D4_3分部积分法;D4_4有理函数积分
微积分知识点简单总结
微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。
3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。
微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。
微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。
4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。
不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。
不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。
5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。
定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。
第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。
第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。
微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。
微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。
有理函数的积分积分表的使用
一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学知识点总结【4篇】知识产业需要了解市场和消费者的需求和趋势，拥抱变革和技术进步。
知识的应用和创新需要进行有效的市场调查和市场分析，了解商业机会和风险。
下面就让小编给大家带来高等数学知识点总结，希望大家喜欢!高等数学知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x) =g(x),则 =()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 x 兀 p= 兀 12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) = =M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学知识点总结2A.Function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换B.Limit and Continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理C.Derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数(8)参数函数求导数和极坐标求导数D.Application of Derivative导数的应用(1)微分中值定理(D-MVT)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值E.Indefinite Integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)U换元法求不定积分(4)分部积分法求不定积分(5)待定系数法求不定积分F.Definite Integral 定积分(1)Riemann Sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质(3)Accumulation function求导数(4)反常函数求积分H.Application of Integral定积分的应用(1)积分中值定理(I-MVT)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用I.Differential Equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场J.Infinite Series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nx x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
《高等数学CI》课程教学大纲
课堂讲授/
小组讨论
习题1.10：
1、2、3、5；
习题2.1：
6、14、15、16、17、20；习题2.2：
6（偶数）、7（奇数）、8（1）（2）（3）
8
第二章导数与微分 4、隐函数与参数方程求导；5、函数的微分；第二章习题课；
6
重点：1、隐函数与参数方程求导 2、函数的微分；
3、教学方式可选：课堂讲授/小组讨论/实验/实训
4、若课程无理论教学环节或无实践教学环节，可将相应的教学进度表删掉。
教学参考资料：（1） 《高等数学习题全解指南》，同济大学应用数学系编，高等教育出版社。 (2)《高等数学》，曾金平、张忠志主编，湖北科技出版社，2015年，第2版。
课程简介：高等数学课程的核心是微积分理论，它是现代科学的理论基础。当前，数学正日益成为自然科学和社会科学研究中常用的重要手段和工具。同时，高等数学课程在理工类专业的其它课程中应用非常广泛，因而高等数学课程是我校理工本科各专业学生的一门重要的基础理论课程，该课程是培养学生理性思维的重要载体，是训练学生熟练掌握数学工具的主要手段。因此，学好这门课程对今后的发展是至关重要的。本课程以微积分理论为核心内容，以函数为基本研究对象，以极限作为贯穿微积分理论始终的基本思想，通过解决求切线斜率和求瞬时速度等来自不同学科的问题引入导数这一研究函数的基本工具，再从求曲边梯形面积和求变速运动路程等不同问题的处理中抽象出了积分。以牛顿-莱布尼兹公式为桥梁，微分与积分这对矛盾得到了高度的统一。
6
重点：1、初等函数的概念2、数列与函数的极限3、极限运算法则；
难点：1、极限的定义2、极限的性质3、无穷小与无穷大的概念。
课堂讲授
习题1.1：
第七讲：分部积分法,有理函数积分法
x 6 x 3 x 6
例3 求积分 x arctan xdx .
x2 解 令 u = arctan x , xdx = d = dv 22 2 x x ∫ x arctan xdx = 2 arctan x ∫ 2 d (arctan x ) x2 x2 1 dx = arctan x ∫ 2 2 2 1+ x x2 1 1 )dx = arctan x ∫ (1 2 2 2 1+ x x2 1 = arctan x ( x arctan x ) + C . 2 2
∫ uv′dx = uv ∫ u′vdx, ∫ udv = uv ∫ vdu.
分部积分公式
例1 求积分 x cos xdx .
1 2 解（一） 令 u = cos x , xdx = dx = dv 2 2 2 x x ∫ x cos xdx = 2 cos x + ∫ 2 sin xdx 显然， u 选择不当，积分更难进行. 显然， , v ′ 选择不当，积分更难进行 解（二） 令 u = x , cos xdx = d sin x = dv
第七讲 不定积分的分布积分法/ 不定积分的分布积分法 有理函数积分法
1 分部积分法 2 几类特殊函数的不定积分
一、基本内容
xe x dx = ? 问题 ∫
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数 u = u( x ) 和 v = v ( x ) 具有连续导数 具有连续导数, ′ = (uv )′ u′v , (uv )′ = u′v + uv′, uv
分部积分法
a 2t 2 1 C
注意以提问的方式 互动
原式
1 a2
x2 a2 C a2 x
例 6. 求
( x 1)
dx
3
x2 2x
.
2
解：原式
( x 1)
t
dx
3
( x 1) 2 1
dt
t3 1 ( 2 ) d t 1 1 t t2
板书
tan x ln cos x tan x x C
例 求 e
x
dx .
解：令 x t , x t 2 , 则 dx 2 t d t ，
t 原式 2 t e d t 2(t e t e t ) C 2 e
板书
x
( x 1) C
说明：分部积分题目的类型： 1) 直接分部化简积分 ； 2) 分部产生循环式，由此解出积分式， (注意: 两次分部选择的 u，v 函数类型不变，解出积分后加 C ) 3) 对含自然数 n 的积分，通过分部积分建立递推公式。 练习: 15’ 难点
积分方法
二、第二换元法 2. 倒变换 例 4. 求
a2 x2 dx . x4
20’ PPT 放映与板书分 析相结合
1 1 解：令 x ，则 dx 2 d t ， t t
a2 1 t 2 1 d t (a 2t 2 1) 1 2 t dt 2 1 t t4
1 2a 2
15’
1 d x. x3 x
启发式教学法
— 3 —
理论与实验课教案续页
基 本 内 容 当被积函数表达式分母中含有 ax bx c 时，可先配方，再用
D4.3 分部积分法
xn ln xd x
xn
arccos arctan arc cot
x x x
d
x
高等数学
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例4 求 ex sin x dx.
u dv uv v du
解: ex sin x d x sin x dex
ex sin x eex xcdosixn dx x
dx
1 2
arctan
x
d
x2
1 2
x2
arctan
x
1 2
1x2xd2xa2rcdtxan x
1 2
x2
arctan
x
1 2
(1
1 1 x2
)
d
x
1 2
x2
arctan
x
1 2
(x
arctan
x)
C
1 2
(
x2
1)
arctan
x
12xarcCsin
x
注:
xsin x cos x C
注:
(1) v 容易求得 ;
比
容易计算 .
高等数学
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二、应用举例
例1 求 x2exdx
u dv uv v du
解: x2exdx x2dex x2ex exdx2
x2ex 2 xexdx x2ex 2 xdex
后 3. 题目类型 :
分部化简 ; 循环解出;
高数：分部积分法,有理函数积分法
求积分
1 x(x 1)2dx.
解
x(
1 x
1)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
lnt (tsa t) e C n c lnx ( 1x2)C
xa1rcxt2axdnx
1x2arctxalnn x ( 1x2)C .
例 8 已 知 f( x ) 的 一 个 原 函 数 是 e x 2 ,求 x f( x ) d . x
解 xf(x)dxxd(fx)x(fx)f(x)d,x
M
1
2(n1)(t2a2)n1b (t2 a2)ndt.
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
2.2 三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sx i,n cox)s
sin x2sin xcoxs 2 tan 2 2 sec 2
f(x)dx f(x),f(x)d xex2C ,
两边同时对 x求导, 得 f(x)2x ex2,
xf(x)dxx(fx)f(x)dx
2x2ex2ex2 C.
二、小结
合理选择 u,v，正确使用分部积
分公式
u vd xu vu vdx
其 中 M i,N i都 是 常 数 (i 1 ,2 , ,k ).
特殊地：k1,
分解后为
Mx N x2 px
《高等数学Ⅰ》教学大纲
《高等数学Ⅰ》课程教学大纲一、课程简介课程名称：高等数学Ⅰ课程编号：4660123课程类别：通识课学分： 6学时：96授课系：基础部先修课程初等数学考核方式及各环节所占比例考试课：期末成绩占70%，平时成绩占30%课程概要高等数学是高等工科院校最重要的基础课程之一，又是重要的工具课．是培养学生理性思维和计算的重要载体，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。
通过本课程的教学，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和理解抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。
为本科生的后继课程及各专业课程打下必要的数学基础。
教学目的及要求通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象概括问题能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，使学生具有比较熟悉的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
教材及主要参考书本课程选用同济大学数学系主编的《高等数学》（第六版，2007年）一书为教材；教学参考书选用：同济大学数学系主编的《高等数学习题全解指南》；二、课程章节主要内容及学时分配第一章函数与极限（讲课 18 学时，实验学时）内容：映射与函数；数列的极限；函数的极限；极限的运算；无穷大和无穷小；函数的连续性重点：用两个重要极限求极限。
掌握：函数的概念和的性质；基本初等函数的性质及其图形；极限四则运算法则；用两个重要极限求极限；无穷小的比较；函数连续的概念；会判断间断点类型了解：反函数和复合函数的概念；极限的ε-N，ε-δ定义；两个极限存在准则（夹挤准则，单调有界准则），无穷小、无穷大的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
内容：导数的概念与求导法则；高阶导数；隐函数及参数方程所确定函数的导数；函数的微分重点：初等函数的一、二阶导数掌握：导数和微分的概念；导数和微分的运算法则和导数的基本公式；初等函数的一、二阶导数；隐函数和参量方程确定的函数一、二阶导数了解：导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；能用导数描述一些物理量；高阶导数的概念第三章微分中值定理与导数的应用（讲课 14 学时，实验学时）内容：微分中值定理；罗必塔（L′Hospital）法则；泰勒公式；函数的单调性与曲线的凹凸性；函数的极值与最值；函数图形的描绘重点：函数的极值、增减性、罗必塔（L′Hospital）法则掌握：罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理；罗必塔（L′Hospital）法则；函数的极值概念及求法；简单的最大值和最小值的应用问题了解：柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）公式；函数图形的凹凸性；函数图形的拐点；描绘函数图形第四章不定积分（讲课 12 学时，实验学时）内容：不定积分的概念与性质；不定积分的换元积分与分部积分法；有理函数的积分重点：不定积分的换元法和分部积分法掌握：不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式；不定积分的换元法和分部积分法了解：较简单的有理函数的积分。
不定积分有理函数拆分原则
不定积分有理函数拆分原则不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解导数逆运算的一种方法，也被称为反导函数。
有理函数是由多项式函数与有理式函数相除得到的函数，它在实际问题中有着广泛的应用。
在进行不定积分的时候，有时会遇到复杂的有理函数。
为了简化计算过程，可以利用有理函数拆分原则将复杂的有理函数拆分成更简单的部分进行处理。
有理函数拆分原则是基于代数的思想，它将一个复杂的有理函数分解成多个简单的有理函数之和。
通过拆分，我们可以更容易地对每个简单的有理函数进行不定积分。
拆分的基本思想是将有理函数的分子进行因式分解，然后将每个因子与分母进行部分分式分解。
这样，原来的有理函数就被分解成多个部分分式的和。
当进行部分分式分解时，我们需要根据分母的因式类型来选择适当的拆分形式。
常见的分母类型包括线性因式、重根因式和二次因式。
对于线性因式，我们可以将其拆分成一个常数和一个一次多项式。
例如，对于分母为(x-a)的情况，我们可以将其拆分成A/(x-a)的形式。
对于重根因式，我们可以将其拆分成多个一次因式之和。
例如，对于分母为(x-a)^2的情况，我们可以将其拆分成A/(x-a) + B/(x-a)^2的形式。
对于二次因式，我们可以将其拆分成两个一次因式之和。
例如，对于分母为(x^2+bx+c)的情况，我们可以将其拆分成(Ax+B)/(x^2+bx+c)的形式。
通过适当选择和求解未知系数，我们可以将有理函数拆分成多个部分分式的和。
然后，我们就可以对每个部分分式进行不定积分。
不定积分有理函数拆分原则的应用可以帮助我们更好地处理复杂的有理函数，简化计算过程，提高解题效率。
同时，它也为我们理解和掌握不定积分提供了一个重要的思维工具。
需要注意的是，在进行不定积分时，我们还需要考虑常数项的影响。
在进行部分分式分解后，每一项的不定积分会包含一个常数项。
我们需要根据具体问题确定这些常数项的取值，以得到最终的结果。
有些有理函数可能无法直接进行拆分，此时我们可以通过其他方法来求解其不定积分，如换元积分法、分部积分法等。
D4_3 不定积分的概念与性质
e x e x sh x 2 e x e x ch x 2
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例3.
计算不定积分：
4 3
x3
dx x
.
解: 原式 =
x
x 3 dx C 4 1 3
4 1
3x
1
3
C ;
例4. 计算不定积分： sin x cos x d x . 2 2
x(t ) (g t v0 )d t 1 g t 2 v0t C2 2
x t
1 2
g t v0t x0 .
2
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4. 3. 3 基本积分表 (P192)
(1)
k dx k x C ;
（k 为常数）
1 1 x C ; (2) x dx 1
质点抛出时刻为： 此刻质点位于
x0 处， 初速为：
x
设 t 时刻质点所在位置为：
x x t 则
dx v t dt
(运动速度) 再由此求 (加速度) 先由此求
x x t
x(t )
d x dv g 2 dt dt
2
x0 x 0
v(t )
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o
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4. 3. 1 原函数的概念
定 义 ：设函数 f x 在区间 I 里有定义， 如果函数 F x
满足：
F x f x
或
d F x f x d x, x I
则称函数
F x 为函数 f x 在区间 I 里的一个原函数。
例如： sin x cos x ,
不定积分中分部积分法的教学探讨——以经管类学生为例
S t a n d a r d C l a s s r o o m /标准课堂225（云南师范大学文理学院，云南 昆明 650222）摘要：不定积分是微积分中的重要内容，分部积分法是求解不定积分的一种重要方法。
《微积分》是经管类学生的必修课，一般安排在大一学年。
大一经管类学生数学基础薄弱，对不定积分的学习有一定的困难。
文章根据大一学生的学习特点，对不同的班级实施不同的教学设计。
通过对比不同班级的教学效果，总结出较能使学生掌握的教学设计，使经管类学生能更好地掌握分部积分法。
关键词：微积分；不定积分；分部积分法大学数学是大自然的基本语言，是应用模式探索世界物质机理的主要手段，对于大学非数学专业的学生而言，大学数学的教育，其意义远远不仅仅是学习一种专业的工具而已。
《微积分》这门课，主要针对理工类学生和经管类学生开设，一般安排在大一学年教学。
大一新生刚从高中步入大学，好多学习方法仍在使用学习高中知识的方法，即主要用死记硬背、代公式来达到掌握知识点的目的。
因此，在设计教学设计时要根据学生的这一学习特点来设计数学教学。
另，经管类学生中有部分来自文科班，本身在高中阶段对数学的要求就没有理科生要求那么严格，所以基础相对来说要薄弱一些，这就要求教学设计时要尽量兼顾大部分同学的学习水平。
不定积分是《微积分》中的重要内容，即在已知函数求导问题的基础上考虑其逆问题：把已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。
这种由导数或微分求原函数的逆运算称为不定积分。
故研究不定积分的解法就变得至关重要。
不定积分的解法分为直接积分法、第一换元法、第二换元法、分部积分法、有理函数积分法、无理函数积分法。
直接积分法即直接利用基本积分公式，直接求出不定积分的方法。
但能直接用直接积分法计算的不定积分是十分有限的；换元积分法是将复合函数的求导法则反过来用于不定积分，通过适当的变量替换（即换元），把某些不定积分换为可利用基本积分公式的形式，再计算出不定积分；有些积分前两种方法无法解决，得使用分部积分法。
不定积分方法
不定积分方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数原函数的过程。
在实际应用中，不定积分方法被广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍不定积分的基本概念、常见的不定积分方法以及一些常见的积分技巧。
首先，我们来了解一下不定积分的基本概念。
不定积分是求函数原函数的过程，即给定函数f(x)，求出满足F'(x)=f(x)的函数F(x)。
不定积分的结果通常用∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量为x。
不定积分的结果是一个不定积分常数C，因为不定积分只能求出原函数的一个等价类。
接下来，我们将介绍一些常见的不定积分方法。
首先是换元法，也称为代换法。
当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过换元法将被积函数化简为简单的形式，然后再进行积分。
其次是分部积分法，也称为乘积法则。
分部积分法是求两个函数的乘积的不定积分的方法，通过分部积分可以将原函数化简为易于求解的形式。
再次是有理函数的积分，有理函数是多项式函数与多项式函数的商，对于有理函数的不定积分可以通过部分分式分解的方法进行求解。
最后是三角函数的积分，对于含有三角函数的不定积分可以通过三角恒等变换或者换元法进行求解。
除了常见的不定积分方法外，我们还可以通过一些技巧来简化积分的计算。
例如，利用函数的对称性来简化积分的计算，利用积分的线性性质将积分化简为多个简单的积分，利用换元积分法将被积函数化简为简单的形式等。
在实际应用中，不定积分方法被广泛应用于各个领域。
在物理学中，不定积分方法可以用来求解物体的运动规律、能量、功率等问题；在工程学中，不定积分方法可以用来求解电路的电流、电压等问题；在经济学中，不定积分方法可以用来求解边际收益、边际成本等问题。
因此，掌握不定积分方法对于解决实际问题具有重要意义。
综上所述，不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数原函数的过程。
通过本文的介绍，我们了解了不定积分的基本概念、常见的不定积分方法以及一些常见的积分技巧。
高等数学上册知识点
高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1 、函数定义及性质（有界性、单一性、奇偶性、周期性）；2 、反函数、复合函数、函数的运算；3 、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4 、函数的连续性与中断点；函数在连续第一类：左右极限均存在。
中断点可去中断点、跳跃中断点第二类：左右极限、起码有一个不存在。
无量中断点、振荡中断点5 、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二）极限1、定义1 ）数列极限2 ）函数极限左极限：右极限：2 、极限存在准则1 ）夹逼准则：1）2）2 ）单一有界准则：单一有界数列必有极限。
3 、无量小（大）量1 ）定义：若则称为无量小量；若则称为无量大批。
2 ）无量小的阶：高阶无量小、同阶无量小、等价无量小、阶无量小Th1 ;Th2（无量小代换）4、1）2）3）4）求极限的方法单一有界准则；夹逼准则；极限运算准则及函数连续性；两个重要极限：a)b)5）a)b)c)d)e)无量小代换：（）（）（）第二章导数与微分（一）导数1、定义：左导数：右导数：函数在点可导2 、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。
3 、可导与连续的关系：4 、求导的方法1 ）导数定义；2 ）基本公式；3 ）四则运算；4 ）复合函数求导（链式法例）；5 ）隐函数求导数；6 ）参数方程求导；7 ）对数求导法。
5 、高阶导数1）定义：2 ）Leibniz 公式：（二）微分1 ）定义：，此中与没关。
2 ）可微与可导的关系：可微可导，且第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1 、Rolle定理：若函数知足：1）；2）；3）；则 .2 、Lagrange中值定理：若函数知足：1）；2）；则 .3 、Cauchy中值定理：若函数知足：1）； 2）； 3）则（二）洛必达法例（三） Taylor 公式阶 Taylor 公式：在与之间 .当时，成为阶麦克劳林公式：在与之间 .常有函数的麦克劳林公式：1）在与之间，；2）在与之间，；3）在与之间，；4）在与之间，5），在与之间， .（四）单一性及极值1 、单一性鉴别法：，，则若，则单一增添；则若，则单一减少。
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e
x2
dx
e
x2
dx
sin x x dx
1 l n x dx
高等数学（上）
高等数学（上）
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结论2(真分式分解定理)
Ai A1 A2 P( x) ... 2 i Q( x) x a ( x a ) ( x a) Bj B1 B2 ... 2 x b ( x b) ( x b) j Ck x Dk C1 x D1 2 ... 2 k x px q ( x px q ) El x Fl E1 x F1 2 ... 2 . l x rx s ( x rx s )
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 d x ( x p x q) n
(不作要求)
高等数学（上）
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1. sec xdx.
3
4x 1 2. 2 dx. x 2x 4
高等数学（上）
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例2 求
x( x
1
10
3
dx 1)
高等数学（上）
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1.直接用于对数及反三角函数的积分
ln xdx. 例2 求 arctan xdx . 例3 求 ln( x 1 x )dx.
例1 求
2
高等数学（上）
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2.应用于两种不同类型函数乘积的积分 将被积函数按“反对幂三指”的顺序排列,排在前 面的作为u,排在后面的凑微分. 例如:以下各题若分部积分,应选哪个函数为u,哪个 函数凑微分?
高等数学（上）
部分分式
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(2)确定待定系数的方法
x3 2 x 1 例1 分解 为部分分式之和. 2 2 ( x 1) ( x 2 x 3)
1 5 3 A , B 0, C , D . 6 6 2
高等数学（上）
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2.真分式的积分(四种类型) A 1. dx A ln x a C xa A A 1 n ( x a ) C (n 1) 2. d x 1 n ( x a) n
n
n 1
假定分子与分母之间没有公因式.
(1) n m , 有理函数是真分式; ( 2) n m , 有理函数是假分式;
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.
高等数学（上）
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1.真分式的分解 (1)代数学上的两个结论 结论1(因式分解定理) 任 意 一 个 实 系 数 多 项Q 式 ( x ) x n a1 x n1 an1 x an 总 可 以 分 解 为 下 列 若个 干一 次 因 子 和 二 次 因的 子乘 积
或
注意 该公式并没有给出积分结果,只是将原积分转 化为一个新积分,对于新的积分可以用已经学过的 任何方法,包括再次分部积分. 分部积分法主要解决两种形式的积分: 1.被积函数为对数函数或反三角函数; 2.被积函数为两类不同函数的乘积.
u( x )v( x )dx u( x )v( x ) v( x )u( x )' dx
x 例3 求 dx 4 ( x 1)
高等数学（上）
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1.三角函数有理式的积分 设 表示三角函数有理式, 则
R(sin x , cos x) dx
令 t tan x 2 t 的有理函数的积分
高等数学（上）
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1 sin x dx . 例4 求 sin x(1 cos x)
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求下列不定积分
1 1. dx; x 1 e
1 2. x dx; x e e
3. x x 1dx.
高等数学（上）
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第三节 分部积分法
一、分部积分公式
二、应用
高等数学（上）
设u=u(x),v=v(x)都是x的可导函数,则有 udv uv vdu
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x2 x 2 x2
高等数学（上）
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第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积有理分式)
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
Q( x ) ( x a )i ( x b) j ( x 2 px q )k ( x 2 rx s )l 其 中i , , j , k , , l都 是 正 整 数 , p 2 4q 0, , r 2 4 s 0
结论2(真分式分解定理) i j 2( k l ) n P( x) 设 是真分式 , 且Q( x )已 经 分 解 为 上 述 形 式 , Q( x ) P( x) 则 可 以 唯 一 地 分 解 为 下部 列分 分 式 之 和 : Q( x )
n m R ( x , ax b , ax b ) dx ,
令 t p a x b , p 为m , n 的最小公倍数 .
高等数学（上）
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注意 有些函数虽然连续(即原函数存在),但它的 原函数不能用初等函数表示,因而就产生了所谓 的“积不出来”现象.
常见的有:
1 1 x 例6 求 x x dx .
xe dx , x sin xdx , x ln xdx
幂、指
x
幂、三
幂、对
高等数学（上）
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例4 求 例5 求
(幂三) x sin xdx .
x ln xdx.
(幂对)
例6 求
(幂反) x arctan xdx .
3.多次应用分部积分公式
例7 求
x e dx.
高等数学（上）
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2.简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换
化为有理函数的积分. 例如:
n n ax b R ( x , ax b ) d x , t 令
a x b n R ( x , c x d ) dx ,
令
t
a x b n c xd
2 x
(幂指)
高等数学（上）
4.特殊的分部积分 例8 求
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e
x
sin xdx.
对某些积分利用若干次分部积分法后,常常会重
新出现原来要求的那个积分,从而成为所求积分的一
个方程式 . 解出这个方程 ( 把原来要求的积分作为未 知量),则可得到要求的积分.
高等数学（上）
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5.换元、分部积分综合运用 例9 求
e
2 x 1
dx.
x2
例10 已知f ( x)的一个原函数是e
, 求 xf ( x)dx.
高等数学（上）
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分部积分法主要针对被积函数是两类不同函
数乘积的积分,但并非两类不同函数乘积的积分一
定要用分部积分法.
xe dx ? (凑微分) (分部积分) xe dx ? (无法求) x e dx ?