磁场的安培环路定理
§9.4 磁场的安培环路定理概述
思考：如图，平行的无限长直截流导线 A 和 B，电流强度均为 I， 垂直纸面向外，两根截流导线之间相距为 a，则 （1） AB 中点（p点）的磁感应强度 Bp 0 （2）磁感应强度B 沿图中环路L的线积分 l B dl 0I
2、求解具有某些对称性的磁场分布 求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性， 以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分
2018/10/30 重庆邮电大学理学院 7
L
B dl B 2r 0 I内
r R:
I
内
I
B内
P
B外
0 I 1 B外 2r r
r R:
2 I Ir 2 I r 2 内 R2 R
L
L
o
r
I
R
P
B
B内
0 Ir r 2 2R
(穿过L )
I I
i
1
2I2
(穿过L )
I 2I
i
1
2018/10/30
重庆邮电大学理学院
成立条件：稳恒电流的磁场
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
S2
S0
Ii
(穿 过L )
I
B:
i
: 穿过以 L 为边界的任意曲
面的电流的代数和. 与空间所有电流有关
S1
L
r
o
R
1 r
r
B 方向与 I 指向满足右旋关系
2018/10/30 重庆邮电大学理学院
8
练习：无限长均匀载流圆柱体（R , I ）如图，求通过 截面 S（ 2 R , h ）的磁通量.
11-5真空中磁场的安培环路定理
0 I d d L 2 L 0 I 2
1 2
L1
L2
I
o I B 2 r
A
0
B
L2 L1
规定：与L绕向成右旋关系 Ii > 0 与L绕向成左旋关系 Ii < 0 例如：
I2
I1
I3
L
I4
I
L
I I I 1 2 3 i
0 I
2πr
r
B
B 外 方向与I指向满足右旋关系
B内 0
B外
O
R
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B 的分布。
(1) r R2 , B 0
0 I ( 2) R1 r R2 , B 2r
R2
R1
I
r I
( 3) r R1 , B 0
0 j B
2
0 j x arctg 2π z z 2
0 zj 1
o
x
0 j
2
解二、用安培环路定理
j
z
l
在对称性分析的基础上
x
选如图安培环路 得：B
由：
L
B dl 2lB 0 jl
0 j
2
思考：如果载Байду номын сангаас平面不是无限宽， 思考 能否用叠加原理求解？ 能否用安培环路定理求解？
例4. 求无限长载流圆柱形导体的磁场分布. 对称性分析：
L
dI
r
dI dI o r dI
dB
dB
I
大学物理-磁场 安培环路定律
Φ BS cos BS
s
一般情况 Φ s BdS
dS2
B
S 2
dS1
1
B1
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
B2
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（故磁场是无源的）.
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
n
安培环路定理
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B沿任
一闭合路径的积分的值，等于 0乘以该闭合
路径所穿过的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
B
dl
0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
应用 安培环路定理的应用举例
例1
求载流螺绕环内的磁场
解 （1）对称性分析：环内B 线为同心
B dl B 2r 0 I
B 0 I 1 2r r
I
r LR
r L
分布曲线
B
0 I 2R B r
B 1 r
o
R
r
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
解 如图，作安培环路
abcda，应用安培环路 定理
b
l B d l 2a B dl
09.3磁场的安培环路定理
二、安培环路定理的应用
B dl 0 I i
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理
计算磁感应强度
1. 无限长载流圆柱导体
已知：I、R 电流沿轴向，在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
I
R
B 的方向判断如下：
B dl 0 I
任意积分回路
B dl B cos dl
B dl 0 I
回路不环绕电流
0 I cos dl 2r 0 I 0 I rd 2 2r 2
.
I
r
d
B dl
.
B dl 0
R2
R1
I
r I
(3) r R1 , B 0
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体 内 外
电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
内
外
E 2 0 r r E 2 2 0 R E 2 0 r
由环路内电流决定
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
由环路内外电流产生 环路所包围的电流
I1 I4
l
I2
I3
不变
?
I4
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
?
不变
?
I1
l
改变
I2
I1
I3
I2
I4
R2 NI 0 2. B dS hdr R1 2r 0 NIh R2 ln 2r R1
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
磁场高斯定理 安培环路定理
R
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。
解：视为无限多平行长 直电流的场。 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
B
b
l
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱
半径为R1，外导体圆筒内外
半径分别为R2、 R3，电缆载 有电流I，求磁场的分布。
课堂练习
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )
大学物理 5.4 磁场的安培环路定理
l
B
例2 载流长直螺线管磁场分布
如图，均匀密绕无限长直
螺线管通有电流为I，单位
长度匝数为n）
I
解：对称性分析—— 管内垂轴
b
Ba
平面上任意一点与 B轴平行
cd b c d a
(3)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
B dl —— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
L
(4)安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任 意设想的一段载流导线不成立
2. 安培环路定理的应用
在静电场中，当带电体具有一定对称性时 可以利用高斯定理很方便的计算其电场分布。 在恒定磁场中，如果电流分布具有某种对称性， 也可以利用安培环路定理计算电流磁场的分布。
由 于 这 时 I 内 =0 ， 所 以 有 B=0 (在螺线环外)
l2
l1
可见，螺线环的磁场集中在
环内，环外无磁场。
对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电
流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容
易求得：管内： B onI
说明
(1)积分回路绕行方向与电流方向呈右螺旋
关系
满足右螺旋关系时 Ii 0 反之 Ii 0
I
1
I
I
3
2l
I I
l
l B dl o ( I1 I2 ) l B dl o ( 2I I) oI
(2)公式中的 B 是环路上的磁感应强度，使
空间所有电流共同激发的。
L
B
LB
dr
64磁场的安培环路定理
例1．求无限长载流导体圆管(内外半径为R1, R2、电流I )的磁场。
解：电流分布——轴对称 产生的磁场——轴对称
r< R1
过场点作安培环路
B d l B cos 0d l =B2r =0
L
L
B=0
P•2
×
P•3
P•1
R1<r< R2 B d l =B2r L
•
•• ••
•• •
• •
B 圆柱外的
磁场分布 是以中心 轴线为轴 的对称分 布。
圆柱内：
I
•• ••
••••••••••••
•• • •• •• • ••
• • • •
• ••
• •• •
•• •• • r• •
••
•• • ••
•
•• •
••
•• •• •
圆柱内的磁场分布 也是以中心轴线为 轴的对称分布。
dal
L
AC
BlAC
B
CD
d Bb
dld
BB
DEb
d
l
0dBBalDE 0 0
I
Bdl
EA
n lACI
B
1 2
0nI
d
B
证毕！
D
P•
E
B dl
L
0
Ii
C
A
互动题：在以下四个环路的环流 B d l ? L
l1
I
I2
I1
l2
B dl
L
0
Ii
l3
I1 •
I2
l4
§6. 4 磁场的安培环路定理
磁场安培环路定理证明
磁场安培环路定理证明磁场安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场在电路中的分布和变化规律。
本文将对该定理进行全面详细的证明，包括定义、公式推导、实验验证以及应用等方面。
一、磁场安培环路定理的定义磁场安培环路定理是指：在任意闭合回路上，磁感应强度的积分等于该回路所包围电流的代数和。
即：∮B·dl=μ0I其中，∮B·dl表示沿闭合回路积分的磁感应强度；μ0为真空中的磁导率；I为该回路所包围电流的代数和。
二、公式推导为了证明上述定理，我们需要从麦克斯韦方程组入手，具体如下：1. 静电场高斯定理∮E·dS=Q/ε02. 静电场法拉第定律∮E·dl=-dΦ/dt3. 磁场高斯定理∮B·dS=04. 磁场法拉第定律∮B·dl=μ0I+μ0ε0(dΦE/dt)其中，E为电场强度；B为磁感应强度；S为任意闭合曲面；dl为曲线段微元；dS为曲面微元；Q为该曲面所包围的电荷量；ΦE为电通量；I为该回路所包围电流的代数和。
由于磁场高斯定理中∮B·dS=0，因此我们需要找到一种方法来消去第二个式子中的第二项，即使其等于零。
这时，我们可以利用安培环路定理来实现这一目标。
对于一个任意闭合回路，根据斯托克斯定理可得：∮B·dl=∫(∇×B)·dS其中，∇×B表示磁场强度的旋度运算符。
由于磁场是无旋场，因此有：∇×B=0将上式代入上式中，则有：∮B·dl=0但是，在真空中没有任何电流通过闭合回路时，根据安培定律可知：∮B·dl=μ0I因此，我们可以得到磁场安培环路定理：∮B·dl=μ0I三、实验验证为了验证磁场安培环路定理的正确性，我们可以进行如下实验：1. 实验器材：一个长直导线、一个螺线管、一个万用表和一些导线。
2. 实验步骤：(1) 将长直导线穿过螺线管的中心，将万用表连接到导线两端。
磁场的安培环路定理公式
磁场的安培环路定理公式安培环路定理（Ampere's Circuital Law）是电磁学中的一个重要定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
该定理是由法国科学家安德烈·玛丽·安培于1826年提出的。
安培环路定理公式可以用来计算闭合曲线上的磁场和电流之间的关系。
安培环路定理可以表述如下：在真空中，闭合曲线上的磁场的环流等于通过该闭合曲线所围成的面内的电流的代数和的N倍，即B·l=μ0·N·I。
其中，B表示磁场强度，单位为特斯拉（T）；l表示闭合曲线的长度，单位为米（m）；μ0表示真空中的磁导率（磁场的常量），约等于4π×10^-7N/A^2；N表示闭合曲线所围成的面内的匝数；I表示通过该闭合曲线所围成的面内的电流，单位为安培（A）。
这个公式表明了闭合曲线上的磁场强度与该闭合曲线所围成的面内电流的代数和成正比。
当电流的方向与闭合曲线所围成的面的法线方向相同时，为正；而当电流的方向与闭合曲线所围成的面的法线方向相反时，为负。
安培环路定理的应用非常广泛。
通过安培环路定理，我们可以计算出闭合曲线上的磁场强度，从而了解电流所产生的磁场的强度和分布情况。
此外，我们还可以通过安培环路定理来计算导线上的磁场，从而提前预测电流的影响范围和磁场的强度。
安培环路定理的一个重要应用是计算长直导线产生的磁场。
对于一根长度为l的直导线，安培环路定理公式可以简化为B=μ0·I/2πr，其中r为距离导线的垂直距离。
另一个应用是计算无限长薄直导线产生的磁场。
在这种情况下，合理的选择闭合曲线为无限大的圆形曲线，通过计算可以得到B=μ0·I/2r，其中r为距离导线的垂直距离。
安培环路定理还可以应用于计算线圈产生的磁场。
对于一个具有N匝的螺线管，安培环路定理的公式可以表示为B·2πr=μ0·N·I，其中B 为螺线管中心处的磁场强度，r为距离螺线管中心的距离。
安培环路定理
安培环路定理什么是安培环路定理？安培环路定理（Ampere’s Circuital Law），简称「安培定理」，是电磁学中的一个重要定理。
它描述了在电流通过的闭合回路周围所产生的磁场的性质。
安培环路定理是电磁学理论中的基础之一，为理解和推导电磁现象提供了重要的工具。
安培环路定理的表述安培环路定理可以用以下的数学表达方式来描述：∮ B · dl = μ₀ · I其中，左边是磁场强度（B）沿闭合回路的环路积分，右边是穿过该闭合回路的电流（I）乘以真空磁导率（μ₀）。
安培环路定理的原理安培环路定理的原理是基于磁场的环流与通过该闭合回路的电流之间的关系。
根据安培环路定理，磁场强度沿一个闭合回路的环路积分等于穿过该闭合回路的总电流。
这个原理可以通过法拉第定律和电流的产生方式来理解。
根据法拉第定律，变化的磁场会产生电流。
当通过一个闭合回路的电流发生变化时，它会产生一个变化的磁场。
根据安培环路定理，通过这个闭合回路的环流与产生的磁场有直接关系。
通过积分环路上的磁场求和，我们可以得到与通过闭合回路的总电流相等的结果。
安培环路定理的应用安培环路定理在电磁学中的应用非常广泛。
它可以用于解决许多关于磁场和电流之间相互作用的问题。
1. 计算特定位置的磁场强度通过安培环路定理，我们可以计算在给定位置的磁场强度。
通过选择一个合适的闭合回路，并测量通过该回路的电流，可以通过安培环路定理计算出该位置的磁场强度。
2. 推导磁场分布通过运用安培环路定理和其他相关定理，我们可以推导出复杂电流分布下的磁场分布。
这对于设计和分析电磁装置，如电机和电感器，非常重要。
3. 求解电流分布在某些情况下，已知磁场分布和闭合回路上的磁场强度分布，我们可以使用安培环路定理求解闭合回路上的电流分布。
结论安培环路定理是电磁学中的一个基本定理，描述了闭合回路周围产生的磁场与通过该回路的电流之间的关系。
它广泛应用于计算特定位置的磁场强度、推导磁场分布和求解电流分布等领域。
磁场的安培环路定理
2B ab
利用安培环路定理求 B
B • dl 0n ab I
ba .........
cd
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。求磁场分布。
已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n
B 0 nI 2
0 两板外侧
B
B • dl 0nabI
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B
B
0
nI
0
内 外
a
b
d
cI
3. 环形载流螺线管的磁场分布. . .
已知：I 、N、R1、R2
..
N——导线总匝数
. .
分析对称性
. .
R1
.
.
...
r
. ... ...
磁力线分布如图 作积分回路如图
. ...
.
.
R2 ..
.
.
.
.
...
0I 2r
rd
0I 2
2
B • dl 0I
3、回路不环绕电流
.
B • dl 0
B
d
r
dl
安培环路定理
意闭在合真曲空线中的的线稳 积分恒（电也流称磁场B中的，环磁流感）应，强等度于穿B过沿该任
闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界
的任意曲面的电流强度）的代数和的
倍。即：
0
B • dl 0 Ii
I R
I
0
B
r
磁场中的安培环路定理
磁场中的安培环路定理磁场中的安培环路定理是电磁学中的一条重要定理，它描述了磁场中的电流与磁场的相互作用关系。
根据安培环路定理，一个封闭的电流环路所受的磁场力的总和等于该环路所包围的电流的总和乘以真空中的磁导率。
让我们来了解一下什么是磁场。
磁场是由电流或磁体产生的一种力场，它可以对其他电流或磁体施加力。
磁场的强度可以用磁感应强度B来表示，单位是特斯拉(T)。
磁感应强度的方向可以用磁力线来表示，磁力线是磁场中的力线，表示磁场的方向和强度。
在磁场中，当有电流通过一个导线时，该导线周围会形成一个磁场。
根据安培环路定理，沿着一个封闭的回路，该回路内的电流与回路所包围的磁场的相互作用力之和等于回路内电流的总和乘以磁导率的乘积。
这个定理可以用一个简单的公式来表示：∮B·dl=μ0I其中，∮B·dl表示环路所包围的磁场力的总和，μ0表示真空中的磁导率，I表示环路内电流的总和。
安培环路定理的应用非常广泛。
在电磁铁中，安培环路定理可以用来计算铁芯中的磁感应强度。
在计算电感的时候，我们也可以利用安培环路定理来计算电流所产生的磁场。
此外，在电磁感应中，安培环路定理也可以用来计算感应电动势。
为了更好地理解安培环路定理，我们可以通过一个简单的实例来说明。
假设有一个平面圆环，环上有电流I流过。
我们想要计算该圆环所包围的磁场力。
根据安培环路定理，我们可以选择一个闭合的路径，沿着该路径计算环所包围的磁场力的总和。
在这个例子中，我们可以选择圆环的周长作为路径。
然后，我们需要计算路径上的磁场力。
根据安培环路定理，路径上的磁场力等于路径内电流的总和乘以磁导率。
假设路径上的磁感应强度为B，根据安培环路定理，我们可以得到以下等式：B·2πr=μ0I其中，r表示圆环的半径。
通过这个等式，我们可以计算圆环所包围的磁场力。
总结一下，磁场中的安培环路定理是描述磁场中的电流与磁场的相互作用关系的定理。
根据该定理，一个封闭的电流环路所受的磁场力的总和等于该环路所包围的电流的总和乘以真空中的磁导率。
磁场的安培环路定理公式
磁场的安培环路定理公式磁场的安培环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了磁场在闭合回路上的环路积分等于该回路所包围的电流的代数和的性质。
在分析磁场问题时，安培环路定理可以提供一个简便的方法来计算磁场的强度和方向。
安培环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0·Ienc其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，μ0是真空中的磁导率，其值约为4π×10^-7 T·m/A，Ienc表示回路所包围的电流的代数和。
通过安培环路定理，可以方便地计算磁场的分布情况。
下面将通过几个具体的例子来说明安培环路定理的应用。
例1：一根直导线的磁场考虑一根无限长的直导线，电流为I，要求计算离导线距离为d处的磁场强度B。
我们可以选择一个以导线为轴的圆形回路，根据安培环路定理，有∮B·dl = μ0·Ienc。
由于回路只包围了一段电流，所以Ienc = I。
回路的环路积分可以通过计算B在回路上的分量得到，由于B的方向在回路上是沿着回路的方向，所以B在回路上的分量为B·2πd，其中2πd是回路的周长。
因此，我们可以得到B·2πd =μ0·I，即B = μ0·I/(2πd)。
这就是直导线产生的磁场强度的公式。
例2：两根平行直导线的磁场考虑两根平行的无限长直导线，电流分别为I1和I2，距离为d，要求计算它们之间的磁场强度B。
同样地，我们可以选择一个以两根导线为边的矩形回路，根据安培环路定理，有∮B·dl = μ0·Ienc。
由于回路包围了两段电流，所以Ienc = I1 + I2。
回路的环路积分可以分为两部分，一部分是沿着左边导线的分量B1在回路上的环路积分，另一部分是沿着右边导线的分量B2在回路上的环路积分。
由于两根导线的方向相反，B1与B2的方向也相反，所以它们的环路积分相加为0。
因此，我们可以得到B1·2d + B2·2d = μ0·(I1 + I2)，即B = μ0·(I1 + I2)/(2d)。
磁场安培环路定理
磁场安培环路定理一、引言磁场安培环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了磁场沿闭合回路的环流与该回路所围面积上的磁通量之间的关系。
本文将从理论和应用两个方面对磁场安培环路定理进行探讨。
二、理论基础2.1 安培环路定理的表达方式磁场安培环路定理可以用数学方式表示为：∮B⃗ ⋅dl=μ0⋅I其中，左侧表示磁场矢量B⃗ 沿闭合回路的环流，右侧表示该回路所围面积上的磁通量，μ0为真空中的磁导率，I为通过该回路的电流。
2.2 安培环路定理的推导安培环路定理可以通过安培力定律和法拉第电磁感应定律的结合推导得到。
根据安培力定律，我们知道磁场对通过导线的电流会产生力。
根据法拉第电磁感应定律，我们知道变化的磁场会引起感应电动势。
结合这两个定律，可以得到磁通量与电流之间的关系，从而推导出安培环路定理。
三、应用实例磁场安培环路定理在电磁学中有着广泛的应用，下面将介绍一些实际应用的例子。
3.1 磁场的计算磁场安培环路定理可以用来计算磁场的大小和方向。
通过选择适当的闭合回路，可以测量电流所产生的磁场。
根据安培环路定理，可以将测得的环路上的环流与围绕该回路的面积上的磁通量相对应，从而计算得到磁场的大小。
3.2 电磁铁的设计电磁铁是一种利用电磁感应原理工作的装置，它可以产生强大的磁场。
在设计电磁铁时，可以利用安培环路定理来确定所需的电流和线圈的绕制方式。
通过测量所需磁场的大小和形状，可以确定合适的回路和线圈参数，从而实现对磁场的精确控制。
3.3 磁场的传感器磁场传感器是一种用于检测和测量磁场的设备，它在许多领域中都有广泛的应用，如导航、地质勘探等。
磁场安培环路定理可以用于传感器的设计和校准。
通过选择合适的回路和测量环路上的环流，可以将磁场的变化转化为电信号，并进行准确的测量和分析。
四、总结磁场安培环路定理是电磁学中的重要定理，它描述了磁场沿闭合回路的环流与该回路所围面积上的磁通量之间的关系。
本文从理论和应用两个方面对磁场安培环路定理进行了探讨。
§7.4 安培环路定理
I 2 I r R 2
0 I
2R 2
r
r
例 求无限大均匀载流平面的磁场分布 解 积分环路 abcd 关于平面对称 B dl B dl B dl
B
i
b
P d l
B
a
B dl B dl
I1
(3)电流方向与积分回路方向呈右 螺旋关系 I >0 ；反之 I < 0
B dl 0 (I1 I3 )
L
二. 安培环路定理的应用
例 求无限长均匀载流圆柱体的磁场分布。 解 电流分布具有轴对称性，故磁场分 布也是轴对称的
R
o
P
B dl LBdl B Ldl
二. 安培环路定理的应用
例 求无限长圆柱体电流的磁场分布。 解 电流分布具有轴对称性，故磁场分 布也是轴对称的
R
L
P
r
I
B dl LBdl B Ldl
L
B 2r 0 I
圆柱体外 ( r
R)
B
I I
圆柱体内 ( r R )
0 I B 2r
dl2
等于把磁场对环
路投影的积分
一.磁场的安培环路定理
3. 多个电流
I4 I3
P 点的磁感应强度为
I2 I1
B B1 B2 B3 B4
磁场环流为
P
LB dl ( B1 B2 B3 B4 ) dl L B1 dl B2 dl L L B3 dl B4 dl
B dl B dl μ0I 2πr 2r
磁场中的安培环路定理
磁场中的安培环路定理磁场中的安培环路定理是电磁学中的重要定律之一，它描述了通过一个封闭回路的磁场的总磁通量。
安培环路定理的数学表达式是∮B·dl = μ0·Ienc，在这个公式中，∮B·dl代表磁场矢量B沿着闭合回路的环路积分，μ0是真空中的磁导率，而Ienc则是通过回路的总电流。
安培环路定理的实质是一个电磁学中的基本定理，它与法拉第电磁感应定律一起共同组成了麦克斯韦方程组的一部分。
通过安培环路定理，我们可以更好地理解磁场的产生和变化规律，以及电磁感应现象的发生。
我们来讨论一下安培环路定理的基本原理。
根据这个定理，当一个导线中通过电流时，会在其周围产生一个磁场。
这个磁场的大小与电流的大小成正比，而方向则根据右手定则确定。
根据安培环路定理，如果我们沿着一个闭合回路进行环路积分，所得到的结果就是该回路内部的总磁通量。
在实际应用中，我们经常使用安培环路定理来求解磁场的大小和方向。
例如，在一个长直导线附近，我们可以通过安培环路定理来计算导线周围的磁场强度。
以导线为中心，选取一个圆形回路，通过环路积分可以得到磁场的大小。
根据安培环路定理，这个积分结果等于回路内部的总磁通量。
因此，我们可以通过这个方法来确定导线周围的磁场分布。
除了计算磁场的大小和方向，安培环路定理还可以用来推导其他相关的物理规律。
例如，当一个导体中有变化的电流时，根据安培环路定理，会产生一个变化的磁场。
这个磁场的变化又会导致周围的导体中产生感应电流。
这就是著名的法拉第电磁感应定律。
通过安培环路定理和法拉第电磁感应定律，我们可以更深入地研究电磁感应现象的本质和规律。
在实际应用中，安培环路定理也有很多重要的应用。
例如，在电磁铁中，我们可以利用安培环路定理来计算铁芯中的磁场强度。
通过调整电流的大小和方向，我们可以控制电磁铁的磁场强度，从而实现吸引或排斥其他磁性物体的目的。
此外，安培环路定理还可以应用在变压器、电动机等电磁设备的设计和分析中，帮助我们了解和优化这些设备的性能。
安培环路定理
结论
所以有： 从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量 积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。 安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B的环流，说明稳恒磁场的 性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
微分形式
根据开尔文－斯托克斯定理，这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场 对于时间的偏微分等于零的时候，这方程才成立。采用国际单位制，这方程表示为
。 磁场的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度。
缺点
缺点
原版安培定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程， ；
简介
积分形式
微分形式
ห้องสมุดไป่ตู้分形式
电流I在一个曲面上的通量，等于B场沿着的边缘闭合回路的路径积分。采用国际单位制，原版安培定律的积 分形式可以写为：
。
请注意到这方程有些模糊之处，需要特别澄清： 第一，边界曲线的正向与曲面的侧符合右手规则。 第二，（固定 ）定理之成立与以为边界的的选择无关。
安培定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明（请参阅毕奥-萨伐尔定律）。在静磁学中，安培定律的 角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培定律 来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹 配系统的圆柱对称性。
证明方法
对称环路 任意环路
不包围电流 结论
对称环路
在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r的圆形环路l， 则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为 其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路 l 的环流为 式中积分是环路的周长。 于是上式可写成为 从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I有关，而与环路的大小、形状无关。
§7.3 磁场的安培环路定理
P. 1
二、安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
B dl 0 Ii
L
(L内)
L：称为安培回路。
安培 法国物理学家、数学家和化学家，
主要从事电动力学方面的研究。最先揭示 电过程和磁过程之间的起源关系，提出关 于磁性起源的纯电流概念。
过，求磁感应强度分布。已知 R。
解 B分布为柱对称，作同轴圆形安培回路。
r R : B dl B dl
L
L
I
r
L
B dl B 2 r L
B dl 0 I
L
B
0I 2 r
可等效成 ……
rR
L
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
均匀地流过，求磁感应强度分布。
I
B
0I 2 r
o
R
R
r
(解毕 )
Chapter 7. 稳恒电流与稳作恒者磁：场杨茂田 §7.6 磁场的安培环路定理
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课堂练习 电流 I 从半径为R的无限长金属圆柱体的截面
均匀地流过，求磁感应强度分布。
提示：柱内外的 B 分布为柱对称，作同
轴圆形安培回路。
数为n，管内磁场为均匀磁场。求管内磁感应强度。
解 作矩形安培回路。
bcda
B dl
L
abcd
I
I B外 0
答案： B
0 I 2 R2
r
0I
2 r
(r Ra) (r Rd )
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Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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例 ∞载流平板，截面上电流线密度为 j ，求平板两侧
的磁感应强度。 解 ( 电流线密度： j I ) b 磁场分布关于平板对称！ b c d a B dl
I
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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课堂练习 密绕环形螺线管载流 I ，总匝数为N，求管内
磁感应强度。 提示：磁感线为同心圆。作如图圆形安培回路。
B dl B 2 r 0 N I
L
r o
L
0 N I 1 B 2 r r
B0
B
L
I
L
0 0 I 2 r
(r R) (r R)
B dl B 2 r
r
r
B dl 0 I
L
L
0 I B 2 r
可等效成 ……
rr R
L L
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0 I dl 0 I 2 r L
B
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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在磁感线平面内作一闭合回路L：
L I I
r dl
d
L
B dl
0 I 2 r | dl | cos L
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对任意闭合回路L，由于：
dl dl // dl
dl B
I L
dl
dl
dl
dl //
B dl B dl 0 I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
包围载流导线，则 B dl 0 。
L
L
I1 I 2 I 3 I4
I5
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。 ☻ B dl 只与回路包围的电流有关，与L外的电流无
L
关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
包围载流导线，则 B dl 0 。
L
L //
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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结论：对闭合回路 L，环流
( L 包围 I ) 0 I B dl 0 ( L 不包围 I ) L 若电流反向，则：
环流值： B dl
L
L I I
r
B
dl
0 I o L B dl 2 r | dl | cos 0 L
0 I dl 0 I 2 r L
B
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
B dl 0 I i
L (L内)
L：称为安培回路。
安培
法国物理学家、数学家和化学家，
主要从事电动力学方面的研究。最先揭示 电过程和磁过程之间的起源关系，提出关 于磁性起源的纯电流概念。
A.M.Ampè re 1775~1863
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
0 I ( L 包围 I ) B dl 0 ( L 不包围 I ) L
推广：对任意载流导线
上述结论皆成立 !
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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二、安培环路定理 在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
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三、安培环路定理的应用
对于某些对称性磁场，可选取适当的回路 L，使得
回路 L 上各点 B大小相等，方向与 dr相同，则：
o B dl B | dl | cos0 B | dl |
L i （ ）
r r B dl 0 I Ñ
r R : B dl B 2 r 0 0
B0
B
L
I
0 0 I 2 r
B
(r R) (r R)
r
0 I 2 r
r
o
R
r
(解毕 )
R L
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§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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课堂练习 电流 I 从半径为R的无限长金属圆柱体的截面
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§7.6 安培环路定理
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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一、定理的引入
0 I 对∞载流直导线： B( r ) 2 r
以磁感线为闭合回路L，则：
b
c
d
a
I
B ab 0 0 0
B dl B ab 0 n ab I
L
B外 0
I
a
L
b
B
B外 0
B 0 nI
(解毕 ) d
c
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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L
关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
☻环路定理只适用于闭合电流或无限电流。 ☻思考：
L B dl 0 B dl 0
L
B0
L内无电流
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三、安培环路定理的应用
课堂练习 密绕环形螺线管载流 I ，总匝数为N，求管内
磁感应强度。 提示：磁感线为同心圆。作如图圆形安培回路。
B dl B 2 r 0 N I
L
r o
L
I
B dr B ab 0 n ab I
L
B 0 nI
(解毕 )
dl dl // dl
dl B
I L
dl
dl
dl
dl //
0 I B dl 2 L
1 r rd L
L //
0 I d 0 I 2 L
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
均匀地流过，求磁感应强度分布。
I
B
0 I 2 r
r
R
(解毕 )
o
R
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§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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课堂练习 电流 I 从半径为R的无限长金属圆柱体的截面
均匀地流过，求磁感应强度分布。
I
柱内外的 B 分布为柱对称，作同 提示：
轴圆形安培回路。
b
B
B外 0
L
c
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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例 无限长密绕直螺线管载流 I ，轴向单位长度上的匝
数为n，管内磁场为均匀磁场。求管内磁感应强度。 解 作矩形安培回路。
B dl
L
a b c d
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在磁感线平面内作一闭合回路L：
L I I
r dl
d
L
B dl
0 I 2 r | dl | cos L
| d l | cos rd
B
0 I o L B dl 2 r | dl | cos 0 L
dB
dB 2
柱对称！
dB1
r
感
0 I B 2 r
r R
L
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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例 电流 I 均匀沿轴向从无限长金属薄圆柱壳的侧面流
过，求磁感应强度分布。已知 R。
I
L
解 B分布为柱对称，作同轴圆形安培回路。
r R : B dl
I L
dr
dr
dr
dr//
0 I ( L 包围 I ) B dl 0 ( L 不包围 I ) L
L //
推广：对任意载流导线
上述结论皆成立 !
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
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二、安培环路定理 在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
L
B dl
L
r