新八年级暑假数学培优班第15讲 二次根式的加减法
初二数学二次根式的加减运算
初二数学二次根式的加减运算在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，可以用来表示平方根。
初二学生在学习数学时会接触到二次根式的加减运算，这是一项基础且重要的运算。
本文将详细介绍初二数学中二次根式的加减运算，并提供相关的例题和解析，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次根式的基本概念二次根式是指形如√a的数表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，√a表示其平方根；当a为零时，√a等于0；当a为负实数时，√a无意义，记为不存在。
二、二次根式的加减运算规则1.同类项相加减：当二次根式的底数和指数均相同时，可以进行加减运算。
2.不同类项的加减：当二次根式的底数或指数不同，或者二次根式与常数项相加减时，无法进行加减运算，需要进行化简或转换为同类项后再进行运算。
三、二次根式的加减运算步骤与例题分析下面通过具体的例题来说明二次根式的加减运算步骤及注意事项：例题1：计算√5 + √20 - 2√5。
解析：首先将√5和2√5视为同类项，合并得到3√5；然后将√20展开为√4 × √5，进一步化简为2√5；最后进行合并，得到5√5。
例题2：计算√3 - (√2+ √5) 。
解析：这是一个不同类项的减法运算，无法直接计算，需要进行化简。
先将√2 + √5展开为√(2×5) = √10，然后再进行减法运算：√3 - √10 。
由于二次根式√3和√10的底数不同，无法继续进行加减运算，但可以保留原样。
所以最终结果为√3 - √10。
例题3：计算3√(5 + 2√3) - √(5 - 2√3) 。
解析：这是一个较为复杂的二次根式加减运算，需要仔细观察。
首先，要注意括号内的二次根式是一个整体。
我们将5 + 2√3 视为一个二次根式，记为A，将 5 - 2√3 视为另一个二次根式，记为B，然后根据加减运算规则进行计算：3√A - √B 。
将A展开：√(2√3 × 2√3) = √(4×3) = √12 = 2√3 。
二次根式的加减法
二次根式的加减法二次根式是数学中的一种特殊类型，由一个根号和一个数构成。
在这篇文章中，我们将讨论二次根式的加减法运算。
通过理解二次根式的性质和运算规则，我们能够有效地计算和简化这类数学表达式。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。
根号下的数称为被开方数，√a读作a的二次根。
例如，√4和√9分别等于2和3，因为2²等于4，3²等于9。
这些数都是被开方数的平方根。
二、二次根式的加法与减法原则1. 加法原则：当两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行加法运算。
例如，√5 + 2√5 = 3√5解释：这里的√5和2√5具有相同的根号下数5，所以可以将它们合并为3√5。
2. 减法原则：与加法类似，在两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行减法运算。
例如，3√7 - √7 = 2√7解释：这里的3√7和√7具有相同的根号下数7，所以可以将它们合并为2√7。
三、示例与应用让我们通过几个示例来进一步了解二次根式的加减法运算。
示例1：计算：√8 + 3√2解答：√8 = √4 × 2 = 2√2所以，√8 + 3√2 = 2√2 + 3√2 = 5√2示例2：计算：5√10 - 2√10解答：5√10 - 2√10 = 3√10示例3：计算：√18 + 4√3 - 2√12解答：√18 = √9 × 2 = 3√2√12 = √4 × 3 = 2√3所以，√18 + 4√3 - 2√12 = 3√2 + 4√3 - 2√3 = 3√2 + 2√3四、简化与合并在进行二次根式的加减法运算后，我们可以进一步将结果进行简化与合并。
具体而言，可以将相同根号下数的二次根式合并为一个根号下，并且对应的系数进行加减运算。
例如，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5在这个步骤中，我们将2√5和3√5合并为5√5，并对应的系数2和3进行加法运算。
八年级数学二次根式的加减法
D
4 34 ab 3
和
1 43 ab 3
论一论：
下列二次根式是不是同类二次根式？
x x y
3 2
x2 y 2 x y
化简：
x3 x 2 y
x2 y 2 x y来自= x ( x y) = x x y
2
=
( x y)( x y) ( x y)
=
x y
议一议：
如果最简根式 - a 5 与 2ab 9 b 是 同类二次根式，求a-b的值.
12.7 二次根式的加减法
想一想：
1、满足哪些条件的二次根式， 叫做最简二次根式？
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
2、判断下列哪些根式是最简二次根式？不 是最简二次根式的，请化成最简二次根式.
2
3 4
1 50
18
- 75
1 27
1 ab
3
b a
几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式.
分析：最简二次根式是同类二次根式，所 以根指数都等于2，被开方数相同，列二元 一次方程组.
解:由题意,得 2a-b=2 a+5=9-b 解,得 a=2
b=2
练一练：
若最简二次根式 2a 5 与 4a 3b 是同类二次根式，则a= 1 ,b= 1 .
a1
解：由题意，得
a+1=2
2a+5=4a+3b
放你，想找你时，你还肯来吗？”它连连点头。宝音奇着，手上不觉一松，它一阵烟的走了。宝音定定神，听洛月唤：“姑娘， 姑娘，你魇着了么？”宝音张开眼来，原来刚刚也还是作梦，再要追梦前之梦，便记不清了。然而把她从那梦中惊出的、令人 不悦的怪响却还在继续，她辨了辨，是来自窗外的，便问洛月：“外头在做什么？”洛月安慰宝音：“没什么事。人家理院子 哪。姑娘再歇息歇息？”大清早，哪个人家，到 窗前理什么鬼的园子！宝音省得必有隐情，便道：“你不说么？那我问乐韵 去。”洛月顿时急了：“姑娘，别别！其实也没什么事儿。那两株木芙蓉„„忽尔生虫子了，管事的说怕侵到其他树木，对姑 娘身体也不好，所以，准备迁出去养一养，养好了，再移回这里来。”开玩笑！宝音嗓门提高了一点：“乐韵！”乐韵如今可 不敢掉以轻心，天微亮就起来倚在外间听候差遣了，闻得叫，进了屋，行了一礼：“姑娘您也被外头声音吵着了？”宝音点头。 “姑娘，洛月肯定是怕您心烦。”乐韵先替洛月袒护一句，倒叫洛月受宠若惊。再后面的话，乐韵可就不客气了：“不过这事， 长远也瞒不住姑娘。一早，七 派了一伙人来，说四 昨儿见了这花很喜欢，故要把这两株树移过去。”巧取豪夺，夺到两棵树 的身上！有这么欺人的么？宝音倒笑起来，道：“下去吧，给我准备些热水，我要擦身。另外，早饭有没有滚热的粥么？”洛 月立刻道：“有。”乐韵退下去准备热水毛巾了。宝音问洛月：“下粥菜是哪几样？”“今儿他们拿过来的是五香黄豆腐、脆 腌菜心、凉拌雪菇、清拌笋尖，姑娘吃得下么？想换么？”宝音听着这几样，都是淡而养身的小菜，厨房里没有乱来，含笑道： “不用换了。你去拿来给我吧。”又按一按洛月的手：“你心疼我，我知道。放心！我再也——断不会给自己找不痛快了。些 须身外物，我还看得开。”被人挖树，固然可恨，但跳开了想想，树也不是宝音的，是苏家的。苏家这个院里的树、移到那个 女儿窗下，又打什么不紧？大仇还没法儿报，若再为这个生气，也没几天活头了。宝音不愿动气伤身。洛月端粥去，一边儿欣 慰 会养身了，一边儿却越发心疼 。任外头吵他们的。宝音关起门窗来享受自己的 日子。热腾腾的把睡出来的冷汗擦了，换 身衣裳，就着几样清爽小菜喝了两大碗红米热粥，外头忽然又有了不同的声音。应该是树木咯吱咯吱的倾斜，枝叶沙啦作响， 交织出的声音。像那个夜晚，宝音在床上挣扎，木头床架和被褥摩擦摇晃，血液在耳膜里奔流，咯吱咯吱，哗啦哗啦„„这是 迷茫、震惊、痛苦，求一条生路的声音。“喳啦”，什么东西碎了？很模糊，几乎听不清。在这模糊中又响起尖锐的一声，鸟 叫么？但从那些人开始闹腾起，鸟儿替
新冀教版八年级数学上册第15章 二次根式 【创新教案】二次根式的加减运算
二次根式的加减运算【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析：本节内容共一课时。
主要内容是学习二次根式的加减运算。
2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。
在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。
同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。
班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。
结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。
三、目标分析1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。
2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。
3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。
四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。
【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。
五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。
”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节：活动3：探索交流活动4：例题分析活动5：随堂练习活动6：课堂小结，活动7：达标测试先独立完成，再探索交流，得出新的概念和法则运用法则进行计算，加深对运算法则的理解通过练习，巩固所学知识学生归纳小结，教师评价，形成系统学生测试，检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图，两个长方形的宽都是a m，它们的长分别是2 m和3 m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。
二次根式的加减法
二次根式的加减法第1课时教学目标：1.类比同类项概念，了解同类二次根式的意义，学会识别同类二次根式2.能熟练进行简单二次根式的运算教学重难点1.重点：能熟练进行简单二次根式的运算2.难点：同类二次根式的识别教学过程：一、情景导入与练习：1.同类项的特点？如何合并同类项？2.计算 a a += ，2a a += 22a b b a +-+= 类似地：33+= ，323+= ，223+－32+= ，3.思考并尝试说明：你对以上加减法的理解？二、探究与训练：活动1：例题探究，计算：3233-， a a 23+引导学生归纳： ①同类二次根式：根号和根号内的部分完全相同的根式就是同二次根式。
②同类二次根式的合并方法：合并同类二次根式时，根号部分(视为一个整体)不变，只需将根号的系数相加减。
③利用整体思想和类比方法，合并同类项与合并二次根式实际上是同一种变形。
活动2：例题探究 计算：a b b a 4223-+- 3223-， a b b a 2323-+-教师引导学生叙述所思所得：非同类二次根式不能合并活动3：同类二次根式的识别：指出下列各组二次根式是否同类二次根式：2与22 2 与 －2 a b 与 b a ab b 与 ba a －8与22 b a b 2 与 2ab a (其中a 、b 是正数)8、50 与 －18 b a b 3 与 3ab a (其中a 、b 是正数)讨论：还能简单地认为“只有根号内完全相同的二次根式才是同类二次根式”吗？究竟怎样的式子才是同类二次根式？教师点评：同类二次根式是化简后被开方数相同的根式。
如遇到还可以化简的根式，应化简后再作判断。
活动4：计算与训练：3250+ 18128-+ 453227-- 1827227+- 三、训练与达标：1．1-+x y x 与y x 24-是同类二次根式，则xy = 。
2．a a a 94-+= 。
3．545161322-+= 。
4．当7=x 时，1445---++x x x = 。
二次根式的加法和减法
二次根式的加法和减法二次根式是指形如√a（其中 a 为非负实数）的数学表达式，它在数学运算中起着重要的作用。
本文将详细介绍二次根式的加法和减法运算，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、二次根式的加法当我们需要对两个二次根式进行加法运算时，需要注意以下几个步骤：步骤1：确定根号内的数值是否相同。
如果两个二次根式的根号内的数值相同，那么我们可以直接将它们的系数相加得到结果。
例如：√2 + √2 = 2√2步骤2：如果根号内的数值不同，我们需要将它们进行合并。
合并的方法是将根号内数值相同的项合并在一起，再将系数相加。
例如：√2 + √3 = √2 + √3（无法合并）步骤3：无法合并的二次根式需要保留在结果中，并使用符号“+” 连接。
例如：√2 + √3（无法合并）因此，二次根式的加法运算结果为√2 + √3。
二、二次根式的减法二次根式的减法运算与加法运算类似，需要注意以下几个步骤：步骤1：确定根号内的数值是否相同。
如果两个二次根式的根号内的数值相同，那么我们可以直接将它们的系数相减得到结果。
例如：√5 - √3 = √5 - √3步骤2：如果根号内的数值不同，我们需要进行合并。
合并的方法是将根号内数值相同的项合并在一起，再将系数相减。
例如：√5 - √2（无法合并）步骤3：无法合并的二次根式需要保留在结果中，并使用符号“-”连接。
例如：√5 - √2（无法合并）因此，二次根式的减法运算结果为√5 - √2。
总结：在进行二次根式的加法和减法运算时，根据根号内数值是否相同，我们可以分别采用直接相加或者合并相同数值的项再计算系数的方法。
无法合并的二次根式需要保留在结果中，并使用符号“+” 或“-” 连接。
掌握了二次根式的加法和减法运算规则，我们能更加灵活地运用二次根式解决实际问题。
本文介绍了二次根式的加法和减法运算方法，希望能够帮助读者理解和掌握这一概念。
通过日常练习和实际应用，相信读者能够熟练运用二次根式的加减法，解决各种数学问题。
二次根式加减法
二次根式加减法二次根式加减法是中学数学教学中十分重要的一环，对学习者掌握二次根式的解法有非常重要的意义。
首先，我们来了解一下二次根式的定义：二次根式是一种一元二次方程的根式表达形式，也就是说，其中有一个未知量的二次多项式的根的表达式，即形如ax + bx + c = 0形式，其中a、b、c都是任意实数，x是未知量。
二次根式加减法，也叫求解二次根式的公式，是一种有效求解二次根式的方法，也称为二次公式。
其求解过程可简述为：先把原式化为标准格式→利用公式求出两个相等的根→把二次根式的根代入原式中→根据求解的结果，得出最终的求解结果。
具体求解过程如下：1.将二次根式化为标准格式：原式ax + bx + c = 0为标准格式：x + (b/a)x + (c/a) = 02.求出两个相等的根：令x1 与 x2解，那么有x1+x2=-(b/a)，x1*x2=(c/a)3.将两个根代入原式：将上面2个相等的根分别代入原方程，有ax +bx+(c/a) = 0 与ax + bx+(-x1x2) = 0，此时有(c/a) = -x1*x2，化简得x1+x2=-(b/a)，x1*x2=(c/a)4.求出最终解：由以上3个等式，可以依次求出 x1 x2，即x1=(-b+√(b-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b-4ac))/(2a)，最终得出二次根式的两个解。
二次根式加减法的应用广泛，不仅仅是用于解二次方程，而且在分析几何和抽样统计中也有着重要的作用，为学习者掌握此运算解法，对学习者的提高有着重要的意义。
在有效解决二次根式的运算时，学习者首先要正确理解二次方程的定义和含义，其次，要掌握相应的解法，要力求高效、熟练地掌握本文介绍的二次根式加减法，在实际应用时，明确结论，注意细节，内容科学，运算完全，快速准确求出最终解。
综上所述，就是要掌握二次根式加减法的运算，在遇到二次根式时就能快速又有效地求解，有效解决学习者的困惑，提高学习者数学水平。
二次根式的加减法则定义是什么
二次根式的加减法则定义是什么
二次根式的加减法法则为：先化简：首先把各个二次根式化简成最简二次根式；再合并：把同类二次根式分别合并后相加减。
将几个二次根式化简为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
二次根式的加减法则
二次根式的加减法法则为：
1、先化简：首先把各个二次根式化简成最简二次根式；
2、再合并：把同类二次根式分别合并后相加减。
将几个二次根式化简为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
根式的加减法法则的定义
根式的加减法法则是根式的运算法则之一，具体内容为：若干根式相加减，先把各根式化成最简根式，再合并同类根式，并将不同类的根式用运算符号连写在一起。
同类根式亦称相似根式，是代数学术语，指做加减法时允许合并的诸根式，当几个根式化成最简根式后，如果它们的根指数和被开方数分别都相同，那么这些根式称为同类根式。
在根式的加减法中，同类根式要合并。
一般地，几个根式总可以化成同次根式，但不一定能化成同类根式。
二次根式的定义和性质是什么
二次函数的定义：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，a称为被开方数，“√”称为二次根号。
二次根式的性质：
1、任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a；最简形式中被开方数不能有分母存在。
2、零的平方根是零。
3、负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
4、有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
二次根式的加减乘除
⼆次根式的加减乘除⼆次跟式的加减乘除练习知识点1. ⼆次根式的有关概念：⑴⼆次根式：式⼦■-1 (a > 0)做⼆次根式。
(2) 最简⼆次根式：满⾜下列两个条件的⼆次根式，叫做最简⼆次根式；①被开⽅数的因数是整数，因式是整式；②被开⽅数中不含 _______________________ 。
如倨不是最简⼆次根式，因被开⽅数中含有4是可开得尽⽅的因-⼀，5："，J 都是最简⼆次根式。
(3) 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式以后，如果，这⼏个⼆次根式就叫做同类⼆次根式如, ⼼就是同类⼆次根式，因为丄=2-'，?⼃…：=3 J，它们与「I的被开⽅数均为2。
(4) 有理化因式：两个含有⼆次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有⼆次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如’?与」，a+」与a」|，「- 与」+ '、，互为有理化因式。
2. ⼆次根式的性质:(2) ⾮负数的算术平⽅根再平⽅仍得这个数，即:a(a > 0)(3) _________________________________________ 某数的平⽅的算术平⽅根等于某数的，即辭=冏=1⼀匝<°(4) ⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即3. ⼆次跟式的加减法则：同类⼆次根式可以合并，合并时，只合并⼆次根式前边的倍数，被开⽅数不变。
知识点四：⼆次根式的乘除1. ⼆次根式的乘法法则：⼆次根式的除法则：两个数的算术平⽅根的商，等于这两个数商的算术平⽅根。
知识点五：⼆次根式的性质(1) (a > 是⼀个⾮负数,即■ ab(a°，b°〉反过来，就得到ab..a?、、b(a 0,b 0).V3.... 都不是最简⼆次根式，⽽ -(a》0,b =)<0(4)⾮负数的积的算术平⽅根等于积中各因式的算术平⽅根的积，即(5) ⾮负数的商的算术平⽅根等于被除式的算术平⽅根除以除式的算术平⽅根，即知识点六：⼆次根式的化简求值利⽤商的算术平⽅根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即3.化简⼆次根式：运⽤积的算术平⽅根的性质a a(a°)及因式分解等知识化简⼆次根式? k。
二次根式加减计算方法
二次根式加减计算方法一、二次根式的加减法规则在进行二次根式的加减法运算时，需要注意以下规则：1.同类项加减对于同类项加减，只需考虑根数相同的项，即分母中根号前的数字相同即可。
2.化简在进行加减运算之前，通常需要对二次根式进行化简，将根号内的式子化简到最简形式，并合并同类项。
3.消去开平方符号如果二次根式的两个加数中，一个是有理数（可以化为有理数），另一个是无理数，则可以消去其中一个项的开平方符号，将它化为有理数或无理数。
4.合并同类项对于化简后的二次根式式子，将含有相同因数的项合并在一起，这样可以方便进行加减运算。
以上是二次根式加减法的基本规则，下面将通过一些例题来说明具体的计算方法。
二、例题解析1.例题1：化简并求值将$\sqrt{8}-\sqrt{18}+3\sqrt{2}-2\sqrt{32}$ 化简并求值。
解：首先对于每一项进行化简。
根据化简公式：将每一项代入原式得：所以，$\sqrt{8}-\sqrt{18}+3\sqrt{2}-2\sqrt{32}=-8\sqrt{2}$2.例题2：消去开平方符号将$\sqrt{3}+\sqrt{10m}-\sqrt{20m^2}$ 化简。
解：所以，原式可以化简为：$\sqrt{3}+\sqrt{10m}-2m\sqrt{5}$3.例题3：合并同类项将$\sqrt{24}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\sqrt{4}$ 化简。
解：首先对每一项进行化简，可得：$\sqrt{6}$无法继续化简。
将每一项带入原式得：所以，$\sqrt{24}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-2\sqrt{4}=2\sqrt{6}-4$以上是二次根式加减计算的基本方法和例题解析。
通过掌握这些方法，我们可以快速、准确地进行二次根式的加减运算。
当然，为了更好地掌握这些方法，还需要多做练习，加深理解。
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
新冀教版八年级数学上册第15章 二次根式 【创新教案】二次根式的加减运算
二次根式的加减运算【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.。
人教版八年级数学下册《二次根式的加减》教学设计
人教版八年级数学下册《二次根式的加减》教学设计《人教版八年级数学下册《二次根式的加减》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！学习目标1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则;2.掌握二次根式的加减运算.(重点、难点)教学过程一、情境导入计算：(1)2x-5x; (2)3a2-a2+2a2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成，a2换成，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)2-5; (2)3-+2.这时怎样计算呢?二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与是同类二次根式的是( )A.B.C.D.解析：选项A中，=2与被开方数不同，故与不是同类二次根式;选项B中，=与被开方数不同，故与不是同类二次根式;选项C中，=与被开方数不同，故与不是同类二次根式;选项D中，=3与被开方数相同，故与是同类二次根式.故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法(1)+; (2)+;(3)4-3; (4)18-.解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.解：(1)原式=2+4=(2+4)=6;(2)原式=+=(+)=;(3)原式=16-15=(16-15)=;(4)原式=3-6=(3-6)=-3.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】二次根式的加减混合运算计算：(1)--;(2)-3+3x;(3)3-+2-;(4)-2-(-).解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并.解：(1)原式=2--=0;(2)原式=3-+3=5;(3)原式=-3+4-=(4)原式=--+5=+.方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：把每个二次根式化为最简二次根式;运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起;把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】二次根式加减法的应用一个三角形的周长是(2+3)cm，其中两边长分别是(+)cm，(3-2)cm，求第三边长.解析：第三边长等于(2+3)-(+)-(3-2)，再去括号，合并同类二次根式.解：第三边长是(2+3)-(+)-(3-2)=2+3---3+2=4-2(cm).方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长.解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算.本节课的重点是同类二次根式与合并同类二次根式。
八年级下册数学二次根式的加减
【1】八年级下册数学二次根式的加减在八年级下册数学教材中，二次根式的加减是一个重要的知识点。
对于许多学生来说，二次根式的加减可能是一个比较难以理解的概念。
然而，只要我们能够掌握一定的技巧和方法，就能够轻松地解决二次根式的加减运算。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨八年级下册数学二次根式的加减，以帮助读者更深入地理解这一知识点。
【2】二次根式的概念让我们来回顾一下二次根式的概念。
在数学中，二次根式是指形如√a 的数，其中a为非负实数。
对于二次根式的加减，我们需要掌握一些基本的运算规则，例如同类项相加减、合并同类项等。
这些规则将帮助我们在解决二次根式的加减问题时更加得心应手。
【3】二次根式的加减规则接下来，让我们来了解一下二次根式的加减规则。
当我们在进行二次根式的加减运算时，需要注意以下几点：1. 同类项相加减：只有当根号内的数相同，即根号下的被开方数相等时，才能进行加减运算。
2. 合并同类项：在进行二次根式的加减运算时，需要将根号内的数合并成一个根号。
【4】举例说明为了更加直观地理解二次根式的加减运算，让我们通过举例进行说明。
假设我们要计算√8 + 2√8的结果。
我们可以发现这两个二次根式是同类项，因为它们的根号内的被开方数都是8。
根据加法的运算规则，我们可以将这两个二次根式相加，得到3√8。
【5】深入探讨除了简单的加减运算外，二次根式的加减也涉及到更深入的探讨。
当我们需要进行多项式的二次根式加减运算时，就需要运用更多的技巧和方法。
在解决这类问题时，我们可以考虑将多项式展开，然后按照同类项的规则进行合并，最终得到简化的结果。
【6】总结回顾通过本文的讨论，我们对八年级下册数学二次根式的加减有了更深入的了解。
在实际的学习和应用中，我们可以通过大量的练习来提高自己的计算能力和思维能力。
对于一些复杂的问题，我们也可以寻求老师和同学的帮助，共同探讨解决方法。
【7】个人观点和理解在我个人看来，二次根式的加减是数学中的一道重要课题，它不仅考验了我们的计算能力，也锻炼了我们的逻辑思维能力。
二次根式的加减(提高)知识讲解
二次根式的加减--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1. 如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a =2，b =1B.a =1，b =2C. a =1，b =-1D. a =1，b =1【思路点拨】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a 、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.【答案】选D【解析】根据题意，得解之，得，故选D.【总结升华】判断是否是同类二次根式，一定要是最简二次根式，否则就要先化简再判断.举一反三:【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求a 、b 的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简=()226b a b -+=|b|×由题意得，∴，∴a =1，b=1. 类型二、二次根式的加减运算2.计算：（1）4832315311312--+ 【答案与解析】4832315311312--+=4823233333+-- =4343-=0【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三:【变式】计算 . 【答案】类型三、二次根式的混合运算3.计算:3223332233232+-+-+- 【思路点拨】二次根式的混合运算最好是先将每个因式化简，再合并. 【答案与解析】3223332233232+-+-+- =32(23)(233)(23)32(32)(23)(23)(32)(23)(32)(32)++-+-+-++--+ = 63633663---++=-【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律． 举一反三:【变式】)753)(753(-++-【答案】原式=3(57)3(57)⎡⎤⎡⎤--+-⎣⎦⎣⎦=23(57)--=2359-4.计算：已知2310,x x -+=2212x x+-. 【答案与解析】22222111224()4x x x x x x +-=++-=+-又因为2310,x x -+=所以0x ≠，130x x∴-+=，即13x x += 即原式945-= 【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就会很简便.一.选择题1. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 与是同类二次根式C. 与不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式2. 与不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D.3. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D.4. 下列各式中运算正确的是（ ）A.2510)5225(-=÷-B.529)52(2+=+C.1)2131)(23(=-- D.ca b a c b a +=+÷)( 5.()()a b b a b a a b +-的运算结果是（ ）A ． 0 B. ()ab b a - C. ()ab a b - D. 2ab ab6. 等腰三角形两边分别为32和25，那么这个三角形的周长是（ ）A.2534+B.21032+C.2534+或21032+D.21034+二. 填空题7.若最简二次根式与是同类二次根式，则. 3283ab 62a b b无法合并，这种说法是__________的（填“正确”或“错误”）.9.设76,76,a b =+=-则20102011a b ⋅的值是_________ 10. 已知，则. 11. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为_______（精确到0.01）.12.已知x ＝，则的值等于____________.三 综合题13.计算： 5334y 5xy ()(x y)515x 6-2b a ab a b a b a b a b a b+--++14.化简并求值：ab a b ab b ab ab a --+++ 其中32b ,32a -=+=.1552的整数部分为a ，小数部分为,b 求2222444a b a ab b -++的值.。
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二次根式的加减法
【教学目的】
1、知道什么样的二次根式是同类二次根式，会通过化简确定几个二次根式是不是同类二次根式。
2、知道二次根式的加减法，实质就是合并同类二次根式，并会运用类似合并同类项的方法，合并同类二次根式。
【重难点】
重点: 二次根式化简为最简根式 难点:会判断是否是最简二次根式 【知识要点】 1、定义:同类二次根式
类似于整式中的同类项，像33和－23、3a 和－2a 这样的两个二次根式，称为同类二次根式． 2、定义:最简二次根式
如果二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 3、二次根式的加减，与整式的加减相类似，只须对同类二次根式进行合并． 【引入】
试一试
计算：(1)x x 23- (2)2287x x +-
（3）33－23； （4）3a －2a
【典型例题】
例1、下列各式中把不是最简二次根式的化作最简二次根式
75 ， 3 ， 2 ， 127 ，1
50
例2、:请问下列两组二次根式是同类二次根式吗?
(1)2、22、3
2
(2)2、8、185
例3、计算：
（1）32+3－22－33 ． （2）-
（3）（45 +27 ）+（113 －125 ） （4）505
1
1221832++
- （5）12)3
2
3242731(⋅-- （6）)32)(532(+-
例4． 设梯形上底为a ，下底长为b ，高为h ，面积为s 。
（1）a=b=h=s；
（2）a=b=h=s；
（3）a=b=h=s；
【课堂练习】
1.在二次根式：①
） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
2.已知y=x3－3，且y的算术平方根为4，则x= ．
3. 如果最简根式b-a
3b 和2b-a+2 是同类二次根式，那么a、b的值为（）
A．a ＝0，b＝2 B．a ＝2，b＝0 C．a＝－1．b＝1 D. a＝1，b＝－2
4. 计算：（1）0
（2）2
2
3
3
1
2
1
-
-
+
（3）6
2
)2
12
18
(⨯
+
-（4）8 +18 +12 5、计算：
（1）53-753； （2）2
2
31872-+；
（3）35-2+5-42 ； （4）62
1
562--；
（5）32-31
2
+2；
河边的苹果
一位老和尚，他身边聚拢着一帮虔诚的弟子。
这一天，他嘱咐弟子每人去南山打一担柴回来。
弟子们匆匆行至离山不远的河边，人人目瞪口呆。
只见洪水从山上奔泻而下，无论如何也休想渡河打柴了。
无功而返，弟子们都有些垂头丧气。
唯独一个小和尚与师傅坦然相对。
师傅问其故，小和尚从怀中掏出一个苹果，递给师傅说，过不了河，打不了柴，见河边有棵苹果树，我就顺手把树上唯一的一个苹果摘来了。
后来，这位小和尚成了师傅的衣钵传人。
世上有走不完的路，也有过不了的河。
过不了的河掉头而回，也是一种智慧。
但真正的智慧还要在河边做一件事情：放飞思想的风筝，摘下一个“苹果”。
历览古今，抱定这样一种生活信念的人，最终都实现了人生的突围和超越。
二次根式加减法的作业
1．写出三个48的同类二次根式 。
2.下列各式中，与3为同类二次根式的是（ ）
A. 15
B. 125
C. 75
D.250
3．若b a b +4与b a +3是同类二次根式，则a 、b 的值是（ ） A. a=2, b=0 B. a=1, b=1 C. a=0, b=2或a=1, b=1 D. a=0, b=2 4.计算： （1）17 +28－700 （2） 551+2
120—
45
5
4
（3）04.0—25.0 （4） 2（18-23）+421
1
（5）⎛ ⎝（6。