第三章 傅里叶级数-第三章

傅里叶级数
(2) 求 an .
a0 f ( x ) (ak cos kx bk sinkx) 2 k 1
两边同时乘以 cosnx 并从 到 逐项积分得 a0 f ( x) cosnxdx 2 cosnxdx 三角函数系的正交性 0 [ak cos kx cos nxdx bk sinkx cos nxdx ] k 1 0 k n 时非零
2




cosmx cosnxdx sinmx sinnxdx 0, m n sinmx cosnxdx 0








cos nxdx sin2 nxdx
2


其中m, n 1, 2,
傅里叶级数
傅里叶系数
a0 设 有 f ( x ) (ak coskx bk sinkx) 2 k 1 (1) 求 a0 . 两边积分 a 0 f ( x ) d x (ak coskx bk sinkx)dx 2 dx k 1 三角函数系的正交性 a 0 dx (ak cos kxdx bk sinkxdx ) 2 k 1 0 0 a0 1 a0 f ( x )dx
n 1

这种处理称为谐波分析
傅里叶级数
A0 ( An sin n cosnt An cos n sinnt )

a0 令 A0 , a n An sin n , bn An cos n , t x . 2 a0 (a n cos nx bn sin nx ) 三角级数 2 n 1
傅里叶级数
第五节 傅里叶级数
问题的提出
谐波分析
基本三角函数系及正交性 傅立叶系数及收敛定理 正弦级数与余弦级数 奇延拓与偶延拓
傅里叶(Fourier)级数
上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数. 下面研究另一种重要的函数项级数: 傅里叶
级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而
产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用.
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
傅里叶级数
u
1
1, 当 t 0 u(t ) 当0 t 1,

O
1

t
1 1 1 1 (sin t sin 3t sin 5t sin 7 t sin 9t ) 3 5 7 9 ( t , t 0 )
4
傅里叶级数
把一个周期运动 (如矩形波) 分解为简谐振动的 迭加, 反映在数学上, 是把一个周期函数 f(t) 表示为 各类正弦函数的迭加, 即
f ( t ) A0 An sin( nt n )

即
n 1
f ( t ) A0 ( An sin n cos nt An cos n sinnt )

2
O
1
2

3 2
2
t
傅里叶级数
u
1

O
1

t
1 1 u 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7 t ) 3 5 1 7 4
2
3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
傅里叶级数
u
1

O
1

t
1 1 u 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7 t sin 9t ) 3 5 1 7 9 4
an cos2 nxdx an


an
f ( x ) cos nxdx

1

( n 1, 2, 3, )
傅里叶级数
(2) 求 bn .
a0 f ( x ) (ak coskx bk sinkx) 2 k 1
两边同时乘以 sinnx 并从 到 逐项积分得 a0 f ( x ) sinnxdx 2 sinnxdx 三角函数系的正交性 0 [ak coskx sinnxdx bk sinkx sinnxdx ] k 1 0 k n 时非零
函数 f (t) 满足什么条件, 才能展为 三角级数? 系数 a0 , an , bn 如何确定? 为简便计 , 考虑以2 为周期的函数f ( x ). 1
n 1
傅里叶级数
基本三角函数系的正交性 基本三角函数系 1, cos x , sinx, cos2 x, si n2 x , , cos nx , sinnx , 的正交性是指: 其中任何两个不同的函数的乘积
傅里叶(Fourier)级数
除了正弦函数外, 也会遇到非正弦周期函数, 1, 当 t 0 如矩形波 u(t ) 当0 t 1,
u
1

O
1

t
傅里叶级数
u
1

O
1

t
u
4

2
sin t

2
u
1

2 3
O
1
2

3 2
2
t
傅里叶级数
u
1

OLeabharlann Baidu
1

t
u 1 u (sin t sin 3t ) 3 1
4
2

3 2


2
O
1
2

3 2
2
t
傅里叶级数
u
1

O
1

t
1 1 u u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5 1 4
2
3 2

傅里叶级数
问题的提出
在自然界和人类的生产实践中, 周期运动很常见. 如行星的飞转, 飞轮的旋转, 蒸气机活塞的往复运动, 物体的振动, 声、光、电的波动等. 数学上, 常用周期函数来描述它们.最简单最基本 的周期函数是 正弦型函数 角频率
A sin( t )
简谐波 简谐振动 振幅 时间
2 初相 周期
, 而任 在一个周期长的区间 [ , ]上的积分为零 . 一个函数的自乘 (平方) 在 [ , ] 上的积分非零
傅里叶级数
1, cos x , sinx, cos2 x, sin2 x , , cos nx , sinnx ,
1 dx 2 , 1 cosnxdx 1 sinnxdx 0