向量运算的背景研究
题目：向量的加法和减法说课稿
题目：向量的加法和减法说课稿向量的加法和减法说课稿一、课程背景和目标本节课的主题是向量的加法和减法。
通过本课，学生将研究如何进行向量的加法与减法运算，并能够应用这些知识解决与向量相关的实际问题。
二、教学内容与方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 向量的定义和表示方式- 向量的加法和减法的运算规则- 向量加法和减法的几何意义- 向量运算在实际问题中的应用2. 教学方法为了达到有效的教学效果，本课采用以下教学方法：- 讲授与演示结合，通过示例向学生介绍向量的定义和表示方式、向量加法和减法的运算规则等基本概念。
- 给予学生练机会，通过练题让学生巩固所学的知识。
- 强调实际应用，通过实际问题的分析和解决，帮助学生理解向量运算在现实生活中的应用场景。
三、教学流程第一步：引入通过引入一些生活中的例子，引起学生对向量的认知和兴趣。
第二步：向量的定义和表示方式- 通过图示介绍向量的定义和表示方式。
- 向学生解释向量的方向、大小等概念。
第三步：向量的加法和减法的运算规则- 通过示例演示向量的加法和减法的运算过程。
- 引导学生总结加法和减法的运算规则。
第四步：向量加法和减法的几何意义- 通过图示解释向量加法和减法的几何意义。
- 帮助学生理解向量加法和减法的结果在平面坐标系中的表示。
第五步：实际问题的应用- 选取一些简单的实际问题，引导学生运用向量的加法和减法解决问题。
- 提醒学生分析问题，找到解决问题的关键步骤。
第六步：总结与拓展- 总结本节课的教学内容和研究要点。
- 提供一些拓展性问题，激发学生对向量的进一步思考和研究热情。
四、教学资源- 平面坐标系示意图- 向量加法和减法的示例图片- 练题和答案五、教学评估通过教学过程中的参与情况、学生练题的完成情况以及对实际问题的解决能力等多个方面进行评估。
六、课后作业布置练题，要求学生运用所学的向量加法和减法解决问题，并编写课后总结报告。
以上是本节课《向量的加法和减法》的说课稿，希望通过本节课的教学，能够帮助学生深入理解和掌握向量的加法和减法运算，提高他们的问题解决能力和空间思维能力。
_向量在解析几何中的应用
_向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用第一章引言 1.1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力工具. 向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系,具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何． 1.2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨： 1、向量在建立平面方程中的应用. 2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用. 3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用. 4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用. 5、向量在平面其它方面的应用. 第二章向量法在有关平面问题中的应用 2.1 向量的基础知识 1.向量分解定理定理1如果向量,那么向量与向量共线的充分条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合,即,并且系数被,唯一确定. 定理2 如果向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是可以用向量,线性表示,或者说可以分解成,的线性组合,即,并且系数, ,被,,唯一确定.这时,叫做平面上向量的基底. 2.向量平行、垂直的条件及夹角公式设空间中两个非零向量为和则(1) (2) ∥ (3)即 3.向量乘法运算的有关内容: 设则 (1)数量积：1) 2) 3) 4) 即 (2)向量积：1) 2)若不平行,则图1 3)若∥即 (3)混合积：1) 2)若不共面,则 2.2向量在建立平面方程中的应用 2.2.1 平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量. 法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量. 已知平面上一点和该平面的法向量. 设平面上的任一点则有 = 图2 平面的点法式方程为由点法式得到平面的一般是方程其中例1: 一平面过点和且垂直于平面,求此平面的方程. 解: 平面的法向量设所求平面的法向量∵在所求平面上∴ 从而有∵, 图3∴即 (1) 又∵所求平面垂直于平面 , 从而有即即 (2)由(1)(2)解得：∴ ∴所求平面的方程为即另解：∵且∴该平面的法向量为图4 ∴所求平面的方程为即从以上两例可以看出,在用向量建立平面方程时,首先要确定平面的法向量,熟记平面的几种特殊位置的方程,且需注意两平面的位置特征. 2.2.2平面的参数式方程图5 在空间,取仿射坐标系,并设点的向径,平面π上的任意一点的向径为(图4),显然点在平面π上的充要条件为向量与共面,因为不共线,所以这个共面的条件可以写成,又因为, 所以有其中为参数. 即则此方程叫做平面π的向量式参数方程, 如果设点的坐标分别为那么 ; 令, 那么由平面π的向量式参数方程得 ,则此方程组叫做平面π的坐标式参数方程. 2.3讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用 2.3.1平面与平面的位置关系空间两个平面的位相关位置有三种情形,即相交、平行和重合,而且当且仅当两平面有一部分公共点时它们相交,当且仅当两平面无公共点时它们相互平行,当且仅当一个平面上的所有点就是另一个平面的点时,这两平面重合.因此如果设两平面方程为 , （1） , （2）那么两平面与是相交还是平行或是重合,就决定于由方程(1)与(2)构成的方程组是有解还是无解,或是方程(1)与（2）仅相差一个不为零的数因子,因此我们就得到了下面的定理. 定理2.3.1.1: 平面（1）与（2）相交的充要条件是 , 平行的充要条件是 , 重合的充要条件是定理2.3.1.2:两平面（1）与（2）相互垂直的充要条件是 ; 证：设平面的法向量为,平面的法向量为而与的位置关系直接影响与的位置关系.下面分几种情况来讨论.(如图2.3.1) 1. ∥∥ 特例：与重合（1）,（2）两方程同解∥且显然,∥,且与不重合 2. . 将上面结果归纳起来可以得到2.3.1.1和2.3.1.2 2.3.2平面与直线的位置关系空间直与平面的相关位置有直线与平面相交,直线与平面平行和直线在平面上的三种情况.下面给出直线与平面位置成立的条件：设直线平面的方程分别为 , （1） , （2）则由定理2.3.2.1 直线（1）与平面（2）的相互位置关系有下面的充要条件: 1. 相交：； 2. 平行： ; ；3. 直线在平面上： ;; 由于直线的方向向量为,而在直线坐标系下,平面的法向量为,因此在直角坐标系下,直线与平面的相互位置关系,从几何上看,直线与平面的相交条件就是不垂直于；直线与平面平行的条件 ; 就是,且直线上的点不在平面上；直线在平面上的条件 ; 就是,且直线上的点在平面上. 2.4向量在推导点到平面的距离公式中的应用空间解析几何在空间点、直线与平面间相关位置的讨论中有一个重要问题是求这些图形间的距离,其中点到平面的距离尤为重要．本节将利用向量探讨点到平面的距离公式的推导．文献[1,2]利用点与平面间离差的几何意义给出了点与平面：（1）之间的距离公式：（2）平面的点法式向量方程为 , （3）平面的向量式参数方程（4）其中是平面的法向量,、为参数,,是平面的方位向量,是平面上定点的径矢, （5）设（6）（7） , （8）则平面的点法式向量方程（3）和平面的向量式参数方程（4）都可以转化为平面的一般式方程（1）,所以以下推导中,只要得到由向量表示的距离公式,那么将（6—8）代入,就可得距离公式（2）. 证：1. 与之间的距离是与上定点构成向量在平面的法向量上的射影的绝对值. 设平面的点法式方程如（3）式,则将（5）（6）（8）（9）式代入,即可得距离公式（2）已知与之间的距离是以平面的方位向量,和为棱的平行六面体中,所在平面上的高证：1.设平面的方程如（4）式,将,的始点移到点,则,,不面.与之间的距离正好是以向量,和为棱的平行六面体中,所在面上的高如图6. 平行六面体的体积 , 底面的面积图6 所以, 将（5）,（7）,（8）,（9）式代入,即可得距离公式（2）评析：点到直线距离公式的推导有很多方法,本节利用向量法推导出了点到直线的距离公式,这种思路能更好的将向量与几何问题结合起来,展现了向量在解决几何问题中的重要作用. 2.5 向量在推导两平面的夹角公式中的应用现在让我们在直角坐标系下来研究两平面的交角. 设两平面与间的二面角用来表示,而两平面的法向量与的夹角记为,那么显然有（图7）或. 因此我们得到图7 例2: 如图8,在底面是直角梯形的四棱锥中,//,,,,, . 求侧面与面所成的二面角的大小. 解：以为原点如图8建立空间直角坐标系, A z y x D C B S 图8 则, ,,, ∴ , 显然平面的一个法向量为, 设平面的一个法向量为,则∴ 则评析：因为所求的二面角的交线在图中较难作出,所以用传统的方法求二面角比较困难,向量法在这里就体现出它特有的优势.2.6向量在平面其它方面的应用 1．求点关于平面的对称点的坐标. 例3.求点关于平面π:的对称点的坐标. 解：设点关于平面对称点的坐标是平面π的法向量为.则有∥且点到平面的距离与点到平面的距离相等,即.得解得,则点的对称点.2. 求平面与坐标平面围成的四面体体积. 例4.求平面与三个坐标平面所围成的四面体体积. 解：如图9,则平面与坐标系的交点与原点构成的向量为,, 图9 则四面体体积为即四面体体积评析：向量除了本文所罗列出来的相关问题之外,还有很多的解析几何问题可以利用向量来解决,所以向量在解决平面的相关问题中有着不可忽视的作用,值得我们认真学习和研究.2.7本章小结总之,向量在整个解析几何中占有非常重要的地位,因此它的应用在解决几何问题时是最基础最普遍的方法,尤其是在几何的证明问题中,使用向量的分解定理和向量的基础知识以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以将一些代数问题几何化,这样借助向量的性质可以快速明了的解决一些难题.另外,向量在推导一些几何公式时,使得问题简化了很多. 参考文献 [1]吕林根,许子道.解析几何[M]．北京：高等教育出版社,1992． [2]丘维声. 解析几何[M]．北京大学出版社,1988． [3]郑荣等.向量在几何中的应用举例[J].成都教育学院学报,20__,17 65~66.[4]李健群.谈向量方法在有关直线问题中的应用[J].数学通,20__, 6~17. 致谢走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句. 从课题选择到具体的写作过程,无不凝聚着老师的心血和汗水.老师要指导很多同学的论文,加上本来就有的教学任务和科研项目,工作量之大可想而知,她还在百忙之中抽出大量的时间来指导我们.她的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪,她的渊博的专业知识,精益求精的工作作风,严以律己、宽以待人的崇高风范,将一直是我工作、学习中的榜样.在我的毕业论文写作期间,老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,没有这样的帮助和关怀,我不会这么顺利的完成毕业论文.在此向李明老师表示深深的感谢和崇高的敬意. 同时,论文的顺利完成,离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在整个的论文写作中,各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见,在他们的帮助下,论文得以不断的完善,最终帮助我完整的写完了整个论文. 最后,也是最重要的,我要感谢我的父母,因为没有他们,就没有现在站在这里的我,是他们给以我生命,给以我大学的机会,是他们造就了今天的我.对于你们,我充满无限的感激.。
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
平面向量的实际背景及基本概念
数乘向量
• 数乘向量：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模 等于该实数乘以原向量模，其方向与原向量方向相同或相 反（当实数为负时）。
03
平面向量的性质与运 算
向量的模
向量的模的性质
• 齐次性：对于任意实数λ和向量 a，有|λa|=|λ||a|。
向量的模定义：向量的大小或长 度称为向量的模。记作|a|，其中a 为向量。
速度与加速度的合成
总结词
平面向量在速度和加速度的计算中有着重要的应用， 通过速度和加速度的合成可以更好地分析物体的运动 状态。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的重 要物理量，可以用向量表示其大小和方向。通过将速 度和加速度进行合成，可以更好地分析物体的运动状 态，例如，在曲线运动中，可以将速度分解为多个分 量，然后分别对每个分量进行分析，以确定物体在曲 线上的位置、速度和加速度。此外，在航天工程中， 也需要利用平面向量来计算卫星轨道和航天器姿态等 参数。
VS
向量的积分
向量的积分可以表示向量在某个区间内的 累积效果，其计算方法与函数的积分类似 。
THANK YOU
05
平面向量的扩展与延 伸
向量的空间几何意义
向量的长度
表示向量的大小，可以通过模长来衡 量。
向量的夹角
表示两个向量之间的角度，可以通过 向量的点积来计算。
向量的平行
当两个向量共线时，它们是平行的。
向量的垂直
当两个向量正交时，它们是垂直的。
向量的函数表示
向量的线性函数
向量的线性函数是指与向量成正比的函数， 可以表示为y=mx+b的形式。
向量的二次函数
向量的二次函数是指与向量平方成正比的函数，可 以表示为y=mx²+bx+c的形式。
高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨
在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表 示、数量积以及在实际问题中的应用。
在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算， 能够提升对向量的理解，方便问题的解决。
1.叉乘的定义【1】要确定一个向量，需要知道它的模和方向。
如图1,对于给定的向量 a 和b ，规定向量c a b ，满足： （1） 模：c a b sin （a,b ）（2） 方向：向量c 的方向垂直于向量 a 和b （向量a 和b 构成的平面），且符合 右手定则：用右手的食指表示向量 a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度 （0）到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向。
这里的 也就是a, b 。
这样的运算就叫向量的 叉乘，又叫外积、向量积。
应特别注意的是，不同于向量的数 量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。
给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。
2.叉乘的性质（1） 显然有a a 0 （2） 反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即 因为右手定则中手指3. 叉乘的几何意义b 表示以OA,OB 为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是4. 叉乘的坐标表示将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为如果能在空间直角坐标 系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得到极大简化。
要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的根基一一单位正交基底出 发。
给定一组单位正交基底 i,j,k ，为满足运算要求，应使i,j,k 符合右手定则，即建立一个右手系， 如图3。
这样 来就有i jk j ik i k j k i jj kik ji 一定要将手倒过来才能满足 0a b b a ，这是 如果将二者顺序交换，则定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，，也就使得积向量反向。
（3）易得对数乘的结合律，即 b) (a b) （4）可以证明分配律:(a b)(b c) a b a c如图2,在平面上取点O ,作 OA a,OB b, a|bsin （a,b ），由三角形面积 1公式S -absin 可知a2【解答】AB (1,0, 1 ) , AC (4,3,1)从而为叉乘的坐标表示奠定了基础。
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
(整理)向量加法运算及其几何意义.
2.2.1向量加法运算及其几何意义一、学习背景：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是解决几何问题的有力工具．向量引入后，把好多图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何的工具。
在本章中，学生学习平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
二、教材分析《普高中课程标准数学教科书（必修（4））》(人教（版）)。
第二章2.2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”，教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的一些基本概念，向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，在本单元的教学中起着承前启后的作用，它在实际生活中也有广泛的应用，正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。
三、教学目标知识目标：1、掌握向量的加法运算，理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
能力目标：1、通过向量加法的运算，培养数形结合解决问题的能力；2、通过将向量运算与数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，渗透类比的数学方法。
情感目标：通过师生、生生互动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，培养学生勇于探索的精神和合作交流的科学态度。
四、重点与难点重点：理解向量加法的意义；掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；难点：理解向量的加法法则及其几何意义．五、教学方法启发探究、小组合作式教学和多媒体辅助教学法六、教学过程1、创设情境引入课题两个数的加法，我们早已学会。
例如“1＋2=3”等，那么对于两个向量是否还能象数一样进行加法运算呢？百度搜索（中国地图）/比如大陆和台湾通航之前，从台湾到石家庄探亲,得先从台北到香港,再从香港到石家庄,这两次位移之和怎样运算？（教师在地图上一边问一边画箭头）如今通航后，我们可以直接从台湾到达石家庄，这次位移是什么？由此导入新课.2、小组探究，学习新知请思考问题1：问题1：通航之前两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？它与通航后的直接位移是什么关系？学生讨论、探究得出结论：——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．和位移与通航后的直接位移相等。
平面向量的实际背景及基本概念
( ×)
(6)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反;
( ×)
(7)相等向量一定是平行向量。
( √)
(8) a b (9) a b
( ×)
( √)
2020/3/26
例1.如图,设O是正六uuu边r u形uurABuCuDurEF的中心,分别写 出图中与向量 OA, OB,OC 相等的向量.
长度相等
A
的有15个
2020/3/26
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD
的形u状uur： uuur
uuur uuur uuuur uuuur
（1）AD = BC ； （2）AB = DC 且 AB = AD
D
C
（1）四边形ABCD是平行四边形。
A
B
D
C
A
2020/3/26
（2）四边形ABCD是菱形。
2020/3/26
历史来源
向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、
速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前
350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向
量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向
量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段
e =1
2020/3/26
3. 向量的关系：
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
rr 表示为： a = b
平行向量: 方r向相同r或相反的非零向量叫平行向量. 表示为： a // b
r a r b r c
rr 规定：零向量与任一向量平行; 记作: 0 // a
2020/3/26
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告一、课题研究的背景及意义向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容研究目标本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
高中数学_平面向量的实际背景及基本概念教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的实际背景及基本概念教学设计本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分，所需课时为1课时。
一教材分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。
向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。
本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能二学情分析在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。
三目标定位根据以上的分析，本节课的教学目标定位：1）、知识目标⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2）、能力目标培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3）、情感目标使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。
重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；四、教学过程概述：4.1 向量概念的形成4.1.1 让学生感受引入概念的必要性引子：章节引言意图：向量概念不是凭空产生的。
用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。
关于向量的研究性报告
关于向量的研究性报告向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将从向量的定义、性质、运算以及应用等方面对向量进行研究性报告。
一、向量的定义和性质向量是有大小和方向的量，在数学中以箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以用坐标表示，例如二维平面上的向量可以表示为(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
向量有以下性质：1.零向量：大小为0的向量，所有分量都为0。
2.平行向量：方向相同或相反的向量，即它们的夹角为0度或180度。
3.相等向量：大小和方向都相同的向量。
4.负向量：方向相反的向量，大小相同。
5.单位向量：大小为1的向量，常用于表示方向。
6.平行四边形法则：两个向量相加的结果等于以它们为邻边的平行四边形的对角线。
二、向量的运算1.向量的加法：向量加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
向量的加法可以通过分量之间的相加得到。
2.向量的数乘：向量与一个标量相乘，可以通过分量与标量的乘积得到。
数乘后的向量大小和原向量的大小成比例，方向不变。
3.向量的点乘：两个向量的点乘等于它们对应分量的乘积之和。
点乘有很多应用，例如计算两个向量之间的夹角、计算向量在其中一方向上的投影等。
4.向量的叉乘：两个三维向量的叉乘等于一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
三、向量的应用向量在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。
1.物理学中，向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量，例如位移矢量、速度矢量等。
2.工程学中，向量用于表示力、电场、磁场等物理量，例如力矢量、电场强度矢量等。
3.计算机科学中，向量用于图形学、机器学习等领域，例如表示图像的像素点、表示文本的词向量等。
4.向量还可以用于解决几何问题，例如求解线段的相交、计算多边形的面积等。
综上所述，向量是线性代数中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
向量运算的背景研究
向量运算的背景研究
词向量表示已经成为自然语言处理领域最流行的技术之一，随着深度
神经网络的发展，它在自然语言处理过程中的应用范围已经发生了很大的
变化。
词向量技术源于统计机器翻译，它被用来表示词汇和文本片段的语义
相关性。
它通过将每个单词的字典释义转换成一个定长的矢量来表示。
词
向量可以用来建立单词和文档的关系，它们可以确定文本文档间的相似性，以及执行其他的文本处理任务，如情感分析和聊天机器人。
词向量可以由不同的模型计算，如上下文窗口模型，预测模型，神经
网络模型，SVD（奇异值分解），PCA（主成分分析），和其他机器学习技术。
上下文窗口模型是一种统计模型，它通过分析单词在文本中的上下文
来计算词向量。
它会分析一个词在文本中出现的上下文，使用一种统计方法，例如最大似然估计，来寻找上下文中的词与该词具有最强相关性的词。
然后，它将关联的词的概率转换为一个向量，用作与原始词相关的词的表示，这个向量的大小取决于上述上下文词的概率。
这种技术已经被许多研究者使用，以优化自然语言处理系统的性能。
向量卷积运算公式
向量卷积运算公式是一个数学术语，它描述了两个向量在空间中的重叠部分。
下面是一篇关于向量卷积运算公式的文章，它主要包括以下内容：1. 向量卷积运算的定义和背景2. 向量卷积运算的公式及其推导过程3. 向量卷积运算的特性和应用4. 总结1. 向量卷积运算的定义和背景向量卷积运算也称为外积或叉积，是数学中的一种重要运算。
在三维空间中，向量卷积运算可以用公式表示为：[V \* W] = Vx W + Vy W + Vz W其中，V和W是两个向量，x、y、z分别是它们的分量。
向量卷积运算可以描述两个向量在空间中的重叠部分。
在实际应用中，向量卷积运算常常用于描述物理现象中的力、速度、加速度等物理量之间的关系。
2. 向量卷积运算的公式及其推导过程向量卷积运算的公式可以通过以下方式推导：设V和W是两个向量，x、y、z分别是它们的分量，则V和W的叉积可以表示为：Vx W = (V1, V2, ..., Vn) x (W1, W2, ..., Wn) = (a1b2 - a2b1, a2b1 - a1b2, ..., an-1bn - ban-1, bn-1an - ban-1, ..., an-1b1 - a1bn)其中，a1、a2、...、an-1、an是V和W的分量，b1、b2、...、bn-1、bn是它们的交叉分量。
根据叉积的定义，可以得出V和W的叉积是一个n维向量，即一个由n个分量组成的向量。
因此，向量卷积运算的公式可以表示为：[V \* W] = Vx W = (V1, V2, ..., Vn) x (W1, W2, ..., Wn) = (a1b2 - a2b1, a2b1 - a1b2, ..., an-1bn -ban-1, bn-1an - ban-1, ..., an-1b1 - a1bn)3. 向量卷积运算的特性和应用向量卷积运算具有以下特性：（1）可交换性：V和W的卷积等于W和V的卷积。
即：[V \* W] = [W \* V]。
向量概念的提出
向量概念的提出向量概念是数学中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理和工程等领域。
向量的提出源于人们对于空间中变化的观察和研究需求。
向量最早的概念可以追溯到古代希腊数学家欧几里得（Euclid），他在《几何原本》中提出了点、线、面的概念，并用线段来表示物体或几何图形。
然而，线段仅仅能表示方向与长度，无法表达位移，并且只能在平面内进行研究。
而当人们开始研究力学、力学和力学时，仅仅用线段表示受力或位移的概念是不够的。
17世纪的英国数学家约翰·沃拉斯顿（John Wallis）首次引入了“向量”的概念。
他在研究力学时，提出了一种表示位移的新概念，即有大小、方向的量。
他将这个量称为“位移量”，并用一个箭头来表示。
然而，向量的概念在当时并没有得到广泛的认可和应用。
直到18世纪，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）和法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）开始系统地研究向量的性质和应用，才使得向量成为数学的重要分支。
欧拉和拉普拉斯在研究光学、电磁学和力学等领域时，发现用一个箭头表示位移量是非常方便的。
他们将位移量的概念推广到了一般的场景中，即位移不仅可以表示空间中的移动，还可以表示其他物理量的改变，比如速度、加速度等等。
欧拉和拉普拉斯还提出了向量的运算法则，比如向量的加法和数乘。
他们发现向量的加法满足交换律和结合律，向量的数乘满足分配律。
这些法则使得向量可以进行精确计算，并且方便了对物体运动和力学性质的研究。
19世纪的数学家哈姆农（William Rowan Hamilton）和吉布斯（J. Willard Gibbs）进一步发展了欧拉和拉普拉斯的向量理论。
他们引入了向量的分量表示法和坐标系的概念，使得向量可以通过坐标来进行表达和计算。
在20世纪，向量的概念得到了广泛的应用和发展。
特别是在矩阵论和线性代数的发展中，向量的概念成为了理解和解决线性方程组、矩阵运算和线性变换等问题的重要工具。
理解向量运算
理解向量运算向量运算是线性代数的重要内容，是研究向量及其运算法则的一门数学理论。
向量运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等，这些运算法则使得向量能够进行综合运算和相互转化。
本文将详细介绍向量运算的概念、运算法则、性质以及其在实际问题解决中的应用。
首先，我们来了解一下向量的基本概念。
向量是有方向和大小的量，在几何上用尖括号括起来表示。
例如，向量a可以表示为a=（a1，a2，a3），其中a1、a2和a3表示向量a在坐标系中的三个分量。
向量可以进行加法和减法运算，使得我们可以对向量进行综合的计算和分析。
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a=(a1，a2，a3)和b=(b1，b2，b3)，则它们的和可以表示为：a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)。
向量的减法类似，只是将被减向量的分量取相反数后再相加。
例如，a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)。
数量乘法是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。
标量是一个实数，可以是正数、负数或零。
当标量为正数时，乘积的向量方向与原向量相同；当标量为负数时，乘积的向量方向与原向量相反；当标量为零时，乘积的向量为零向量。
例如，若有向量a=(a1，a2，a3)和标量k，则ka=(ka1，ka2，ka3)。
点乘也叫数量积或内积，是两个向量的乘积再相加，得到一个标量。
点乘的计算公式为：a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3。
点乘具有交换律，即a·b=b·a，而且还有分配律，即a·(b+c)=a·b+a·c。
点乘的几何意义是，若两个向量的夹角为θ，则其点乘的结果为|a||b|*cosθ，其中|a|和|b|分别代表向量a和向量b的模长。
叉乘也叫向量积或外积，是两个向量的乘积得到一个新的向量。
叉乘的计算公式为：a×b=(a2*b3-a3*b2，a3*b1-a1*b3，a1*b2-a2*b1)。
高数中的向量与矩阵运算研究
高数中的向量与矩阵运算研究在高等数学中，向量与矩阵运算是重要的概念和方法，广泛应用于许多领域，包括物理学、工程学和计算机科学等。
向量和矩阵可以用于描述和解决各种实际问题，因此对它们的研究具有重要的意义。
本文将探讨高数中的向量与矩阵运算，包括定义、基本性质和应用。
向量是具有大小和方向的量，可以用于表示力、速度、位移等物理量。
在高数中，向量通常用箭头表示，例如：AB→。
向量可以进行加法和数乘操作，加法将两个向量相加得到一个新的向量，数乘将向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
向量的加法和数乘满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
向量之间还有内积和外积运算，内积表示两个向量的夹角余弦值乘以向量模的乘积，外积表示两个向量模的乘积乘以它们的夹角正弦值。
这些运算在描述和解决物理问题中起着重要的作用。
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性方程组、线性变换、坐标变换等数学问题。
矩阵也可以进行加法和数乘操作，加法将两个矩阵分别对应元素相加得到一个新的矩阵，数乘将矩阵中的每个元素乘以一个标量得到一个新的矩阵。
矩阵的加法和数乘满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
矩阵还可以进行乘法运算，乘法将一个矩阵的行与另一个矩阵的对应列的元素乘积求和得到一个新的矩阵。
矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。
矩阵的乘法在线性代数和多元微积分中有广泛的应用。
向量和矩阵运算在物理学和工程学中有广泛应用。
例如，在力学中，我们可以使用向量运算描述力的合成、力矩的计算和刚体平衡等问题；在电磁学中，我们可以使用矩阵运算描述电路的分析和电磁波传播等问题。
此外，向量和矩阵运算还在计算机科学和数据科学中扮演重要角色。
在计算机图形学中，我们可以使用矩阵进行坐标变换和图像处理；在机器学习和人工智能中，我们可以使用向量和矩阵进行数据建模和处理。
除了基本的向量和矩阵运算，高数中还有一些重要的概念和方法。
例如，行列式是一个方阵的标量值，用于判断矩阵的线性相关性和求解线性方程组；特征值和特征向量是描述矩阵线性变换的重要概念，用于分析矩阵的性质和求解特定问题；迹是一个方阵的对角元素之和，用于度量矩阵在变换中的不变性。
向量课题研究报告
向量课题研究报告1. 引言向量是线性代数中的重要概念，在数学和科学领域有着广泛的应用。
本研究报告将讨论向量的基本定义、向量的代数运算、向量的几何表示以及向量的应用等方面的内容。
通过对向量的深入研究，可以帮助我们更好地理解和应用向量在不同领域中的作用。
2. 向量的基本定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量可以用有序的数对(x,y)或有序的三元组(x,y,z)来表示。
向量通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小称为向量的模，向量的方向可以通过与坐标轴的夹角来表示。
3. 向量的代数运算向量的代数运算包括向量的加法和数乘。
向量的加法是将对应位置的元素相加得到新的向量，数乘是将向量的每个元素与一个实数相乘得到新的向量。
向量的加法和数乘满足一些基本性质，例如交换律、结合律和分配律等。
这些性质使得我们能够方便地进行向量的运算。
4. 向量的几何表示向量的几何表示是将向量表示为有向线段。
有向线段具有长度和方向，与向量的概念相符。
向量的起点可以选择为坐标原点，终点则表示向量的方向和大小。
几何表示的方法使得我们可以直观地理解和可视化向量。
5. 向量的应用向量在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，向量用来表示力、速度和加速度等物理量；在计算机图形学中，向量用来表示点、方向和颜色等属性；在经济学中，向量用来表示需求、供应和收益等因素。
向量的应用使得我们能够通过运用向量的概念和技巧来解决实际问题。
6. 结论通过本研究报告对向量进行了全面的介绍和讨论。
向量作为线性代数的基础概念，在数学和科学领域有着重要的作用。
本报告从向量的基本定义、向量的代数运算、向量的几何表示以及向量的应用等方面对向量进行了详细分析。
通过研究向量，我们能够更好地理解和应用向量在各个领域中的实际问题。
希望本报告能够为读者提供有关向量的基础知识和应用方法，以便将来的研究和学习中能够更深入地探索向量的奥秘。
电路关于向量法的研究
内蒙古师范大学本科生学年论文题目：相量法在电路中的应用分析学号：20101106316姓名：王菲菲专业：电子信息科学与技术指导教师：张珏2011年5月15日物理与电子信息学院学年论文相量法在电路中的应用分析王菲菲（学号：20101106316）（物理与电子信息学院 10级电子信息科学与技术班,内蒙古呼和浩特 010022）指导老师：张珏摘要：在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。
相量分析法就是为了简化正弦稳态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。
相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路。
关键词：相量分析法；欧姆定律；复功率；复数；正弦中图分类号：TM131.4相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。
1 复数的概念1.1虚数单位参见图1给出的直角坐标系复数平面。
在这个复数平面上定义虚数单位为虚数单位j又叫做90°旋转因子。
向量法在电路中的应用分析图1在复平面上显示复数1.2复数的表达式一个复数Z有以下四种表达式：1.2.1 直角坐标式(代数式)式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图1所示。
1.2.2 三角函数式在图1中，复数Z与x轴的夹角为θ，因此可以写成式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即：θ叫作复数Z的辐角，从图1中可以看出复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。
1.2.3 指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即物理与电子信息学院学年论文1.2.4 极坐标式 (相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
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向量运算的背景研究**学院数学与应用数学摘要：向量使得数学问题思路清晰明确,运算简单,降低思维转换过程的难度,对于解决数学问题及日常生活中实际问题具有重要的应用价值。
向量的教学价值在于不仅使公式证明过程更容易理解和接受,而且会使学生体会到向量的工具性,也体会到知识之间的联系,培养学生的数学的整体性意识。
本文从介绍向量的起源开入手，深度剖析向量运算的应用及其价值。
关键词：向量；运算；应用；价值1 引言向量思想的萌芽可以追溯到古希腊时期。
从16世纪到19世纪,随着对力学问题、位置几何以及复数的几何表示等问题的深入研究,向量思想得到进一步发展并逐渐走向成熟。
从向量理论产生的三条线索入手,通过对这个理论发展过程中众多数学物理学家的工作的考察,揭示了向量理论产生与发展的全过程[1]。
向量有着丰富的现实背景和物理背景，而且是刻画位置的重要数学工具,所以在生产实践中有着广泛的应用,在可运动机器人设计与操控、在天气预报中测量风向和风速、卫星定位、飞船设计中都有着广泛的应用。
贯穿于物理学的矢量，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等,都是数学中向量的现实原型。
例如，力的合成与分解是向量的加减运算,物体受力做功是向量的数乘运算,已知力与力臂求力矩、磁场中通电导体所受的安培力等运算是向量的外积,即叉乘[2]。
本文讨论的是基于向量的发展历史，向量运算在多方面应用的研究和其独特价值性。
2 向量的认识2.1 向量的历史发展向量最初被应用于物理学,物理量中的力、速度、位移等都是向量。
古希腊学者亚里士多德(Aristotle,公元前389—公元前322)已经知道了力可以表示成向量,英国科学家牛顿(Isaac Newton,1642—1727)最先使用有向线段表示向量。
向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起。
18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数bia ,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。
人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学。
19世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量。
电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析。
三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。
他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积。
并把向量代数推广到变向量的向量微积分。
从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具[2]。
在高等数学中空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象。
在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的。
这样线性代数方法被应用到广阔的自然科学领域中去了。
因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用[2]。
2.2 向量的用途向量这一概念是从物理学中抽象出来的，作为沟通数和形的重要工具，向量是现代数学中的重要概念之一。
向量是既有大小又有方向的量，要用两个实数、三个实数甚至更多的实数才能确切地表达，大小反映了数的特征，方向反映了形的特征，因此它是集数形于一身的概念。
它能被广泛应用是因为它良好的分析方法、完整结构和运算性质。
图形的直观性与代数推理的严密性的结合使它在解决许多研究和生活中产生的问题时能发挥特殊的作用。
除了在数学方面的应用，它也在解决物理、生活和科技等方面问题上也发挥了很大的作用，例如在物理上，安培力、右手定则等需要应用向量的叉乘；科技上，机器人的设计，卫星定位等方面的问题都可以通过向量进行处理；向量还可以用于计算坐船时间等生活问题。
本文在接下来的论述中会做详细说明。
3 向量运算的应用3.1 向量运算在物理中的应用向量是源于物理是从物理学中抽象出来的数学概念，同时向量在物理学中也有的广泛应用[3]。
实质上向量概念源于物理中的矢量,物理中的力、位移、速度等都是向量,功是向量的数量积,力矩是向量的向量积,从而使得数学向量与物理学建立了有机的内在联系,物理中具有矢量意义的问题也可以转化为数学向量问题来解决。
约公元前350年,古希腊学者就知道了向量可以表示力、两个力的组合可用向量中的平行四边形法则[4]。
例如：刚体以等角速度w 绕l 轴旋转，试表示刚上一点M 的线速度。
解:设点M 到旋转轴l 的距离为a ，再在l 轴上任取一点O 作向量OM r =，并以θ表示l 与 的夹角，那么 。
设线速度为 ，那么由物理学可知， 垂直于 与，且 的指向是 、 、 符合右手定则，如图1所示，因此有 。
此道物理题涉及向量的向量积概念和运算，向量的向量积仍然是向量。
高中物理中的安培力与洛仑兹力也是向量的向量积,安培力B l I F ∆⨯∆=∆，洛伦兹力)(B v q f ⨯=，而向量积的模实质表示以a 与b 为邻边和平行四边形的面积，如图2所示。
θsin r a =r v θsin r w a w v ==v w r v w r vr w v ⨯=图1 图2向量应用于物理时，用的是数学模型方法,把物理中的矢量视为数学中的向量,即把物理问题用数学语言加以抽象概括，再从数学角度来反映物理问题，得出关于物理问题的数学关系式，从而建立了相应的数学模型它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系[3]。
3.2 在生活方面的应用向量在生活方面的应用本质就是将应用题中的理论问题提取出来，建立数学模型，再应用向量解决问题。
大多是和坐标平面的整合，这时关键是确定点的坐标，再确定向量的坐标。
从而达到向量关系与坐标关系的互译，架起了生活与向量之间的桥梁。
把向量的基本思想应用到实际生活中，可使我们能够更加直观地通过向量视角观察生活，也让向量更好地为我们服务，解决更多的实际生活问题。
接下来，本文会在几个方面举例说明向量在生活中的应用。
3.2.1 在力的平衡的实际问题上的应用力学是物理学当中重要组成部分，同时力也是矢量，力的合成可以转化成向量的和，因此可以根据向量的运算来求[5]。
下面介绍向量在力的平衡的实际问题上的应用。
例1 帆船是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动。
1900年第2届奥运会开始列为正式比赛项目, 帆船的最大动力来源是“伯努利效应”。
如果一帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以速度20km/h 行驶，而此时水的流向是正东，流速为20km/h 。
若不考虑其它因素，求帆船的速度与方向。
分析：帆船水中行驶，受到两个速度影响：“伯努利效应”产生力的效果为使船向北偏东30°，速度是20km/h ，及水的流向是正东，流速为20km/h 。
这两个速度的和就为帆船行驶的速度。
根据题意，建立数学模型，运用向量的坐标运算来解决问题。
解：如图建立直角坐标系，“伯努利效应”的速度为201=V km/h ，水的流速为202=V km/h ，帆船行驶的速度为V ,则21V V V +=。
由题意可得向量1V 的坐标为)60sin 20,60cos 20(︒︒即)10,10(1=V ，向量2V 的坐标为)0,20(2=V 。
则帆船行驶速度的坐标为)10,30()0,20()10,10(21=+=+=V V V h km V /203103022≈+=∴，α为锐角 ︒=∴30α∴帆船向北偏东行驶.答: 帆船向北偏东60°行驶,速度为203 km/h 。
在利用向量的坐标运算解决生活中有关问题时,先根据情况建立向量模型,利用直角坐标系,得到向量的坐标,再按照向量坐标运算法则,得出答案,解决实际问题。
3.2.2 在位移的实际问题中应用在物理学中我们就学到了位移和速度，位移和速度都是矢量，即有大小也有方向，因此可以将该问题转化为向量问题，然后根据向量的知识求解，下面介绍向量在位移与速度上的应用[5]。
例2 以某城市的人民广场的中心为原点建立直角坐标系，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，每个单位表示实际路程50米，某人步行从广场入口A 出发，始终保持同一方向匀速前进，5分钟时路过火车站C ，10分钟后到达博物馆B ，求：（1）此人的位移向量（说明此人位移的距离和方向）；（2）此人行走的速度向量； （3）火车站C 点相对于广场中心所处的位移。
分析：位移向量等于终点坐标减去起点坐标则可得出；速度等于位移除以时间即可得出；C 处根据向量的坐标运算和三角函数的公式求解。
解：（1）5),4,3()0,1()4,2(=-=--=AB AB ，即此人的位移距离为250米。
（2） （3） ，即有 ， 即火车站C 处在广场中心正北方向。
本题通过向量来求解速度与位移，体现出的向量在求解该题较传统方法有很大的优越性。
3.2.3 在生活其他方面的应用向量数量积是向量运算的一种，贯穿了整个向量内容，在生活中也有相关应用，下面来介绍一下生活中是如何应用到向量的数量积的[5]。
例3 某同学购买了x 支A 型笔，y 支B 型笔，A 型笔的价格为m 元，B 型笔的价格为n 元。
把购买A 、B 型笔的数量x 、y 构成数量向量),(y x a =，把价格m 、n 构成价格向量),(n m b =。
则向量a 与b 的数量积表示的意义是_____________。
33tan =α ），（小时，分钟161244115-====AB V t )34,11211215-====（小时，分钟V AC t )34,0(C )34,0(=OC解：此题根据购卖A、B两种型号的笔的数量与价格构成了一个二元向量a，b。
根据向量的数量积的运算公式可得yn=∙。
而xm表示购买A型笔所a+bxm用的钱数；yn表示购买B型笔所用的钱数。
所以向量a与b的数量积表示的意义是购买两种笔所用的总钱数。
本题把生活中的平常事件转化为了向量问题,运用向量的数量积一下子解决了购买所用的总钱数。
利用这种方法，我们还可以推广到多种商品，构建多元向量，就可以有序快捷得到购买时所用的总钱数。
3.3 在科技方面的应用向量在科技方面的应用十分广泛，利用已知的向量研究的结果将其作为现代技术当中的一种方法，为人类的生活提供便利。
3.3.1 向量场在机器人设计方面的应用规划出一条理想的路径并为机器人确定一个合理的速度值是微型足球机器人策略算法研究中的两个关键问题。
向量场法对无碰路径规划及速度优化问题进行了分析。
建立了轮式足球机器人小车的运动学模型，并深入研究了小车的运动性能问题。
根据所得运动学迭代方程及向量场的特点，提出了一种速度优化设定方法。