2017-2018学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高一(上)期中数学试卷(d卷)

2017-2018学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高一（上）期中数学试卷（D卷）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{2}B．{1，2，2，4}C．{1，2，4}D．φ2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．（5分）函数y=x2﹣2x+3，﹣1≤x≤2的值域是（）A．R B．[3，6]C．[2，6]D．[2，+∞）4．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，f（7）=6，则f（x）（）A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6C．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6D．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是65．（5分）已知log a9=﹣2，则a的值为（）A．﹣3 B．C．3 D．6．（5分）设a=log0.50.6，b=log1.10.6，c=1.10.6，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．（5分）函数y=1+的零点是（）A．（﹣1，0）B．1 C．﹣1 D．08．（5分）下列几何体是台体的是（）A．B．C．D．9．（5分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（）A．96cm3B．80cm3C．（80+16）cm3D．cm310．（5分）下列推理错误的是（）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊊αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB C．l⊈α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊊α⇒A∈α11．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β12．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f （x+1），则f（2+log23）=（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2x+4的定义域为．14．（5分）方程e x﹣x=2在实数范围内的解有个．15．（5分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（5分）规定记号“△”表示一种运算，即a△b=ab+a+b，a，b∈R+，若1△k=3，则函数f（x）=k△x的值域是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．18．（12分）求值：（1）（2）（log32+log92）•（log43+log83）+（log3）2+lne﹣lg1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥C1﹣CDB1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=，（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，的零点是﹣3和2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．22．（12分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．（1）由图象，求函数y=kx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S元．试用销售单价x表示毛利润S，并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？2017-2018学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高一（上）期中数学试卷（D卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{2}B．{1，2，2，4}C．{1，2，4}D．φ【分析】把集合A和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2}，B={2，4}，能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}，故选：C．【点评】本题考查并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】已知f（x）为分段函数，把x=﹣2代入解析式y=x2，得到f（﹣2），再把f（﹣2）看为一个整体，继续代入求解；【解答】解：∵已知函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2，∴f（f（﹣2））=f（4）=4，故选：C．【点评】此题主要考查分段函数的解析式，解此类题的关键是看准定义域，然后不断的代入求解，是一道基础题．3．（5分）函数y=x2﹣2x+3，﹣1≤x≤2的值域是（）A．R B．[3，6]C．[2，6]D．[2，+∞）【分析】由于二次函数的图象的对称轴为x=1，再由﹣1≤x≤2可得函数的值域．【解答】解：函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．再由﹣1≤x≤2可得，当x=1 时，函数取得最小为2，当x=﹣1时，函数取得最大值为6，故函数的值域为[2，6]，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，求函数的值域，属于基础题．4．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，f（7）=6，则f（x）（）A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6C．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6D．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6【分析】根据偶函数与单调性的对称性进行判断即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，f（7）=6，∴f（x）在在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是f（﹣7）=f（7）=6，故选：B．【点评】本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，利用函数奇偶性和单调性的对称关系是解决本题的关键．5．（5分）已知log a9=﹣2，则a的值为（）A．﹣3 B．C．3 D．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：∵log a9=﹣2，∴a﹣2=9，解得a=．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．6．（5分）设a=log0.50.6，b=log1.10.6，c=1.10.6，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵log0.51=0＜a=log0.50.6＜log0.50.5=1，b=log1.10.6＜log1.11=0，c=1.10.6＞1.10=1．∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）函数y=1+的零点是（）A．（﹣1，0）B．1 C．﹣1 D．0【分析】令函数y=1+=0，求得x的值，即为所求．【解答】解：令函数y=1+=0，可得x=﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，求函数的零点的方法，属于基础题．8．（5分）下列几何体是台体的是（）A．B．C．D．【分析】A中几何体四条侧棱的延长线不满足相交于一点；B中几何体上下底面不平行；C中几何体是锥体；D中几何体侧面母线延长相交于一点，且上下底面平行，是台体的结构特征．【解答】解：A中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台；B中几何体上下底面不平行，所以不是圆台；C中几何体是棱锥，不是棱台；D中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上下底面平行，是圆台．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征，是基础题．9．（5分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（）A．96cm3B．80cm3C．（80+16）cm3D．cm3【分析】该几何体的三视图可知，几何体的下部是正方体，上部是正四棱锥，求出正四棱锥的高，可求结果．【解答】解：该几何体的三视图可知，几何体是一个组合体：下部是正方体，棱长为4，上部是正四棱锥，底面边长为4，高为2；此几何体的体积是：故选：D．【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是基础题．10．（5分）下列推理错误的是（）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊊αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB C．l⊈α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊊α⇒A∈α【分析】本题主要考查了平面的基本性质及推论，根据平面的基本性质及推论，依次分析命题即可．【解答】解：A，B分别是公理1、2的符号表示，故它们都是正确的；对于C，l⊄α有两种可能，l∥α，l与α相交；若交点为A，则A∈l且A∈α．故错．D是公理1的性质，正确．故选：C．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，比较基础．11．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β【分析】在A中，n∥α或n⊂α；在B中，由线面垂直的性质得n∥m；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：由m，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，知：在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f （x+1），则f（2+log23）=（）A．B．C．D．【分析】根据3＜2+log23＜4知，符合x＜4时的解析式，故f（2+log23）=f（3+log23），又有3+log23＞4知，符合x＞4的解析式，代入即得答案．【解答】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）且3+log23＞4∴f（2+log23）=f（3+log23）=故选：A．【点评】本题主要考查已知分段函数的解析式求函数值的问题．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2x+4的定义域为（﹣∞，1] ．【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣x≥0，得x≤1，即函数的定义域为（﹣∞，1]，故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查函数的定义域，要求熟练掌握常见函数成立的条件．14．（5分）方程e x﹣x=2在实数范围内的解有2个．【分析】作函数y=e x与y=x+2的图象，从而化方程的解的个数为函数的图象的交点的个数．【解答】解：作函数y=e x与y=x+2的图象如下，函数y=e x与y=x+2的图象有两个交点，故方程e x﹣x=2在实数范围内有两个解，故答案为：2．【点评】本题考查函数与方程的应用，方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用．15．（5分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27π．【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l==3，故答案为：27π．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．16．（5分）规定记号“△”表示一种运算，即a△b=ab+a+b，a，b∈R+，若1△k=3，则函数f（x）=k△x的值域是（1，+∞）．【分析】根据新定义的运算法则a△b求出k的值，再求函数f（x）的解析式和值域．【解答】解：由a△b=ab+a+b，a，b∈R+，若1△k=3，则1•k+1+k=3，解得k=1，∴函数f（x）=k△x=1△x=1•x+1+x=2x+1，其中x∈R+，∴2x+1＞1，∴f（x）的值域是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了新定义的函数解析式与值域的计算问题，是基础题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【分析】（1）由A与B，求出两集合的并集，求出A的补集，找出A补集与B 的交集即可；（2）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，U=R，∴A∪B={x|1＜x≤8}，∁U A={x|x＜2或x＞8}，则（∁U A）∩B={x|1＜x＜2}，（2）∵A={x|2≤x＜8}，C={x|x＞a}，且A∩C≠∅，∴a＜8．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（12分）求值：（1）（2）（log32+log92）•（log43+log83）+（log3）2+lne﹣lg1．【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数性质、运算法则，换底公式直接求解．【解答】解：（1）=1+×0.4﹣=1.1﹣1.5=﹣0.4．（2）（log32+log92）•（log43+log83）+（log3）2+lne﹣lg1=（log94+log92）•（log6427+log649）+1﹣0=log98•log64243+1=+1=+1==．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥C1﹣CDB1的体积．【分析】（1）先根据AC=3，BC=4，AB=5得到AC⊥BC；再结合其为直棱柱得到AC⊥CC1，即可证明AC⊥平面BCC1B1，进而得到AC⊥BC1；（2）先设CB1与C1B的交点为E，连接DE；跟怒边长相等得到E为正方形对角线的交点，E为中点；再结合点D是AB的中点可得DE∥AC1，进而得到AC1∥平面CDB1；（3）直接根据等体积转化，把问题转化为求三棱锥D﹣C1CB1的体积再代入体积计算公式即可．【解答】解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥CC1，又BC∩CC1=C．∴AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面B1C1CB，∴AC⊥BC1…（5分）（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，因为；BC=AA1=4，所以BCC1B1为正方形，故E是C1B的中点，∵D是AB的中点，E是C1B的中点，∴DE∥AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．．…（10分）（3）因为AC⊥平面BCC1B1，D为中点所以D到平面BCC1B1的距离等于AC，∵==AC=×（×4×4）××3=4．…（14分）【点评】本题是对立体几何知识的综合考查．一般在求三棱锥的体积直接不好找时，常用等体积转化求解．（转化为高好找的三棱锥）20．（12分）已知函数f（x）=，（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．【分析】（1）根据增函数的定义进行判断和证明；（2）利用（1）的结论，利用函数的单调性．【解答】解（1）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，最大值f（4）=，最小值f （1）=．【点评】本题主要考查函数的单调性和最大（小）值，属于比较基础题．定义法证明函数单调性时常用变形技巧（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；（2）通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可考虑配方，便于判断符号．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，的零点是﹣3和2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）先根据函数的零点和方程根的基本关系可知﹣3和2就是方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两个根，再由韦达定理可得到a，b的值，进而可求出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）先求出一元二次函数的对称轴，再由一元二次函数的性质可得到函数在[0，1]的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab的零点是﹣3和2，即（﹣3）和2就是方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两个根，则有（﹣3）+2=﹣，（﹣3）×2=，解可得a=﹣3，b=5；所以f（x）=﹣3x2﹣3x+18．（Ⅱ）当f（x）=﹣3x2﹣3x+18，对称轴为x=﹣不在区间[0，1]内，所以函数在[0，1]内为单调减函数∵f（0）=18，f（1）=12所以函数在[0，1]内的值域为[12，18]．【点评】本题主要考查函数的零点和方程根的基本关系和一元二次方程的韦达定理的应用以及一元二次函数的最值问题．22．（12分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．（1）由图象，求函数y=kx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S元．试用销售单价x表示毛利润S，并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？【分析】（1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b，解方程组求得k和b的值，即可得到一次函数y=kx+b的表达式．（2）由题意可得S=y•x﹣500y，化简可得S=﹣x2+1500x﹣500000，利用二次函数性质求出函数的最大值以及函数取最大值时x的值．【解答】解：（1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b 可得300=700k+b，且400=600k+b，解得k=﹣1，b=1000，故一次函数y=kx+b的表达式为y=﹣x+1000（500≤x≤800）．6分（2）∵公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S，则S=y•x﹣500y=（﹣x+1000 ）x﹣500（﹣x+1000）=﹣x2+1500x﹣500000．故函数S的对称轴为x=750，满足500≤x≤800，故当x=750时，函数S取得最大值为62500元，即当销售单价定为750元/价时，该公司可获得最大的毛利润为62500元，此时y=250．14分．【点评】本题主要考查用待定系数法求直线方程，二次函数性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．。