3函数的表示方法
函数知识点总结
函数知识点总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如职场文书、合同协议、总结报告、演讲致辞、规章制度、自我鉴定、应急预案、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays for everyone, such as workplace documents, contract agreements, summary reports, speeches, rules and regulations, self-assessment, emergency plans, teaching materials, essay summaries, other sample essays, etc. If you want to learn about different sample essay formats and writing methods, please stay tuned!函数知识点总结函数知识点总结总结是在某一特定时间段对学习和工作生活或其完成情况，包括取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训加以回顾和分析的书面材料，它是增长才干的一种好办法，是时候写一份总结了。
高中数学必修一第五讲 函数的表示方法
第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
函数的表示法知识点总结
（B）2 或 5 2
（D）2 或 2 或 5 2
习题 3.
已知
f
(
x)
2x(x x 1(x
0) 0)
,若
f (a)
f (1) 0 ,则实数 a 的值等于________.
3.求分段函数自变量的取值范围
在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函
1 1
,
若
f 1 a f 1 a , 则 a 的 值 为
_________. 解:当1 a 1,即 a 0 时,1 a 1
∴ f 1 a 21 a a 2 a , f 1 a 1 a 2a 1 3a
几种常见的分段函数
1.取整函数 y x（ x表示不大于 x 的最大整数）.
其图象如图（1）所示.
y
3 2 1
–3 –2 –1 O –1
1 2 3x
–2
–3
值 值 1值 值 值 值 值 值 值 值
y
fx = x + 2
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1
12x
值 值 2值 值 值 值 值 值 值 值 值
数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
例 3.
已知函数
f
(
x)
3x 2 2x 2
2x(x 1) 3(x 1)
,求使
f (x) 2 成立的 x 的取值范围.
解:由题意可得:
x 1
x 1
3x 2
2x
或 2
新教材高中数学第3章函数31函数的概念与性质311第2课时函数的表示方法课件新人教B版必修第一册
因为 x＋1≥1， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
31
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
()
15
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2 2 2<x≤4
f(x)
1
2
3
A．1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
16
3．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函
数的解析式可以为( )
A．y＝－14x2＋1
x－1 [由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得
f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
ff（ （x－）x－ ）－2f（2f（－xx） ）＝ ＝11＋ －22xx， ，消去f(－x)可得f(x)＝23x－1.]
38
分段函数的求值问题
x2－1，x≤1， 【例3】 已知f(x)＝ －x＋1，x＞1， 则f(f(－1))＝________；若 f(x)＝－1，则x＝________．
33
③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△ CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2
＝－12(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为
12x2，x∈[0，2]， y＝2x－2，x∈（2，5]，
－12（x－7）2＋10，x∈（5，7].
(完整版)高考函数知识点总结(全面)
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 （1)函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。
②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。
B C ⊆（2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法:（1） 定义法 (2)变量代换法 （3)待定系数法(4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
求函数定义域的主要依据： (1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零;（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。
复合函数定义域：已知f （x ）的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。
三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=f （x ）中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f （x ）用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
函数的概念及其表示方法
教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示． 区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；； ；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（ ） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于 （ ） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（ ） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（ ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成 个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是 。
第3讲函数的表示方法
x 30 34 40 45 50
y 60
48
30
15
0
⑴根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；
⑵设经营此商品的日销售利润为 P 元，问：当销
售单价为多少元时，可获得最大日销售利润？
思路分析
例4 x 30
34
40
45
50
y 60
48
30
15
0
⑴根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；
步骤1 在直角坐标系中 y
待定系数法. 数学思想：整体换元思想，函数与方程思想. 思维策略：根据问题特点，灵活选择方法. 思维盲点：忽视由中间变量的取值范围确定函
数的定义域.
廓清疑点：函数定义域的确定
典型例题2
例2
已知函数
f ( x)满足：f
x
1 x
x2
1， x2
求函数 f ( x)的解析式.
思路分析
例2
已知函数
f
( x)满足：f
x
1 x
x2
1， x2
求函数 f ( x)的解析式.
解
配方，得f
x
1 x
x
1 x
2
-2，
f ( x) x2 -2.
错！
思考1 解题是否就此结束？
定义域！
思考2 函数定义域是｛x∈R︱x≠0｝，对吗？
求解过程
解 令t x 1 ，则x2 tx 1 0. x
根据关于x的方程有实数解的条件，得 t 2 4≥0，解得t≥2或t≤-2.
高一数学函数的常用表示方法
2.1.2函数表示法 课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们， 一抹希望。 （25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。 （26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以启齿的磨难和曾经以为的绝望，慢慢变成了希冀。 （27）是的，繁华尽头有悲凉，尘埃深处是繁花。 （2017年5月9日） 16.
函数的表示法重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.2 函数的表示法重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的三种表示方法】【练 1】某种笔记本的单价是 5 元，买x(x ∈{1,2,3,4,5}) 本笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y =f (x) .【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．【答案】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）图象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础．【练 1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x) 211x123g(x) 321则f(g(1))的值为；当g(f(x))＝2 时，x＝.【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2 求出x ＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1．故答案为：1，1．【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出．【练 1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1 及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )【思路分析】利用在y轴的右侧，S的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．【答案】解：由题意知，当t＞0 时，S的增长会越来越快，ƒ(3) ƒ(3) 故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大， 故选：B ．【点睛】本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的 数学思想．【练 1.3】如图，函数 f (x )的图象是曲线 O A B ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f ⎡ 1 ⎤ ⎢f (3) ⎥ ⎣ ⎦的值等于．【思路分析】先求出 f （3）＝1，从而 ƒu 1] =f （1），由此能求出结果．【答案】解：函数 f （x ）的图象是曲线 OAB ，其中点 O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f （3）＝1，ƒu 1] =f （1）＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【考点 2 描点法作函数图象】【练 2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域．（1）y ＝2x ；（2）y ＝（x ﹣2）2+1；（3）y = 2；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可．【答案】解：（1）y＝2x的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）；（2）函数y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）．（3）y= 2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；x（4）y＝2x+1，x∈Z 且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}，对应的图象为：【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础．【练 2.1】画下列函数图象并求值域．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）y＝|﹣x2+2x+3|；（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|；（4）y＝﹣x2+2|x|+3；（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|．【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域．【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞），（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1]（4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图象是关键．【练 2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域．（1）y＝|x﹣1|+|x+1|；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2．【思路分析】（1）运用分段函数化简函数y，即可得到所求图象和值域；（2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域．【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|2x，x ≤ 1= 2，— 1＜x＜1，— 2x，x ≤— 1值域为[2，+∞）；（2）y＝x，x∈z且|x|≤2，可得x＝﹣2，y＝﹣2；x＝﹣1，y＝﹣1；x＝0，y＝0；x＝1，y＝1；x＝2，y＝2．值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}．【点睛】本题考查函数的图象的画法和运用：求值域，考查运算能力，属于基础题．【练2.3】画出二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；（2）若x1＜x2＜1，比较f（x1）与f（x2）的大小；（3）求函数f（x）的值域．【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案．【答案】解：图象如图所示：（1）由图象可得f（1）＞f（0）＞f（3），（2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2），（3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题．【考点3 求函数解析式—待定系数法】【练 3】设二次函数f (x) 满足 f (0) = 1，且f (x + 1) -f (x) = 4x ，求f (x) 的解析式．【思路分析】用待定系数法设出f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得；【答案】解设所求二次函数为f（x）＝a x2+b x+c＝0（a≠0），∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝a x2+b x+1＝0，（a≠0），又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（a x2+b x+1）＝4x，即 2ax+a+b＝4x，得，2t = 4t 䘞= 䕼∴t = 2䘞 =— 2∴f（x）＝2x2﹣2x+1，【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．【练 3.1】已知二次函数f (x) 满足条件f (0) = 1和 f (x + 1) -f (x) = 2x ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得【答案】解：设y＝f（x）＝a x2+b x+c∵f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x∴c＝1；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（a x2+b x+c）＝2x∴∴2a＝2，a+b＝0解得a＝1，b＝﹣1函数f（x）的表达式为f（x）＝x2﹣x+1【点睛】本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题．【练 3.2】已知y =f (x) 是一次函数，且有 f [ f (x)] = 9x + 8 ，求 f (x) 的解析式．【思路分析】设f（x）＝ax+b（a≠0），由f[f（x）]＝9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．【答案】解：设f（x）＝ax+b（a≠0），则f[f（x）]＝a f（x）+b＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b＝9x+8∴a2＝9且a b+b＝8，解得，a＝3，b＝2 或a＝﹣3，b＝﹣4，∴一次函数的解析式为：f（x）＝3x+2 或f（x）＝﹣3x﹣4．【点睛】本题考查一次函数的性质及图象，属基础题，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于基础题．【练 3.3】已知二次函数f (x) =x2 +ax +b ，A = {x | f (x) = 2x} = {22} ，试求f (x) 的解析式.【思路分析】由已知中二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根 22，由韦达定理求出a，b的值得答案．【答案】解：∵二次函数f（x）＝x2+a x+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，故方程（x）＝x2+a x+b＝2x有两个相等的实根22，即方程x2+（a﹣2）x+b＝0有两个相等的实根22，即22+22＝﹣（a﹣2）且22×22＝b，解得：a＝﹣42，b＝484，故f（x）＝x2﹣42x+484．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键，是基础题．【考点4 求函数解析式—换元法】【练 4】设函数f (x) 满足f (2x - 3) =x2 +x -1 ，求 f (x) 的解析式；【思路分析】可设2x﹣3＝t，从而求得x=1t3，代入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1并整理可得出ƒ(t)=1t22 2 42t 11，从而得出ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4 4【答案】解：设2x﹣3＝t，则x=1t3，带入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1得：ƒ(t)=(1t3)21t3—1=1t22 22 2 2 2 42t 11；4∴ƒ(x) = 1 x2 2x 11；4 4【点睛】考查换元求函数解析式的方法．x x【练 4.1】已知f ( +1) =x + 2 ，求 f (x) 的解析式【思路分析】令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），代入函数的表达式求出即可；【答案】解：令x—1＝t，则x=t+1，x＝（t+1）2，（t≥﹣1），∴ 由f（x —1）＝x+2 x，得：f（t）＝（t+1）2+2（t+1）＝t2+4t+3，（t≥﹣1），∴f（x）＝x2+4x+3，（x≥﹣1）．【点睛】本题考查的是函数的解析式求法，用待定系数法求解，本题难度不大，属于基础题．【练 4.2】已知函数f (x) 满足关系式f (x + 2) = 2x + 5 ，求f (x) 的解析式；【思路分析】将f（x+2）＝2x+5 中的x+2 看作整体，解得x，代入其解析式，则解得f（x）．【答案】解：令t＝x+2，∴x＝t﹣2∴f（t）＝2t+1令x＝t∴f（x）＝2x+1【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，要注意等价转化，即要注意换元前后的取值范围．【练4.3】已知f（1—x）＝2x，求f（x）的解析式；1x【思路分析】令1—x =t，然后，用t表示x，利用换元法求解其解析式；1x【答案】解：令1—x =t，1x∴x= 1—t，1t∴f（t）＝21—t，1t∴f（x）＝21—x；1x【点睛】本题重点考查了换元法求解函数的解析式，【考点5 求函数解析式—代入法】【练5】已知f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．【思路分析】分别把g（x）和f（x）整体代入到f（x）和g（x）的解析式化简可得．【答案】解：∵f（x）＝3x2+1，g（x）＝2x﹣1，∴f[g（x）]＝3（2x﹣1）2+1＝12x2﹣12x+4；∴g[f（x）]＝2（3x2+1）﹣1＝6x2+1【点睛】本题考查复合函数的解析式，属基础题．【练5.1】已知函数f（x）＝2x+1，g（x）＝3x2﹣5（1）求f（1），g（2）的值（2）求g（a+1）的表达式（3）求f（g（x））的表达式．【思路分析】（1）根据函数f（x）、g（x）的对应法则，分别将x＝1、x＝2 代入，即可求出f（1），g（2）的值；（2）根据g（x）的对应法则，用a+1 代替x，化简即可得出g（a+1）的表达式；（3）先在f（x）表达式中用g（x）代替x，得f（g（x））＝2g（x）+1，再将g（x）表达式代入即可得到所求．【答案】解：根据题意，得（1）f（1）＝2×1+1＝3，g（2）＝3×22﹣5＝7；（2）g（a+1）＝3（a+1）2﹣5＝3a2+6a﹣2；（3）f（g（x））＝2g（x）+1＝2[3x2﹣5]+1＝6x2﹣9．【点睛】本题给出函数f（x）、g（x）的表达式，求f（g（x）的表达式．着重考查了函数的定义和解析式的求法等知识，属于基础题．【练5.2】已知f（x）＝2x﹣1，g（x）1=1x2（1）求f（x+1），g （1），f（g （x））；x（2）写出函数f（x）与g（x）定义域和值域．【思路分析】（1）分别代入化简即可；（2）直接写出定义域与值域．【答案】解：（1）f（x+1）＝2（x+1）﹣1＝2x+1；g（1）= 1 = x2 ，x 111x22xf（g（x））＝f（ 1 ）＝2 1 —1；1x2 1x2（2）函数f（x）的定义域为R，值域R；g（x）的定义域为R，值域为（0，1]．【点睛】本题考查了函数的定义域与值域的求法，属于基础题．【练5.3】函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，则g（x）＝．【思路分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【答案】解：函数f（x）＝3x﹣1，若f[g（x）]＝2x+3，可得 3g（x）﹣1＝2x+3，解得g（x）= 2 x 4．3 3故答案为：2 x 4．3 3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．【考点6 求函数解析式—方程组法】【练 6】已知函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．【思路分析】利用方程思想求解函数的解析式即可．【答案】解：函数f（x）对任意的x∈R 都满足f（x）+2f（﹣x）＝3x﹣2，…①，则f（﹣x）+2f（x）＝﹣3x﹣2，…②，①﹣2×②可得：﹣3f（x）＝9x+2，可得f（x）＝﹣3x—2．3f（x）的解析式：f（x）＝﹣3x—2．3【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．【练 6.1】已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求f（x）的解析式．【思路分析】由题意，设f（x）＝a x+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；【答案】解：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）＝ax+b，（a≠0），则f[f（x）]＝f[a x+b]＝a（a x+b）+b＝a2x+a b+b，又∵f[f（x）]＝9x+4，∴a2x+a b+b＝9x+4，即t2 = 9 ，t䘞䘞= 4解得t = 3或t =— 3，䘞 = 1 䘞 =— 2∴f（x）＝3x+1 或f（x）＝﹣3x﹣2；【点睛】本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．【练6.2】已知f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，求f（x）的解析式．x【思路分析】根据f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2，用1代替x，得出另一方程，解方程组，求出f（x）的解析x x式．【答案】解：∵f（x）﹣2f（1）＝3x﹣2…①，x∴f（1）﹣2f（x）＝3•1—2…②，x x②×2，得；2f（1）﹣4f（x）= 6—4…③，x x③+①，得；﹣3f （x ）＝3x 6 —6，x∴f （x ）＝﹣x — 2 —2．x【点睛】本题考查了利用方程组求函数解析式的应用问题，是基础题目．【练 6.3】已知 f （x ）是一次函数，且 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，求 f （x ）的解析式；【思路分析】根据题意，设f （x ）＝k x +b ，结合题意可得 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3，解可得 k 、b 的值，2( — m 䘞) — 䘞 =— 1 代入函数的解析式即可得答案；【答案】解：根据题意，设 f （x ）＝kx +b ， 若 2f （1）+3f （2）＝3，2f （﹣1）﹣f （0）＝﹣1，则有 2(m 䘞) 3(2m 䘞) = 3， 2( — m 䘞) — 䘞 =— 1解可得：k = 4，b =— 1；99则 f （x ）= 4x — 1；99【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，注意待定系数法的应用，属于基础题．【考点 7 分段函数求值】⎧1 x -1，x ≤ 0【练 7】设函数 f (x ) = ⎪ 2若 f （a ） = a ，则实数 a 的值为()⎨ 1 ⎪ ，x > 0 ⎩ xA. ±1B. -1 C ． -2 或-1 D ． ±1 或-2【思路分析】由分段函数的解析式知，当 x ≥0 时，f （X ）= 1 x — 1；当 x ＜0 时，f （x ）= 1；分别令 f2x（a ）＝a ，即得实数 a 的取值．【答案】解：由题意知，f （a ）＝a ；当 a ≥0 时，有1t — 1 = t ，解得 a ＝﹣2，（不满足条件，舍去）；2当 a ＜0 时，有1= t ，解得 a ＝1（不满足条件，舍去）或 a ＝﹣1．t⎨ 所以实数 a 的值是：a ＝﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数中用解析式解方程的简单问题，需要分段讨论，是分段函数的常用方法．⎧ 1x +1，x ≤ 0【练 7.1】已知 f (x ) = ⎪ 2⎪⎩- (x -1)2，x > 0使 f (x ) ≥ -1 成立的 x 的取值范围是( )A ．[-4 ， 2)B ．[-4 ， 2]C ． (0 ， 2]D ． (-4 ， 2]【思路分析】由分段函数，讨论 x ≤0，x ＞0，由一次不等式和二次不等式的解法，解不等式，求并集即可得到所求范围．【答案】解：f （x ）=1 x 1，x ≤ 䕼2，— (x — 1)2，x ＞䕼由 f （x ）≥﹣1，x ≤ 䕼x ＞䕼可得 1 x 1 ≤— 1或2— (x — 1)2 ≤— 1，即x ≤ 䕼x ≤— 2 或 x ＞䕼 ， 䕼 ≤ x ≤ 2即有﹣4≤x ≤0 或 0＜x ≤2， 可得﹣4≤x ≤2． 即 x 的取值范围是[﹣4，2]． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的运用：解不等式，考查一次不等式和二次不等式的解法，考查运算能力， 属于中档题．⎧⎪x 2 + 4x + 3，x ≤ 0 【练 7.2】已知函数 f (x ) = ⎨则 f ( f （5） ) = ( )⎩⎪ 3 - x ，x > 0A ．0B ． -2 C. -1 D ．1【思路分析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x |x ＞0}，而 f （5）＝﹣2∈{x |x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【答案】解：因为 5＞0，代入函数解析式 f （x ）=x 2 4x 3，x ≤ 䕼得 f （5）＝3﹣5＝﹣2，3 — x ，x ＞䕼⎨- x - 2a ，x ≥ 1所以 f （f （5））＝f （﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式 f （x ）=＝（﹣2）2+4×（﹣2）+3＝﹣1故选：C ．x 2 4x3，x ≤ 䕼3 — x ，x ＞䕼得 f （﹣2）【点睛】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算．【练 7.3】已知实数 a ≠ 0 ，函数 f (x ) = ⎧ 2x + a ，x < 1，若 f (1 - a ) = f (1 + a ) ，则 a 的值为()⎩A. - 34B. 34 C. - 35D. 35【思路分析】若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣ 2a ；若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，由 f （1﹣a ）＝f （1+a ），得 2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ．由此能求出 a 的值．【答案】解：∵实数 a ≠0，函数 f （x ）=2xt ，x ＜1— x — 2t ，x ≤ 1，f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴若 a ＞0，则 1﹣a ＜1，1+a ＞1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1﹣a ）+a ＝﹣（1+a ）﹣2a ，解得 a =— 3，不成立；2若 a ＜0，则 1﹣a ＞1，1+a ＜1，又 f （1﹣a ）＝f （1+a ），∴2（1+a ）+a ＝﹣（1﹣a ）﹣2a ，解得 a =— 3．4∴a =— 3．4故选：B ．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第一册
3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一 函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较优点 缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1 1题型一函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．x 12 3f(x)23 1【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝t t 2－1， 故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c.跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________； (2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)． (2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2) (2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法 设x 2＋2＝t. (2)待定系数法 设f(x)＝ax ＋b.题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2(|x |≤1)，11＋x 2(|x |>1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________.【解析】 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中， 即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10， 故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0)，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π，∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式．题型四 函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}． 例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)． 由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为 M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，(x ＋1)2，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式⎝⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值 例 求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值． 【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5y /元 20 40 60 80 100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
函数的图象(3)三种表示方法【精品课件】
用平面直角坐标系中的 一个图象来表示的．
（1）指出其中的两个变量是 时间t ， 气温T . （2）其中自变量 时,间t 是气温T 的时间函t数.
函数的三种表示法：图象法、列表法、解析式法．
y=2x+2
m/kg l/cm
01
2
3 3.5
…
10 10.5 11 11.5 11.75 …
思考：这三种表示函数的方法各有什么优缺点？
2.列表法
定义：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
思考
用列表法表示函数有 什么优缺点？
列表法一目了然，使用起来比较方便，但列 出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之 间的对应规律.
3.图象法
定义：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法.
思考
用图象法表示函数有 什么优缺点？
图象法形象直观，但只能近似的表达两个变 量之间的函数关系.
解：由于水位在最近5小时内持续 上涨，对于时间t的每一个确定的值， 水位高度y 都有 唯一 的值与其对应， 所以，y 是 t 的函数. 函数解析式为： y=3+0.3t . 自变量的取值范围是： 0≤ t ≤5. 它表示在这 5 小时内，水位 匀速上升的速度为 0.3m/h ，这个函数可以近似地表示水位的 变化规律.
活动二：典型例题 例题 一水库的水位在最近5 h 内持续上涨，下表记录 了这5 h 内6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点， 这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变 化有什么规律？
活动四：谈谈收获 列表法：反映了函数与自变 量的数值对应关系
高中数学必修一知识点总结（全）[整理]
![高中数学必修一知识点总结（全）[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/cfa54f21ef06eff9aef8941ea76e58fafab04528.png)
第一章集合与函数概念课时一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R课时二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：（或BＡ）BA⊆⊇注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；BA⊆（2）A与B是同一集合。
八年级数学函数的相关概念知识点总结
八年级数学函数的相关概念知识点总结一、函数的概念：1、函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 X 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 (function)，其中 x 是自变量。
例如某天的气温随时间变化的曲线如下图所示：从这条曲线可以看出温度是随时间变化的，也就是可以知道不同时间对应的温度和同一温度对应的未使用时间。
2、函数的表示法：可以用三种方法来表示函数: ① 图象法、② 列表法、③ 关系式法。
3、函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
二、理解函数概念时应注意的几点：① 在某一变化过程中有两个变量x与y；② 这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y 的值就随之确定；③ 对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一的一个值与它对应。
如在关系式y^2 = x(x>0)中,当 x=9 时,y 对应的值为 3 或-3,不唯一 ,则 y不是 x的函数。
三、函数的应用：1、判别是否为函数关系；2、确定自变量的取值范围；3、确定实际背景下的函数关系式；4、由自变量的值求函数值；5.探究具体问题中的数量关系和变化规律。
四、典例讲解：例题1、下列各图像中，y 是 x 的函数的图像是（ D ）例题2、在函数变量为x , y，常量为 5 ，-3 ，自变量为x ，当 x = -1 时，函数值为 2 。
例题3、一名老师带领 x 名学生到动物园参观。
已知成人票每张 30 元，学生票每张 10 元。
若设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（A ）例题4、下面的表格列出了一个实验的统计数据，给出的是皮球从高处落下时弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系。
下列能表示这种关系的式子是（ C）例题5、已知两个变量 x , y 满足 2x^2 - 3y + 5 = 0 , 试问：① y 是 x 的函数吗？② x 是 y 的函数吗？若是，写出 y 与 x 的关系式；若不是，请说明理由。
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
第3章-3.1.2-表示函数的方法-3.1.3-简单的分段函数高中数学必修第一册湘教版
≠ −1 ，得 =
≠ −1 ．故选C．
1−
1+
= ,则 =( C
1−
1+
C.
1−
，即
1+
≠ −1
=
1−
，
1+
)
2
+1
D.
≠ −1
例7 (2024·广东省佛山市月考)
（1）已知函数 满足 + 2
1
1
【解析】在已知等式中，将换成 ，得
第3章 函数的概念与性质
3.1 函数
3.1.2 表示函数的方法&3.1.3 简单的分段函数
教材帮丨必备知识解读
知识点1 函数的表示法
例1-1 ［情境题］某大学生应聘到一家企业工作，合同期限为一年，经协商该企业
给这名大学生支付工资的方式是：第一个月3 000 元，以后每个月比上一个月多100
元.若该大学生工作后的第个月的工资为元，则是的函数，分别用解析法、列表
2
2
1,1 ≤ < 2.
图3.1.2-7
【学会了吗丨变式题】
3.根据图3.1.2-8所示的函数 的图象，写出函数的解析式.
图3.1.2-8
【答案】当 ≤ 时，设 = + , ≠ , ≤ .
+ = ,
= −,
将 , , , 代入，得ቊ
法和图象法表示该函数.
【解析】依题意知，以后每个月比上一个月多100元，则可得第个月的工资比第一
个月多100 − 1 元，
又第一个月工资是3 000元，故用解析法表示该函数为
= 3 000 + 100 − 1 = 100 + 2 900， ∈ N+ ，且 < 13.（必须注明函数的定义
高中数学第三章函数概念与性质3.1.2函数的表示法函数的表示法第一册数学教案
第1课时函数的表示法考点学习目标核心素养函数的三种表示方法了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当方法表示函数数学抽象求函数的解析式掌握求函数解析式的常用方法数学运算函数图象的作法及应用会作函数的图象并从图象上获取有用信息直观想象问题导学预习教材P67，并思考以下问题：1．函数的表示方法有哪几种？2．函数的表示方法有什么特点？函数的表示法■名师点拨(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．(3)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )答案：(1)×(2)×已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )A ．y ＝1x B ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x2解析：选C.设y ＝k x ，由题意得1＝k2，解得k ＝2，所以y ＝2x.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________．x 1 2 3 4 f (x )3241解析：由题设给出的表知f (3)＝4， 则f (f (3))＝f (4)＝1. 答案：1函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域是________，值域是________．答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1) 函数的三种表示方法某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x (x 为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【解】 (1)列表法：x /台1234 5 6 7 8 9 10 y /元 3 000 6 000 9 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}．(1)函数三种表示方法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．(2)应用函数三种表示方法应注意以下三点①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是________．x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20 y＝f(x)46810当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}．当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为∅.当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为∅.综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1，2，3，5}．答案：{1，2，3，5}3．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表：x 1 2 3 f (x ) 2 3 1 x 1 2 3 g (x )321则方程g (f (x ))＝x 的解集为________．解析：当x ＝1时，f (1)＝2，g (f (1))＝2，不符合题意； 当x ＝2时，f (2)＝3，g (f (2))＝1，不符合题意； 当x ＝3时，f (3)＝1，g (f (3))＝3，符合题意． 综上，方程g (f (x ))＝x 的解集为{3}． 答案：{3} 求函数的解析式(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式；(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．【解】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二：(换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，所以f (t )＝(t －1)2＋2（t －1）2＝t 2－1(t ≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，令x ＝1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .于是得到关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f （x ）＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．1．(2019·辽源检测)设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝1＋x 1－xB ．f (x )＝1＋xx －1C ．f (x )＝1－x1＋xD ．f (x )＝2x x ＋1解析：选C.令t ＝1－x1＋x ，解得x ＝1－t1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ， 可得f (t )＝1－t1＋t ，所以f (x )＝1－x1＋x.2．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． 解：因为f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① 所以将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ②×2－①得3f (x )＝x 2－6x ，所以f (x )＝13x 2－2x .函数图象的作法及应用作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2，2]． 【解】 (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345当x ∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]．(2)列表：x2345…y 123 12 25…当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1，8]．函数y＝f(x)图象的画法(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋2，|x|≤3；(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.解：(1)因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)；(2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．1.已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝( )A．2 B．4C．0 D．3解析：选C.结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4解析：选A.法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.法二：因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.3．已知函数f (x )＝x －mx，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m 的值为________．解析：因为函数f (x )＝x －mx的图象过点(5，4)，所以4＝5－m5，解得m ＝5.答案：54．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )．解：因为f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1.由f (x ＋1)－f (x )＝2x ， 得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.[A 基础达标]1．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )C ．(0，20]D ．N *解析：选B.由表格可知，y 的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}．2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝( )A ．0B ．8C ．2D ．－2解析：选B.因为f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 且f (1)＝0，f (3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，即f (x )＝x 2－4x ＋3， 所以f (－1)＝1＋4＋3＝8.3．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1D ．0解析：选B.法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， 所以f (t )＝(t ＋1)2－3， 所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.法二：f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2， 所以f (x )＝x 2＋2x －2， 所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. 法三：令x －1＝2，所以x ＝3， 所以f (2)＝32－3＝6.4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )等于( )A.23x ＋5 B.23x ＋1 C ．2x －3D ．2x ＋1解析：选A.因为f (x )是一次函数， 所以设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由3f (x ＋1)＝2x ＋17，得3[a (x ＋1)＋b ]＝2x ＋17， 整理得3ax ＋3(a ＋b )＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2，3（a ＋b ）＝17，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝5，所以f (x )＝23x ＋5，故选A.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．6．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x) 的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为________．解析：由函数g(x则f(g(2))＝f(1)＝2.答案：27．(2019·莆田检测)函数y＝x2＋2x－3在区间[－3，0]上的值域为________．解析：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－1，因为x∈[－3，0]，所以当x＝－3时，y max＝0，当x＝－1时，y min＝－4.函数的值域为[－4，0]．答案：[－4，0]8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x ＋24，则5a －b ＝________．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b＋3＝x 2＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得a ＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：29.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求： (1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，有唯一的m 值与之对应．解：(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由题图知值域为[－2，2]．(3)由题图知：p ∈(0，2]时，只有唯一的m 值与之对应． 10．已知函数f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )关于x 2成正比，h (x )关于x 成反比，且g (1)＝2, h (1)＝－3.求：(1)函数f (x )的解析式及其定义域； (2)f (4)的值．解：(1)设g (x )＝k 1x 2(k 1∈R ，且k 1≠0)，h (x )＝k 2x(k 2∈R ，且k 2≠0)， 由于g (1)＝2，h (1)＝－3，所以k 1＝2，k 2＝－3. 所以f (x )＝2x 2－3x，定义域是(0，＋∞)．(2)由(1)，得f (4)＝2×42－34＝612.[B 能力提升]11．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x2(x ≠－1)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1)B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1)C ．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x2(x ≠－1)解析：选 C.设1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝4t 2＋2t 2＝2t 1＋t 2，即f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)．故选C.12．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B.因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.13．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．解：f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示： (1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)＞f (0)＞f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．[C 拓展探究]14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；①又因为|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |＝22，所以b 2－4ac ＝8a 2；② 又由已知得c ＝1.③由①②③解得b ＝2，a ＝12，c ＝1，所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.。
三次函数求根公式高中.docx
三次函数求根公式高中标题：三次函数求根公式在高中数学中的实际应用引言：在高中数学中，我们学习了各种函数和方程，并且通过解方程的方法来解决实际问题。
其中，三次函数是一个非常重要的概念，它在数学和科学领域有着广泛的应用。
本文将阐述三次函数求根公式在高中数学中的实际应用。
一、三次函数与其求根公式的概念1.1 三次函数的定义三次函数是指次数为3的多项式函数，通常表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
其中，a、b、c、d是实数，而x是自变量。
三次函数的图像通常是一个弯曲的曲线，具有很多特性和性质。
1.2 求根公式的定义求根公式是指用数学方法解三次函数方程的公式。
对于一般的三次函数方程f(x) = 0，可以通过求根公式来求解方程的根。
二、高中数学中的实际应用2.1 物理学中的牛顿运动定律牛顿运动定律是物理学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的运动规律。
在求解牛顿运动方程中，经常会出现三次函数方程，通过求根公式可以得到方程的实根，从而求解出物体的位置和速度等信息。
2.2 经济学中的需求与供给在经济学中，需求与供给是两个基本概念，它们关系到社会的经济发展和资源的分配。
通过建立数学模型，可以用三次函数来描述需求与供给的关系，通过求根公式可以确定平衡点，从而得到市场均衡时的价格和数量。
2.3 生态学中的物种数量动态生态学研究物种的数量动态与生态系统的平衡。
生态学家通过观测和实验，建立了各种模型来描述物种数量与环境因素的关系。
很多模型中都存在三次函数方程，通过求根公式可以确定物种数量的平衡点，从而分析生态系统的稳定性和变化趋势。
三、解决实际问题的思考对于高中生来说，学习三次函数求根公式不仅仅是为了应对考试，更重要的是培养批判性思维和解决实际问题的能力。
通过应用数学知识，我们可以在生活和学习中更好地理解和分析现象，解决实际问题。
结论：三次函数求根公式在高中数学中具有重要的实际应用，尤其在物理学、经济学和生态学等领域中。
三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号
三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号三角函数是数学中的一个重要概念，它是数学中的一种函数，常用于描述角度和三角形的关系。
三角函数包括正弦、余弦、正切三个函数，它们在数学中有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义和三个三角函数在各个象限内的符号。
一、三角函数的定义三角函数是指一个角度和一个比率之间的关系。
三角函数包括正弦、余弦、正切三个函数，它们的定义如下：1、正弦函数正弦函数是指一个角度的正弦值与其对边与斜边的比率之间的关系。
正弦函数的定义如下：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ表示角度，sin表示正弦函数。
2、余弦函数余弦函数是指一个角度的余弦值与其邻边与斜边的比率之间的关系。
余弦函数的定义如下：cosθ = 邻边 / 斜边其中，θ表示角度，cos表示余弦函数。
3、正切函数正切函数是指一个角度的正切值与其对边与邻边的比率之间的关系。
正切函数的定义如下：tanθ = 对边 / 邻边其中，θ表示角度，tan表示正切函数。
二、三个三角函数在各个象限内的符号在平面直角坐标系中，将x轴和y轴分别称为横轴和纵轴，以原点为起点建立一个角度，我们将平面分成四个象限，如下图所示：在不同象限内，三角函数的符号是不同的。
具体如下：1、第一象限在第一象限中，角度的大小在0到90度之间，此时正弦函数、余弦函数和正切函数的值都为正数。
2、第二象限在第二象限中，角度的大小在90度到180度之间，此时正弦函数的值为正数，余弦函数和正切函数的值为负数。
3、第三象限在第三象限中，角度的大小在180度到270度之间，此时正弦函数和余弦函数的值为负数，正切函数的值为正数。
4、第四象限在第四象限中，角度的大小在270度到360度之间，此时正弦函数的值为负数，余弦函数和正切函数的值为正数。
三、总结三角函数是数学中的一个重要概念，它是数学中的一种函数，常用于描述角度和三角形的关系。
三角函数包括正弦、余弦、正切三个函数，它们在数学中有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的表示方法一、教学目标知识与技能1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.理解分段函数的定义，能用图像表示简单的分段函数过程与方法1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.2.学会用描点法画一些简单函数的图象情感态度与价值观感受数学来源于生活，及在生活中的运用，理解数学的有用性二、课时：1课时三、课型：新授课四、教学重点难点教学重点:合理选用函数的表示方法表示函数；分段函数表示及图像教学难点:分段函数概念的理解五、教法：启发式、探究式六、教学用具：书、粉笔、黑板（多媒体）七、教学过程导入新课思路1.语言是人与人之间进行沟通的工具。
同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.推进新课新知探究提出问题我们在初中已经接触过函数三种表示法:解析法、图象法和列表法，同学们回忆一下，它们是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例思路1例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如气温变化图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6活动：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势. 注意：本例为了研究学生的学习情况,虽然函数的图像是离散的点，但是为了研究成绩的变化特点，我们将离散的点用虚线连接,这样有利于我们研究 练习1将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a ).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.练习2向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6练习3车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 关于x 的函数关系式; (2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.活动：让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.解：(1)由题意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x ∈N *且0≤x≤3500. (2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%, 则3500×(1-40%)≤x≤3 500×(1-25%), 即2100≤x≤2 625,画出函数y=-0.2x+1750(2 100≤x≤2 625)的图象,可得函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是［1225,1330］, 即收入在1225元至1330元之间.点评：本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题;②恰当设未知数;③列出函数解析式,并指明定义域;④转化为函数问题,并解决函数问题;⑤将数学问题的答案还原为实际答案. 例3：画出函数x y =的图像.分析：如果这个函数的解析式没有绝对值，就是一条直线，根据初中的知识同学们都会画，但是由于这个函数的解析式含有绝对值，我们能直接画出，要画出它的图像必须要先去掉绝对值，那怎么去掉绝对值？平方是去绝对值的一种常见方法，但是使用平方之后函数解析式变为了22x y =一样的不好做出它的图像；这个题应该用用分类讨论的方法去掉绝对值。
分类讨论是我们去掉绝对值的另外一种方法，而且这种方法在高中的学习中应用的非常广泛，大家一定要掌握。
当0≥x 时x y =，当0<x 时x y -=，所以函数x y =的解析式可以写成⎩⎨⎧<-≥=0,0,x x x x y ，它的图像是……⎩⎨⎧<-≥=0,0,x x x x y 与我们常见的函数解析式是不是不一样啊？这是一个分段函数的解析式，所谓的分段函数指的是：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则（解析式），这样的函数叫做分段函数。
注意：1.分段函数是一个函数,而不是几个函数2.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集分段函数在生活中运用也是很广泛，例如：个人所得税纳税额、出租车的计费方式等等 例4成都出租车计价方式—普通车（6-23点）8元起步，里程2公里，每公里1.9元；回空里程10公里，每公里2.85元写出出租车里程在5公里（含5公里）以内的打车费与里程之间的函数解析式。
并画出函数图像解：设打车费为y ，里程为x ，由题意可知自变量x 的取值范围是(]5,0，函数关系式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=574.1343,8.1132,9.920,8x x x x y练习4水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水; ②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水; 其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③分析:由图1229甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v 进水=21v 出水;由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述论断仅有①正确. 练习5已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32C ．1，32或 D例6函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是（ ）A ．RB ．[)9,-+∞C ．[]8,1-D ．[]9,1-练习6：若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．小结：1、解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;2、图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质。