弯曲应力计算 (1)
弯曲应力
式中：Mn为作用在管道上的扭矩；Wn为管道抗扭截面模量。
作用于Am
式中：V为作用在管道上的剪切力，Q为剪切系数。
管道基本应力可分为环向应力(Sh)，径向应力(Sr)，轴向应力(Sl)和剪切应力(τ)。
环向应力(Sh)的方向垂直于半径指向圆周方向，所以也叫周向应力，它是由管道的内压引起。对于薄壁管，环向应力计算公式为：
Sh =P*D/(2T)
式中：P为管道设计压力；D为管道外径；T为管道壁厚。
径向应力(Sr)的方向沿管道半径方向，垂直于管道表面。内压引起的径向应力在管道内表面为-P，在管道外表面为0。计算公式如下：
Sr =P(Ri2 - Ri2 Ro2/R2)/ (Ro2 - Ri2 )
式中：Ri为管道内壁半径；Ro为管道外壁半径；R为管道轴线到所在点的距离。
轴向应力(Sl)的方向平行于管道轴线，它是由弯矩、压力或作用于管道轴向的力引起。弯矩引起的轴向力在管道截面上沿线性分布，管道最外端受最大轴向拉应力，最内端受最大轴向压应力。弯矩引起的最大轴向力计算公式为：
Sl =Mb*R/I
压力引起的轴向力计算公式为：
Sl =P*D/(4T)
作用于管道轴向的力引起的轴向应力计算公式为：
Sl =FAX/Am
上述式中：Mb为作用于管道上的弯矩；I为管道横截面的惯性矩；FAX为管道轴向力；Am为管壁横截面积。
剪应力是扭矩或作用于管道的剪切力引起。扭矩引起的剪切力计算公式为：
弯曲正应力(1)
C截面下端拉应力达到最大值
t ,max 28.8MPa
例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示
q=60KN/m A
1m B
180 120
30
K z
C
3m
求：1、C 截面上K点正应力
2、C 截面上最大正应力 3、全梁上最大正应力 4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
y
1、截面几何性质计算 确定形心的位置
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;
正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负
及梁的变形状态来 确定。 （6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
实心轴I z =πd 4 / 64
πD 4 d 空心轴I z = (1 4 )；α 64 D
矩形I z =bh3 /12
§5-3
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
My Iz
A FA
M/KNm
C
1m
B
1m FB
1m
2.5
c,max
4
52 88
2.5 103 52 103 17.0MPa 6 7.64 10
（3）结论 zc
B截面下端压应力达到最大值
c,max 46.1MPa
（1）受力分析，画弯矩图 （2）根据弯矩图确定危险截面
（3）截面为关于中性轴对称 M max 应用计算公式 max Wz （5）计算 M max （6）计算 Wz ，选择工字钢型号
（1）计算简图 F F F
F=F1+F2
F1 6.7kN,
F2 50kN,
（2）绘弯矩图 M FL/4 （3）危险截面
材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
折弯压力计算公式
折弯压力计算公式
1. 弯矩（Bending Moment）：在折弯过程中，材料受到的力矩称为弯矩。
弯矩是由于施加的外力和材料的几何形状引起的。
计算弯矩的公式如下：
弯矩=所施加的力×距离力点的距离
2. 弯曲应力（Bending Stress）：材料在折弯时所受到的应力称为弯曲应力。
弯曲应力是由弯矩引起的，而材料的形状和尺寸也会直接影响弯曲应力的大小。
计算弯曲应力的公式如下：
弯曲应力=弯矩×弯曲轴的距离到材料表面的距离/材料惯性矩
3. 折弯力（Bending Force）：为了产生所需的折弯应力，需要施加与所需弯曲应力相匹配的折弯力。
折弯力的大小与材料的性能和几何形状有关。
折弯力的计算公式如下：
折弯力=弯曲应力×弯曲轴到底板的距离×折弯长度
其中，弯曲轴到底板的距离是指折弯时材料中心线到底板的距离，折弯长度是指材料的总长度。
需要注意的是，不同材料的弯曲应力和惯性矩不同，因此需要根据具体的材料性质和几何形状来计算。
常见的材料的弯曲应力和惯性矩数值可以从相关的手册或标准中获取。
此外，在实际计算过程中还需要考虑到诸如材料的弹性模量、材料的厚度等因素。
综上所述，折弯压力的计算公式如下：
折弯力=弯曲应力×弯曲轴到底板的距离×折弯长度
根据具体的材料性质和几何形状，可以从手册或标准中查找材料的弯曲应力和惯性矩的数值，然后代入上述公式进行计算即可得到所需的折弯力量。
需要注意的是，在实际应用中还需要考虑到一些额外的因素，如材料的弹性模量、材料的厚度等。
弯曲应力(剪应力6月9日)(1)
[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]
[1 12
8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz
Iz ym a x
26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核
max
M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件
max
(
FQ Sz,max
I z
)max
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z
A*
yc
b(h 2
y) [ y
h 2
2
y
]
b (h2 24
y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz
1 bh3 12
6FQ bh3
( h2 4
y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学第五章-弯曲应力知识分享
材料力学第五章-弯曲应力注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。
第七章-弯曲应力(1) (2)
M
z
Q
横截面上内力 横截面上切应力
横截面上正应力
Q dA
A
M y dA
A
切应力和正应力的分布函数不知道，2个方程确定不了
切应力无穷个未知数、正应力无穷个未知数，实质是 超静定问题 解决之前，先简化受力状态 —— 理想模型方法
8
横力弯曲与纯弯曲 横力弯曲 ——
剪力Q不为零 （ Bending by transverse force ） 例如AC, DB段
E
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
拉应力
a
e
压应力
y1
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点：
a, b, d
33
（3）计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
M B y2 a Iz 30 MPa （拉） M B y1 b Iz
70 MPa （压）
压应力 B截面
b
d
强度问题 弯曲问题的整个分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形 刚度问题
5
本章主要内容
7.1 弯曲正应力 7.2 弯曲正应力强度条件 7.3 弯曲切应力及强度条件 7.4 弯曲中心 7.5 提高弯曲强度的一些措施
这一堂课先效仿前人，探求出来弯曲正应力
公式，然后解决弯曲正应力强度问题
6
知道公式会用，不知推导，行不行？不行。
2
解：1 画 M 图求有关弯矩
qLx qx M1 ( ) 2 2
2
2
x 1
60kNm
M max qL / 8 67.5kNm
q235b弯曲应力
q235b弯曲应力
Q235B是一种中国国家标准GB/T 700中规定的碳素结构钢，通常用于一些结构工程和建筑项目。
弯曲应力是指在材料发生弯曲时，横截面上各点的受力状态引起的应力。
弯曲应力（σ）可以通过以下公式计算：
σ=M⋅c
I
其中：
●σ是弯曲应力，
●M 是弯矩（弯曲力矩），
● c 是横截面上某一点到截面中性轴的距离，也称为臂长，
●I 是截面的惯性矩。
具体到Q235B钢材，弯曲应力的计算还需要考虑材料的弹性模量（弹性系数）E。
弯曲应力也可以通过以下公式计算：
σ= M⋅c
I = M⋅c
1
3
b⋅h2
其中：
● b 是截面的宽度，
●h 是截面的高度。
要注意的是，这里的计算是基于简单的梁弯曲理论，适用于较小跨度的梁。
对于更复杂的结构和较大的跨度，可能需要考虑更复杂的弯曲理论和计算方法。
在实际工程中，弯曲应力的计算通常需要结合具体的结构形式、载荷条件和边界条件，可能需要进行有限元分析等复杂的计算方法。
因此，建议在具体的工程设计中，根据实际情况进行详细的弯曲应力计算和分析。
弯曲应力计算
在下列情况下， 在下列情况下，还要考虑切应力强度条件 （1）梁跨度较小，或支座附近有较大载荷 ）梁跨度较小， （2）T形、工字形等薄壁截面梁 ） 形 （3）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶 ）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、 合面等进行剪切强度计算
24
切应力计算较复杂， 切应力计算较复杂，不同截面形状有不同的公 式 其中较重要的—— 其中较重要的 矩形截面计算公式， 矩形截面计算公式，切应力分布规律
矩形梁截面上的切应力分布
* Sz τ (y) = Q I zb
* S* = A • y* z c
b 右截面
h 1 h = ( − y )b• ( + y ) 2 2 2 b h2 = ( − y2 ) 2 4
h y a y
z a1
A*
bh Iz = 12
3
3Q 4y2 τ (y) = (1− 2 ) 2bh h
翼板
t
H
h
b z y
腹板为矩形截面时
腹板
S = ∑A • y
* z *
* c
A*
B y
2
H h h 1 H h = B( − ) + ( − ) 2 2 2 2 2 2
h b h 1 h B 2 2 +b( − y ) y + ( − y ) = ( H −h ) + ( − y2 ) 2 2 4 2 2 8
τmax
4Q = 3A
τmax
Q =2 A
7
小论文 —— 推导一种截面的切应力公式
z
z
τm ax
沿翼板宽度方向
实心圆截面
空心圆环
8
弯曲切应力的强度条件
弯曲应力的推导 1
b m
b n
m
n
a
o
b m
a
纵向纤维bb:
变形前 变形后
y
dx
o
b n
bb oo d bb ( y)d
所以纵向纤维bb的应变为:
P
d
a a
o o
b n
yd bb ( y )d d y d d bb
b m
My Iz
前提： 细长梁，即梁的跨高比L/h>5时，其误差 不大；
有一模量为E 1 的矩形截面悬臂梁AB ， A 端固定， B 端自 由。梁长为L ，截面高度为h1 ，宽度为b 。梁上表面粘着模量 为E2 = 2E1 的增强材料层，该层高度h2 = 0.1h1 ，长度和宽 度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为Δ。在B端作 用垂直向下的载荷 FP 。不考虑各部分的自重。 （1）求组合截面中性轴的位置。 （2）求使梁B 端下表面刚好接触D 台面所需的力 FP 。 （3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力。 （4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。
My Iz 横截面上最大正应力为
max
Mymax M M Iz I z / ymax Wz
抗弯截面模量
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：ห้องสมุดไป่ตู้z h b b
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
1
y
横截面上距中性 轴为y处的轴向变 形规律。
C , y.
材料力学第六章弯曲应力1
d c
M
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变 的过渡层--------称为中
q
y1 y2
y
z
b
解：1）画弯矩图
| M |max 0.5ql2 3 kNm
№10槽钢
2）查型钢表：
M
y1
y2
y
b 4.8cm, I z 25.6cm4 , y1 1.52cm y2 4.8 1.52 3.28cm
3）求应力：
M 3000 1.52 178 MPa t max y1 6 25 .6 10 Iz
中间层与横截面的交线 －－中性轴
性层 。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转 动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、线应变的变化规律：
A1 B1 AB AB
a
c
( y )d d d
A1 B1 OO1 OO1
y
y
...... (1)
Mycmax cmax Iz
几种简单截面的抗弯截面系数 b ⑴ 矩形截面
h
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy b/2 6
材料力学第5章弯曲应力
欢迎来到材料力学第5章弯曲应力的世界！在本章中，我们将深入探讨什么是 弯曲应力，并研究其在不同形状截面中的计算方法和应用。
弯曲应力的定义和概念
什么是弯曲应力？
弯曲应力是物体受到外力作用时，在横截面上产生的力分布状态。
应变张量与应力张量
了解应变张量和应力张量的关系是理解弯曲应力的基础。
应力-应变曲线与弯曲应力
探索材料的应力-应变曲线与弯曲应力之间的关系。
弯曲应力在工程中的应用
建筑结构
了解弯曲应力在建筑结构中的应 用，如桥梁和楼梯等。
机械设计
探索弯曲应力在机械设计中的重 要性，如机械零件和工具。
航空航天工程
了解弯曲应力在航空航天工程中 的关键应用，如飞机和火箭。
梯形截面
探索梯形截面的弯曲应力计算方法。
弯曲应力的影响因素
1 外力
外力的大小和方向将直接影响到物体的弯曲应力。
2 截面形状
不同形状的截面将对弯曲应力的分布产生影响。
3 材料的力学性质
材料的弯曲应力极限和应力-应变关系是必须考虑的因素。
材料的弯曲应力极限
如何确定材料的弯曲应力极限
了解如何通过实验和模拟来确定材料的弯曲应力极限。
材料力学中的弯曲应力方程
一般弯曲应力方程
通过一般弯曲应力方程，我们可以计算出材料在弯曲时 的应力。
悬臂梁的弯曲应力
悬臂梁的弯曲应力方程与一般情况下的方程有所不同， 的弯曲应力计算方法
1
圆形截面
2
了解计算圆形截面的弯曲应力的公式和步骤。
3
矩形截面
学习如何计算矩形截面的弯曲应力。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
齿轮弯曲应力计算公式
齿轮弯曲应力计算公式齿轮弯曲应力计算公式弯曲应力概述齿轮在工作时会受到弯曲应力的作用，因此需要对其进行弯曲应力的计算。
弯曲应力是指齿轮在受到外载荷作用时，齿轮齿面上产生的弯曲变形所引起的应力。
弯曲应力计算公式齿轮弯曲应力的计算需要考虑齿轮的几何参数以及受力情况，下面是常用的齿轮弯曲应力计算公式：1.弯曲应力（sigma）的计算公式：sigma = (F * l) / (b * h^2)其中，sigma为弯曲应力，F为外载荷，l为齿轮的长度，b为齿轮的宽度，h为齿轮的模数。
2.弯曲应力（sigma）的修正计算公式：sigma = (F * l) / (b * h^2) * K其中，K为修正系数，由齿轮和齿轮轴的材料性质决定。
3.弯曲应力（sigma）的安全系数计算公式：安全系数 = 弯曲应力极限 / 弯曲应力其中，弯曲应力极限为齿轮材料的弯曲应力极限值。
弯曲应力计算公式举例假设有一台齿轮传动装置，齿轮的模数为2mm，宽度为20mm，长度为100mm。
外载荷为500N，齿轮材料的弯曲应力极限为200MPa。
现在需要计算齿轮的弯曲应力以及安全系数。
1.计算弯曲应力：sigma = (F * l) / (b * h^2)= (500 * 100) / (20 * 2^2)= 125MPa根据计算得到的公式，齿轮的弯曲应力为125MPa。
2.计算安全系数：安全系数 = 弯曲应力极限 / 弯曲应力= 200MPa / 125MPa=通过计算得到的公式，齿轮的安全系数为，表示齿轮的弯曲应力远小于材料的弯曲应力极限，具有较高的安全性。
以上是对齿轮弯曲应力计算公式的列举和举例说明，根据实际情况，可以根据公式进行齿轮的弯曲应力计算，从而评估其结构的合理性和安全性。
当然，还有一些其他的弯曲应力计算公式可以应用于不同的齿轮情况或者特定的应用场景。
这些公式可以根据具体的设计要求和齿轮的几何参数选择使用。
以下是一些常见的齿轮弯曲应力计算公式的补充：1.挤压应力计算公式：当齿轮小于标准公称模数时，可以使用以下公式计算挤压应力：sigma_1 = (F * l * b * h) / (m * p * d * b _s)其中，sigma_1为挤压应力，m为模数，p为压力角，d为齿轮的齿顶直径，b_s为齿宽。
如何计算物体的弯曲应力和应变？
如何计算物体的弯曲应力和应变？
要计算物体的弯曲应力和应变，首先需要了解一些基本概念和公式。
以下是一些可能有用的信息：
1. 弯曲应力：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生弯曲。
这种弯曲会导致物体内部产生应力，称为弯曲应力。
弯曲应力的大小取决于外力的大小、物体的截面尺寸和材料性质等因素。
计算弯曲应力的公式为：σ= F/A，其中σ为弯曲应力，F为作用在物体上的外力，A为物体的截面面积。
2. 应变：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生变形。
这种变形会导致物体内部产生应变。
应变的大小取决于外力的大小、物体的尺寸和材料性质等因素。
计算应变的公式为：ε= ΔL/L，其中ε为应变，ΔL为物体的变形量，L为物体原来的长度。
在实际应用中，为了更准确地计算弯曲应力和应变，需要考虑更多的因素，例如物体的形状、材料性质、温度等。
同时，还需要进行实验测试和有限元分析等方法来验证计算结果的准确性。
矩形梁的弯曲应力
矩形梁的弯曲应力
矩形梁在弯曲时会产生弯曲应力，这是由于梁在受到外力作用时，其截面上的内力分布不均匀所导致的。
弯曲应力的大小与梁的材料、截面形状、尺寸以及所受外力的大小和位置等因素有关。
对于矩形梁，其弯曲应力的计算公式可以根据材料力学的基本原理进行推导。
一般来说，矩形梁的弯曲应力计算公式如下：
σ= My/I
其中，σ表示弯曲应力，M表示截面上的弯矩，y表示所求应力点到中性轴的距离，I表示截面的惯性矩。
对于矩形截面，其惯性矩I的计算公式为：
I = bh^3/12
其中，b表示矩形的宽度，h表示矩形的高度。
将惯性矩I的公式代入弯曲应力σ的公式中，即可得到矩形梁在弯曲时的应力计算公式。
需要注意的是，该公式适用于纯弯曲情况，即梁只受到弯矩作用，而没有受到其他外力的作用。
此外，还需要注意的是，矩形梁在弯曲时，其截面上的应力分布是不均匀的，最大应力通常出现在截面的边缘处，而中性轴上的应力为零。
因此，在设计矩形梁时，需要根据实际情况选择合适的截面尺寸和材料，以确保梁在受到外力作用时能够安全可靠地工作。
螺纹牙弯曲应力计算
螺纹牙弯曲应力计算
（实用版）
目录
1.螺纹牙弯曲应力计算的概述
2.螺纹牙弯曲应力计算的公式
3.螺纹牙弯曲应力计算的实例
4.螺纹牙弯曲应力计算的注意事项
正文
【1.螺纹牙弯曲应力计算的概述】
螺纹牙弯曲应力计算，是一种用于评估螺纹牙在受力情况下弯曲应力的计算方法。
在螺纹连接中，螺纹牙的弯曲应力是一个重要的设计考虑因素，因为过高的弯曲应力可能导致螺纹牙的疲劳破坏。
因此，了解和掌握螺纹牙弯曲应力计算方法，对于螺纹连接的设计和使用具有重要意义。
【2.螺纹牙弯曲应力计算的公式】
螺纹牙弯曲应力计算的公式如下：
σ = T*R/J
其中，σ表示弯曲应力，T 表示扭矩，R 表示螺纹半径，J 表示螺纹截面面积。
【3.螺纹牙弯曲应力计算的实例】
假设一个 M16 的螺纹连接，扭矩为 200N·m，螺纹半径为 8mm，螺纹截面面积为 25.12mm，则可以根据公式计算出其弯曲应力：σ = 200*10^-3 * 8 / 25.12 = 6.32 MPa
【4.螺纹牙弯曲应力计算的注意事项】
在计算螺纹牙弯曲应力时，需要注意以下几点：
1.计算中采用的扭矩应为实际使用中的最大扭矩，以保证计算结果的准确性。
2.螺纹半径和螺纹截面面积的数值应准确无误，以保证计算结果的可靠性。
环形弯曲应力
环形弯曲应力
环形弯曲应力是指在环形物体受到外力作用时，在其截面上产生的弯曲应力。
环形物体的截面通常为圆环形状，它的截面积分布不均匀，因此在受力时会产生弯曲应力。
环形弯曲应力可以通过弯曲应力公式计算得出，公式为：
σ = M * c / I
其中，σ是环形截面的应力，M是外力作用在环形物体上的弯矩，c是环形截面到中性轴的距离，I是环形截面的惯性矩。
弯矩是指外力和截面的距离乘积，而惯性矩是衡量截面抵抗弯曲的能力。
环形弯曲应力的大小取决于外力的大小和作用点的位置，以及环形物体截面的几何形状和材料的特性。
当环形物体受到外力作用时，弯曲应力会导致截面上的某些区域拉伸，而另一些区域则被压缩，这种应力分布会影响到环形物体的强度和稳定性。
环形弯曲应力的研究在工程领域中具有重要意义，特别是在设计和分析环形结构和零件时。
了解环形弯曲应力的性质和分布可以帮助工程师选择合适的材料和几何形状，以确保结构的稳定性和可靠性。
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第7章弯曲应力引言前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。
在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。
由此可见，梁横截面上有剪力Q有弯矩M时，就必然有正应力 。
为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。
弯曲正应力纯弯曲梁的正应力由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。
因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
在梁的各横截面上只有弯矩，而剪力为零的弯曲，称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上，同时存在着剪力和弯矩两种内力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中，BC段为纯弯曲，AB段和CD段为横力弯曲。
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样，需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
图7-1变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b -b 。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。
此时可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。
横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设：(1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。
(2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。
根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。
即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。
由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。
所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。
考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。
设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为式中，ρ为中性层的曲率半径。
该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变ρy θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。
物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由虎克定律，得ρy E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等（图7-5）。
静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。
在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。
在整个横截面上，各微面积上的微内力构成一个空间平行力系。
由静力学关系可知，应满足0=∑x F ，0=∑y M ，0=∑z M 三个平衡方程。
由于所讨论的梁横截面上设有轴力，0=N F ，故由0=∑x F ，得0d ⎰==A N A σF (c) 将式(b)代人式(c)，得式中，E/??恒不为零，故必有静矩0d ⎰==Az A y S ，由第5章知道，只有当z 轴通过截面形心时，静矩S z 才等于零。
由此可得结论：中性轴z 通过横截面的形心。
这样就完全确定了中性轴在横截面上的位置。
由于所讨论的梁横截面上没有内力偶M y ，因此由0=∑y M ,得0d ⎰==A y A z σM (d) 将式(b)代人式(d)，得上式中，由于y 轴为对称轴，故0=yz I ，平衡方程0=∑z M 自然满足。
纯弯曲时各横截面上的弯矩M 均相等。
因此，由0=∑z M ，得⎰=A A y σM d (e)将式(b)代人式(e)，得 z A A I ρE A y ρE A ρy yE M ===⎰⎰d d 2 (f) 由式(f)得 zEI M ρ=1 （7-1） 式中，ρ1为中性层的曲率，EI z 为抗弯刚度，弯矩相同时，梁的抗弯刚度愈大，梁的曲率越小。
最后，将式(7-1)代入式(b)，导出横截面上的弯曲正应力公式为zI My σ= （7-2） 式中，M 为横截面上的弯矩，I z 为横截面对中性轴的惯性矩，y 为横截面上待求应力的y 坐标。
应用此公式时，也可将M 、y 均代入绝对值，σ是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。
以中性轴为界，梁的凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。
以上分析中，虽然把梁的横截面画成矩形，但在导出公式的过程中，并没有使用矩形的几何性质。
所以，只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内，式(7-1)和式(7-2)就适用。
由式(7-2)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。
用y max 表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为上式可改写为z W M σ=max （7-3） 其中 m axy I W z z = （7-4） 为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为[长度]3。
高度为h 、宽度为b 的矩形截面梁，其抗弯截面系数为直径为D 的圆形截面梁的抗弯截面系数为工程中常用的各种型钢，其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。
当横截面对中性轴不对称时．其最大拉应力及最大压应力将不相等。
用式(7-3)计算最大拉应力时，可在式(7-4)中取y max 等于最大拉应力点至中性轴的距离；计算最大压应力时，在式(7-4)中应取y max 等于最大压应力点至中性轴的距离。
例7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图7-6(a)所示。
已知：弯矩M = l ，外径D=50mm ，内径d =25mm 。
试求横截面上a 、b 、c 及d 四点的应力,并绘过a 、b 两点的直径线及过c 、d 两点弦线上各点的应力分布图。
解：（1） 求 I z（2） 求?a 点b 点c 点d 点给定的弯矩为正值，梁凹向上，故a 及c 点是压应力，而b 点是拉应力。
过a 、b 的直 径线及过c 、d 的弦线上的应力分布图如图7-6(b)、(c)所示。
横力弯曲梁的正应力公式（7-2）是纯弯曲情况下以7-2-1提出的两个假设为基础导出的。
工程上最常见的弯曲问题是横力弯曲。
在此情况下，梁的横截面上不仅有弯矩，而且有剪力。
由于剪力的影响，弯曲变形后，梁的横截面将不再保持为平面，即发生所谓的“翘曲”现象，如图7-7（a ）。
但当剪力为常量时，各横截面的翘曲情况完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差异。
图7-7（b ）表示从变形后的横力弯曲梁上截取的微段，由图可见，截面翘曲后，任一层纵向纤维的弧长A ’B ’，与横截面保持平面时该层纤维的弧长完全相等，即A ’B ’=AB 。
所以，对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲正应力公式(7-2)仍然适用。
当梁上作用有分布载荷，横截面上的剪力连续变化时，各横截面的翘曲情况有所不同。
此外，由于分布载荷的作用，使得平行于中性层的各层纤维之间存在挤压应力。
但理论分析结果表明，对于横力弯曲梁，当跨度与高度之比l ／h 大于5时，纯弯曲正应力计算公式(7-2)仍然是适用的，其结果能够满足工程精度要求。
例7-2 槽形截面梁如图7-8(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。
解 绘M 图，得B 、C 两截面的弯矩kN.m 10-=B M ，kN.m 5.7=C M ,如图7-8(b)所示。
求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z 1Oy ，如图7-8(c)所示，得截面形心C 的纵坐标因y 为对称轴，故过形心C 取z 轴，截面对z 轴的惯性矩为B 截面的最大拉应力为C 截面的最大拉应力为可见，梁的最大拉应力发生在C 截面的下部边缘线上。
弯曲切应力横力弯曲时，梁横截面上的内力除弯矩外还有剪力，因而在横截面上除正应力外还有切应力。
本节按梁截面的形状，分几种情况讨论弯曲切应力。
7.3.1 矩形截面梁的切应力在图7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力F Q 皆与截面的对称轴y 重合， 见图7-9(b)。
现分析横截面内距中性轴为y 处的某一横线，ss ’上的切应力分布情况。
根据切应力互等定理可知，在截面两侧边缘的s 和s ’处，切应力的方向一定与截面的侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致。
而由对称关系知，横线中点处切应力的方向，也必然与剪力F Q 的方向相同。
因此可认为横线ss ’上各点处切应力都平行于剪力F Q 。
由以上分析，我们对切应力的分布规律做以下两点假设：1．横截面上各点切应力的方向均与剪力F Q 的方向平行。
2．切应力沿截面宽度均匀分布。
现以横截面m-m 和n-n 从图7-9(a)所示梁中取出长为d x 的微段，见图7-10(a)。
设作用于微段左、右两侧横截面上的剪力为F Q ，弯矩分别为M 和M +d M ，再用距中性层为y 的rs 截面取出一部分mnsr ，见图7-10 (b)。
该部分的左右两个侧面mr 和ns 上分别作用有由弯矩M 和M +d M 引起的正应力mr σ及ns σ。
除此之外，两个侧面上还作用有切应力τ。
根据切应力互等定理，截出部分顶面rs 上也作用有切应力'τ，其值与距中性层为y 处横截面上的切应力τ数值相等，见图7-10(b)、(c)。
设截出部分mnsr 的两个侧面mr 和ns 上的法向微内力mr σd A 和ns σd A 合成的在x 轴方向的法向内力分别为F N 1及F N 2，则F N 2可表示为*z zA z A z A ns N S I M M A y I M M A y I M M A σF d d d d d d 111112+=+=+==⎰⎰⎰ （a ） 同理 *z zN S I M F =1 （b ） 式中，A 1为截出部分mnsr 侧面ns 或mr 的面积，以下简称为部分面积*z S 为A 1对中性轴的静矩。