第9讲_对流换热数学描述

针对有限大小系统， 通用平衡原理成为：
D bdV n dA dV
D Vs
As
Vs
b代表单位质量的B n 代表单位面积的φ 代表单位体积的Γ
D
D
(r,
Vs
)dV
V
(r, )
dV
(r,
A
)u ndA
积分表达式
雷诺输运定律, p.20,3-17
微分表达式
Db D
V
(b)dV
An UbdA
An dA
V
dV
dV
ndA
V
A
高斯散度定理
V
(b)dV
V
(Ub)dV
V
dV
V
dV
利用质量守恒 定律，则：
去掉积分号
(b) (Ub)
能量平衡的一般表达
针对平衡的一般表达式，若按能量的定义取变量，有：
b e U 2 / 2, q σ • u 和 f • u qv
第一项及第四项引起内能变化；第二项及第三项引起动能变
化，此两项需利用动量方程进行简化。
ρ为常数
动量方程写为向量形式，为： Du p f τ
D
将分量形式的三个方程分别乘以该方向的流速后相加可得：
D
D
U2 2
u p
u
τ
f
u
因此，
σ u
p u
D
D
U2 2
f
u
将应力做功表达式代入能量平衡微分表达式，可得：
t
u t x
v t y
w t z
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
cp
qv
c p
其中，耗散函数表达式为：
2
u x
2
v y
2
w z
2
u y
v x
2
w y
v z
2
w x
u z
2
本讲总结
本讲对能量平衡方程按照从一般到特殊的原则进行 了推导
按此方法，各种情况下的形式可通过逻辑推导得出 平衡一般性表达具有高度概括的特点，可囊括物理
τ u u τ τ u
引起动能变化
耗散功
பைடு நூலகம்
耗散函数的表达
耗散功的具体表示如下：
，
τ u ij
ui x j
11 21 31
12 22 32
13 23 33
u1
x1 u2
x1 u3
u1
x2 u2
x2 u3
u1 x3
u2
x3 u3
x1 x2 x3
其中的Φ称为耗散函数(Dissipation function)，恒为正值
• u
f
•u
qv
净热流密度
表面应力做功 单位体积内热源大小
表面应力做功的具体化
应力张量由剪切力和正压力组成， τ σ pI
故，
σ u ( pu) τ u
正压力p做功按照张量运算法则可进一步分解为两部分
( pu) p u u p
容积功（或膨胀功）
引起动能变化
剪切力做功按照张量运算法则也可进一步分解为两项：
现象中所有的平衡现象。从而使传热学中的三大平 衡：质量平衡，力平衡以及能量平衡均可用一个表 达式表达，概念简捷、明确 平衡方程分积分和微分两种表达方式。分别针对有 限体和无限小物体得出，前者适用于近似计算，后 者适合于精确分析
内能和动能
热通量和表面力做功
体积力做功和内热源项
其中，e为内能，U为速率，u为速度矢量，σ为应力 张量，q为热通量，f为体积力。
代入积分表达式得能量平衡积分表达式：
控制体体积中内能与动能（如包含势能就 成为机械能）总和随时间的变化
穿越控制面的净内能与动能值
V
(e
U2 2
)dV
A
n
•
u
e
U2 2
能量方程推导方式
从通用一般形式到具体特殊形式 从具体坐标系形式到通用一般形式
控制体与系统
控制体： 以假想或真实流体边界包围、形状任意、固 定不动的空间体积（亦存在可运动、变形的 控制体）
系统：指某一确定流体质点集合的总体
控制体的特点： 系统的特点：
（1）控制体的形状与大 小不变，并相对于某坐 标系固定不动。控制体 内的流体质点组成并非 是不变的，它们可以通 过控制面进出； （2）控制体可通过控制 面与外界有质量和能量 的交换，也可与控制体 外的环境有力的相互作 用。
dA
A n • qdA A n • • udA V f • udV V qvdV
穿越控制面的热流密度
作用于控制体上的体积力做功
作用于控制面上的应力做功
控制体中的内热源发热（或放热）总和
代入微分表达式得能量平衡微分表达式：
内能与动能总和随时间的变化率 体积力做功
D
D
e
U2 2
• q
• σ
对于牛顿型流体，其应力张量σ遵从广义牛顿内摩擦定律，即：
σ p 2 u I 2ε
3
其中，变形速率张量表达为：
ij
1 2
ui x j
u j xi
，I为单位张量。
故：
τ σ pI 2 uI 2ε
3
由此可得耗散函数φ的具体表达形式
综合正压力做功和剪切力做功，则有：
σ u p u u p u τ
（1）系统将随系统内 质点一起运动，系统 内的质点始终包含在 系统内，系统边界的 形状和所围空间的大 小，则可随运动而变 化； （2）系统与外界无质 量的交换，但可以有 力的相互作用以及能 量（热和功）交换。
平衡的一般表达
一般物理量的通用平衡原理如下：
DB D s
式中：B代表特性量，φ代表穿越表面的通量项，Γ代表体 积源项。下标s代表系统
第九讲
对流换热数学描述
对流换热问题中物理定律和数学描述 的对应关系
质量守恒 动量守恒 能量守恒
连续性方程 流体运动方程 能量方程
对流换热时的能量平衡及能量方程
能量方程表达形式
与坐标系相关，具体形式 与坐标系无关，一般形式 以系统为对象 以控制体为对象 以有限体为对象 以微元体为对象
h e pv e p
U2 H h 2
DH
D
p
q
τ u
f
u
qv
针对傅立叶型流体，若将内能用温度表示：e = cv t，
物性参数看为常数。对于不可压情况， u 0
cv = cp。则能量平衡方程最终表达为，
c p
Dt
D
2t qv
在直角坐标系中，以上能量微分方程可以改写成：
De
D
q
p u
qv
这是用内能形式表达的能量微分方程。 单位为J/(m2·s)。 此式的物理意义是单位体积内的内能在单位时间内的增 量等于热扩散、热辐射（包含在qv中）以及各种流体流动 时的表面力所做的功。
能量微分方程焓的表达形式
Dh
D
Dp
D
q
qv
推导过程需用到可压流体连续性方程
其中，焓的定义为： 若写成总焓形式， 则能量微分方程为：