2016_2017学年高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件

合集下载

北师大版高中数学选修2-3第二章概率—_ 第五节《离散型随机变量的均值与方差》ppt

,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0) 1 P( 1) 10 P( 10) 记为 E 我们称
E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所
得环数随机变量

所取的平均值。
数学期望的定义:
x1 x2 xi xn pn pi P p1 p2 则称 E x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随

机变量取值的平均水平.
一般地，随机变量的概率分布列为
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ; 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
结论1：若 a b, 则 E aE b
P( axi b) P( xi ), i 1, 2, 3
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布列为
ξ P
x1 p1
x2 … xk p2 … pk
… …
xn pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是ξ 和η ,则 ξ ～B(20,0.9),η ～B(20,0.25)，所以Eξ ＝20×0.9＝18， Eη ＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ 和5η .这样，他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ )＝5Eξ ＝5×18＝90， E(5η )＝5Eη ＝5×5＝25．

2017-2018学年高中数学第二章概率5第一课时离散型随机变量的均值教学案北师大版选修2-3

第一课时离散型随机变量的均值[对应学生用书P31]求离散型随机变量的均值[例1] (重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖 3红1蓝 200元二等奖 3红0蓝 50元三等奖2红1蓝10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望EX . [思路点拨] (1)利用古典概型结合计数原理直接求解．(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值．[精解详析] 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知，X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105从而有EX ＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，求出均值．1．(广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望EX ＝( A.32 B ．2 C.52D ．3解析：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.答案：A2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：血型 A B AB O 人数8732(1)现从这20(2)现有A 血型的病人需要输血，从血型为A 、O 的同学中随机选出2人准备献血，记选出A 血型的人数为X ，求随机变量X 的数学期望EX .解：(1)从20人中选出两人的方法数为C 220＝190，选出两人同血型的方法数为C 28＋C 27＋C 23＋C 22＝53，故两人血型相同的概率是53190.(2)X 的取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 22C 210＝145，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 28C 210＝2845.X 的分布列为X 0 1 2 P14516452845∴EX ＝145×0＋1645×1＋2845×2＝45＝5.二项分布及超几何分布的均值[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ，求(1)X 的概率分布； (2)X 和Y 的数学期望．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布． [精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. 所以X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3 P18383818(2)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， ∴EX ＝3×12＝1.5，EY ＝3×23＝2.[一点通] 如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则EX ＝np ；如果随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布时，则EX ＝n MN，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，EX ＝2，则P (X ＝1)等于________．解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12∴EX ＝n ·12＝2， ∴n ＝4，∴P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14.答案：144．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X 表示取出的红球数，则EX 为________．解析：由题意知随机变量X 服从N ＝7，M ＝4，n ＝3的超几何分布，则EX ＝3×47＝127.答案：1275．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望EX .解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6P542 1021 514 121(2)由(1)知EX ＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.数学期望的实际应用[例3] 某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？[思路点拨] (1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解． [精解详析] (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则P (A )＝1－C 35C 39＝3742. 即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为3742.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为X ，则X ＝0,1,2,3，于是P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12＝38， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝3)＝12×12×12＝18，∴顾客中奖的数学期望EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(10分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则1.5x ≤180，解得x ≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本． (12分)[一点通] 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．6．(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25.且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的X 分布列为X 0 100 120 220P 215315415615数学期望为E(X)＝0×15＋100×15＋120×15＋220×15＝＋480＋1 32015＝2 10015＝140.7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．) 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E1＝400×0.3＝120(万元)；②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)，所以总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元)．综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1．求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值．(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．(3)写出分布列，求出数学期望．2．离散型随机变量均值的性质 ①Ec ＝c (c 为常数)；②E (aX ＋b )＝aEX ＋b (a ，b 为常数)； ③E (aX 1＋bX 2)＝aEX 1＋bEX 2(a ，b 为常数)．[对应课时跟踪训练十三]1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( )A ．0.8B ．0.83C ．3D ．2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴EX ＝3×0.8＝2.4.答案：D2．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：X 0 1 2 P0.33k4k随机变量Y ＝2X ＋1，则Y A ．1.1 B ．3.2 C ．11kD ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75解析：X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝3)＝1C 35＝110.∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.答案：C4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析：由题意知X 可能为0,1,2,3，P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B. 答案：B5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2.∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．某射手射击所得环数X 的分布列如下X 7 8 9 10已知EX ＝8.9，则y 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X ，Y 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P 甲＝0.8×0.85＝0.68，P 乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)随机变量X ，Y 的分布列是EX ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，EY ＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×27＋2×27＋3×27＝9.。

高中数学第1部分第二章 §5 第一课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修23

1．随机变量X的均值(数学期望)
(1)均值的定义
设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为
P(X＝ai)＝pi (i＝1,2，…，r)，则X的均值EX＝ a1p1＋a2p2＋…＋arpr .
(2)均值的意义均值刻画的是随机变量 X 取值的“ 中心位置 ”． 2．两种特殊随机变量的均值 (1)当随机变量服从参数为 n，p 的二项分布时，其均值为 np . (2)当随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布时，
解：X 的所有可能取值有 6,2,1，－2，则 P(X＝6)＝122060＝0.63，
ห้องสมุดไป่ตู้
P(X＝2)＝25000＝0.25，P(X＝1)＝22000＝0.1，P(X＝－2)＝2400＝
0.02.
故 X 的分布列为：
X6
2
1
－2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)EX＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34. 故1件产品的平均利润为4.34万元．
6．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、 2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元．设1件产品的利润为X(单位：万元)． (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)．
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为 E1＝400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)；

高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课件北师大版选修2_3

2．二项分布：若 X～B(n，p)，则 DX＝np(1－p)．上述结论证明如下： ∵X～B(n，p)，令 q＝1－p，则 P(X＝i)＝Cinpiqn－i，
n
n
n
∴EX2＝ i2Cinpiqn－i＝i(i－1)Cinpiqn－i＋iCinpiqn－i
i＝0
i＝2
i＝0
n
＝ i(i－1)Cinpiqn－i＋EX
X1 2 34567
P
1 7
11 1 1 1 1 77 7 7 7 7
离散型随机变量 Y 的概率分布列为
Y 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
P
1 7
11 1 1 77 7 7
1 7
1 7
求这两个随机变量的均值、方差．
求解．
[边听边记] EX＝1× 17＋2× 17＋…＋7× 17＝4；
方差的实际应用
甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，收获的情况如下：
甲：
乙：
试评价哪种水稻的质量较好．
[思路导引] 解答本题应先列出甲、乙两种水稻的概率分布，再求期望与方差．
解析：设甲、乙两种水稻的亩产量分别为 X 和 Y. 则 P(X＝300)＝ 12000＝ 15， P(X＝320)＝ 12050＝ 14， P(X＝330)＝ 14000＝ 25， P(X＝340)＝ 11050＝ 230.
则EX＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， DX＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，所以EY＝5×0.6＝3，DY＝5×0.6×0.4＝1.2.
课堂互动讲义
求离散型随机变量的方差

高中数学第二章概率2.5离散型随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值323数学

4
=
5
.
2
12/9/2021
第二十五页，共三十二页。
D.2
等于(
)
1
2
3
4
5
6
2设随机变量X~B(40,p),且EX=16,则p等于(děngyú)(
A.0.1
B.0.2
C.0.3 D.0.4
解析∵EX=40×p=16,∴p=0.4.
答案D
12/9/2021
第二十六页，共三十二页。
)
1
2
3
4
5
6
为事件 B,“通过复审”为事件 C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件 D,则 D=A∪BC.
1 1
因为 P(A)= ×
2 2
3
P(C)=10,
=
1
1
,P(B)=2× ×
4
2
1
12
2
所以 P(D)=P(A∪BC)P(A)+P(B)P(C)=5.
2
(2)根据题意,X=0,1,2,3,4,且 X~B 4, ,
2
3
率分别为3 和 5.现安排甲组研发新产品
A,乙组研发新产品 B.设甲、
乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率(gàilǜ);
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,
预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
12/9/2021
§5 离散(lísàn)型随机变量的均值与方差
12/9/2021
第一页，共三十二页。
第1课时离散型随机变量(suí jī biàn liànɡ)的
均值

高中数学第二章概率2.5离散型随机变量的均值与方差课件北师大版选修23

离散型随机变量的方差
【例2】袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中记上0号的有10
个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.
求ξ的分布列、均值和方差.
分析先列出随机变量的分布列,然后根据方差的计算公式进行计算.
第十五页，共36页。
探究(tànjiū)
一
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
反思感悟求离散型随机变量的方差的一般步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时题中已给出,有时可以省略);
(4)由均值的定义求EX;
(5)由方差的定义求DX.
第十七页，共36页。
探究
(tànjiū)一
探究
(tànjiū)二
X 2 的分布列为
X2
P
80
60
40
2
3
1
6
1
6
1
2
6
3
1
2
1
DX 2 =(40-60)2 × +(60-60)2 × +(80-60)2 ×
6
3
6
1
6
X 2 的均值为 EX 2 =40× +60× +80× =60,
X 2 的方差为
=
400
.
3
因为两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案 2 奖励额的
第三页，共36页。
一
二
名师点拨随机变量的分布相同,则它们(tā men)的均值一定相同;有相
同均值的两个分布未必相同;两个不同的分布也可以有相同的均值.从上

高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值北师大版选修

1．两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信
件数 ξ 的数学期望是( )
A．13
B．23
C．43， ∴Eξ＝2×13＝23.
答案： B
2．若 X 的分布列为
X
0
1
P
1 5
a
，
则 EX＝( )
A．
4 5
B．
1 2
C．
2 5
D．
1 5
解析：由题意知 15＋a＝1，EX＝0× 15＋a＝a＝ 45. 答案： A
的步骤
求离散型随机变量X的数学期望
1．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用X表示得分数；
(1)求X的分布列； (2)求X的期望．
解析： (1)依题意 X 的取值为 0,1,2,3,4. X＝0 时，取 2 黑，则 P(X＝0)＝CC2429＝16； X＝1 时，取 1 黑 1 白，概率 P(X＝1)＝CC14·C92 13＝13； X＝2 时，取 2 白或 1 红 1 黑，概率 P(X＝2)＝CC2329＋CC12·C92 14＝ 3116；
数学期望
(1)设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…， r)．则定义X的均值为_a_1_P_(X__＝__a_1)_＋__a_2_P_(_X_＝__a_2)_＋__…__＋__a_r_P_(_X_＝__a_r) ＝ __a_1_p_1_＋__a_2p_2_＋__…__＋__a_r_p_r __. X 的均值也称作 X 的 _数__学__期__望___ (简称___期__望___)，它是一个数，记作__E_X_____，即EX＝a1p1＋ a2p2＋…＋arpr.

高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的

7 40
1 120
∴E(X)＝0×274＋1×2410＋2×470＋3×1120＝190.
求随机变量的数学期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定 X 的可能取值； (2)计算出 P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用数学期望的计算公式计算 E(X)．
1．已知随机变量 X 的分布列为：
求两点分布、二项分布的均值的方法： (1)准确判断随机变量所服从的分布类型是解决此类问题的关键，通常情况下，在 n 次独立重复试验中事件发生的次数 ξ 服从二项分布，直接代入公式即可求得数学期望． (2)对于两点分布，要准确辨别成功率 p.
2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)X 表示该地的 100 位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的期望．
3．设 E(X)＝10，则 E(3X＋5)＝________. 解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. 答案：35
探究一求离散型随机变量的均值 [典例 1] 在 10 件产品中，有 3 件一等品、4 件二等品、3 件三等品．从这 10 件产品中任取 3 件，求取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望．
解析：设该车主购买乙种保险的概率为 p，由题意知 p×(1－0.5)＝0.3，解得 p＝0.6. (1)设所求概率为 P1，则 P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. ∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20. 所以 X 的期望是 20 人．

2017_2018学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差1课件新人教A版

(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)＝2，则 E(2X)＝ 4.( )
解析：(1)错误，随机变量的数学期望 E(X)是个常量，是随机变量 X 本身固有的一个数字特征．(2)错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平． (3)正确，由均值的性质可知．(4)错误，因为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋ xnpn. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1 2 P 则 ξ 的均值为( A．0 ) 1 C. 8 1 D. 4 1 4 3 1 1 8 4 8
B．－1
1 3 1 1 1 解析：E(ξ)＝－1× ＋0× ＋1× ＋2× ＝ . 4 8 4 8 4 答案：D
3. 已知 Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则 E(X)的值为( A．6 B．5 C．1 D．7
)
解析：因为 E(Y) ＝E(5X＋ 1) ＝ 5E(X) ＋1＝ 6，所以 E(X)＝1. 答案：C
4．若随机变量 X 服从二项分布值为________． 1 4 解析：E(X)＝np＝4× ＝ . 3 3 4 答案： 3
1 B4，3，则
E(X)的
5．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，不命中得 0 分．已知他命中的概率为 0.8，则罚球一次得分 X 的期望是____0.8. 答案：0.8
17 E(Y)＝E(2X－ 3)＝ 2E(X)－3＝ 2×－30－ 3＝－
法二由于 Y＝2X－3，所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20
1 1 1 所以 E(Y) ＝ ( － 7)× ＋ ( － 5)× ＋ ( － 3)× ＋ ( － 4 3 5 1 1 62 1)× ＋1× ＝－ . 6 20 15

高中数学第2章概率 5 离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升

2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章概率5 离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2章概率5 离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3的全部内容。

第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3 一、选择题1．设投掷一个骰子的点数为随机变量ξ，则Dξ为( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：ξ的分布列为∴Eξ＝1×错误!＋2×错误!错误!错误!错误!错误!＝7 2Dξ＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案:C2．已知ξ的分布列如下表．则在下列式子中：①Eξ＝－错误!;②Dξ＝错误!;③P（ξ＝0）＝13.正确的有( )A．0个C．2个D．3个解析：易求得Dξ＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!，故只有①③正确,故选C．答案：C3．若X的分布列如下表所示且EX＝1。

1，则（）A．DX＝2C．DX＝0。

5 D．DX＝0.49解析:0。

2＋p＋0.3＝1,∴p＝0.5.又EX＝0×0.2＋1×0.5＋0。

高中数学第二章概率 5 离散型随机变量的均值与方差学案北师大版选修23

§5 离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值(数学期望)设随机变量X 的可能取值为a 1，a 2，…，a r ，取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…，r )，即X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…，r )．X 的均值为：a 1P (X ＝a 1)＋a 2P (X ＝a 2)＋…＋a r P (X ＝a r )＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r ，即随机变量X 的取值a i 乘上取值为a i 的概率P (X ＝a i )再求和．X 的均值也称作X 的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX ，即EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r .均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”．两点分布的均值为p ，二项分布的均值为p (1－p )．预习交流1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？提示：不一定，如，EX ＝0.5 2．离散型随机变量的方差一般地，设X 是一个离散型随机变量，我们用E (X －EX )2来衡量X与EX的平均偏离程度，E (X －EX )2是(X －EX )2的期望，并称之为随机变量X 的方差，记为DX .方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为p (1－p )，二项分布的方差为npq .预习交流2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差．一、离散型随机变量的均值(数学期望)某运动员投篮命中率为0.6.(1)求一次投篮时命中次数X 的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的期望．思路分析：(1)X 只能取0,1这两个值，列出分布列再求期望；(2)Y ～B (5,0.6)利用公式进行求解．解：(1)投篮一次，命中次数，则EX ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则EY ＝np ＝5×0.6＝3.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的配方方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．(1)写出X的分布列；(2)求X的数学期望EX.(2)由EX的定义得：EX＝(1＋2＋8＋9)×15＋(3＋4＋6＋7)×15＋5×5＝5.求离散型随机变量的均值(数学期望)一般分为两个步骤：(1)列出离散型随机变量的分布列；(2)利用公式求出均值(数学期望)．二、离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下：思路分析：对这两名工人的技术水平进行比较：一是比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是看次品数的波动情况，即方差的大小．解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：EX＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：EY＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，DY＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.易得，EX＝EY，所以两人生产出次品数的均值相同，技术水平相当，但DX＞DY，可见乙的技术比较稳定．已知X(1)求DX；(2)设Y ＝2X －EX ，求DY .解：(1)∵EX ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴DX ＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.(2)∵Y ＝2X －EX∴EY ＝－16×13＋4×5＋24×15＋84×15＋104×15＝16，∴DY ＝(－16－16)2×13＋(4－16)2×25＋(24－16)2×115＋(84－16)2×215＋(104－16)2×115＝1 536.已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望，然后代入方差公式DX ＝E (X －EX )2求方差，在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况，在均值相等或相差不大的情况下，方差越小，说明数据越稳定，波动情况越小．1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14(k ＝1,2,3,4)，则EX ＝( )．A ．52B ．3.5C ．0.25D ．2 答案：A解析：EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.2．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX ＝( )．A ．43B ．83C ．89D ．19 答案：C解析：∵X ～B (4，13)，∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.3．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( )．A ．n ＝4，p ＝0.4B ．n ＝8，p ＝0.2C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45 答案：B解析：∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.4．若随机变量X若EX ＝1.1，则DX ＝答案：0.49解析：由15＋p ＋310＝1，得p ＝12.∴EX ＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2.∴DX ＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.5．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列为：解：∵EX 1＝0，EX 2＝0，∴EX 1＝EX 2.又∵DX 1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋02×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，DX 2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋02×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴DX 1＜DX 2.∴大钟A 的质量较好．。

高中数学 2.5 离散型随机变量的均值与方差(第1课时)离散型随机变量的均值教案苏教版选修23

§2.5.1离散型随机变量的均值教学目标1．了解离散型随机变量的期望的意义， 2．会根据离散型随机变量的分布列求出期望．3．能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题．教学重点：离散型随机变量的期望的概念．教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望．教学过程一、自学导航 1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．2．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？ 3．学生活动⑴直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．⑵学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ ⑶引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． ①如果有n 个数x 1,x 2,… ,x n ,那么②如果n 个数中x 1,x 2 … x k 分别出现f 1,f 2 … ,f k 次（f 1+ f 2+… + f k =n ）则 ③某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？④某射手射击的环数ξ的分布列为:则他射击n 次,射击环数的平均值为．那么，再回到前面的情境问题中来，如何来比较两工人的技术呢？二、探究新知 1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．类似地，若离散型随机变量X 的分布列或概率分布如下：其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．性质（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）三、例题精讲例1 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．解：由2．2节例1可知，随机变量X 的概率分布如表所示：从而258480758550380070042()01234523751237512375123751237512375151.66673E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr N r C C M E X n C N --===∑g g ．例2 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，()k P X k p ==1010(1),0,1,2, (10)k k C p p k -=-=，随机变量X 的概率分布如表所示：X 01 2 3 4 5k p 001010(1)C p p - 11910(1)C p p - 22810(1)C p p - 33710(1)C p p - 44610(1)C p p - 55510(1)C p p -X 67 8 9 10k p 66410(1)C p p - 77310(1)C p p - 88210(1)C p p - 99110(1)C p p -1010010(1)C p p -故10()0.5kk E X kp===∑ 即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)X B n p 时，()E X np =．例3 设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．440044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=；（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216P X C C --==+=（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=，33633363661111115(7)()()()()22222216P X C C --==+=比赛场数的分布列为X 45 6 7P216416 516 516故比赛的期望为()4567 5.812516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．四、课堂精练1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X 的分布列；（2）求X 的期望．2．据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1 运走设备，此时需花费3800元；方案2 建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；方案3 不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．试选择适当的标准，对3种方案进行比较．五、回顾小结1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．二项分布：若X~H(n,M,N)则E(X)＝nM N超几何分布：若X~B(n,p)则E(X)＝np另：如果随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p （E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p）六、拓展延伸七、课后作业课本671,2,3,4P，71P第1题八、教学后记。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

§5 离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值
课前预习学案
某种种子每粒发芽的概率都为0.9.现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则 X的数学期望为____________.
提示：由题意，每粒种子不发芽的概率是1－0.9＝0.1，
所以1 000粒中有1 000×0.1＝100粒需要补种，所以补种的总数为200.
1 C1 · C 1 3 2 X＝3 时，取 1 白 1 红，概率 P(X＝3)＝ C2 ＝6； 9
C2 1 2 X＝4 时，取 2 红，概率 P(X＝4)＝C2＝36. 9 ∴X 分布列为： X P 0 1 6 1 1 3 2 11 36 3 1 6 4 1 36
1 1 11 1 1 14 (2)EX＝0×6＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝ 9 .
解析：
(1)依题意 X 的取值为 0,1,2,3,4.
C2 1 4 X＝0 时，取 2 黑，则 P(X＝0)＝C2＝6； 9 X＝1 时，取 1 黑 1 白，
1 C1 · C 1 4 3 概率 P(X＝1)＝ C2 ＝3； 9
C2 C1 C1 3 2· 4 X＝2 时，取 2 白或 1 红 1 黑，概率 P(X＝2)＝C2＋ C2 ＝ 9 9 11 36；
1．两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 ξ 的数学期望是( 1 A．3 4 C．3 ) 2 B．3 3 D．4
解析：
由题意知
1 ξ～B2，3，
1 2 ∴Eξ＝2×3＝3.
答案： B
2．若 X 的分布列为 X P 则 EX＝( 4 A． 5 2 C． 5 ) 1 B． 2 1 D． 5 0 1 5 1 a
设 A，B 分别为甲、乙解出该题事件，X 可能
2 4 1 P(X＝0)＝P( A )· P( B )＝1－31－5＝15.
P(X＝1)＝P(A)· P( B )＋P( A )· P(B) 2 4 2 4 2 ＝3×1－5＋1－3×5＝5. 2 4 8 P(X＝2)＝P(A)· P(B)＝3×5＝15.
解析：
(1)依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界
纪录”相互独立，并且每个事件发生的概率相同，设其打破世界纪录的项目数为 X，“该运动员至少能打破 3 项世界纪录” 为事件 A，则有 P(A)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)
3 2 4 4 5 5 ＝C3 0.8 · 0.2 ＋ C 0.8 · 0.2 ＋ C 0.8 ＝0.9420 8. 5 5 5
(2)由(1)的解答可知，X～B(5,0.8)，故所求的数学期望 EX ＝5×0.8＝4.
均值的综合应用
(12 分 ) 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预
解析： (1)X 可能取的值为 0,1,2.
k Ck C3 2· 4 P(X＝k)＝ C3 ，k＝0,1,2.
－
6
∴X 的分布列为 X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5
nM 3×2 (2)方法一：该题服从超几何分布，则 EX＝ N ＝ 6 ＝1. 方法二：由(1)知，X 的均值为 1 3 1 EX＝0×5＋1×5＋2×5＝1.
题一般是转化为求数学期望，用数学期望分析和解决实际问题．
3．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都
(2)当a＝1时，E(ξ＋b)＝__________. Eξ＋b
正确理解离散型随机变量均值
1．均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． 2．随机变量的均值与样本的平均值既有联系又有区别．随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值． 3．随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2
800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求X的分布列； (2)求此员工月工资的期望．
解析： (1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，
i Ci4C4 4 P(X＝i)＝ C4 (i＝0,1,2,3,4)，
－
8
即 X P 0 1 70 1 16 70 2 36 70 3 16 70 4 1 70
(2)令 Y 表示新录用员工的月工资，则 Y 的所有可能取值为 1 2 100，2 800，3 500.则 P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝70， 8 P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝35， 53 P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝70， 1 16 53 EY＝3 500×70＋2 800×70＋2 100×70＝2 280，所以新录用员工月工资的期望为 2 280 元．
∴Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”；事件 A1 表示 “两个月内有一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次”；事件 A2 表示“两个月均被投诉 1 次”．则由事件的独立性得 P(A1)＝C1 2P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09. ∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17.
二项分布与超几何分布的均值
从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加纪念新中国
成立 60 周年演讲活动，设随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值．
[ 思路导引 ]
X服从超几何分布，(1) 可直接利用超几何分
布的分布列求解，(2)既可以根据分布列用定义求，也可以利用超几何分布的均值公式求．
则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，
发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元).11分综合①、②、③、④，比较其总费用可知，选择联合采取
甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
12分
决策问题是日常生活中常见的问题，此类问
数学期望
(1)设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为 pi(i ＝ 1,2 ，…， r) ，即 X 的分布为 P(X ＝ ai) ＝ pi(i ＝ 1,2 ，…， a1P(X＝a1)＋a2P(X＝a2)＋…＋arP(X＝ar) r) ．则定义 X 的均值为 ___________________________________ a1p1＋a2p2＋…＋arpr 数学期望＝ ______________________. X 的均值也称作 X 的 __________
EX ( 简称 ________) ，即 EX＝ a1p1 ＋期望，它是一个数，记作 ________
a2p2＋…＋arpr.
求离散型随机变量X的均值的步骤
1．理解X的意义，写出X可能取的全部值． 2．求X取每个值的概率． 3．写出X的分布列(有时可以省略)． 4．利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
(2)当随机变量服从参数为 n，p 的二项分布时，其均值为 np ；当随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布时， _______
M nN 它的均值 EX＝__________.
(3) 若 η ＝ aξ ＋ b ，其中 a ， b 为常数，则 P(η ＝ axi ＋ b) ＝ P(ξ＝xi) ，E(aξ＋b)＝__________. aEξ＋b __________ 特别地：(1)a＝0时，E(b)＝_______ ， b
课堂互动讲义
求随机变量的均值
若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究．甲 2 4 单独解出该题的概率为3，乙单独解出该题的概率为5，设解出该题的人数为 X，求 EX.
[思路导引]
首先确定随机变量X的可能取值，求出每个X
值对应的概率，写出X的分布列，最后利用定义求出均值．
[边听边记] 取值为 0,1,2.
，
解析：
1 1 4 由题意知 5＋a＝1，EX＝0× 5＋a＝a＝ 5.
答案： A
3．抛掷两个骰子，至少有一个 4点或5 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中，成功次数 ξ 的期望是
____________.
解析：抛掷两枚骰子，都不出现一个 4 点和 5 点的概率
超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应
用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接有规律地写出分布列，求出期望值．
2．在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，那么在本次运动会上： (1)求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率； (2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为ξ，求ξ的数学期望Eξ(即均值)．
(1)求 a 的值和 ξ 的数学期望； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率．