同步北师大版高中数学选修1-2练习：第三章 §2 数学证明

§2 数学证明
课时过关·能力提升
1.下面说法正确的有( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理; ②演绎推理是由特殊到一般的推理; ③演绎推理的一般模式是三段论形式;
④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
答案:C
2.有一段演绎推理是这样的:“若一条直线平行于一个平面,则该直线平行于平面内所有的直线.已知直线b 不在平面α内,直线a 在平面α内,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a.”此推理的结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误
D.大、小前提都错误
解析:本题的大前提不对,一条直线平行于一个平面,该直线并不与平面内所有的直线都平行. 答案:A
3.等和数列的定义:在一个数列中,如果每一项与它后面一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫作等和数列.下列数列不是等和数列的为( ) A.a n =10
B.a n ={2,n 为奇数,
3,n 为偶数
C.a n ={2n ,n 为奇数,
3n
,n 为偶数
D.a n ={sin 2α,n 为奇数,
cos 2
α,n 为偶数
答案:C
4.“∵四边形ABCD 是矩形,∴四边形ABCD 的对角线相等.”以上推理的大前提是( )
A .正方形都是对角线相等的四边形
B .矩形都是对角线相等的四边形
C .等腰梯形都是对角线相等的四边形
D .矩形都是对边平行且相等的四边形 答案:B
5.在边长不相等的三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边a ,b ,c 应满足的条件是( ) A.a 2<b 2+c 2 B.a 2=b 2+c 2 C.a 2>b 2+c 2
D.a 2≤b 2+c 2
解析:由题意,知cos A =
b 2+
c 2-a 2
2bc
<0,
所以b 2+c 2-a 2<0,所以a 2>b 2+c 2. 答案:C
6.★f (x )是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x )+f (x )<0.对任意正数a ,b ,若a<b ,则必有( )
A.bf(a)<af(b)
B.af(b)<bf(a)
C.af(a)<f(b)
D.bf(b)<f(a)
解析:构造函数F(x)=xf(x),
则F'(x)=xf'(x)+f(x).
由题设条件,知F(x)=xf(x)在(0,+∞)内是减少的.
若a<b,则F(a)>F(b),即af(a)>bf(b).
又f(x)是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,
所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B.
答案:B
7.用演绎推理证明y=x2在(-∞,0)内是减少的时,大前提是.
解析:大前提:函数递减的定义,即在定义域D内的区间I上,若x1<x2,f(x1)>f(x2),则f(x)在区间I上是减少的.
小前提:y=x2在(-∞,0)内,对于x1<x2,有f(x1)>f(x2).
结论:y=x2在(-∞,0)内是减少的.
答案:函数递减的定义
8.“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提).已知平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),则动点M的轨迹是椭圆(结论).”此推理中错误的环节是.
解析:大前提应是到两定点距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.
答案:大前提
9.如图,在锐角三角形ABC中,M为AB的中点,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求
证:EM=DM.(要求:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提.)
证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提 在△ABC 中,AD ⊥BC ,即∠ADB=90°, 小前提 所以△ABD 是直角三角形. 结论
同理,△ABE 也是直角三角形.
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点,DM 是斜边上的中线, 小前提
所以DM =1
2AB.结论 同理,EM =1
2AB. 所以EM=DM.
10.已知正数数列{a n }的前n 项和S n =
a n 2+a n
2
,求证:数列{an}是等差数列.
证明∵S n =
a n 2+a n
2
,∴当n=1时,a 1=
a 12+a 1
2
.
∵a 1>0,∴a 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=
a n 2+a n
2
−
a n -1
2+a n -12
.
∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0. ∵a n >0,∴a n -a n-1=1. ∴{a n }为等差数列.
11.请你把不等式“若a 1,a 2是正实数,则有a 1
2a 2
+a 2
2a 1
≥a 1+a 2”推广到一般情形,并证明你
的结论.
解:推广的结论:若a 1,a 2,…,a n 都是正实数, 则a 1
2a n +a 22a
n -1
+⋯+
a n -1
2
a 2
+a n 2
a 1
≥a 1+a 2+…+a n .
证明:因为a 1,a 2,…,a n 都是正实数, 所以a 1
2a n +an ≥2a 1,a 22a
n -1
+an −1≥2a 2,…,
a n -1
2
a 2
+a2≥2a n-1,a n
2a 1
+a1≥2a n .
故a 12a n
+a 22a
n -1
+⋯+
a n -1
2
a 2
+a n 2
a 1
≥a 1+a 2+…+a n .
12.★如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的棱长均为a ,D ,E 分别为C 1C ,AB 的中点,A 1B 交AB 1于点G.
求证:(1)A 1B ⊥AD ; (2)CE ∥平面AB 1D. 证明(1)连接A 1D ,DG ,BD ,
因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱, 所以四边形A 1ABB 1为正方形, 所以A 1B ⊥AB 1. 因为D 是C 1C 的中点,
所以△A1C1D≌△BCD,
所以A1D=BD.
因为G为A1B的中点,
所以A1B⊥DG.
因为DG∩AB1=G,DG⫋平面AB1D,AB1⫋平面AB1D,所以A1B⊥平面AB1D.因为AD⫋平面AB1D,所以A1B⊥AD.
(2)连接GE,因为EG∥A1A,DC∥AA1,
所以GE∥DC.
因为GE=1
2AA1=1
2
a,DC=1
2
CC1=1
2
a,
所以GE=DC.
所以四边形GECD为平行四边形,
所以EC∥GD.
因为EC⊈平面AB1D,DG⫋平面AB1D, 所以EC∥平面AB1D.
由Ruize收集整理。

感谢您的支持！。