2016人大附中高二(上)期末数学(理科)

2016人大附中高二（上）期末数学（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）

1．（4分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2．（4分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）

A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0 3．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）

A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣

4．（4分）给定原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列命题形式正确的是（）

A．逆命题：若a、b全为0，则a2+b2=0

B．否命题：若a2+b2≠0，则a、b全不为0

C．逆否命题：若a、b全不为0，则a2+b2≠0

D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0

5．（4分）双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）

A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0

6．（4分）已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10

7．（4分）已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）

A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣

8．（4分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：

①曲线W关于原点对称；

②曲线W关于x轴对称；

③曲线W关于y轴对称；

④曲线W关于直线y=x对称

所有真命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）

9．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．

10．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．

11．（5分）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|=，||PF2|=．

12．（5分）已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．

13．（5分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．

14．（5分）已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；

（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．

三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．

（1）计算2﹣3和|2﹣3|；

（2）求＜，＞

16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4

（1）求证：AB1⊥C1B

（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．

17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若△AOB的面积为4，求|AB|

一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）

18．（10分）已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N

（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；

（II）四边形PMAN的面积的最小值为．

19．（10分）在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．

（I）重心G的坐标为；

（II）若△BCD的重心为M，则=．

二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）

20．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P （0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．

21．（16分）如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．

（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；

（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；

（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）

1．【解答】当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；

反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3

故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件

故选A．

2．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．

3．【解答】由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，

可知：=+，=，

==，

=﹣+．

故选：C．

4．【解答】原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，

所以逆命题是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；

否命题是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；

逆否命题是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；

否定命题是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．

故选：A．

5．【解答】由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，

∴，∴．

该双曲线的渐近线方程为：y=，