高一数学集体备课导学案_必修⑤1.1正弦定理与余弦定理1

高一数学集体备课导学案
授课内容 必修⑤ 1.1正弦定理与余弦定理 主备人
王鑫
时间 2011年8月29日
教学目标
1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。

能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题。

2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识。

教学重点 正、余弦定理的推导及应用
教学难点 通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。

教学手段
启发、实验
课时量 2
教学内容与步骤
备注
第1课时
教学内容：1.1.1正弦定理 教材分析：
正弦定理是一般三角形中的重要边角关系，是解三角形的两个重要定理之一。

首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。

在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。

研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。

分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现a sin B 和b sin A 实际上表示了锐角三角形边AB 上的高。

这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。

钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。

可以考虑采用向量的知识来证明。

教学目标：通过对正弦定理的推导感受由特殊到一般的过程，进一步认识解三角形的意义。

教学重点：掌握正弦定理及应用。

教学难点：例2. 教学过程：
Step1.正弦定理及其证明
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin sin a b c
A B C
== Step2. 说明什么是解三角形以及正弦定理的应用范围。

正弦定理的应用：
用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：
（１）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（２）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.
Step3.通过例1、例2的讲解进一步掌握正弦定理的应用，重要强调例2对结果要进行分类
讨论。

Step4.练习P5第1、2题。

Step5.小结，作业：习题1.1第1、2.
第2课时
教学内容：1.1.2余弦定理 教材分析：
余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，是解三角形的两个重要定理之一。

定理的证明采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。

这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。

教学目标：利用向量推导余弦定理，进一步得出推论，并会应用余弦定理解题。

教学重点：掌握余弦定理及应用。

教学难点：在具体问题中能正确选择应用正弦定理还是余弦定理，对所得结果进行讨论，选取符合条件的结论。

教学过程： Step1.余弦定理及其证明
余弦定理 在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即
2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-；
Step2. 说明余弦定理的应用范围。

余弦定理的应用：
利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题： （1）已知三边，求各角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

Step3. 讲解例题。

Step4.练习：课本练习题.
Step5.小结，作业：习题1.1第3、4题. 【思维引申】三角形解的个数
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a , b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况：
⑴若A 为锐角时: sin sin ()sin (, )³
()a b A a b A b A a b a b <=<<⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩无解
一解直角二解一锐一钝一解锐角，如下图所示： b
a
b
a
b a b a
a 已知边a,
b 和∠A
仅有一个解
有两个解
仅有一个解无解
a ≥
b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA
A
C B A
C
B1A
B
A
C B2C
H
H
H
⑵若A 为直角或钝角时: a b ()
a b ≤>⎧⎨
⎩无解一解锐角。