2018-2019版高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 交集、并集学案 苏教版必修1

2018-2019版高中数学第一章集合与函数概念 1.3 交集、并集学
案苏教版必修1
学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集.4.会用区间表示某段连续实数构成的集合．
知识点一并集
思考某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？
梳理(1)定义：一般地，______________________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作________(读作“A并B”)．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝________________.
(3)图形语言：、阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝________，A∪A＝______，A∪∅＝______，A∪B＝A⇔________，A______A∪B. 知识点二交集
思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
梳理(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为A与B的交集，记作________(读作“A交B”)．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝________________.
(3)图形语言：阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩∅＝______，A∩B＝A⇔______，A∩B______A∪B，A∩B______A，A∩B______B.
知识点三集合的区间表示
(1)为叙述方便，在今后的学习中，常常会用到区间的概念，用区间表示集合如下表(其中a，b∈R，且a<b)：
(2)注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
类型一求并集
命题角度1 数集求并集
例1 (1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B＝________.
(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.
跟踪训练1 (1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.
命题角度2 点集求并集
例2 集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．
反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练2 集合A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}，求A∪B，并说明其几何意义．
类型二求交集
例3 (1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝________.
(2)若集合M＝[－2,2)，N＝{0,1,2}，则M∩N＝________.
(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B，并说明其几何意义．
反思与感悟求集合A∩B的步骤
(1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么．
(2)把所求交集用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．
(3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可．
跟踪训练3 (1)集合A＝(－1,2)，B＝(－∞，1]∪(3，＋∞)，求A∩B；
(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；
(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.
类型三并集、交集性质的应用
例4 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．
引申探究
若把例4中集合A改为A＝[2a，a＋3]，其余条件不变，求a的取值范围．
反思与感悟解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．但表示为区间的集合，规定左端点小于右端点，故不用考虑空集的情形．
跟踪训练4 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a
的取值范围．
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________.
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝________.
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪B＝________.
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B＝________.
5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
3．用区间表示集合的注意事项
(1)只能表示某段所有实数，不能表示离散数集，如{x|1＜x＜10，x∈N}．
(2)要严格区分中括号和小括号．
(3)要确保左端点小于右端点．
答案精析
问题导学
知识点一
思考19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19(人)．
梳理(1)由所有属于集合A或者属于集合B A∪B
(2){x|x∈A，或x∈B}
(4)B∪A A A B⊆A⊆
知识点二
思考1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理(1)属于集合A且属于集合B的所有A∩B(2){x|x∈A，且x∈B}
(4)B∩A A∅A⊆B⊆⊆⊆
题型探究
例1 (1){1,3,4,5,6}
(2)解如图：
由图知A∪B＝{x|－1<x<3}．
跟踪训练1 解(1)∵B＝{－1,2}，
∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
(2)如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
例2 解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．
跟踪训练2 解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．
例3 (1){x|－3<x<2}
解析在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}．
(2){0,1}
解析 M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0,1,2}，则M ∩N ＝{0,1}．
(3)解 A ∩B ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，其几何意义为第一象限所有点的集合． 跟踪训练3 解 (1)A ∩B ＝(－1,1]． (2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}． (3)A ∩B ＝∅.
例4 解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .
当2a >a ＋3，即a >3时，A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时，A ＝{6}，满足A ⊆B . 当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，
需⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <3，a ＋3<－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <3，
2a >5，
解得a <－4或5
2
<a <3.
综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4，或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >5
2}．
引申探究
解 ∵A ＝[2a ，a ＋3]， ∴有2a ＜a ＋3，即a ＜3. 当a ＜3时，要使A ⊆B ，
由例4可知，只需a ＜－4或5
2＜a ＜3.
∴a 的取值范围是(－∞，－4)∪(5
2
，3)．
跟踪训练4 解 ①当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3； ②当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＋3≥2a ，a ＋3<－1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋3≥2a ，2a >4，
解得a <－4或2<a ≤3.
综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． 当堂训练。