代表抛掷三次的结果，已知随机模拟实验产生了如下20组随机数： 101 111 010 101 100 001 101 111 110 000
011 001 010 100 000 101 101 010 011 001
由此估计抛掷一枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率是 .
14.已知(cos ,sin )66a ππ= ，55(cos
,sin )66
b ππ
= ，则||a b -= . 15.已知函数22,0
()(),0
x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，则((1))f g -= .
16.已知数列{}n a 满足*111
,()2(1)(1)
n n n na a a n N n na +=
=∈++，若不等式2410n ta n n ++≥恒
成立，则实数t 的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3ABC
S ∆=，06AB AC ≤∙≤
，函数
2()2sin ()24
f π
θθθ=+.
（1）求角A 的取值范围； （2）求()f A 的值域. 18. （本小题满分12分）
今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：
日期 天气
2月13日 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销 售 量
上午 42 47 58 60 63 下午
55
56
62
65
67
由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天. （1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；
（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为
2
5
，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；
（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么
在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗? 19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD SD ==，侧面
SAB 为等边三角形.
（1）证明: AB SD ⊥；
（2）求二面角A SB C --的正弦值
.
20. （本小题满分12分）
已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，2
4
||||cos AM BM θ
∙=
. （1）求||||AM BM +
的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；
（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222
x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）
已知函数()2(,0)kx
f x e x k R k =-∈≠.
（1）若对任意的x R ∈，都有()1f x ≥，求k 的值；
（2）对于函数()f x 的单调递增区间内的任意实数123,,x x x （123x x x <<），证明：
'322122132
()()()()
()f x f x f x f x f x x x x x --<<--.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 与圆O 相切于点B ，CD 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，//BF CD 且
交ED 于点F .
（1）证明：BCE ∆∽FDB ∆；
（2）若BE 为圆O 的直径，EBF CBD ∠=∠，2BF =，求AD ED ∙
.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，
直线l
的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 经过伸缩变换''12
x x
y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'
C
上任一点，求
222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；
（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
ABBCC BBCDA DA 二、填空题
[9,)-+∞ 三、解答题
17.解：（1）∵3ABC S ∆=，
1
sin 32
bc A =. ① ∵06AB AC ≤∙≤
，∴0cos 6bc A ≤≤，②
由①②可得：cos 01sin A A ≤
≤，即tan 1A ≥，∴[,]42
A ππ
∈.
∴1
sin(2)[,1]32
A π
-
∈，∴()[2,3]f A ∈. 18.解：（1）由已知得如下茎叶图，中位数为
5860
592
+=.
（2）设明年庙会期间下雨天数为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X ～2
(5,)5
B ， ∴2
()525
E X =⨯
=， 所以估计明年庙会期间，可能有2天下雨，3天不下雨，
据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为10021253575⨯+⨯=. （3）设庙会期间该摊位获得的利润为L ，则
[100125(5)](139)10001500100L X X X =+-⨯--=-，
所以由150********X ->，得3X <. 又*
X N ∈，所以0,1,2X =，而
005114
2235552424242133(0)(1)(2)()()()()()()0.65555553125
P X P X P X C C C =+=+==++=>
故可认为“值得投资”.
19.解：（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形， ∴BE DE ⊥，
∵SAB ∆为等边三角形，∴AB SE ⊥.
∵SE DE E = ，∴AB ⊥平面SED ，SD ⊂平面SED ，AB SD ⊥.
（2）由（1）知，DE DC ⊥，过D 作DF ⊥平面ABCD ，则,,DE DC DF 两两垂直，分别
以,,DE DC DF
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，
则(0,0,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0)D A B C -，
∵1,2,SD DE SE === ∴SD SE ⊥，∴SD ⊥平面SAB ，
∴1(2S ，1(2DS = . 设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =
.
∵1(,1,2SC =- ，(2,0,0)BC =- ，
∴20102n SC x n BC x y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-+=⎪⎩
，∴0x y z =⎧⎪⎨=
⎪⎩. 取1z =
，则n = ，
设二面角A SB C --为θ
，则|cos |||||||DS n DS n θ∙===
∴sin θ=
20.解:（1）设||AM m = ，||BM n =
，
∵||4AB =且2
4||||cos AM BM θ
∙=
，∴2
cos 4mn θ=， 在ABM ∆中，由余弦定理得
22242cos 2m n mn θ+-=222(2cos 1)4cos 2mn mn mn θθ=-=-，
∵2
2
2
24cos 1632m n mn mn θ++=+=，
∴m n +=
||||AM BM +=
又||||||AM BM AB +>
，所以M 的轨迹是椭圆，
且2a c ==，∴2
4b =，
∴22
:184
x y C +=. （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22
:184
x y C +=得 222(12)4280k x kmx m +++-=，
∵0∆>，∴2
2
840k m -+>，且122412km x x k +=-+，2122
28
12m x x k
-=+， 22
2
2
121212122
8()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+.
∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即
222
2228801212m m k k k --+=++， ∴22
38
8
m k -=，
由
238
08
m -≥和22840k m -+>，得283m >即可， 因为l 与圆2
2
2
x y r +=相切，∴22
2||813
m r k =
=+， 存在圆22
8
3
x y +=
符合题意. 21.解：（1）()f x 的定义域为R ，'()2kx f x ke =-， 当0k <时，'()0f x <恒成立，()f x 在R 上单调递减， 当0x >时，()(0)1f x f <=，不合题意.
当0k >时，由'
()0f x <，得12ln x k k
<
， ∴()f x 在12
(,
ln )k k
-∞上单调递减， 由'
()0f x >，得12ln x k k >，∴()f x 在12(ln ,)k k +∞上单调递增.
∴min 12222
()(ln )ln f x f k k k k k
==-，
只需222
ln 1k k k
-≥成立.
令()ln (0)g x x x x x =->，则'
()1ln 1ln g x x x =--=-， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
所以()(1)1g x g ≤=，当且仅当1x =时，()g x 取得最大值1， 所以
2
1,2k k
==. （2）先证明
'21221
()()
()f x f x f x x x -<-，
由（1）知，
'21221()()()f x f x f x x x -<-22121
()()
2kx f x f x ke x x -⇔<--，
∵210x x ->， ∴'21221
()()()f x f x f x x x -<-22121()()(2)()kx f x f x ke x x ⇔-<-- 21212()2121()1()kx kx kx k x x e e k x x e e k x x -⇔-<-⇔-<-.
12()12()10k x x e k x x -⇔--->.
由（1）知，0k >，12()0k x x -<.
令12()x k x x =-，()1(0)x h x e x x =--<，
则'()10x h x e =-<，()1x h x e x =--在(,0)-∞上单调递减， 所以()(0)0h x h >=，即'21221
()()()f x f x f x x x -<-. 同理可证：'32232()()()f x f x f x x x -<-，∴'322122132
()()()()()f x f x f x f x f x x x x x --<<--. 22.解：（1）因为//BF CD ，所以EDC BFD ∠=∠，
又EBC EDC ∠=∠，所以EBC BFD ∠=∠，
又BCE BDF ∠=∠，所以BCE ∆∽FDB ∆.
（2）因为EBF CBD ∠=∠，所以EBC FBD ∠=∠，
由（1）得EBC BFD ∠=∠，所以FBD BFD ∠=∠，
又因为BE 为圆O 的直径，
所以FDB ∆
为等腰直角三角形，2
BD BF == 因为AB 与圆O 相切于点B ，所以EB AB ⊥，即22AD ED BD ∙==.
23.解：（1）由1x t =-，得1t x =-
，代入2y =，
20y -=.
由2ρ=，得24ρ=，∴224x y +=.
（2）∵''12
x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴'C 的直角坐标方程为2214x y +=.
∴设(2cos ,sin )M θθ，则2cos x θ=，sin y θ=.
∴222224cos cos 2sin 2cos(2)33x y π
θθθθθ+=-+=++ ∴当cos(2)13πθ+=-
，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 1.
即当(1,2M
或(1,2
M --
时，222x y +的最小值为1. 24.解：（1）由||1|2|5x -+<，得5|1|25x -<-+<， ∴7|1|3x -<-<，解得24x -<<.
∴不等式的解集为(2,4)-.
（2）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立， 所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，
又()|2||23||(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+， ()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-， 所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.。