初升高衔接一元二次不等式
初升高数学衔接班教案(学生版)一元二次不等式
不等式一、 【归纳初中知识】初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：解b ax >应该分三种情况讨论：1. 若0=a ，且0≥b ，不等式无解；若0,0<=b a ，不等式有无数解2. 若0>a ，则解为ab x >3. 若0<a ，则解为a b x < 二、 【衔接高中知识】我们在高中阶段主要会接触到三类不等式：1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”；2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式；3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法”规律总结：①一般地，解不等式先使不等式右边为______②一般地，对于一元二次不等式)0(02<>++c bx ax ，先化二次项系数为_______，然后找出方程02=++c bx ax 的两根21,x x ，最后根据不等号：小于取______，大于取_____。
三、 【例题精讲】例1：因式分解法解不等式：062<-+x x例2：因式分解法解不等式：3522->-x x例3：图像法解不等式0122<++-x x例4：已知不等式022>++bx ax 的解集为321<<-x ，求022<++a bx x 的解集例5：解不等式：（1）0113<+-x x （2） 1312≥+-x x例6：解不等式：0)12)(2(2<--+x x x课后习题1、不等式0262<--x x 的解集为______________2、不等式0322<--x x 的解集为_________________________3、已知不等式02<+-b ax x 的解集为32<<x ，则不等式012≥+-bx ax 的解为_______4、不等式12<-x 的解集为_______________5、不等式0)3)(2)(1(<+-+x x x 的解集为____________________6、不等式04322>--x x 的解集为____________________________7、不等式221>-+x x 的解集为________________8、解不等式0)6)(2(2≥-++x x x9、解不等式：063222<++--+x x x x。
初高中数学衔接课程(5)——一元二次不等式与分式不等式讲义
初高中数学衔接课程第五讲 方程与不等式5.1 二元二次方程组解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。
其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项。
我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。
例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩解：由②,得x ＝2y ＋2， ③把③代入①,整理,得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1)＝0。
解得y 1＝0，y 2＝－1。
把y 1＝0代入③,得x 1＝2；把y 2＝－1代入③,得x 2＝0。
所以原方程组的解是112,0x y =⎧⎨=⎩，；220,1.x y =⎧⎨=-⎩说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。
例2解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解：由①，得7.x y =- ③把③代入②，整理，得27120y y -+= 解这个方程，得123,4y y ==。
把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =。
所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，；223,4.x y =⎧⎨=⎩【例3】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解。
初升高数学课程内容(衔接班)
【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。
一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。
1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。
初高中数学衔接：第四讲 一元二次不等式及其解法
第四讲一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ>0 Δ＝0 Δ<0 Δ＝b2－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ∅∅2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程3．简单的分式不等式(1)f（x）g（x）＞0⇔f(x)·g(x)＞0；(2)f（x）g（x）≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0．ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？【提示】 a >0且b 2－4ac <0.【自主测试】1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ) A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞) 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)． 【答案】 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12} C ．－12，1] D ．{x |x ≥1或x ≤－12}【答案】 A3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0，8)4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________． 【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 【答案】 －14例一 解下列不等式 (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ； (3)2xx －1≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．解下列不等式： (1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎨⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎨⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例二 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．例三 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．【尝试解答】 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎨⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎨⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．若关于x 的不等式axx －1＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范围．例四 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0， 故实数m 的取值范围是(－4，0]．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对任意a ∈－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．【答案】 x ＜1或x ＞3 一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．【解析】法一设2x＋y＝t，∴y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，整理得6x2－3tx＋t2－1＝0.关于x的方程有实根，因此Δ＝(－3t)2－4×6×(t2－1)≥0，解得－210 5≤t≤2105.则2x＋y的最大值是2105.法二∵1＝4x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2－3xy＝(2x＋y)2－32(2x)·y≥(2x＋y)2－32·(2x＋y2)2＝58(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤8 5，∴－85≤2x＋y≤85，即－2105≤2x ＋y ≤2105. 【答案】2105易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答． 防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知． 自主测试1．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (2，＋∞)。
(初中到高中衔接)一元二次不等式及其解法
四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集.
3.2 一元二次不等式
及其解法
一元二次不等式
定义：只含有一个未知数，未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
即：ax bx c 0 或 ax bx c （a 0 0)
2 2
函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0 2 b 4ac 0 （2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0
例题：已知关于x的不等式：
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
三、课堂小结
一、内容分析
1 、解含参数的不等式 2、已知不等式的解集，求参数的值或范围
、 函数 1 2、 分离参数后用最值 3 、 用图象
不等式中的恒成立问题
二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想 3、等与不等的化归思想
小结：
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于 a 2 0 a 2 即 2 ( a 2) 4( a 2) 0 (a 2)(a 6) 0
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0 （4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
高一衔接教材一元二次不等式解法含绝对值的不等式
初高中衔接教材1、一元二次不等式解法二次函数y ＝x 2－x －6的对应值表与图象如下：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 一元二次方程x 2－x －6＝0的解就是:同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式x 2－x －6＞0的解是一元二次不等式x 2－x －6＜0的解是上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．那么，怎样解一元二次不等式a x 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，xyO x 1 x 2xyO x 1= x 2yxO图2.3－2②③①方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为:不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为:（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为: 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为： （3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为： 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为： 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 例1、 解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例2、 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是求不2,3x x <>或等式20bx ax c ++>的解．例3、 解关于的一x 元二次不等式210(x ax a ++>为实数). 分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符∆号,而这里的是∆关于未知系数的代数式, ∆的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进∆行分类讨论.例6 已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．练习1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．习题2A 组1．解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；（4）4－x2≤0．B 组 1.解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．C 组1．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0．2．试求关于x 的函数y ＝－x 2＋mx ＋2在0≤x ≤2上的最大值k ．答案练 习2．（1）无解 （2）232333x -<<（3）1－2≤x ≤1＋ 2 （4）x ≤－2，或x ≥2B 组1．不等式可变形为(x －1)(x －a )＜0． ∴当a ＞1时，原不等式的解为1＜x ＜a ； 当a ＝1时，原不等式的无实数解； 当a ＜1时，原不等式的解为a ＜x ＜1．C 组1．由题意，得 －1和3是方程2x 2＋bx －c ＝0的两根，∴－1＋3＝－b 2 ，－1×3＝－c2， 即b ＝－4，c ＝6．∴等式bx2＋cx ＋4≥0就为－4 x 2＋6x ＋4≥0，即2 x 2－3x －2≤0，∴－12≤x ≤2．2．∵y ＝－x 2＋mx ＋2＝－(x －m 2 )2＋2＋ m 24，∴当0≤m 2 ≤2，即0≤m ≤4时，k ＝2＋ m 24 ；当m2 ＜0，即m ＜0时，k ＝2；当m2＞2，即m ＞4时，k ＝2m －2．∴22,0,2,04,422,4.m mk m m m <⎧⎪⎪=+≤≤⎨⎪->⎪⎩2、含绝对值的不等式一【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ．[2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离．二、讲解新课：1．)0(><a a x 与型的不等)0(>>a a x 式的解法先看含绝对值的方程|x|=2几何意义：数轴上表示数x 的点离开原点的距离等于2.∴x=±2提问：2<x 与的几何意2>x 义是什么？表示在数轴上应该是怎样的？ 数轴上表示数x 的点离开原点的距离小（大）于2xO 2-2xO 2-2即 不等式 2<x 的解集是： 不等式 2>x 的解集是.：类似地，不等式)0(><a a x |与的几何意)0(>>a a x 义是什么？解集又是什么？ 即 不等式的解)0(><a a x 集是： 不等式的解)0(>>a a x 集是：小结：①解法：利用绝对值几何意义 ②数形结合思想 2．c b ax <+,与型的不等)0(>>+c c b ax 式的解法把 b ax + 看作一个整体时，可化为与型)0(><a a x )0(>>a a x 的不等式来求解即 不等式的解)0(><+c c b ax 集为 ： 不等式的解)0(>>+c c b ax 集为 ： 三、讲解范例：例1、解不等式5500≤-x . 例2、解不等式752>+x .课内练习1．解不等式组⎩⎨⎧<->111x x 2．求使有意义4123-+-x x 的取值范围（ ）3．若则化简的313<-x 41291624922++++-x x x x 结果为例3解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 练习：解下列不等式:7522≤-<x例2 解不等式：|4x-3|>2x+1.例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1. 练习：解不等式：| x+2 | + | x | >4.例4.解关于的不x 等式①)(R a a x ∈<,②)(R a a x ∈>例5.解关于的不x 等式)(132R a a x ∈<-+.练习： 1.解下列不等式:(1)7522≤-<x (2)1122+<-x x2．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值.3、 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．(3)327x x ++-<。
初高中衔接教育在中考中的应用——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
初高中衔接教育在中考中的应用——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系中文要求：一、初高中衔接教育在中考中的应用1、二次函数在中考中的应用（1）二次函数的定义：二次函数是一种可以准确表示具有某种特征曲线的函数，它是单调函数的一种，关于横轴对称，可以用于求解各种坐标运动等场合。
（2）二次函数在中考中的应用：在中考中，可以应用二次函数来解答坐标运动的题目，需要运用抛物线的两个焦点、横坐标或纵坐标的变化，以及声明方程的解析式可让抛物线变得更加清晰明了。
2、一元二次方程在中考中的应用（1）一元二次方程的定义：一元二次方程是多项式不超过2次的方程，比如ax2+bx+c=0，它可以使用因式分解法、公式法及图解法解答。
（2）一元二次方程在中考中的应用：一元二次方程可以用来描述各种问题，比如方程的根，物体的运动轨迹等。
在中考中能够应用到解答椭圆的相关题目，可以使用一元二次方程的形式推导一元二次椭圆的方程，从而可以更加清晰的描述运动轨迹及寻求极值点。
3、一元二次不等式在中考中的应用（1）一元二次不等式的定义：一元二次不等式是一种不等式方程，它包括两部分，一部分为一元二次多项式，另一部分为不等式号。
比如ax2+bx+c>0，可以求得解集。
（2）一元二次不等式在中考中的应用：一元二次不等式可以用来表达物体的运动轨迹、计算几何图形的面积，以及求解椭圆的相关题目等。
在中考中，用一元二次不等式可以更加精准的描述物体的运动轨迹和表现出形状，可以使用这种形式提高中考成绩。
二、结论通过上述分析，可以知道，初高中衔接教育在中考中应用二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式等知识点，在解决坐标运动的题目、计算几何图形的面积以及描述物体的运动轨迹等等方面更加精准，可以大大提高考试成绩。
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一元二次方不等式及其解法3.一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式2200,(a 0)ax bx c ax bx c ++>++<>或其中的求解： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 ab x x 221-== 无实根 20(0)ax bx c a ++>>的x 的范围______ ______ ______ 20(0)ax bx c a ++<>的范围 _______x << ____________（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x ，其中a 是实数内的数。
例3 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．巩固提升1.若0<a <1,则不等式(x －a )(x －a 1)<0的解是 ( ) A.a <x <a 1 B. a 1<x <a C.x >a 1或x <a D.x <a1或x >a 2.如果方程ax 2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x 1，x 2满足x 1＜x 2，那么不等式ax 2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0；（4）16－8x＋x2≤0（5）3x2－2x＋1＜0；（6）3x2－4＜0；（7）2x－x2≥－1；（8）4－x2≤0．(9)4+3x－2x2≥0;(10)9x2－12x>－4;4.（1）解关于x的不等式2x＋2x＋1－2a≤0（a为常数）．(2)解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．。
初高中衔接之一元二次不等式的解法
第六讲一元二次不等式的解法基础题训练已知二次函数82)(2--=x x x f ，则当__________24x x <->或_____时,y >0, 则当_______24x -<<________时,y <0. 例题讲评例1解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．解：（1）∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是 x 1＝－3，x 2＝1． ∴不等式的解为－3≤x ≤1． （2）整理，得x 2－x －6＞0．∵Δ＞0，方程x 2－x －6=0的解为 x 1＝－2，x 2＝3．∴所以，原不等式的解为x ＜－2，或x ＞3． （3）整理，得(2x ＋1)2≥0. 由于上式对任意实数x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数． （4）整理，得(x －3)2≤0. 由于当x ＝3时，(x －3)2＝0成立；而对任意的实数x ，(x －3)2＜0都不成立， ∴原不等式的解为x ＝3． （5）整理，得x 2－x ＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．例2、 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6b c a a-==，即 5,6b ca a=-=．由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变为20b cx x a a++< ，即 －2560,x x ++<整理，得 2560,x x -->所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65．说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 链接高中一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ＜x 1，或x ＞x 2；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为 x 1＜x ＜x 2．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ≠－b2a ；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．例2.解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式∆的符号,而这里的∆是关于未知系数的代数式, ∆的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对∆的符号进行分类讨论.图2.3－2② ③①解: ∆24a =-,①当0,2a a ∆><->即或2时, 10x ax ++=2方程的解是12,22a a x x ---+==所以,原不等式的解集为2a x -<或2a x -+>；②当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式的解为 x ≠－a2；③当0,22,a ∆<-<<即时原不等式的解为一切实数 .综上,当a ≤－2，或a ≥2时，原不等式的解是x <或x >；当22,a -<<时原不等式的解为一切实数．例3、 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．解：∵y ＝(x －a )2＋1－a 2，∴抛物线y ＝x 2－2ax ＋1的对称轴方程是x ＝a ．（1）若－2≤a ≤1，由图2.3-3①可知,当x ＝a 时，该函数取最小值 n ＝1－a 2； (2)若a ＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x ＝-2时，该函数取最小值 n ＝4a +5； (2)若a ＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x ＝1时，该函数取最小值 n ＝-2a +2. 综上,函数的最小值为245,2,1,21,22, 1.a a n a a a a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩能力拓展例1：解下列不等式(1).1<x 2－3x +3≤7； (2)(x 2+4x -5)(x 2-2x +2)>0 (3) (x 2+4x -5)(x 2-4x +4)>0； (4)x 4-x 2-6≥０ (5)+4-1x x >0 ； (6) -3+7x x ≤0 图2.3－3①【参考答案】（1）[1,1)(2,4]-⋃； （2）{}15|>-<x x x 或（3）),2()2,1()5,(+∞--∞Y Y ； （4）),3[]3,(+∞--∞Y （5）),1()4,(+∞--∞Y ； （6）]3,7(- 例2：解关于x 的不等式ax 2－x +1>0 【参考答案】当a =0时，x <1 当a <0时，a a 2411-+<x <aa2411--当0<a <41时，x <a a 2411--或x >a a 2411-+当a =41时，x ≠2 当a >41时，x ∈R综述：略． 巩固反思1.不等式(x +5)(3－2x )≥6的解集是 ( )A . 912x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 B . 912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C . 912x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 D . 912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】D2．设k ∈R , x 1 , x 2是方程x 2－2kx +1－k 2=0的两个实数根, 则x 21+x 22的最小值为（ ） A . —2 B . 0 C . 1 D . 2 【答案】C3．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）。
1、初高衔接之一元二次不等式
第一讲 初高衔接之一元二次不等式一、学习目标导航1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．二、基础知识3、因式分解法因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
【例1】解下列方程①0562=-+x x ②()()03232=-+-x x x③02272=--x x ④6)31)(2(=--x x4、十字相乘法（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++【例2】对下列整式进行因式分解，并直接写出后一个方程的解。
①=+-672x x ①=+-672x x 0 ②=++232x x ②=++232x x 0 ③=-+1522x x ③=-+1522x x 0（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．【例3】对下列整式进行因式分解，并直接写出后一个方程的解。
①8x 2＋6x －35= ①8x 2＋6x －35=0 ②18x 2－21x ＋5= ②18x 2－21x ＋5=0 ③5x 2－8x －13= ③5x 2－8x －13=0【例4】解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x2－2x＋1<0；(4)－2x2＋3x－2<0.方法归纳解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【例5】解下列不等式①11xx+-＜0 ②132xx+-＞1【例6】解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.【例7】已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．【例8】解不等式：（1）（2）课后作业1．不等式x (x ＋1)≤0的解为( )A ．x ≥ -1B ．-1≤x <0C ．x ≤-1D ．-1≤x ≤0 2．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．x <－1 B.C. -1<x <D. x <-1或3．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．x <－n 或x >m B ．－n <x <m C ．x <－m 或x >n D ．－m <x <n4．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2、3，a <0，那么不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ． x >3或x <－2 B ． x >2或x <－3 C ．－2<x <3 D ．－3<x <25．不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a <0的解集为________． 6．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0； (2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )． （4）7．解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x。
专题17 一元二次不等式(解析版) 初升高数学无忧衔接(沪教版2020)
.
【难度】★★
1
【答案】
2
x2＋1，x≥0
【例 11】已知函数 f(x)＝
，则满足不等式 f(1－x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________．
1，x<0
【难度】★★
【答案】(－1， 2－1)
1－x2>0
1－x2>2x
【解析】由题意有
或
，
2x<0
2x≥0
解得－1<x<0 或 0≤x< 2－1，
故原不等式的解集为{x 0 x 1}
【例
3】关于
x
的不等式组
x2 x 2 2x2 (2k
0 5)x
5k
0Байду номын сангаас
的整数解的集合为{2} ，求实数
k
的取值范围。
【难度】★★
【解析】解：原不等式组
(x 1)(x 2) 0 (2x 5)(x k)
0
x 1或x 2
( x
5 )(x 2
【难度】★★
【解析】若 a 1，不等式为 1 0 ，其解集为 R 若 a 1 ，不等式为 2x 1 0 ，其解集显然不是全体实数，故 a 1 不符合条件．
若
a
1 ，不等式为二次不等式，有
a2 1 0, (a 1)2
4(a 2
1)
0,
解得
1 a 1, 3 a 1, 5
即
3 a 1. 5
b a
1 2
+3
,且
a
<0,得
2
c a
1 2
.3
b
5a 2
,所以，不等式
cx2
第八讲 一元二次不等式 -初高衔接数学专题讲义
第八讲 一元二次不等式【学习目标】1、通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；2、掌握解一元二次不等式的方法.【重点】一元二次不等式的解法.【难点】一元二次不等式与相应函数、方程的联系.一、引入新课1．什么样的不等式叫一元二次不等式？2．一元二次不等式和相应的二次函数是否有内在的联系？3．当0>a 时，一元二次不等式02>++c bx ax （或0<）的解与二次函数c bx ax y ++=2图象及一元二次方程02的解的关系：例1．解下列不等式：（1）01272>+-x x ； （2）0322≥+--x x ；（3）0122<+-x x ； （4）0222<+-x x ．例2．解不等式：73312≤+-<x x ．例3．已知不等式02<++c bx x 的解是32<<x ，求不等式02>++c x bx 的解．变题：已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解是2<x 或3>x ，求不等式02>++c ax bx 的解．例4．（1）解关于x 的不等式：0)1(2<++-a x a x （a 为常数）．（2）解关于x 的不等式：210(x ax a ++>为常数)．变题：解关于x 的不等式: (2)(2)0x ax -->a (为常数)．【巩固训练】1．不等式0212≥++x x 的解为_________________________．2．若10<<t ，则不等式0)1)((<--tx t x 的解是 ．3．不等式012>-+bx ax 的解为43<<x ，则=+b a _________．4．解下列不等式： （1）0262≤+--x x ； （2）6)23)(5(≥+-x x ； （3）1)3()2(+-<+x x x x ．5．解不等式0)1)(2(22≤+--x x x 解是 ．6．如果不等式012<++ax ax 无解，则a 的取值范围是7．如果不等式- x 2＋mx ＋2m －1≥0只有一个实数解，则m =。
初高中数学衔接：第11讲+一元二次不等式的解法
第11讲 一元二次不等式的解法回顾过去形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 1．因式分解后分类讨论解一元二次不等式在初中，我们学习过“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，若一元二次不等式左边可以因式分解，则可将其转化为一元一次不等式组． 【例1】解不等式260x x +->．解：原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->，于是：3020x x +<⎧⎨-<⎩或3020x x +>⎧⎨->⎩333222x x x x x x <->-⎧⎧⇒⇒<->⎨⎨<>⎩⎩或或所以，原不等式的解集是{|32}x x x <->或．说明：当把一元二次不等式化为20(0)ax bx c ++><或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式：(1) 2120x x --<(2) 240x x -+≤分析：要先将不等式化为20(0)ax bx c ++><或的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：2120x x --<，即(3)(4)0x x +-<于是：3030344040x x x x x +>+<⎧⎧⇒-<<⎨⎨-<->⎩⎩或， 所以原不等式的解是34x -<<．(2) 原不等式可化为：240x x -+≤，即240(4)0x x x x -≥⇒-≥于是：00044040x x x x x x ≤≥⎧⎧⇒≤≥⎨⎨-≤-≥⎩⎩或或 所以原不等式的解是04x x ≤≥或．2． 利用“三个二次”之间的关系解一元二次不等式设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：有两相等以二次函数26y x x =+-为例： (1) 作出图象26y x x =+-；(2) 根据图象容易看到，图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =．就是说对应的一元二次方程260x x +-=的两实根是32x =-或．(3) 当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方．就是说260x x +->的解集是{|32}x x x <->或．当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方．就是说260x x +-<的解集是{|32}x x -<<．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解． 【例3】解下列不等式：(1) 2280x x --<(2) 2440x x -+≤ (3) 220x x -+<（4）260x x --≥解：(1) 不等式可化为(2)(4)0x x +-< ∴ 不等式的解集是{|24}x x -<<．(2) 不等式可化为2(2)0x -≤ ∴ 不等式的解集是{2}．(3) 不等式可化为217()024x -+<，所以无解． （4）不等式可化为(2)(3)0x x +-≥ ∴ 不等式的解集是{|23}x x x ≤-≥或． 归纳小结：若1x ，2x 是一元二次方程的两个根，且12x x <，则有：（1）1212()()0x x x x x x x --<⇔<< （2）121()()0x x x x x x -->⇔<或2x x > 练习1．解下列不等式（1）2320x x -+< （2）2654x x +< （3）2320x x +-≥ （4）2210x x --> 解：(1) 不等式可化为(1)(2)0x x --< ，∴ 不等式的解集是{|12}x x <<； (2) 不等式可化为(21)(34)0x x -+<，∴ 不等式的解集是41{|}32x x -<<； (3) 不等式可化为2230x x --≤，即(1)(3)0x x +-≤，∴ 不等式的解集是{|13}x x -<<；（4）不等式可化为(21)(1)0x x +-> ∴ 不等式的解是112{|}x x x <->或．练习2．解下列不等式（1）24410x x -+>； （2）2530x x -+<．解：(1) 不等式可化为2(21)0x -> ，∴ 不等式的解集是1{|}2x x ≠； （2）2530x x -+=的根为x =，∴ 不等式的解集是{x x <<； 练习3．不等式()221200x ax a a --<<的解是_____________．解：{|43}x a x a <<-练习4．若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是_____________． 解：1{|}x a x a<<【例4】已知不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值，并解不等式250bx x a --≤．解：依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根， 方法1：由韦达定理，∴ 1123b a -+=-，11123a-⨯=，解得6a =-，=1b -．方法2：直接代入方程得，2211()()102211()()1033a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+=⎪⎩，解得6a =-，=1b -∴ 不等式250bx x a --≤为2560x x +-≥，解得1x >或6x <-． ∴ 不等式250bx x a --≤的解集为{|16}x x x ><-或．练习5．设一元二次不等式210ax bx ++>的解为113x -<<，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．5解：C【例5】已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．解：显然0k =时，不合题意，于是：222000111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩⎩⎩或． 练习1．已知对于任意实数x ，226kx x -+恒为正数，求实数k 的取值范围．解：显然0k =时，22626kx x x -+=-+不恒为正数，不合题意，于是：2016(2)460k k k >⎧⇒>⎨--⋅<⎩． 【例6，选做】解关于x 的不等式：220()x x a a ++<为实数．解：原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，44a ∆=-， 当1a ≥时，440a ∆=-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：1x =-±所以220x x a ++<的解为：11x --<<-综上所述，1a ≥时，原不等式无解；当1a <时，原不等式的解为：{|11x x -<<-+．1．解下列不等式：（1）02732<+-x x （2）0262≤+--x x （3）01442<++x x （4）0532>+-x x 2．不等式()()120x x -->的解是____________． 3．不等式2230x x -->的解是____________．4．不等式2560x x -++≥的解是_________________________．5．若代数式262-+x x 的值恒取非负实数，则实数x 的取值范围是 ．6．已知不等式()21680k x x --+<的解是425x x <->或，则k =_________． 7．已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．8．不等式20ax bx c ++>的解集为23x <<，则20ax bx c -+>的解是________． 9．已知一元二次方程240x x k -+=，求下列各条件下，实数k 的取值范围．（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根10．解不等式（1）01692>++x x （2）21()10(0,)x a a a a-++<≠为实数答案：1．（1）123x <<；（2）1223x x ≥≤-或；（3）无解；（4）全体数2．12x << 3．3x >或1x <- 4．23x -≤≤ 5．1223x x ≥≤-或6．4- 7．5- 8．32x -<<-9．（1）04x << （2）0x < （3）34x <≤10．（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠31x x（2）原不等式可变为：1()()0x a x a--<，（1）当1>a 或01<<-a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1； （2）当1±=a 时，无解；（3）当10<<a 或1-<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1．。
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一元二次不等式的解法
【课前练习】
+7x-2x 2<0的解集为
(x-3)(x+1)(x-2)<0的解集为
3.函数224912x x x y -+-+=的定义域是
4.215
82>+-x x x 的解集为 5.关于x 的不等式（a-2）x 2+2(a-2)x-4<0的解集为{x ︱x ∈R}，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，2〕
B ．（-∞，-2）
C ．（-2，2〕
D ．（-2，2）
6．关于x 的不等式ax 2+bx-2>0的解集是⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121,Y ，则ab 等于( )
7.不等式(x 2+px+q)<0的解集是{x ︱1<x<2}，则不等式(x 2+px+q)(x 2-5x-6)>0的解集是 .
【典型例题】
例1．解下列不等式：
（1）x 2-7x+12>0; （2）-x 2-2x+3≥0; （3）x 2-2x+1＜0; （ 4）x 2-2x+2＞0;
(5)x<x 2-x-1<x 2; （6）（x-2）(x 2+x-2)(x 2-x+3)≤0
(7）4
x 5x 18x 20x 422+-+-≥3 （8）x 2-（a+a 1）x+1<0（a>0） 例2. 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--0
5)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{-2},求实数k 的取值范围.
例3.若不等式01
20822<--+-mx mx x x 对一切R x ∈恒成立,求实数m 的取值范围. 【巩固练习】
1.设{}{}
22230,650P x x x Q x x x =-->=-+≤,则Q P I =-------( )
2.关于x 的不等式13
642222<++++x x k kx x 对R x ∈恒成立，则实数∈k （ ） A.(1,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(-1,3) D.(-3,-1)
5.方程0)3(2=+-+m x m x 的两根都是负数,则m 的取值范围是
6.已知不等式02>++c bx ax 的解集为(2,5),则不等式02<++a bx cx 的解集为
9．解不等式：（1） 1
x 2x x 2++≤1 （2）（x 2-1）（x 2-4x-5）>0 (3) 2
33211+≤+++x x x (4) 01)1(2<++-x a ax 10.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧>++-=023122x x x x A ,{}02≤++=b ax x x B ,A ∩B=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤<321x x ,求b a ,的取值范围.。