2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.5指数与指数函数课后作业理

2.5 指数与指数函数

[基础送分 提速狂刷练]

一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3

；

②n

a n ＝|a |(n >1，n ∈N *

，n 为偶数)；

③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0

的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73；

④若5a

＝0.3,0.7b

＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②④ 答案 B

解析 当a <0时，(a 2) 3

2 >0，a 3

<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.

2．设函数y ＝x 3

与y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4) 答案 B

解析 如图所示，设f (x )＝x 3

，g (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －2，

f (0)<

g (0)，f (1)g (2)，f (3)>g (3)，….

∴x 0∈(1,2)．故选B.

3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x

，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，

f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )

A ．1

B ．a

C ．2

D ．a 2

答案 A

解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0

＝1，故选A.

4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x

＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)

B ．(－8，－4)

C ．[－8，－4]

D ．(－∞，－8]

答案 D

解析 ∵a ＋4＝－32x

＋4

3

x ，

令3x

＝t (t >0)，则－32x

＋43x ＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫t ＋4t ， 因为⎝ ⎛⎭

⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x

＋43x ≤－4，

∴a ＋4≤－4，

所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.

5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1

－2(e 为

自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合

是( )

A ．{0}

B ．{－3}

C ．{－4,0}

D ．{－3,0} 答案 D

解析 ∵偶函数f (x －2)的图象关于y 轴对称， ∴函数y ＝f (x )的图象关于x ＝－2对称． ∵当x >－2时，f (x )＝e x ＋1

－2，

∵f (x )＝e

x ＋1

－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f (－1)<0，f (0)＝e －2>0.

由零点存在定理可知，函数f (x )＝e

x ＋1

－2在(－1,0)上存在零点．

由函数图象的对称性可知，当x <－2时，存在唯一零点x ∈(－4，－3)．

由题意，方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k －1＝－4或k －1＝－1，k ＝－3或k ＝0.故选D.

6．(2017·安徽三模)函数f (x )＝x 2

－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x

)和f (c x

)的大小关系是( )

A ．f (b x

)≤f (c x

) B ．f (b x

)≥f (c x

) C ．f (b x

)>f (c x

)

D ．大小关系随x 的不同而不同 答案 A

解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，

∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2. 又f (0)＝3， ∴c ＝3.

∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x

≥2x

≥1， ∴f (3x

)≥f (2x )． 若x <0，则3x

<2x

<1， ∴f (3x

)>f (2x )． ∴f (3x

)≥f (2x

)．故选A.

7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x

(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)

答案 D

解析 不等式2x

(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x

－a 与y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，

有－a <1，所以a >－1.故选D.

8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |

－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )

A ．9

B ．10

C ．11

D ．18 答案 B

解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.

9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9

x ＋1

，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a

|x ＋b |

的图象为( )