图论模型：最短路
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
图论模型：最短路
T (v3 ) min{ T (v3 ), P(v0 ) f 03 } min{ ,0 1} 1
(3)比较所有的T标号，T(v3 )最小，所以令： P(v3 ) 1;
V1 5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 1 V4 3 T 7 4
4 1 S 4 5
2 V3
解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：
V1
4 1 S 4 5
2 V3
5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 7
4
1 V4 3
T
迭代次数 T（S） T(V1) T(V2) T(V3) T（V4） T（V5） T（V6） T（T） P标号 1 2 3 4 0 +∞ 4 3 3 +∞ +∞ 2 +∞ 1 +∞ +∞ 6 6 +∞ 4 3 3 +∞ 5 5 5 +∞ +∞ +∞ 9 S V3 V2 V1
T (v6 ) 9
(9)比较所有T标号，T(v5 )最小，所以令P(v5 ) 6;
(10)v5为刚得到P标号的点，考察边v5 v2 , v5 v6 , v5 v7的端点 v2 , v6 , v7 :
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v5 ) f 52 } min{ 8,6 1} 7
5
6 7 8 最短路权 父点 0 S 3 V3 2 V3 1 S
6
6 6 6 V3
3
5
5
7
7 7 7
V5
V6 V4 D
3 V3
离散数学--第7章-图论-4最短路问题
返回 结束
7.4.2 Floyd算法
19
定义7.4.1:已知矩阵A＝(aij)m×l，B＝(bjk)l×n，规定C＝A*B ＝(cij)m×n，其中cij＝min(ai1＋b1j, ai2＋b2j, …, ail＋blj)
定义7.4.2已知矩阵A＝(aij)m×n，B＝(bij)m×n，规定D＝A B ＝(dij)m×n，其中dij＝min(aij,bij)
Dijkstra算法在物流配送中的应用
OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现。
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
17
Dijkstra算法要求图上的权是非负数，否则 结果不正确；
Dijkstra算法同样适用于无向图，此时一个 无向边次相当于两个有向边。
5次 u＝e，S＝{a,c,b,d,e}
迭 代
L(e)＋ω (e,z)＝10＋3＝13＜L(z)
L(b)＝3，L(d)＝10，L(e)＝12，L(z)
L(z)＝13
＝∞
结 u＝z，S＝{a,c,b,d,e,z}
3次 u＝b，S＝{a,c,b}
束 从a到z的最短路的长度为13。
迭代 L(b)＋ω (b,d)＝3＋5＝8＜L(d) L(b)＋ω (b,e)＝3＋∞＝∞
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
9
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图)
{G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞}
for i:＝1 to n
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
图论模型(最优连线问题、最短路问题)
v3
8.1 最优连线问题（最小生成树）
例1 现需从自来水厂接自来水管道到各个城镇，自 来水厂到各城镇之间铺设自来水管道价格如下，问 如何铺设最经济。
A 8 B
5
E 1
7 6
水厂
3 10
D 9
C
分析： ①显然铺设的自来水管道要连通各个顶点； ②铺设的管道中如果有回路，则去掉一条边，仍可 行。 故所铺设的管道是连通各个顶点且没有回路的 图形，称为图G的生成树。 我们的目标是寻找一颗图G的生成树，其各条 边的权之和最小，称为最小生成树。 1956年，Kruskal给出了一种求最小生成树的 算法，称为避圈法。
e2 e5
e4
M
v2
v3
v4
v4
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e3
v3
例3
v1 2 v2
v1 v1 v2 v3 v4
3 7
8
M
v2
v3
v4
v4
0 7
2 0 8
0 5
3 0
5
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为： l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注：l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的 最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径，程序执行后输出为：1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化，点击屏幕输入终点以及 在图形上输出显示最短路径。
图与网络分析-最短路
② 给 v2 标号（4）。
③ 划第二个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
4
v3
7
v5
6
v7
表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1 , v2 ) ，最优距离 是4 。 现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1 , v2 的标号。
v1 v3 v6
59 40 28 30
21
v1 (0)
①
12
19 13
v2 (12)
② ③
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
v6
41
⑤
最短路路长为49。 即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。 这时5年的总费用为49。
例3 (选址问题 ) 已知某地区的交通网络如图所示， 其中点代表居民小区，边代表公路，边权为小区间公路距离， 问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就 诊时所走的路程最近？ 解 求中心的问题。 解决方法：先求出 vi 到 其它各点的最短路长 d j
min{ 24 , k34 , k56 , k57 } min{ ,10,13,14} 9 k 9
① 给 (v2 , v4 ) 划成粗线。 ② 给 v4 标号（9）。 ③ 划第5个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6 (13)
1
v1 (0)
图_最短路_2
图论——单源最短路一、最短路两点之间的最短路：给定一个带权图，图中两点i与j的最短路是指从i到j的一条路径，这条路径经过的边的权值之和最小。
求单源最短路：给定一个带权图，求图以结点start为起点的单源最短路是指对每一个结点j<>start，求出start到j的最短路。
二、图的存储方式对于求最短路类问题的算法，图的不同存储方式会产生很大的影响，总的来说，图的存储方式有邻接矩阵，邻接表，前向星等几种。
邻接矩阵：这种存储方法需要开设一个V^2的二维数组edge，对于每两个顶点i和j，如果ij有边，则edge[i,j]=w[i,j]，否则edge[i,j]=-1，这里w[i,j]为边Eij的权。
邻接表：邻接表有链表与数组两种实现方式，如果用数组实现，同邻接矩阵一样需要一个V^2的二维数组edge，edge的每个元素包含两个信息：终点和权值。
另有一个数组a记录从指定顶点出发的边数。
对于每个顶点i，edge[i, j](j=1~a[i])表示从i出发的第j条边的终点与权值。
若用链表实现邻接表，我们可以将edge减成一维，在每个edge[i]后面连一条链表，链表上的每个结点都表示由i出发的一条边。
前向星：前向星的存法只需两个一维数组pos与edge，其中edge[i]存储了第i条边的信息，这些边是按照起点由小到大排好序的，而pos[i]则表示以i为起点的第一条边的位置。
这样在edge[pos[i]~pos[i+1]-1]中便可找到从i出发的所有边的信息。
以下的例子显示了这四种存储图的方法：2 4邻接矩阵：邻接表(数组)：邻接表(链表)：edge各种存储方法的比较：#对于稀疏图而言，复杂度约为常数。
*需要一个O(ElogE)的预处理(排序)。
总的来说，邻接矩阵比较好编写，存储方式简单明了，适合中小规模数据；用数组实现的邻接表与邻接矩阵相差不多；用链表实现的邻接表编程复杂度较高，但效率很好，适合各种各样的图论类题目；前向星只对数组进行操作，编写不是很难，同时效率也不错，在不需要修改边的最短路问题中，前向星是遇到大数据时的最佳选择。
数模最短路与最优问题
定义 若将图 G 的每一条边e 都对应一个实数 w (e )，则称 w (e )为边的 权，并称图 G 为赋权图. 规 定 用 记 号 和 分 别 表 示 图 的 顶 点 数 和 边 数 .
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12
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边（或平行边）．
（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
为顶点的数目．
( 7)若 V=X Y，X Y= ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
1.图论问题的起源
• 18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块,它 们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民热衷于 这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发， 经每座桥一次且仅一次回到出发点？”
N
A
B
S
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1
七桥问题的分析
• 七桥问题看起来不难，很多人都想试一试，但没有 人找到答案 .后来有人写信告诉了当时的著名数学家欧 拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本不可 能.1876年,他证明了自己的猜想.
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6
例如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对 卡特尔税制改革做评估的过程中,就有一个 100,000个约束以上,25,000,000个变量的问题,若 用普通的线性规划求解,预计要花7个月的时间.他 们利用网络分析的方法,将其分解成6个子问题,利 用特殊的网络计算机程序,花了大约7个小时问题 就得到了解决.
其中的元素叫图 G 的顶点. [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边.
第1讲_最短路问题
(1) 若 V1 V， E1 E,且当 e E1 时， 特 1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图． 别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2)
设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1].
1 mij 1 0
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij )nn ，其中：
1 aij 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
注：假设图为简单图
v4 v1 v2 v 3 v 4
若vi 与e j 相关联 若vi 与e j 不关联
e1 1 M= 1 0 0
注：假设图为简单图
e2 e3 e4 e5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )nm ，其中：
公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从 其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任 意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路， 使得总成本最小？ 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每人一项。由于各员工的特点不同， 不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总 回报最大？ 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线 （从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是 我国管梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
数学建模最短路
二部图的赋权匹配
Kuhn-Munkres算法： (1)设G=(X, Y, E)是二部图，从任一可
行顶点标号L开始，确定GL，并在GL 中选取一个匹配M。 (配2)，若是X是G的饱最和佳的匹，配则，M算是法GL终的止完；美否匹 则令，S=在{uG}，L中T=取Φ一；个M-非饱和点u∈X，
33
定理4 (Hall, 1935)对二部图G=(X, Y, E),G存 在饱和X的每个顶点的匹配的充要条件是： 对任何S X,均有|N(S)|≥|S|，这里N(S)为与S 的顶点相邻的所有顶点的集合。
如果G中所有顶点的度数都为k，则称图G 是k正则的。
推论 若G是k正则二部图（k>0），则G有完 美匹配。
最短路问题求解算法
Dijkstra Algorithm
(1)赋初值:令S {u0},l(u0) 0,vS V \ S, 令l(v) , z(v) , u u0
(2)更新l(v),z(v):vS V \ S,若l(v) l(u) w(u,v), 则令l(v) l(u) w(u,v), z(v) u
6
7
10 12
7
9 12
8
12
最后标记：
l(v) 0 2 1 7 3 6 9 12
z(v)u0 u0 u0 u5 u1 u4 u3 u4
最短路问题求解算法
2. Floyd Algorithm (1962): 求任意两点间的最 短路。
D =（dij）n×n, dij是i到j的最短路长， P =（pij）n×n, pij是i到j的最短路上中间节点的
0 6 1
0
7
9
W
0 5 1 2
0
3
9
0 4 6
数学建模最短路问题
设链W=v0e1v1e2…eivi已选定，则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1，除非已无选择余地，否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止，算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图，则G中含有奇度顶点（但奇度顶点的个数为偶数），此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次，它等价于在这些边上加一条或多条重复边，使新图G' 不含奇度顶点，并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例 求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解：先写出距离矩阵（实际应为对称矩阵）
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章 最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支，在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年，这一年发表了图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M-饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想）匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使|M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。
掌握最短路算法的要点
掌握最短路算法的要点最短路算法是图论中的一个重要概念，其应用广泛且具有实际意义。
无论是在计算机科学还是数据分析领域，掌握最短路算法的要点都是非常重要的。
本文将详细介绍最短路算法的概念、应用以及其要点。
一、最短路算法概述最短路算法是用来求解图中两点之间最短路径问题的算法。
该算法考虑了图中各点之间的边权重，通过比较路径的权重来确定最短路径。
最常用的最短路算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是一种单源最短路径算法，用于求解一个节点到其他所有节点之间的最短路径。
它通过不断选择未访问节点中权重最小的节点来更新节点之间的距离。
弗洛伊德算法是一种多源最短路径算法，用于求解图中任意两点之间的最短路径。
它通过动态规划的方式逐步更新节点之间的距离。
弗洛伊德算法适用于解决稠密图中的最短路径问题。
二、最短路算法应用最短路算法有着广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 网络路由在计算机网络中，最短路算法被广泛应用于路由器的路径选择。
路由器根据最短路算法计算出数据包传输的最优路径，以提高网络传输效率和速度。
2. 交通规划最短路算法在交通规划中也有着重要的应用。
比如，在GPS导航系统中，通过最短路算法可以计算出车辆行驶的最短路径，帮助司机选择最快的道路。
3. 电力系统规划在电力系统规划中，最短路算法可以用于计算电力传输的最短路径，以确保电力系统的可靠性和高效性。
通过最短路算法可以优化电力线路的配置和布置。
三、最短路算法要点要想熟练掌握最短路算法，需要注意以下几个要点。
1. 图的表示在实现最短路算法之前，需要先清楚如何表示图。
常见的图表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适用于稠密图，而邻接表适用于稀疏图。
2. 权重的定义在最短路算法中，边的权重是一个重要的因素。
不同的应用场景可能对权重有不同的定义。
比如，在交通规划中，权重可以表示为路径的时间或者距离。
在电力系统规划中，权重可以表示为电力线路的传输损耗。
3. 路径选择策略最短路算法的核心在于选择路径的策略。
浅谈图论（一）——最短路问题
浅谈图论（⼀）——最短路问题图论〔Graph Theory〕是数学的⼀个分⽀。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若⼲给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常⽤来描述某些事物之间的某种特定关系，⽤点代表事物，⽤连接两点的线表⽰相应两个事物间具有这种关系。
（摘⾃百度百科）1.Floyd 弗洛伊德算法这种算法解决的是多源最短路问题（求任意两点之间的最短路径）若我们⽤⼆维数组e[i][j]表⽰点i到点j当前的最短距离（程序运⾏完后数组中存的就是真正的最短距离）那么我们可以⽤e[i][j]=max(e[i][j],e[i][k],e[j][k]);来更新e数组。
也就是⽐较从i到j 和从i到k+从k到j 的距离重点来啦核⼼思想：能否找到第三点使得任意两点的距离变短，即能否找到 i->k->j ⽐ i->j 短，如果能找到，就更新。
下⾯呈上代码：//多元最短路 Floyd O(n^3)#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int maxn=99999999;int n,m,e[1005][1005];int main(){int i,j,k,a,b,c;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(i==j) e[i][j];else e[i][j]=maxn;}}for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);e[a][b]=c;}//Floyd核⼼部分for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)for(k=1;k<=n;k++)if(e[j][k]>e[j][i]+e[i][k])e[j][k]=e[j][i]+e[i][k];for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d ",e[i][j]);printf("\n");}return0;}Floyd很容易发现Floyd算法的时间复杂度是O(N^3)。
第2讲最短路问题
u3
u4
u5
u6
u7
０
１2
7 4
8
2
4 7 4
8
37
4
8
69 4
8
69
6
9
6
9
012
3
u0
u0 u0
u2
6
9
46
u3
u3
u0
u6
u1
u2
u7
u0
u4
u3
u6
u5
Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路
设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均均非负.
对每个顶点，定义两个标记（l(v)，z(v)），其中: l(v) ：表从顶点u0到v的一条路的权．
W 3 1 0 3 6 7 5 3 0 4 3
6
4
0
6
4
4 3 6 0 2
8
7
4
2
0
因G是无向图，故W是对称阵．
迭代 次数
1 2 3 4 5 6 7 8 最后标记 l (v)
z (v)
l(ui )
u0
u1
u2
3 1)
,
1
di(kk
3 1)
5
dk0(jk1)},
0 1 5 2
1
0
4 3
D(2)
5
4
0 2
2 0
1 3 3,
3 0 5
2 3 1 3 5 0
1 2 2 4 5 6
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v1, v2 , v3 , v4}，E {v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4} 例如 设V＝
则G＝（V,E）是一个有4个顶点、6条边的图，其 v4 e6 图解如下图： v v3
3
e2 e3 v1 e1
e6 v4 e5 v2 e4
e3
e2
e5
e4
v1
§7.1 图论的基本概念
定义1 一个有序二元组（V,E）称为一个图，记为G= （V,E），其中① V称为G的顶点集，V≠Φ ，V中的 元素称为顶点或结点，简称点；② E称为G的边集， 其元素称为边，它连接V中的两个点，如果这两个点 是无序的，则称该边为无向边；否则，称为有向边。 如果V＝｛v1,v2,…,vn}是有限非空点集，则称G为有 限图或n阶图。 如果G的每条边都是无向边，则称G为无向图；如果G 的每条边都是有向边，则称G为有向图。否则称G为 混合图。并且常记E＝{e1,e2,…,em}, (ek=vivj,i,j=1,2,…,n), 对于一个图G=（V,E），人们通常用一个图形来表示， 称其为图解。凡是有向图，在图解上用箭头标明其方 向。
e1
v2
一个图会有许多外形不同的图解，如上图。 称点vi,vj为边vivj的端点。在有向图中，称点vi,vj分 别为有向边vivj的始点和终点；称边vivj为点vi的出 边，为点vj入边。
由边连接的两个点称为相邻的点；有一个公共端点的边称 为相邻边；边和它的端点称为互相关联。常用d(v)表示图 G中与顶点v关联的边的数目，d(v)称为顶点v的度数；用 N（v）表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合。 定义2 若将图G的每条边e都对应一个实数F(e)，则称F （e） 为该边的权，并称图G为赋权图，记为G=(V,E,F)。 定义3 设G=(V,E)是一个图， ，
根据上述定理，著名计算机专家狄克斯特拉 （Dijkstra）给出了求G中某一点到其他各点最短 路径的算法——标号法：T标号与P标号。T标号为 试探性标号，P标号为永久性标号。 给vi点一个P标号时，表示从v0（起点）到点vi的 最短路权，vi点的标号不再改变；给vi点一个T标 号时，表示从v0到vi的估计最短路权，是一种临时 标号。凡没有得到P标号的点都标有T标号。
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v0 ) f 02 } min{ ,0 8} 8
T (v3 ) min{ T (v3 ), P(v0 ) f 03 } min{ ,0 1} 1
(3)比较所有的T标号，T(v3 )最小，所以令： P(v3 ) 1;
§7.2 最短路模型及其算法
最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一， 不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运 输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。 定义1 设P（u,v）是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点 v的路径，用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合， 记为， ，则称F(P)为路径P(u,v) 的权或长 F(P) F(e) 度。 eE(P) 定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径，且对任意 在G中连接u,v的路径P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),则 称P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。
(4)v3为刚得到P标号的点，考察边 v3 v2 , v3 v6的端点v2 , v3 :
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v3 ) f 32 } min{ 8,1 7} 8
2 6 5 3
2
V1
1
V4
V 1 6} 9 T (v6 ) min{ T (v6 ), P(v3 ) f 36 } 8min{ ,1 9 V
即：P(v j* ) min{T (v j )}
当存在两个以上最小时，可同时改为P标号，若全 部点均为P标号，则停止； 否则，用v j * 代替vi , 转回（ 2 ） .
例2 求下图中V0到其余各点源自最短路。解： (1)首先给v0以P标号， P (v0 ) 0, 其余各点为T标号， T (vi ) , i 1,2, ,7.
定理 若v0 v1 v2 vk 是G中从v0 到vm的最短路，则对i, j , 1 i j m, vi vi 1 v j必为G中从vi 到v j的最短路.
定义3 设v0 v1v2 vm 是G中从v0 到vm的最短路，则对k , 1 k m，称vk 1为vk的父点.
算法每一步是把某一点的T标号改为P标号，当终点 得到P标号时全部计算结束。其具体步骤如下： （1）赋初值：给起点v0以P标号，P(v0)＝0，其余 各点vi均为T标号,T（vi）＝+∞； （2）更新所有的T标号：若vi点为刚得到的P标号 的点,考虑这样的点vj，边vivj∈E，且vj为T标号，对 vj的T标号进行如下的更改： T (v j ) min{ T (v j ), P(vi ) f i j }, fij 为边vi v j的权数. （3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，
(2)由于边v0 v1 , v0 v2 , v0 v3 E ,
V0 1 V3 7 9 2 8 V1 6 V2 1 5 1 V5 2 V4 3 6 4 3 V6 8 V7
且v1 , v2 , v3 为T标号，所以修正这些点 的标号.
T (v1 ) min{ T (v1 ), P(v0 ) f 01} min{ ,0 2} 2
则称是G的一个通路。如果通路中没有相同的边，则称此 通路为道路；始点和终点相同的道路称为圈或回路；如果 通路中既没有相同的边，又没有相同的顶点，则称此通路 为路径，简称路。 定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。 定义5 连通而无圈的图称为树，常用T表示树。
v0 , v1, v2 ,, vk V , 且1 i k , vi 1vi E