2016人大附中高二(上)期末数学(理科)

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2016人大附中高二(上)期末数学(理科)

一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在机读卡上.)

1.(4分)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B“的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.(4分)已知命题p:∀x∈R,2x>0,则()

A.¬p:∃x∉R,2x≤0 B.¬p:∃x∈R,2x≤0 C.¬p:∃x∈R,2x<0 D.¬p:∃x∉R,2x>0 3.(4分)如图,在三棱锥O﹣ABC中,点D是棱AC的中点,若=,=,=,则等于()

A.﹣B.C.﹣+D.﹣﹣﹣

4.(4分)给定原命题:“若a2+b2=0,则a、b全为0”,那么下列命题形式正确的是()

A.逆命题:若a、b全为0,则a2+b2=0

B.否命题:若a2+b2≠0,则a、b全不为0

C.逆否命题:若a、b全不为0,则a2+b2≠0

D.否定:若a2+b2=0,则a、b全不为0

5.(4分)双曲线﹣=1的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为()

A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±y=0 D.x±y=0

6.(4分)已知点P是双曲线﹣=1上一点,若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为()A.B.C.5 D.10

7.(4分)已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦,若点A、B的横坐标分别为1和,则该抛物线的准线方程为()

A.x=1 B.x=﹣1 C.x=D.x=﹣

8.(4分)在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则下列命题中:

①曲线W关于原点对称;

②曲线W关于x轴对称;

③曲线W关于y轴对称;

④曲线W关于直线y=x对称

所有真命题的个数是()

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把结果填在答题纸中.)

9.(5分)以y=±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为.

10.(5分)已知=(2,﹣1,2),=(﹣4,2,x),且∥,则x=.

11.(5分)设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,若|PF1|﹣|PF2|=1,则|PF1|=,||PF2|=.

12.(5分)已知△ABC的顶点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),CD是AB边上的高,则点D的坐标为.

13.(5分)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根;命题q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0无实根.若p∨q为真,(p∧q)为假,则m的取值范围为.

14.(5分)已知点A(0,2),点B(0,﹣2),直线MA、MB的斜率之积为﹣4,记点M的轨迹为C (I)曲线C的方程为;

(II)设QP,为曲线C上的两点,满足OP⊥OQ(O为原点),则△OPQ面积的最小值是.

三、解答题(本大题共3小题,共38分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(12分)已知向量=(2,﹣1,﹣2),=(1,1,﹣4).

(1)计算2﹣3和|2﹣3|;

(2)求<,>

16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=3,BC=CC1=4

(1)求证:AB1⊥C1B

(2)求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值.

17.(12分)已知抛物线C的顶点在坐标原点O,焦点为F(1,0),经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)若△AOB的面积为4,求|AB|

一、填空题(本题共2小题,每题10分,共20分.请把结果填在答题纸上.)

18.(10分)已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点,过点P作⊙A:(x﹣3)2+y2=1的两条切线PM、PN,切点为M、N

(I)当|PA|最小时,点P的坐标为;

(II)四边形PMAN的面积的最小值为.

19.(10分)在四面体ABCD中,若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点,则EF、HI、JK相交于一点G,则点G为四面体ABCD的重心.设A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,3,0),D(2,3,2).

(I)重心G的坐标为;

(II)若△BCD的重心为M,则=.

二、解答题(本大题共2小题,满分30分.请把解答过程写在答题纸上.)

20.(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点O,两焦点分别为F1(﹣,0)、F2(,0),过点P (0,2)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,且△AF1F2的周长为4+2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上,求直线l的方程.

21.(16分)如图(1),在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是AB边上一点,沿CD将图形折叠成图(2),使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角.

(1)若D是AB边的中点,求二面角C﹣AB﹣D的大小;

(2)若AD=2BD,求点B到平面ACD的距离;

(3)是否存在一点D,使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在机读卡上.)

1.【解答】当a=3时,A={1,3}所以A⊆B,即a=3能推出A⊆B;

反之当A⊆B时,所以a=3或a=2,所以A⊆B成立,推不出a=3

故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件

故选A.

2.【解答】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p:∀x∈R,2x>0,则¬p:∃x∈R,2x≤0.故选:B.

3.【解答】由题意在三棱锥O﹣ABC中,点D是棱AC的中点,若=,=,=,

可知:=+,=,

==,

=﹣+.

故选:C.

4.【解答】原命题:“若a2+b2=0,则a、b全为0”,

所以逆命题是:“若a、b全为0,则a2+b2=0”,选项A正确;

否命题是:“若a2+b2≠0,则a、b不全为0”,选项B错误;

逆否命题是:“若a、b不全为0,则a2+b2≠0”,选项C错误;

否定命题是:“若a2+b2=0,则a、b不全为0”,选项D错误.

故选:A.

5.【解答】由已知,双曲线﹣=1的离心率为2,

∴,∴.

该双曲线的渐近线方程为:y=,

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