《离散数学A》2011试题及答案
2011年下期离散数学考试题(A)答案
2010—2011学年第2学期计算机系09级计算机科学与技术专业离散数学课程期末考试A 试卷答案一、 判断题：（每小题2分，共10分）1 ×2 √3 √ 4√ 5√二、单选题：（每小题4分，共20 分）1 D2 D3 A4 C5 B6 B7 B8 D二、 填空题：（每小题4分，共20分）1 }{><><><c c b b a a ,,,,,2 {}{}{}{}{}{}{}><><><><><><><><a a a a a a a a ,,1,1,,1,,,1,,,1,1,1,,,1,φφ3 2棵4 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡01101011110101105 }{{}{}d c b a ,,,6 A I R ⋃ 1-⋃R R7 8个顶点8 1-n四、解答题（每小题8分，共32分）1、 解 ))(())((R Q P R Q P ∧⌝→⌝∧∧→ ８分 ４分 ２分)()()()()()()()()()())(())((R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R P Q P R P Q P R Q P R Q P ∨∨∧⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝⇔∨∧⌝∨∧∨⌝∧∨⌝⇔∧⌝∨∧∧∨⌝⇔ 2 解 图的邻接矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100110001000121)(D A 2分 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010010001321)(2D A 6分 所以 图中长度为2的通路总数是10 7分其中有3条回路。
8分3、解 哈斯图如下A 的极大元是7、9、6、8、10；极小元是1 6分最大元不存在，最小元是1 8分4、解 设A ：在1到1000的正整数中能被5整除的数， 则200=AB ：在1到1000的正整数中能被6整除的数， 则166=BC ：在1到1000的正整数中能被8整除的数， 则125=C33=⋂B A 25=⋂C A 41=⋂C B 8=⋂⋂C B A 4分 由包含排斥原理，有C B A C B C A B A C B A C B A ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃= 200+166+125-33-25-41+8=400 6分所以在1-1000中不能被5、6，也不能被8整除的数的个数是1000-400=600 8分五、证明题（10分）前提：r p →; p q →⌝; r ⌝ 2分结论：q 3分证明： ① r p → 前提引入 4分② r ⌝ 前提引入 5 分③ p ⌝ ①② 距取式 7分④ p q →⌝ 前提引入 8分⑤ q ⌝⌝ ③ ④ 距取式 9 分⑥ q ⑤ 置换 10分2010—2011学年第2学期计算机系计科、网工专业09、10级离散数学课程期末考试B 试卷答案一、判断题：（每小题2分，共10分）1、√2、√3、×4、×5、√二、单选题：（每小题4分，共20 分）1 、A 2、D 3 、B 4 、B 5、A 6、A 7、B 8、A三、填空题：（每小题4分，共20分）1 、{}{{}{}{}{}}a a ,,,,φφφ 2、))()((x G x F x ⌝∧∃ 3、 {}><d c , 4 、1 5 、2 6、{}><><><><><><><><><><3,4,2,4,4,3,2,3,4,2,3,2,4,4,3,3,2,2,1,1 7、6 8、回四、解答题（每小题8分，共32分）1、解： r q p r q p r q p ∨⌝∧⇔∨∨⌝⌝⇔→→)()()( 2分而54)()()(m m r q p r q p q p ∨⇔⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⇔⌝∧ 3分7531m m m m r ∨∨∨⇔ 5分所以 ∑⇔→→)7,5,4,3,1()(r q p 6分该 公式的成真赋值是001,011,100,101,111. 8分 2 解： 关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001101100011001001110011A 3分 因R 自反，对称，传递，所以R 是等价关系 4分等价类有[][][]{}5,2,1521===；[][]{}4,343== 8分 3 解：（1）{}A I b d d e f e f c b e b c a e a c c e R ⋃><><><><><><><><><=,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3分（2）A 关于R 的最大元不存在；最小元是e 5分（3）子集{c ，d ，e}的上界是b 和f ， 无上确界。
离散数学考试试题(A卷及答案)
离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？1)((P→Q)∧Q)↔((Q∨R)∧Q) 2)⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R)3)((⌝P∨Q)→R)→((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可满足式。
二、（8分）个体域为{1，2}，求∀x∃y（x+y=4）的真值。
解：∀x∃y（x+y=4）⇔∀x（（x+1=4）∨（x+2=4））⇔（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））⇔（0∨0）∧（0∨1）⇔1∧1⇔0三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？A到B的函数数是多少？解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。
因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。
四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、(10分) 75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。
离散数学试题(A卷答案)
离散数学试题（A卷答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。
解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。
则根据题意应有：A→C⊕D，⌝(B ∧C)，C→⌝D必须同时成立。
因此(A→C⊕D)∧⌝(B∧C)∧(C→⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧(⌝B∨⌝C)∧(⌝C∨⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧((⌝B∧⌝C)∨(⌝B∧⌝D)∨⌝C∨(⌝C∧⌝D))⇔(⌝A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧⌝B∧⌝D)∨(⌝A∧⌝C)∨(⌝A∧⌝C∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝C∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝C∧⌝D)⇔F∨F∨(⌝A∧⌝C)∨F∨F∨(C∧⌝ D∧⌝B)∨F∨F∨(⌝C∧D∧⌝B)∨F∨(⌝C∧D)∨F⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D∧⌝B)∨(⌝C∧D)⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D)⇔T故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。
解：论域：所有人的集合。
S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：∀x(S(x)∧W(x))，∃x Y(x)∃x(S(x)∧Y(x))下面给出证明：(1)∃x Y(x) P(2)Y(c) T(1)，ES(3)∀x(S(x)∧W(x)) P(4)S( c)∧W( c) T(3)，US(5)S( c) T(4)，I(6)S( c)∧Y(c) T(2)(5)，I(7)∃x(S(x)∧Y(x)) T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A⊂B⇒⌝(B⊂A)。
《离散数学》(上)试卷(A卷)及参考答案
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ D ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。
2.下列命题是重言式的是（ C ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。
3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ B ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。
5. 9．关于{,,}X a b c =到{1,2,3}Y =的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}f c -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。
6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ B ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。
离散数学试题（A卷答案）
离散数学试题（A 卷答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q 乙：⌝Q ∧P 丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R ) ⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R ) ⇔⌝P ∧Q ∧⌝R ⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
离散数学11A答案
得分评阅人2 3 4 23 4 4 3 ， 3 2暨 南 大 学 考 试 试 卷教 师 填2011 – 2012 学年度第 1 学期课程名称： 代数结构与图论 授课教师姓名：陈双平考试时间: _2012 _ 年1月_13 日课程类别 必修[√ ] 选修[ ]考试方式 开卷[ ] 闭卷[√ ] 试卷类别 答案 [A ]共 8 页考 生学院(校) 专业班(级)姓名学号内招[ ] 外招[]题 号一二三四五六七八九十总分得 分一、填空题（共 4 小题 8 空，每空 2 分，共 16 分）1.σ-1=，τσ=.2. 设 A ={2，4，6，8}，A 上的二元运算*概念为：a *b =min {a ，b }，则在独异点<A ，*>中，单位元是，零元是。
3. 设 G 是 n (n≧3)阶 m 条边的极大平面图，那么 m 和 n 之间知足什么关系？。
4. 欧拉图的充分必要条件是 。
5. Z 8 的全数生成元是，它有个子群。
二、选择题（共 9 小题，每题 2 分，共 18 分）1. 以下说法正确的选项是( )（A ）货郎担问题很难（B ）货郎担问题无解（C）货郎担问题计算量专门大（D）货郎担问题确实是哈密顿问题2.下列说法错误的是( )（A）欧拉图必连通（B）对偶图必连通（C）平面图必连通（D）哈密顿图必连通3.下面不是二部图的是( )（A）树（B）无圈图（C）完全图K5（D）平凡图4.关于群的说法正确的是（A）群都有子群(B)群的陪集也是群（C）群的并是群（D）有限群只有2个生成元5. 以下论述错误的选项是（A）知足充分条件的集合必然知足必要条件（B）知足充分条件的集合必然知足充分必要条件（C）知足必要条件的集合必然知足充分必要条件（D）知足充分必要条件的集合必然知足必要条件6. 点连通度和边连通度的关系是（A）大于等于（B）大于（C）小于等于（D）小于7. 关于无零因子环，正确的选项是（A）没有零元（B）xy=0，那么x和y中必有一个是0（C）没有零因子(D)零元不唯一8. 关于单位元，正确的说法是（A）单位元确实是1（B）单位元确实是0（C）有单位元，说明有左右单位元（D）单位元不唯一9. 一颗树有2 个2 度结点，1 个3 度结点和3 个4 度结点，那么1 度结点数为（）。
11-12离散数学A卷及答案
2011-2012 2 离散数学（A 卷） 高密校区2011级计专、软专（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1．下列为两个命题变元ｐ，ｑ的最小项的是（ ）A ．ｐ∧ｑ∧⎤ ｐB ．⎤ ｐ∨ｑC ．⎤ ｐ∧ｑD ．⎤ ｐ∨ｐ∨ｑ2．下列语句中是真命题的是（ ）A ．我正在说谎B ．严禁吸烟C ．如果1+2=3，那么雪是黑的D ．如果1+2=5，那么雪是黑的3．在公式x ∀F （x ，y ）→∃ y G （x ，y ）中变元x 是（ ）A ．自由变元B ．约束变元C ．既是自由变元，又是约束变元D ．既不是自由变元，又不是约束变元4．集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（）A ．自反的B ．对称的C ．传递的、对称的D ．反自反的、传递的5．设论域为{l ，2}，与公式)(x xA ∃等价的是( )A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是（ ）A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010101课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:7. 在自然数集N 上，下列运算是可结合的是（ ）A b a b a 2*-=B ．},min{*b a b a =C b a b a --=*D b a b a -=*8．.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( )A.<A ，+>B.<A ，->C.<A ，×>D.<A ，÷>9. 右图的最大入度是( )A ．0B ．1C ．2D ．3第9题图10. 设G 为有n 个结点的简单图，则有（ ）A ．Δ(G)＜nB ．Δ(G)≤nC ．Δ(G)＞nD ．Δ(G)≥n二、填空题(每空2分，共20分)1．设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。
11级离散数学试题(A)参考答案
2011级离散数学(A)参考答案一、填空题（每小题2分，共30分）1. 设():M x x 为人， ():F x x 不吃饭。
将命题“没有不吃饭的人”符号化为：))()((x F x M x ⌝→∀ 或 ))()(((x F x m x ∧∃⌝ 。
2. 设A={1, 2, 3, 4} ，则 A 的全部2元子集共有 6 个。
3. 设p ：明天是周一，q ：明天是周三，r ：我有课。
则命题“如果明天是周一或周三，我就有课”的符号化形式为 r q p →∨)( 。
4. 已知命题公式A 含有2个命题变项，其成真赋值为00、10、11，则其主析取范式为 320m m m ∨∨ 。
5. 设p ：北京比大连人口多，q ：2+2=4，r ：乌鸦是白色的。
则命题公式)()(r p r q ⌝→→∨的真值为 1 。
6. 集合}3,2,1{=A 上的关系}3,2,3,1,2,1{><><><=R ，则=-1R { <2,1>,<3,1>,<3,2> }。
7. 画出下图的补图 。
8.设A={1,2,3}，B={a,b,c}，A 1={1}，f={<1,a>,<2,a>,<3,b>}，则=-))((11A f f { 1,2 }。
9. 设无向图的度数序列为：1，2，2，3，4。
则该无向图的边数m= 6 。
10. 3阶有向完全图的2条边的非同构的生成子图有 4 个。
11. 设〈≤,A 〉为偏序集，A B ⊆。
若y x B y x 与,,∈∀都是可比的，则称B是A 中的一条链，B 中的元素个数称为链的长度。
在偏序集〈{1,2,…,9}，整除〉中，{1,2,4,8}是长为 4 的链。
12. 下面运算表中的单位元是 b 。
13. 写出模4加法群G=<Z 4,⊕ >的运算表14. 模4加法群中， 2-3= 2 。
离散数学试题(A卷及答案)
离散数学试题(A卷及答案)一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T证明: 左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)⇔T (代入)2)∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))证明：∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x)∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))⇔∀xP(x)∧∀xQ(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）。
解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3三、推理证明题（10分）1)(P→(Q→S))∧(⌝R∨P)∧Q⇒R→S证明：（1）R 附加前提（2）⌝R∨P P（3）P T(1)(2)，I（4）P→(Q→S) P（5）Q→S T(3)(4)，I（6）Q P（7）S T(5)(6)，I（8）R→S CP2) ∀x(P(x)∨Q(x))，∀x⌝P(x)⇒∃x Q(x)证明：(1)∀x⌝P(x) P(2)⌝P(c) T(1)，US(3)∀x(P(x)∨Q(x)) P(4)P(c)∨Q(c) T(3)，US(5)Q(c) T(2)(4)，I(6)∃x Q(x) T(5)，EG四、在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8（5分）。
证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。
2011-2012离散数学A卷试题
2011-2012学年第一学期《离散数学》期末考试试卷A一、选择题（共6题，每题3分，共18分）1.设P：天下大雨,Q：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（）A.⎤P∧QB.⎤P→QC.⎤P→⎤QD.P→⎤Q2.谓词公式∀x(P(x)∨∃yR(y))→Q(x)中变元x是（）A.自由变元B.约束变元C.既不是自由变元也不是约束变元D.既是自由变元也是约束变元3.下列命题中不正确的是（）A.x∈{x}-{{x}}B.{x}⊆{x}-{{x}}C.A={x}∪x,则x∈A且x⊆AD.A-B=∅⇔A=B4.设集合}}{,{aAφ=，则下面（）是A的幂集：A}}}{{},{,{aaφ B }}}{,{},{},{,{aaφφφC}}}{,{},{},{{aaφφ D }}}{},{,{aφφ5.设集合A={1，2，3}，下列关系R中不是等价关系的是（）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 6.(a) (b)(d)(c)A （a ）是欧拉图，（b ）是哈密顿图B （a ）是欧拉图，（c ）是哈密顿图C （b ）是欧拉图，（d ）是哈密顿图D （c ）是欧拉图，（d ）是哈密顿图 二、填空题（共8题，每题3分,共24分）1.已知256)(,64)(,3===B A P B P A ，则=B ， =B A ，=-)(B A P .2. 命题公式r q p B r q p A →⌝∧=∨→=)(),(，它们关系是 A B （填写“⇔⇐⇒,,”）. 3 .判别命题公式的类型：q q p∧→⌝)(是 公式.4.中根遍历下图中结点的次序为 .5.设f ∶R →R,f(x)=x+3,g ∶R →R,g(x)=2x+1,则复合函数_________))(g (f =x ,______)x )(f (g = 。
2010～2011学年度第一学期离散数学试题A卷及答案
2010～2011学年度第 一 学期《离散数学》试卷（A 卷）适用专业年级：2009信息与计算科学 网络工程 软件工程及计算机科学与技术专业（本）考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、选择题（每小题 3分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）1.设命题公式G ：()p q r ⌝↔∧,则使公式G 取值为1的,,p q r 赋值分别为（ ）（A ）0,0,0 （B ）0,0,1 （C ）0,1,1 （D ）1,1,1 2.以下的联结词不是联结词完备集的是（ ） （A ）1{}S =⌝∧， （B ）1{}S =⌝∨， （C ）1{}S =∧∨→↔，，，（D ）1{}S =↓3.下述等价式不正确的是（ ） （A ）()()xAx x A x ⌝∀⇔∃⌝ （B ）()()xA x x A x ⌝∃⇔∀⌝（C ）()()x A x B xA x B∀→⇔∃→（） （D ）()()x A x B xA x B∃→⇔∃→（）4.设集合A={a,b }，A 上的关系R={<a,a >,<b,b > }，则R 是（ ） （A ）是等价关系但不是偏序关系 （B ）是偏序关系但不是等价关系 （C ） 既是等价关系又是偏序关系 （D ）既不是等价关系又不是偏序关系 5．无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且（ ）………………………………………线………………………………………订………………………………………装…………………………………………………（A ）G 中各顶点的度数均相等 （B ）G 中各顶点的度数之和为偶数（D ）G 中各顶点的度数均为奇数二、填空题（每题 3分，共15分）1．“有的运动员不是大学生”符号化为 . （设P(x):x 是运动员；Q(x):x 是大学生）2. 设S ={<1,2>,<2,4>,<3,3>},R ={<1,3>,<2,4>,<4,2>}, 则S R = .3．下图所具有的关系性质有： .4．设有一棵树，它有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，其余为叶 则它的树叶数为 个. 共有6个结点11条边，则它的面数为 ． 三、计算题： 求公式()p q r →⌝↔的主析取范式和主合取范式（10 分）四、演绎证明： 前提：p ,,,q pr q s r p q∨→→→⌝∧⌝ 结论：s （10分）五、设A={1,2,3,4}，R 是A 上的一个关系，R={<a,b>|a ，b ∈A ，(a-b)/2=k ，k ∈Z}，证明R 是A 上的等价关系，并按关系R 给出A 上的划分。
离散数学试卷(A)
离散数学试卷(A)一、单项选择题(每小题2分。
共20分)在每小题的四个备选答案中只有一个正确的答案。
请将正确答案的序号写在题干的括号内。
1.设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( ).A.{2}∈AB.{a}⊆AC.∅⊆{{a}}⊆B ⊆ED.{{a},1,3,4}⊂ B.2.除非613≥ ，否则79≤。
令r: 613≥，s ：79≤，可符号化为（ ）.A.s r →B. r s →⌝C. s r →⌝D. r s →3.使命题公式()p q q ∧→为假的赋值是（ ）A.10B.01C.00D.114. ()r q p ↔→的合取范式是（ ）A.()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨；B. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨C. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；D. ()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；5．判断下列各式中，不是合式公式的是 ( )A.S R Q ∧→B.()()S R P →↔C.()()()P Q Q P →→→⌝D.()K RS →6. 下列语句中是命题的只有（ ）A ．1+1=10B ．x+y=10C ．sinx+siny<0D ．x mod 3=2 7．设A={1，2，3，4，5}，下面集合等于A 的是( )A ．{1，2，3，4} B.{}252≤x x x 是整数，且C ．{}5≤x x x 是正整数，且D ．{}5≤x x x 是正有理数，且8．设f 和g 都是x 上的双射函数，则()1-g f ( ) A.11--g f B. ()1-f gC. 11--f gD. 1-g f9.下面等值式不正确的是：( C )A.A A A ⇔∨ ;B. ()B A B A ⌝∨⌝⇔∧⌝ ;C. ()B B A A ⇔∧∨;D. B A B A ∨⌝⇔→;10.R 代表实数集合，针对给定的函数集合f ，下面函数f: R R →属于双射的是：（ ）A. ()x x f 2=B. ()x x f sin =C. ()23x x x f -=D. ()x x f x +=2二、判断题（每题2分，共10分)11. A 是合式公式，但()B A ∨不一定就是合式公式( )12. q p →为真当且仅当p 与q 同时为真或同时为假（ ）13.设i i m M 与是命题变项1p ，2p ，。
离散数学试卷及问题详解
离散数学试题（A卷答案）一、（10分）求(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))的主析取范式解：(P↓Q)→(P∧⌝(Q∨⌝R))⇔⌝(⌝( P∨Q))∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q)∨(P∧⌝Q∧R))⇔(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨⌝Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q)∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨(R∧⌝R))∧(P∨Q∨R)⇔(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨⌝R)∧(P∨Q∨R)⇔M∧1M⇔m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m2二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。
则根据题意应有：甲：⌝P∧Q乙：⌝Q∧P丙：⌝Q∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )⊆'R 。
《离散数学A》2011试题及答案
页眉内容西南科技大学2010-2011-2学期《离散数学A》本科期末考试试卷（B卷）参考答案及评分细则一、判断题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）将每小题的判断结果写在答题纸上，正确的写“正确”，错误的写“错误”。
1. “3+3=6”,不是命题。
（错误）2. 命题公式（P∨⌝Q→Q）是偶然式。
（正确）3. 若B中不含有x，则∀x（A(x)→B）⇔∀xA(x)→B。
（错误）4. 如果论述域是{a，b}，则∃xR(x) ⇔R(a)∧R(b)。
（错误）5. 若集合A的基数|A|=5，则A的幂集的基数|ρ(A)|=32。
（正确）6. 设A是一个集合，则A⊗A=∅。
（错误）7. 设R是非空集合A上的二元关系，则R的传递闭包t(R)=R⋃R0。
（错误）8. 所有欧拉图的顶点次（度）数一定是偶数。
（正确）9. 无向图G是二部图当且仅当G中所有回路的长度均为偶数。
（正确）10. K5、K3,3都是非平面图。
（正确）二、简单计算题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）将每小题的计算结果写在答题纸上。
1. 设P：我有时间；Q：我去镇上，用逻辑符合写出命题“只有我有时间，我才去镇上。
”。
答案：Q→P2. 对命题公式：P→（Q∨⌝R）∧⌝P∧Q化为仅含∨和⌝的等价表达式。
答案：⌝（P∨Q）3. 设S(x)：x是火车，L(x)：x是卡车，F(x,y)：x比y快。
在谓词逻辑中符号化命题“所有火车都比所有卡车快”。
答案：∀x(S(x)→∀y(L(y) ∧F（x , y）)4. 求谓词公式∃xP(x)∧∃xQ(x)的前束范式。
答案：∃x∃y(P(x)∧Q(x))5. 在一个班级50个学生中，有26人在第一次考试中得到A，21人在第二次考试中得到A，假如17人两次考试都没有得到A，问有多少学生在两次考试中都得到A？答案：14人。
6. 假设A是n个元素的有限集合，有多少个元素在A上的最小等价关系中？答案：n个。
7. 二元关系的关系图如下图所示，则R具有哪些特性（性质）？答案：R是反自反的、对称的。
11离散数学a卷答案
上海海洋大学试卷答案姓名： 学号： 专业班名：一、选择填空题（每空3分，共42分） 1、C 2、B3、00，10 ， ()()p q p q ∨⌝∧⌝∨⌝4、 令F(x):x 是运动员，G(x):x 是强壮的 (()())(()(x F x G x x F x G x ∀→⌝∃∧⌝或5、(()())x y P x Q y ∃∀→6、A7、 (1,2)[3,⋃8、 13,f f 9、{1,1,2,2}<><> 答案不唯一 11、 n 为奇数 。
12、612、 90 ， {000，001，01，10，11}三、（8分）设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A 、B 、C 的控制：当且仅当A 和C 同时关闭或B 和C 同时关闭时灯亮。
设p ：开关A 关闭，q ：开关B 关闭，r ：开关C 关闭，G 表示灯亮。
求G 的主析取和主合取范式。
解：由题意可知()()G p r q r ⇔∧∨∧()()()(p q r p q r p q r pq r⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧∨⌝∧∧ ()()()p q r p q r pq r⇔∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧∧ 主析取范式 故G 的成真赋值为 111，101，011 G 的成假赋值为 000，001，010，100，110 主合取范式为()()()()()G p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨∧⌝∨∨∧⌝∨⌝∨四、（8分）在自然推理系统中，构造并证明下列推理。
（命题逻辑推理证明） 若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢数学。
若小李喜欢数学，则他也喜欢物理。
小张确实喜欢数学，但小李不喜欢物理。
所以，小赵喜欢数学。
证明：设p:小张喜欢数学，q:小李喜欢数学，r:小赵喜欢数学，s:小李喜欢物理 上述符号化为：前提：,,p q r q s p s →∨→∧⌝；结论：r证明：（1）p s ∧⌝ 前提 （7）q ⌝ （3）（6）拒取式 （2）p （1）化简 （8）r (5)(7)析取三段论 （3）s ⌝ （1）化简 （4）p q r →∨ 前提（5）q r ∨ （2）（4）假言推理 （6）q s → 前提五、设集合{,,,}A a b c d =，R 为A 上的二元关系，且{(,),(,),(,),(,)}R a b b c c a d d =， （1）求R 的关系矩阵；（3分） （2）求R 的性质；（3分）（3）求R 的传递闭包t （R ）；（4分）（4）设{(,),(,),(,)}S a c c b d c =，求1S R - ；（4分）（5）在关系R 中添加最少的有序对使其成为A 上的等价关系，不妨令该等价关系为*R ，求*R 及商集*/A R 。
(大学试卷)2011.7《离散数学》考试卷A答案
离散数学课程考试试卷A专业:信计考试日期： 所需时间：120分钟总分：100分 闭卷 一、选择题（每小题2分，总共20分）1、设P ：我们划船，Q ：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（ B ）A 、Q P ⌝∧⌝B 、Q P ⌝∨⌝C 、)(Q P ↔⌝D 、)(Q P ⌝↔2、下列语句中哪个是真命题？（ D ）A 、我正在说谎。
B 、严禁吸烟C 、如果1+2=3，那么雪是黑的。
D 、如果1+2=5，那么雪是黑的。
3、命题公式Q Q P P →→∧))((是（ C ） A 、矛盾式 B 、蕴含式 C 、重言式 D 、等值式4、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中变元x 是（ D ） A 、自由变量 B 、约束变量 C 、既不是自由变量也不是约束变量 D 、既是自由变量也是约束变量5、若个体域为整数域，下列公式中哪个值为真？（ A ） A 、)0(=+∃∀y x y x B 、)0(=+∀∃y x x y C 、)0(=+∀∀y x y x D 、)0(=+∃⌝∃y x y x6、设个体域A={a,b},公式)()(x xS x xP ∃∧∀在A 中消去量词应为（ B ） A 、)()(x S x P ∧ B 、))()(()()(b S a S b P a P ∨∧∧ C 、)()(b S a P ∧ D 、)()()()(b S a S b P a P ∨∧∧8、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列正确的是（ C ） A 、1∈A B 、{1，2，3}⊆A C 、{{4，5}}⊂A D 、Φ∈A 9、幂集P （P （P （Φ）））为（ C ）A 、{{Φ}，{Φ，{Φ}}}B 、{Φ，{Φ}，{Φ，{Φ}}}C 、{Φ，{Φ}，{Φ，{Φ}}，{{Φ}}}D 、{Φ，{Φ，{Φ}}} 10、任意一个具有多个等幂元的半群，它（ A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、不能构成交换群 二、填空题（每小题3分，总共24分）1、设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式2、设q p q p →⌝为命题变项，,的成真赋值为10,11,013、设集合A={x|x <3,x ∈Z},B={x|x=2k,k ∈Z} C={1,2,3,4,5},则A ⊕（C-B ）={0,2,4,6,7,8}4、某校有足球队员38人，篮球队员15人，排球队员20人，三队队员总数为58人，其中只有3人同时参加3种球队，则仅仅参加两种球队的队员为9人 。
2011级离散数学AB原题与部分答案
(A)一、数理逻辑（共40分）1.判断下列语句，如果是命题的在后面打√，如果不是命题在后面打×。
（5分）（1）起来吧，我的朋友。
（）（2）只有小孩才爱哭。
（）（3）2+3=8。
（）（4）这句话是错的。
（）（5）喜马拉雅山最高。
（）2.用真值表证明等值式P→(Q→R)⇔（P∧Q）→R。
（6分）3.求公式)()(pqqp∨⌝→→⌝的主析取范式。
（7分）4.假设论述域为全总个体域，用谓词和量词符号化下列命题。
（6分）（1）有些人用左手写字。
（2）不是所有的火车都比所有的汽车快。
5.若论述域是{a,b,c}，试消去下列公式中的量词。
(5分))()(xxSxxR∃∧∀6.公安人员审一件盗窃案，已知：甲或乙盗窃了电脑。
甲盗窃了电脑仅当作案时间不能发生在午夜前。
若乙证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭。
若乙证词不正确，则作案时间发生在午夜前。
午夜时屋里灯光灭了。
问谁是盗窃犯？（第一步：找出原子命题（1分）；第二步：对原命题进行符号化（5分）；第三步：用（步骤命题依据）的形式，构造证明过程（5分））二、集合、关系和函数（共36分）（原题与答案）1. 用文氏图表示集合)(~CBA⋂⋃。
(2分)结果为灰色区域2. 计算集合{{1}，1}的幂集。
（2分）答：{Φ，{{1}}，{1}，{{1}，1}}3. 设}x2,121|{ZxxxM∈≤≤=整除，被，}x3,121|{ZxxxN∈≤≤=整除，被，则分别求出NM⋃=？,NM⋂=？。
（4分）答：NM⋃={2,3,4,6,8,9,12}N M ⋂={6,12}4. 设}6,,2,1{ =S ,R 是S 上的关系，}y ,|,{的倍数是x S y x y x R ∧∈><=求出R 的元素。
(2分)答：{<1,2>,<1,3><1,4><1,5><1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}⋃Is5. 设}4,3,2,1{=A ，定义在A 上的关系R 如下：}3,1,3,3,4,2,2,1{><><><><=R .(1)画出A 的关系图，并写出R 的关系矩阵.(4分)(2)说明A 具备那些性质，并求出r(R), s(R), t(R). （6分）答：（1）12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0,0,0,00,1,0,01,0,0,00,1,1,0 （2）反自反，不对称，不传递r(R)= A I R ⋃s(R)= ⋃R {<2,1>,<4,2>,<3,1>}t(R).= ⋃R {<1,4>}6．设}9,,2,1{ =A ，画出集合A 关于整除关系的哈斯图，并指出它的极小元、最小元、极大元、最大元。