第9讲_对流换热数学描述

第九讲
对流换热数学描述
对流换热问题中物理定律和数学描述 的对应关系
质量守恒 动量守恒 能量守恒
连续性方程 流体运动方程 能量方程
对流换热时的能量平衡及能量方程
能量方程表达形式
与坐标系相关，具体形式 与坐标系无关，一般形式 以系统为对象 以控制体为对象 以有限体为对象 以微元体为对象
能量方程推导方式
从通用一般形式到具体特殊形式 从具体坐标系形式到通用一般形式
控制体与系统
控制体： 以假想或真实流体边界包围、形状任意、固 定不动的空间体积（亦存在可运动、变形的 控制体）
系统：指某一确定流体质点集合的总体
控制体的特点： 系统的特点：
（1）控制体的形状与大 小不变，并相对于某坐 标系固定不动。控制体 内的流体质点组成并非 是不变的，它们可以通 过控制面进出； （2）控制体可通过控制 面与外界有质量和能量 的交换，也可与控制体 外的环境有力的相互作 用。
针对有限大小系统， 通用平衡原理成为：
D bdV n dA dV
D Vs
As
Vs
b代表单位质量的B n 代表单位面积的φ 代表单位体积的Γ
D
D
(r,
Vs
)dV
V
(r, )
dV
(r,
A
)u ndA
积分表达式
雷诺输运定律, p.20,3-17
微分表达式
Db D
V
(b)dV
t
u t x
v t y
w t z
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
cp
qv
c p
其中，耗散函数表达式为：
2
u x
2
v y
2
w z
2
u y
v x
2
w y
v z
2
w x
u z
2
本讲总结
本讲对能量平衡方程按照从一般到特殊的原则进行 了推导
按此方法，各种情况下的形式可通过逻辑推导得出 平衡一般性表达具有高度概括的特点，可囊括物理
h e pv e p
U2 H h 2
DH
D
p
q
τ u
f
u
qv
针对傅立叶型流体，若将内能用温度表示：e = cv t，
物性参数看为常数。对于不可压情况， u 0
cv = cp。则能量平衡方程最终表达为，
c p
Dt
D
2t qv
在直角坐标系中，以上能量微分方程可以改写成：
An UbdA
An dA
V
dV
dV
ndA
V
A
高斯散度定理
V
(b)dV
V
(Ub)dV
V
dV
V
dV
利用质量守恒 定律，则：
去掉积分号
(b) (Ub)
能量平衡的一般表达
针对平衡的一般表达式，若按能量的定义取变量，有：
b e U 2 / 2, q σ • u 和 f • u qv
内能和动能
热通量和表面力做功
体积力做功和内热源项
其中，e为内能，U为速率，u为速度矢量，σ为应力 张量，q为热通量，f为体积力。
代入积分表达式得能量平衡积分表达式：
控制体体积中内能与动能（如包含势能就 成为机械能）总和随时间的变化
穿越控制面的净内能与动能值
V
(e
U2 2
)dV
A
n
•
u
e
U2 2
• u
f
•u
qv
净热流密度
表面应力做功 单位体积内热源大小
表面应力做功的具体化
应力张量由剪切力和正压力组成， τ σ pI
故，
σ u ( pu) τ u
正压力p做功按照张量运算法则可进一步分解为两部分
( pu) p u u p
容积功（或膨胀功）
引起动能变化
剪切力做功按照张量运算法则也可进一步分解为两项：
dA
A n • qdA A n • • udA V f • udV V qvdV
穿越控制面的热流密度
作用于控制体上的体积力做功
作用于控制面上的应力做功
控制体中的内热源发热（或放热）总和
代入微分表达式得能量平衡微分表达式：
内能与动能总和随时间的变化率 体积力做功
D
D
e
U2 2
• q
• σ
De
D
q
p u
qv
这是用内能形式表达的能量微分方程。 单位为J/(m2·s)。 此式的物理意义是单位体积内的内能在单位时间内的增 量等于热扩散、热辐射（包含在qv中）以及各种流体流动 时的表面力所做的功。
能量微分方程焓的表达形式
Dh
D
Dp
D
q
qv
推导过程需用到可压流体连续性方程
其中，焓的定义为： 若写成总焓形式， 则能量微分方程为：
现象中所有的平衡现象。从而使传热学中的三大平 衡：质量平衡，力平衡以及能量平衡均可用一个表 达式表达，概念简捷、明确 平衡方程分积分和微分两种表达方式。分别针对有 限体和无限小物体得出，前者适用于近似计算，后 者适合于精确分析
τ u u τ τ u
引起动能变化
耗散功
耗散函数的表达
耗散功的具体表示如下：
，
τ u ij
ui x j
11 21 31
12 22 32
13 23 33
u1
x1 u2
x1 u3
u1
x2 u2
x2 u3
u1 x3
u2
x3 u3
x1 x2 x3
其中的Φ称为耗散函数(Dissipation function)，恒为正值
对于牛顿型流体，其应力张量σ遵从广义牛顿内摩擦定律，即：
σ p 2 u I 2ε
3
其中，变形速率张量表达为：
ij
1 2
ui x j
u j xi
，I为单位张量。
故：
τ σ pI 2 uI 2ε
3
由此可得耗散函数φ的具体表达形式
综合正压力做功和剪切力做功，则有：
σ u p u u p u τ
第一项及第四项引起内能变化；第二项及第三项引起动能变
化，此两项需利用动量方程进行简化。
ρ为常数
动量方程写为向量形式，为： Du p f τ
D
将分量形式的三个方程分别乘以该方向的流速后相加可得：
D
D
U2 2
Hale Waihona Puke u pu τ
f
u
因此，
σ u
p u
D
D
U2 2
f
u
将应力做功表达式代入能量平衡微分表达式，可得：
（1）系统将随系统内 质点一起运动，系统 内的质点始终包含在 系统内，系统边界的 形状和所围空间的大 小，则可随运动而变 化； （2）系统与外界无质 量的交换，但可以有 力的相互作用以及能 量（热和功）交换。
平衡的一般表达
一般物理量的通用平衡原理如下：
DB D s
式中：B代表特性量，φ代表穿越表面的通量项，Γ代表体 积源项。下标s代表系统