等差数列求和的几种方法

数列求和的几种情形

11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+ ()-n

m n d

=-m

a a

一、分组法

例1 求1

1357(1)(21)n n

S n -=-+-++--L .

变式练习1：已知数列{}n

a 的前n 项和2

50n

S n n =-，试求：

（1）n

a 的通项公式;

（2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n

T

二、倒序相加

()1112()()

n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448L 个

1()

n n a a =+ 1

()2

n

n

n a a S += 例2 求22

2

2

o

o

o

o

sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89

三、错位相减

1

1n n a a q

-=

11(1)(01)

n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q

例3

21123(0)

n n S x x nx x -=++++≠L

变式练习3（1）已知数列{}n

a 的通项.2n

n

a

n =，

求其n 项和n

S

（2）已知数列{}n

a 的通项

()121.3n

n a n ⎛⎫

=- ⎪

⎝⎭

，求其

n 项和n

S

四、裂项相消

例4 已知数列1

{},n

n

a a

的通项公式为求前n 项和.

n （n+1）

变式练习4:（1）1111132435(2)

n n ++++⨯⨯⨯⋅+L .

（2）求数列, (1)

1

,...,321,321,211+++++n n 的前n

项和n

S

}{()

()()()}{111

1,,21152.

n n n n a a a a n n n a -==+

≥-在数列中，写出数列的前项；求数列的通项公式

已知数列{}n

a 满足1

1211

n n a a n a +=++=，，求数列{}n

a 的

通项公式。

求数列1，112+，11

124++，……， 11

124

+++……+1

12n -的和.

解：∵

1

111

1242

n n a -=++++L

11

1()1221212

n

n --==-- ∴111

1(1)(1)224

n

S

=++++++L

1111

(1)

242

n -+++++L 211

(21)(2)(2)

22=-+-+- 11

(2)

2n -++-L

1111

2(1)

242n n -=-++++L

1

1

222

n n -=-+

解：①若x=1，则S n =1+2+3+…+n =

(1)2

n n +

②若x ≠1,则2

1

123n n

S x x nx -=++++L

2

3

23n

n

xS x x x nx =++++L

两式相减得： 2

(1)1n

x S x x -=+++…+n

n nx x

--1

11n n

x nx x

-=--

∴ 2

1(1)1n n

n x nx S x x

-=---