高考数学讲义空间位置关系的判断与证明.板块五.平行与垂直关系综合证明.学生版

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高中数学空间位置关系的判断与证明板块四垂直关系的判断与证明完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：空间位置关系的判断与证明.板块三.平行关系的判断与证明.学生版【例1】下列说法正确的有．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例2】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个．【例3】已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．ABCE【例4】如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠= ，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例5】如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．典例分析EBCFDGSA【例6】如图，在四棱锥P ABCD-中，PA ⊥底面A B C ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．证明：面ABE ⊥面PCD ．【例7】如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．F EPABC【例8】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【例9】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例10】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1B E A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【例11】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【例12】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠= ，求证：MN ⊥面PCD ．QPD CAMN【例13】已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠= ．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【例14】（2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1DCBA【例15】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==，等边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例16】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥？【例17】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，1AA =D 是11A B 的中点．⑴求证1C D ⊥平面1A B ；⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．C 11A 1FEDC B A【例18】（2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面A B C D 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例19】已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例20】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例21】（2009扬州中学高三期末）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．【例22】（2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G = ． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ；⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFDCB A。

高中数学空间位置关系的判断与证明板块二对空间位置关系的判断完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：空间位置关系的判断与证明.板块二.对空间位置关系的判断.学生版【例1】直线和平面所成的角为α，则（）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤ C ．090α︒<︒≤ D ．090α︒<︒≤【例2】若直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与b 的位置关系是【例3】室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为（）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．无法确定【例5】设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例6】下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ；③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例7】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：典例分析①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥,　②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒　③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥　③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例8】（2009广东五校）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（）A ．若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥B ．若l β⊥，且//αβ，则l α⊥C ．若m αβ=，且l m ⊥，则//l αD ．若l β⊥，且αβ⊥，则//l α【例9】（2010年二模·东城·文·题3）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．,m n m n αα⊥⇒⊥∥B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥C ．,m m n n αα⊥⊥⇒∥D ．,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥ 【例10】（2010年二模·宣武·理·题4）已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（）A ．,m n αβ∥∥且αβ∥，则m n ∥B ．,m n αβ⊥∥且αβ⊥，则m n ⊥ C ．,m n m αβ=⊥且αβ⊥，则n α⊥ D ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥【例11】（2010浙江高考）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m ∥，则m α⊥C ．若l α∥，m α⊂则l m ∥D ．若l α∥，m α∥，则l m ∥【例12】（2008新课标海南宁夏）已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m α∥，m β∥，则下列四种位置关系中，不一．．定．成立的是（） A ．AB m ∥ B ．AC m ⊥C ．AB β∥D ．AC β⊥【例13】已知直线m n ，与平面αβ，，下面三个命题中正确的有______． ①m n m nαα⇒∥，∥∥；②m n n m αα⊥⇒⊥∥，；③m m αβαβ⊥⇒⊥，∥．【例14】（05广东）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：①若m α⊂，l A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，∥l α，∥m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥；③若∥l α，∥m β，∥αβ，则∥l m ；④若l α⊂，m α⊂，l m =点A ，∥l β，∥m β，则∥αβ．其中为假命题的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【例15】（2009北江中学）已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥；②若m α⊂，,//,//n m n αββ⊂，则αβ∥；③如果,,m n m n αα⊂⊄、是异面直线，则n 与α相交；④若,m n m αβ=∥，且,n n αβ⊄⊄，则n α∥且n β∥．其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【例16】（05福建卷）已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例17】（2010年二模·朝阳·理·题5）已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题： ①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥其中正确的命题是（）A ．①与②B ．③与④C ．①与③D ．②与④【例18】（2010年二模·海淀·理·题6）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（）A ．αβ⊥，n β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥【例19】（2010年二模·丰台·文·题7）设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题： ① 若,a b αα⊥⊥，则a b ；② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例20】（2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【例21】（09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α∉，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）A ． l m ∥，l α⊥B ． l m ⊥，l α⊥C ． l m ⊥，l α∥D ． l m ∥，l α∥【例22】（05江苏）设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ；③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例23】（2008浙江）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（）A ．a α∈，b α∈B ．a α⊂，b α∥C ．a α⊥，b α⊥D ．a α⊂，b α⊥【例24】（2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行； ③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）【例25】（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（）A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11A C 异面【例26】（2010年二模·海淀·文·题7）在正四面体A BCD -中，棱长为4，M 是BC 的中点，P 在线段AM 上运动（P 不与A 、M 重合），过点P 作直线l ⊥平面ABC ，A ．①② B．①③ C．②③ D．①②③【例27】（2008崇文一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【例28】（2009山东文9）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例29】对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）A ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么∥n αB ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么与n α相交C ．如果，∥m n αα⊂，m 、n 共面，那么∥m nD ．如果∥，∥m n αα，m 、n 共面，那么∥m n【例30】（2009福建文10）设m n ，是平面α内的两条不同直线；1l ，2l 是平面β内的两条相交直线．则αβ∥的一个充分而不必要的条件是（）A ．m β∥且1l α∥B ．1m l ∥且2n l ∥C ．m β∥且n β∥D ．m β∥且2n l ∥【例31】已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是．①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）．【例32】（2007西城高三期末）在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则αβ；∥④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是（）A．①、③ B．①、④ C．②、④D．②、③【例33】两个平面平行的条件是（）A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面【例34】（2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）【例35】（05年北京卷6）在正四面体P ABC-中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【例36】判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例37】（2010年一模·朝阳·文·题8）如图，设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥，垂足分别为,B D ，且AB CD ≠，如果增加一个条件就能推出BD EF ⊥，给出四个条件：①AC β⊥；②AC EF ⊥；③AC 与BD 在β内的正投影在同一条直线上；④AC 与BD 在平面β内的正投影所在直线交于一点．那么这个条件不可能．．．是（） A ．①② B ．②③ C ．③ D ．④【例38】（2009四川）如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是（）A ．PB AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBCC ．直线∥BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒【例39】（2010年一模·西城·理·题8）如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行。

空间位置关系的判断与证明.板块四.垂直关系的判断与证明.学生版

【例1】下列说法正确的有．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例2】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个．【例3】已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．ABCE【例4】如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠= ，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例5】如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．典例分析板块四.垂直关系的判断与证明EBCFDGSA【例6】如图，在四棱锥P ABCD-中，PA ⊥底面A B C ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．证明：面ABE ⊥面PCD ．【例7】如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．F EPABC【例8】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【例9】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例10】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【例11】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【例12】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠= ，求证：MN ⊥面PCD ．QPD CAMN【例13】已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠= ．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【例14】（2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1DCBA【例15】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==，等边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例16】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥？【例17】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，1AA =，D 是11A B 的中点．⑴求证1C D ⊥平面1A B ；⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．C 1B 1A 1FEDC B A【例18】（2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面A B C D 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CDCD 的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例19】已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例20】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例21】（2009扬州中学高三期末）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．【例22】（2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD AB C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G = ． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ；⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFEDCB A。

空间几何中的平行与垂直关系

空间几何中的平行与垂直关系空间几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和关系的数学学科。

在空间几何中，平行和垂直是两个基本的关系。

本文将介绍平行和垂直的概念、性质以及它们在空间几何中的应用。

一、平行关系平行是指两条直线或两个面永远不会相交的关系。

在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否平行：1. 直线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。

这是因为两条直线的斜率相等，意味着它们的倾斜角度相同，在空间中永远不会相交。

2. 直线的方向向量平行：如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行的。

我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否平行。

3. 直线的截距比相等：如果两条直线的截距比相等，那么它们是平行的。

我们可以通过计算两条直线的截距比，并判断它们是否相等。

平行的性质：1. 平行具有传递性：如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，那么直线l1与直线l3平行。

2. 平行具有对称性：如果直线l1与直线l2平行，那么直线l2与直线l1平行。

平行的应用：1. 平行线在平面图形中的应用：平行线在平面图形中有着重要的应用，如矩形、平行四边形等。

在这些图形中，平行线的存在使得我们可以推导出图形的性质和定理。

2. 平行线在建筑设计中的应用：建筑设计中常常需要使用平行线来确定建筑物的边界、墙壁等。

二、垂直关系垂直是指两条直线或两个面之间存在直角的关系。

在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否垂直：1. 直线斜率之积为-1：如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们是垂直的。

这是因为两条直线的斜率之积为-1，意味着它们相互垂直。

2. 直线的方向向量垂直：如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直的。

我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否垂直。

3. 直线的斜率之和为0：如果两条直线的斜率之和为0，那么它们是垂直的。

这是因为两条直线的斜率之和为0，意味着它们相互垂直。

统考版2024高考数学二轮专题复习专题三立体几何第2讲空间位置关系的判断与证明课件理

答案：C
考点三空间中平行、垂直关系
考点三空间中平行、垂直关系——思转化，用定理，得结论 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
(1)求证：PA⊥BC； (2)若CB2＝4，求三棱锥C-ABG的高．
归纳总结
平面图形翻折问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口． (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
对点训练 [2023·汕头潮阳实验学校二模]如图是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形， AB ＝ 2AD ＝ 2a. 将此图形沿 AB 折叠，使平面 ABCD垂直于半圆所在的平面．若点E是折后图形中半圆O上异于A，B 的点．
(1)证明：EA⊥EC； (2)若异面直线AE和DC所成的角为π6，求三棱锥D-ACE的体积．
例 1 [2023·陕西省宝鸡市高三三模]已知α，β是空间两个不同的平面， m，n是空间两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A．m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
答案：D
归纳总结判断与空间位置关系有关命题真假的4种方法
例 2 [2022·全国甲卷]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面 ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则( )

2019-2020年高中数学空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明完整讲义（学生版）【例1】已知垂直于正方形所在的平面，分别是和的中点，求证：①平面；②IH G F EDC B A P【例2】（xx 新课标江苏16）如图，在四面体中，，，点、分别是、的中点．求证：⑴直线面；⑵面面．FD EABC【例3】已知：四棱锥，平面，底面是直角梯形，，且，，点为线段的中点．EFDB A P⑴求证：平面；⑵求证：．【例4】（xx 年一模·丰台·文科·题16）典例分析【例7】（xx年二模·朝阳·文·题17）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为．⑴求证：平面；【例8】如图，已知所在的平面，是的直径，，是上一点，且，与所在的平面成角，是中点．为中点．⑴求证：；⑵求证：；⑶求三棱锥的体积．C A【例9】如图，在正方体中，，，求证：⑴平面；⑵．FEA B C DA 1B 1C 1D 1【例10】（xx 年一模·石景山·文·题17）如图，已知直三棱柱，，，．、分别是棱、中点．⑴求证：；⑵求四棱锥的体积；⑶判断直线和平面的位置关系，并加以证明．【例11】（xx 年二模·西城·文·题17）如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是侧棱的中点．⑴ 求证：平面；⑵ 求证：平面．【例13】如图所示，在直四棱柱中，，，点是棱上一点．⑴求证：面；⑵求证：．⑶试确定点的位置，使得平面平面．MD 1C 1B 1A 1D CB A【例14】（xx 山东文18）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，分别是棱，的中点．⑴设是棱的中点，证明：直线平面；⑵证明：平面平面．D 1EE 1F C 1B 1A 1D CB A【例15】如图，已知是正三棱柱，是的中点，，⑴证明：平面，平面；⑵求点到平面的距离．⑶证明：．D CBA A 1B 1C 1【例16】（xx 天津）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．⑴证明平面；⑵设，证明：平面．OF ED C B A【例17】（xx 江苏高三调研）如图，在三棱柱中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，分别为线段的中点，求证：⑴平面平面；⑵面；⑶平面．C 1B 1A 1G F EC BA【例18】如图，为正三角形，平面，，，是的中点，求证：⑴；⑵平面平面；⑶平面平面．MEDCB A2019-2020年高中数学空间位置关系的判断与证明板块四垂直关系的判断与证明完整讲义（学生版）【例19】下列说法正确的有．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线．④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直．⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．典例分析【例20】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个．【例21】已知在三棱锥中，，求证：⊥．AB CE【例22】如图，已知三棱锥，，为的中点，且是正三角形，⊥．求证：⑴ ⊥面；⑵平面⊥平面．D PA B C【例23】如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直于的平面交、、分别于点、、，求证：，．EB C FDG SA【例24】如图，在四棱锥中，底面，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，，是的中点．证明：面⊥面．【例25】如图，四面体，⊥面，⊥，过作⊥交于，过作 ⊥交于．求证：⊥．FE PABC【例26】如图是正方体下底面中心，，为垂足．求证：平面．【例27】如图所示，在正方体中．．求证：⊥面．A 1D 1C 1B 1DC B A【例28】在长方体中，点，分别在，上且，，求证：面【例29】在正方体中，为的中点，为底面的中心．求证：⊥面．【例30】在四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，，分别为，的中点．⑴求证：∥平面；⑵若，求证：⊥面．Q PD CAMN【例31】已知平行六面体的底面是菱形，且．求证：⊥．O A B C DA 1B 1C 1D 1【例32】（xx 深圳高三联考）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1D C B A【例33】如图，、、、是空间四点，在中，，，等边所在的平面以为轴可转动．当转动过程中，是否总有？请证明你的结论ABC DO【例34】在正方体中，是的中点，问当点位于上何处时，？【例35】如图，直三棱柱中，，，，是的中点．⑴求证平面；⑵当点在上什么位置时，会使得平面？并证明你的结论．C 1B 1A 1F EDC BA【例36】（xx 全国，文19）如图已知平行六面体的底面是菱形，且．⑴ 证明；⑵ 当的值为多少时，能使平面？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DC BA【例37】已知四面体，①若棱，求证②若，求证棱．【例38】已知三棱锥中，底面，，分别为的中点，于．⑴求证：平面；⑵求证：平面平面；⑶若，求截面分三棱锥所成两部分的体积比．【例39】（xx 扬州中学高三期末）在四棱锥中，，，平面，为的中点，．⑴求四棱锥的体积；⑵若为的中点，求证平面．【例40】（xx 京皖春）如图所示，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为．分别为棱的中点，． ⑴求证：平面平面；⑵求点到平面的距离；⑶求三棱锥的体积．D 1C 1B 1A 1GF DCB A。

空间位置关系的判断与证明.板块四.垂直关系的判断与证明普通高中数学复习讲义Word版

【例1】下列说法正确的有．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【难度】 ★ 【解析】 ①错误，过一点有一个平面垂直于已知直线，该平面内任一条过该点的直线都垂直于已知直线；②错误，若这无数条直线都是平行直线，则这条直线可以不垂直于这个平面，并且可以与这个平面相交，平行或在平面内；③正确，这条直线平行于这个平面，则必平行于该平面内的一条直线（过这条直线作一个与此平面相交的平面，交线即满足），而垂直于该平面的直线垂直于平面内任一条直线，故必垂直于这条与此平面平行的直线； ④错误，可以在此平面内，或与此平面平行； ⑤错误，在这个平面内有一组平行线与它异面垂直；⑥正确，比如正方体上底面的两条相邻的棱互相垂直，且都与下底面平行；综上知，正确的说法有③⑥．【例2】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个．【难度】 ★★【解析】 4；一个可行的例子如下：ABC ∆为直角三角形，B ∠为直角，直线PA ⊥面ABC ，D 为直线PA 上异于A 点的任意点，则四棱锥D ABC -的4个面均为直角三角形．（学生可以试着证明）【例3】已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．典例分析板块五.垂直个关系的判断与证明ABCE【难度】 ★★【解析】设CD 中点为E ，连接AE ，BE∵ACD ∆为等腰三角形，∴AE ⊥CD ，同理BE ⊥CD∴CD ⊥平面ABE ，又AB ⊂面ABE ∴CD ⊥AB ．【例4】如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【难度】 ★★★【解析】 ⑴由已知D 是AB 中点，PDB ∆是正三角形，∴12PD AB =，由平面几何知识可知，APB ∆为直角三角形 ∴PA ⊥PB ，又PA ⊥PC ，PB PC P =， ∴PA ⊥面PBC ⑵∵PA ⊥面PBC 又∵BC ⊂面PBC ，∴PA ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC PA A =∴BC ⊥面PAC∵BC ⊂面ABC ∴平面PAC ⊥平面ABC【例5】如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【难度】 ★★★【解析】分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证AE SB ⊥，可证AE ⊥平面SBC ，为此须证AE BC ⊥、AE SC ⊥，进而转化证明BC ⊥平面SAB 、SC ⊥平面AEFG ．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA BC ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥． ∴BC ⊥平面ASB ．∵AE ⊂平面ASB ，∴BC AE ⊥．又∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．又∵SB ⊂平面SBC ，∴AE SB ⊥，同理可证AG SD ⊥．【例6】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．证明：面ABE ⊥面PCD ．【难度】 ★★★【解析】由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =．∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．在四棱锥P ABCD -中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥． ∵AC CD PAAC A ⊥=，，∴CD ⊥平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE ，且PCCD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而AE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．【例7】如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．F EPABC【难度】 ★★★【解析】分析：要证线线垂直，可转化为线面垂直，本题关键在于线面垂直与线线垂直的转化．可由分析法入手：要证PC ⊥EF ⇐PC ⊥面AEF ⇐PC ⊥AF （已知），PC ⊥AE ⇐AE ⊥面PBC ⇐AE ⊥PB （已知），AE ⊥BC ⇐BC ⊥面PAB ⇐BC ⊥AB （已知），BC ⊥PA ⇐PA ⊥面ABC ，从而问题得到解决． F EPABC∵PA ⊥面ABC ，且BC ⊂面ABC ，∴BC ⊥PA ，且BC ⊥AB ∴BC ⊥面ABE∴BC ⊥AE ，又PB ⊥AE ，且BC PB B = ∴AE ⊥面PBC ，且PC ⊂面PBC ∴AE ⊥PC ，又AF ⊥PC ，且AFAE A =∴PC ⊥面AEF ，且EF ⊂面AEF ∴PC ⊥EF 本题可以分化出小题，体现中间的转化过程．【例8】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【难度】 ★★【解析】OH DCBAD'C'B'A'因为B H D O ''⊥，所以只需再证明B H '垂直于面AD C '上的另外一条直线即可．因为AC BD AC BB '⊥⊥，，所以AC ⊥平面BDD B ''，又B H '⊂面BDD B ''，因此AC B H '⊥．于是B H '垂直于相交直线AC D O '，所在的平面AD C '．【例9】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【难度】 ★★【解析】连结BD ．ABCDB 1C 1D 1A 1∵1DD ⊥底面ABCD ，又AC ⊂面ABCD ，∴1DD ⊥AC ，又底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又1BD DD D =，∴AC ⊥面1BDD ，又∵1BD ⊂面1BDD ∴AC ⊥1BD 同理连结1BC 可得1BD ⊥1B C∴根据线面垂直的判定定理可得1BD ⊥面1AB C ．【例10】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【难度】 ★★【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D由111A D A B ⊥，11B E A B ⊥，有1B E ⊥面11A BD ∴11B E BD ⊥由111C D BC ⊥，11B F BC ⊥，有1B F ⊥面11BC D ∴11B F BD ⊥ ∴1BD ⊥面1B EF【例11】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【难度】 ★★【解析】P OA 1D 1C 1B 1D CA（法一）由于AC ⊥BD ，且AC ⊥1BB ，∴AC ⊥面11BDD B ，且1B O ⊂面11BDD B ．∴1B O ⊥AC 连结1PB ，设AB a =，则1111AB CB B D ===QABCDB 1C 1D 1A 1PO∵222222113()22OB OB BB a a =+=+=222222111119())24PB PD B D a a =+=+=22222213())24OP PD DO a a =+=+=∴22211OB OP PB +=．∴1B O ⊥OP ，又POAC O =，∴1B O ⊥平面PAC （法二）由于AC ⊥BD ，且AC ⊥1BB ，∴AC ⊥面11BDD B ，且1B O ⊂面11BDD B ∴1B O ⊥AC 取CD 中点Q ，连结1QC ，OQ ，则OQ ∥11B C在正方形11CC D D 中，由P ，Q 分别为1DD ，1CC 的中点，可知CP ⊥1C Q ，又CP ⊥11B C ，且1111C QB C C =∴CP ⊥面11B C QO ，又1B O ⊂面11B C QO ∴CP ⊥1B O ∴1B O ⊥面PAC【例12】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD CAMN【难度】 ★★★★【解析】 ⑴取PD 中点Q ，连结MQ ，AQ ，∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点 ∴MQ ∥AN 且MQ =AN∴MN ∥AQ ，从而得到MN ∥平面PAD ⑵（法一）R PDBCAM N∵PA ⊥底面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ∴CD ⊥PA ，又由底面是矩形有CD ⊥AD ∴CD ⊥面PAD ，又AQ ⊂面PAD ∴AQ ⊥CD又∵45PDA ∠=，∴PA AD = 从而在等腰Rt APD ∆中，又PQ QD = ∴AQ ⊥PD ，又CD PD D =∴AQ ⊥面PAD ，又MN ∥AQ∴MN ⊥面PCD （法二）∵PA ⊥底面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ∴CD ⊥PA ，又由底面是矩形有CD ⊥AD ∴CD ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAD ∴PD ⊥CD取CD 中点R ，连结MR ，NR ，则MR ∥PD ，NR ∥AD ∴CD ⊥MR ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥NR ，∴CD ⊥面MNR ，且MN ⊂面MNR ， ∴MN ⊥CD∵45PDA ∠=，∴PA AD =，且BC AD =∴PA BC =，又AN BN =，且90PAN CBN ∠=∠=∴根据三角形全等可知PN NC =，又PM MC =∴MN ⊥PC∵CDPC C =，∴MN ⊥面PCD【例13】已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【难度】 ★★★【解析】 ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC连结BD ，AC 交于点O ，连结1A B ，1A D∵1160A AB A AD ∠=∠=，由1A AD ∆≌1A AB ∆可知，∴1A BD ∆为等腰三角形，又BO OD =∴1A O ⊥BD ，又1ACAO O =， ∴BD ⊥面1A AO ，又1AA ∥1CC ，且1CC ⊂面1A AO ．∴1CC ⊥BD【例14】（2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1DCBA【难度】 ★★【解析】 AC BD ⊥（或更特殊的四边形ABCD 是正方形或菱形）；111AC B D ⊥⇔BD ⊥平面11ACC A ⇔BD AC ⇔⊥．故充要条件为AC BD ⊥，本题只要求写一个充分条件即可．【例15】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC =边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【难度】 ★★【解析】当ADB △在转动过程中，总有OC AB ⊥，OD AB ⊥．∴AB ⊥平面COD ，∴AB CD ⊥当ADB △转动到与ABC △共面时，仍然有AB CD ⊥ 故ADB △转动过程中，总有AB CD ⊥．【例16】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥？【难度】 ★★【解析】若想1MN MC ⊥，只需1MN MB ⊥，只需11A MB AMN ∽△△，只需12AN AM =，N 位于13AN NB =∶∶处，即AB 的四等分点处．【例17】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，1AA =，D 是11A B 的中点．⑴求证1C D ⊥平面1A B ；⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．C 1B 1A 1FEDC B A【难度】 ★★★【解析】 C 1B 1A 1FEDCB A⑴如图，∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴11111AC B C ==，且11190AC B ∠=︒．又D 是11A B 的中点，∴111C D A B ⊥． ∵1AA ⊥平面111A B C ，1C D ⊂平面111A B C ， ∴11AA C D ⊥，∴1C D ⊥平面11AA B B ．⑵作1DE AB ⊥交1AB 于E ，延长DE 交1BB 于F ，连结1C F ，则1AB ⊥平面1C DF ，点F 即为所求．事实上，∵1C D ⊥平面11AA B B ，1AB ⊂平面11AA B B ， ∴11C D AB ⊥．又1AB DF ⊥，1DF C D D =，∴1AB ⊥平面1C DF ．【例18】（2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【难度】 ★★★★【解析】 ⑴ 连结1A C 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BC CD =．又∵11BCC DCC ∠=∠，11C C C C =，∴11C BC C DC ∆∆≌．∴11C B C D =． ∵DO OB =，∴1C O BD ⊥．又AC BD ⊥，1ACC O O =，∴BD ⊥平面1AC ．又1C C ⊂平面1AC ，∴1C C BD ⊥． ⑵ 当11CD CC =时，能使1A C ⊥平面1C BD ．证法一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==．图 9-2-285HGA 1D 1ADCC 1B 1B又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==． ∴三棱锥1C C BD -是正三棱锥．设1A C 与1C O 相交于G ．∵11AC AC ∥，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =．又1C O 是正1C BD ∆的BD 边上的高和中线，∴点G 是正1C BD ∆的中心．∴CG ⊥平面1C BD ，即1A C ⊥平面1C BD ．证法二：由⑴知BD ⊥平面1AC ，∵1A C ⊂平面1AC ，∴1BD AC ⊥．当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同1BD AC ⊥证法可得11BC AC ⊥．又1BD BC B =，∴1A C ⊥平面1C BD ．【例19】已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+ ②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【难度】 ★★★【解析】 ①过B 作CD 的垂线，垂足E ，连AE ，FEDCBA∵CD AB ⊥， ∴CD ⊥平面ABE ， ∴CD AE ⊥．∴222AC AE CE =+、222BD BE DE =+；又有222AD AE DE =+、222BC BE CE =+． ∴222222AC BD AE BE CE DE +=+++，而222222AD BC AE BE CE DE +=+++． ∴2222AC BD AD BC +=+．②过A 点作CD 的垂线，垂足设为F ，于是有：222AD AF DF =+、222BC BE CE =+； 222AC AF CF =+、222BD BE DE =+；∵2222AD BC AC BD +=+；∴22222222AF DF BE CE AF CF BE DE +++=+++ ∴2222DF CE CF DE +=+， ∴2222DF CF DE CE -=-，∴()()()()DF CF DF CF DE CE DE CE +-=+-， ∴DF CF DE CE -=-． ∴DF CE DE CF +=+．∴E 、F 只能重合于一点，故有CD ⊥平面ABE ， ∴CD AB ⊥．【例20】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【难度】 ★★★【解析】FEBDCAP⑴∵AB BC=，D为AC中点，∴BD AC⊥又PC⊥底面ABC，∴PC BD⊥∵PC AC C=，∴BD⊥平面PAC，∴BD AP⊥．又DE AP⊥，∴AP⊥平面BDE．⑵∵D F，为AC PC，的中点，∴DF AP∥．结合⑴可知DF⊥平面BDE．⑶∵211:323PEF PACPE PFS SPA PC∆∆⨯==⨯=⨯，∴13B PEF B PACV V--=．因此两部分的体积比为1:2．【例21】（2009扬州中学高三期末）在四棱锥P ABCD-中，90ABC ACD∠=∠=︒，60BAC CAD∠=∠=︒，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，22PA AB==．⑴求四棱锥P ABCD-的体积V；⑵若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF．【难度】★★★【解析】FEDCBAP⑴在Rt ABC∆中，1AB=，60BAC∠=︒，∴BC2AC=．在Rt ACD∆中，2AC=，60CAD∠=︒，∴CD=4AD=．∴1111122222BCDS AB BC AC CD∆=⋅+⋅=⨯⨯⨯．则123V=⑵∵PA CA=，F为PC的中点，∴AF PC⊥．∵PA⊥平面ABCD，∴PA CD⊥．∵AC CD⊥，PA AC A=，∴CD⊥平面PAC．∴CD PC⊥．∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF CD ∥．则EF PC ⊥． ∵AFEF F =，∴PC ⊥平面AEF ．【例22】（2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G =． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFEDCB A【难度】 ★★★ 【解析】 ⑴连接AC ．∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形． ∴AC BD ⊥，又1AC DD ⊥，故AC ⊥平面11BDD B ． ∵E F ，分别为AB BC ，的中点，故EF AC ∥， ∴EF ⊥平面11BDD B ， ∴平面1B EF ⊥平面11BDD B ．⑵连结1B G ，在对角面11BDD B 中，作11D H B G ⊥，垂足为H ， ∵平面1B EF ⊥平面11BDD B ，且平面1B EF平面11BDD B 1B G =，∴1D H ⊥平面1B EF ，且垂足为H ，∴点1D 到平面1B EF 的距离1d D H =．法一：在11Rt D HB ∆中，11111sin D H D B D B H =⋅∠，∵11114D B B =，11111sin sin BB D B H B GB GB ∠=∠===HGDB B 1D 1∴14d D H ===法二：∵111D HB B BG ∆∆∽，∴11111D H D BB B B G =，∴2111B B d D H B G ==法三：连接1D G ，则三角形11D GB 的面积等于正方形11DBB D 面积的一半．即21111122B G D H BB ⋅=．∴d =⑶111111111623323B EFD D B EF B EF V V V dS --∆====⋅=．。

空间位置关系的判断与证明(题型归纳)

空间位置关系的判断与证明【考情分析】1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题第一问的形式考查,难度为中档,主要考查空间中的点、线、面之间的位置关系,重点考查线、面平行与垂直的特殊位置关系的判定与性质,也常与充分必要条件相结合命题.2.关键能力:空间想象能力、逻辑思维能力.3.学科素养:直观想象、逻辑推理.【题型一】空间点、线、面的位置关系【题组练透】1．（2021·山东省实验中学高三模拟）若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由l α⊥且//m α能推出m l ⊥，充分性成立；若l α⊥且m l ⊥，则//m α或者m a ⊂，必要性不成立，因此“//m α”是“m l ⊥”的充分不必要条件.故选：A .2．（2021·江苏金陵中学高三模拟）已知m ，n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面.下列命题中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n 【答案】D【解析】A 、若//m α，//n α，则m ，n 平行，相交或异面，故错误；B 、若αγ⊥，βγ⊥，则α，β平行或相交，故错误；C 、若//m α，//m β，则α，β平行或相交，故错误；D 、若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确．故选：D ．3．【多选】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为A 1B 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．DE 与CC 1为异面直线B ．DE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值为4C ．过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D ．线段DE 在底面ABCD【答案】ABC【解析】由图可知：DE 与CC 1为异面直线，∴A 正确；因为平面11//BCC B 平面11ADD A ，所以DE 与平面11BCC B 所成角即DE 与平面11ADD A 所成角，连接A 1D ，显然，1A DE ∠是DE 与平面11ADD A 所成角.在直角三角形EA 1D中：11112tan 4A E A DE A D ∠===，∴B 正确；过D ､C ､E 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A 1B 1CD 截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C 正确；取AB 中点F ，连接EF ､DF ，∵EF //B 1B 且B 1B ⊥底面ABCD ，∴EF ⊥底面ABCD ，∴DF 的长为线段DE 在底面ABCD 的射影长，在直角三角形DFE 中：EF =1，DE =32，∴DF52=，∴D 错.故选：ABC.4．（2021北京人大附中高三模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M 是PC 上的一动点,当点M 满足条件①BM ⊥DM,②DM ⊥PC,③BM ⊥PC 中的时,平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)【答案】②(或③)【解析】连接AC(图略),因为PA ⊥底面ABCD,所以PA ⊥BD,因为底面各边都相等,所以AC ⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD ⊥平面PAC,所以BD ⊥PC,所以当DM ⊥PC(或BM ⊥PC)时,即有PC ⊥平面MBD,而PC ⊂平面PCD,所以平面MBD ⊥平面PCD.【提分秘籍】高考中判断空间线面位置关系的注意点：(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解.【题型二】空间平行、垂直关系的证明【典例分析】【例1】（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，AD ⊥平面PEC ．（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若2AE ED =，在线段PB 上是否存在一点F ，使得//AF 平面PEC ，请说明理由．【解析】AD ⊥ 平面PEC ，PC ⊂平面PCE ，AD PC ∴⊥，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，//AD BC ∴，PC BC ∴⊥，平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ，PC ∴⊥平面ABCD ．（2）解：存在，F 为PB 上靠近B 的三等分点，取PB 上靠近B 的三等分点为F ，取PC 上靠近C 的三等分点为G ，连接EG 、FG 、AF ；F 、G 分别为PB 、PC 上的三等分点，//FG BC ∴且23FG BC =，2AE ED = ，且四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，//AE FG ∴且AE FG =，∴四边形AEGF 为平行四边形，//AF EG ∴，EG ⊂ 平面PEC ，AF ⊂/平面PEC ，//AF ∴平面PEC ．【提分秘籍】1.证明线面平行问题的一般思路:(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;(2)证明线线平行;(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.2.判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.3.判定线面垂直的四种方法:(1)利用线面垂直的判定定理;(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”;(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”;(4)利用面面垂直的性质定理.4.证明面面垂直问题的两种思路:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.【变式演练】1.（2021•河南郑州一中高三模拟）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4AD =，2DE EF ==．（1）求证：平面ADE ⊥平面CDEF ；（2）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴⊥．又AD DE ∴⊥，DE DC D = ，AD ∴⊥平面CDEF ，AD ⊂面ADE ，∴平面ADE ⊥平面CDEF ．（2）存在．//AB CD ，AB ⊂面ABFE ，CD ⊂面CDEF ，并且面ABFE ⋂面CDEF EF =，//EF CD ∴．取CD 中点H ，HC 中点P ，取AB 中点N ，NB 中点Q ，连MP ，PQ ，MQ ，可得//EF DH ，且EF DH =，故四边形EFHD 为平行四边形，//ED FH ∴．又M 为FC 中点，∴在CFH ∆中，//MP FH ，//PQ AD ，PQ M P P = ，面//MPQ 面ADE ，G 在棱AB 上，故当且仅当G 与Q 重合时，//MG 面ADE ，334AG AB ∴==．【题型三】翻折问题【典例分析】【典例2】（安徽省安庆市2021届二模）如图是矩形ABCD 和以边AB 为直径的半圆组成的平面图形，22AB AD a ==．将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面．若点E 是折后图形中半圆O 上异于A ，B 的点．（Ⅰ）证明：EA EC ⊥；（Ⅱ）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求三棱锥D ACE -的体积．【解析】（Ⅰ）∵面ABCD ⊥圆O ，面ABCD 圆O AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，∴BC ⊥圆O ，又EA ⊂圆O ，∴BC EA ⊥，又AEB ∠是直角，即BE EA ⊥，而BE BC B = ，∴EA ⊥面EBC ，又EC ⊂面EBC ，∴EA EC ⊥．（Ⅱ）在矩形ABCD 中，//AB CD ，直线AE 和DC 所成的角为6π，∴直线AE 和AB 所成的角为6π，即6BAE π∠=．过E 作EF AB ⊥于F ，则EF ⊥面ABCD ．又22AB AD a ==，6BAE π∠=，易得AE =，即有32EF a =，∴211222ACD S AD CD a a a =⨯⨯=⨯⨯= ，由2311333326D ACE E ACD ACD V V S EF a a a --==⨯⨯=⨯⨯= ．∴三棱锥D ACE -的体积是336a ．【提分秘籍】平面图形折叠问题的解题策略(1)解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.【变式演练】1.（2021届青海省西宁市一模）如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C ，60COB ∠=︒，点P 是弧AC 上的动点，点D 是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将上､下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO ，PD ，CD .（1）当//AB 平面PCD 时，求PC 的长；（2）求三棱锥P COD -的最大体积【解析】（1）因为//AB 平面PCD ，AB ⊂平面O C P ，平面OCP ⋂平面PCD PC =，所以由线面平行的性质定理得//AB PC .又60COB ∠=︒，可得60OCP ∠=︒.而OC OP =，所以OCP △为正三角形，所以1PC =.（2）因为二面角为直二面角，且⊥DO AB ，所以DO ⊥平面COP ，而P COD D COP V V --=，则111sin sin 326P COD D COP V V OP OC COP OD COP --==⨯⨯⨯⨯∠⨯=∠，所以当90COP ∠=︒时，三棱锥P COD -体积最大，最大值为16.2．（四川省宜宾市2021届二模）已知四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD ，45C ∠=︒，2AB =，4CD =，E ，F 分别为CD ，BC 的中点(如图1)，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点S 的位置且平面SAE ⊥平面ABCE (如图2).（1）求证：EF SE ⊥；（2）求点C 到平面SEF 的距离.【解析】（1）证明：连结BE ，因为4CD =，E 为CD 的中点，所以2DE AB ==，因为四边形ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，所以ABCD 是矩形，所以BE CD ⊥，又45C ∠=︒，2EC =，所以2AD BE EC ===，所以四边形ABED 是正方形，BEC △是等腰直角三角形，又F 为BC 的中点，所以EF BC ⊥，又45C ∠=︒，所以ADE 与EFC 都是等腰直角三角形，所以45DEA CEF ∠=∠=︒，所以EF AE ⊥，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，平面SAE 平面ABCE AE =，EF ⊂平面ABCE ，所以EF ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以EF SE ⊥；（2）设AE 的中点为O ，连结SO ，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，所以点S 到AE 的距离2SO =1EFC S =△，所以1233S EFC EFC V S SO -=⋅=△，由（1）可知，EF SE ⊥，所以12222SEF S =⨯=△设点C 到平面SEF 的距离为h ，由等体积法可得，S EFC C SEF V V --=，所以21233h =⨯，解得1h =，所以点C 到平面SEF 的距离为1.1．（2021·山东滕州一中高三模拟）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，且1BC AC ^，过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在.A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．ABC ∆内部【答案】B 【解析】连接1AC ，如图.∵90BAC ∠= ，∴AC AB ⊥，∵1BC AC ^，1BC AB B =，∴AC ⊥平面1ABC .又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面1ABC ，则根据面面垂直的性质定理知，在平面1ABC 内一点1C 向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上.故选B.2.（内蒙古赤峰市2021届二模）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，1D 的截面与棱11A B 交于F ，则截面1BED F 分别在平面1111D C B A 和平面11ABB A 上的正投影的面积之和（）A ．有最小值1B ．有最大值2C ．为定值2D ．为定值1【答案】D 【解析】因为平面1BED F 平面ABCD BE =，平面1BED F 平面11111A B C D D F =，平面1111D C B A //平面ABCD ，所以1//BE D F ，同理1//D E BF ，所以截面1AED F 是平行四边形，所以1BE D F =，所以1A F CE =，从而1B F DE =，截面1BED F 在平面1111D C B A 上的正投影是以CE 为底，高为1的平行四边形，在平面11ABB A 上的正投影是以DE 为底，高为1的平行四边形，因此两个投影的面积和为()11S CE DE =+⨯=为定值．故选：D ．3.（2021·河北衡水中学高三模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是()A ．线段BCB ．线段1BC C ．线段1B CD ．平面11BCC B 【答案】C 【解析】如图，连接AC ，1AB ，1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由正方体的结构特征，可得：11BD CB ⊥，1BD AC ⊥，又1CB AC C = ，1BD ∴⊥面1ACB ，又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P 的轨迹为面1ACB 与面11BCC B 的交线段1CB ．故选：C ．4．（山西省2021届二模）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥且1PA BC ==，PB AC ==PC =，则下列命题不正确的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．平面PAB ⊥平面ABC C ．平面PAC ⊥平面PBCD ．平面PAC ⊥平面ABC 【答案】C【解析】1PA BC == ，PB AC ==PC =∴在PBC 中，2222221PB BC PC +=+==，BC PB ∴⊥，又PA BC ⊥且PA PB P = ,BC ∴⊥平面PAB ,又BC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面PBC∴平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⊥平面ABC ，故AB 正确；在PAC △中，2222221PA AC PC +=+==，PA AC ∴⊥，,PA BC BC AC C ⊥= ，PA ∴⊥平面ABC ,又PA ⊂ 平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC ，故D 正确；对于C 选项，若假设平面PAC ⊥平面PBC ，则过A 作AM PC ⊥于M ，如图由平面PAC 平面PBC PC =,AM ∴⊥平面PBC ，可得AM BC ⊥，又PA BC ⊥，PA AM M = ,BC ∴⊥平面PAC ，BC AC ∴⊥,这与ABC 中BC AB ⊥矛盾，故假设不正确，故C 选项错误.故选：C5．（2021·辽宁东北育才中学高三模拟）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==，11AA =，若面对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（）A ．1B ．3C ．13D 7【答案】D 【解析】将长方体对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，如下图所示：则当1,,A P D 三点共线时，1AP D P +取得最小值1AD ，又1AA AB ⊥，11AA =，3AB =，13AA B π∴∠=，115326AA D πππ∴∠=+=，在11A AD 中，由余弦定理得：222111111152cos 76AD AA A D AA A D π=+-⋅=，17A D ∴=，即1AP D P +7.故选：D.6．（江西省鹰潭市2021届高三高考一模）如图1，直线EF 将矩形ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合），下列说法正确的是（）A ．在翻折过程中，恒有直线//AD 平面BCFB ．存在某一位置，使得//CD 平面ABFEC ．存在某一位置，使得//BF CDD ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE【答案】A【解析】对于A ，由题意得：//DE CF ，//AE BF ，∵AE DE E = ，BF CF F ⋂=，∴平面//ADE 平面BCF ，∵AD ⊂平面ADE ，∴在翻折过程中，恒有直线//AD 平面BCF ，故A 正确；对于B ，∵直线EF 将矩形ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，∴CD 与EF 相交，∴不存在某一位置，使得//CD 平面ABFE ，故B 错误；对于C ，∵平面CDEF 平面BFC EF =，BF ⊂平面BFC ，⋂=BF EFF ，所以直线BF 与平面CDEF 相交；∴不存在某一位置，使得//BF CD ，故C 错误；对于D ，∵四边形DEFC 是梯形，DE CD ⊥，∴DE 与EF 不垂直，∴不存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFE ，故D 错误．故选：A ．7．（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知α，β是两个平面，m ，n 是两个条件，则下列结论正确的是（）A ．如果m α⊥，//n α，那么m n⊥B ．如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥C ．如果//αβ，m α⊂，那么//m βD ．如果//m α，βn//且//αβ，那么//m n 【答案】AC【解析】对于A ，若m α⊥，//n α，则m n ⊥,故A 正确;对于B ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则//αβ或αβ，相交，故B 错误;对于C ，若//αβ，m α⊂，则//m β，故C 正确；对于D ，若//m α，βn//且//αβ，则m n ，平行、相交或异面，故D 错误.故选：AC.8.（2021·深圳中学高三模拟）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE⊥【答案】BCD 【解析】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确；因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HC BC C = ,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C 正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确.故选：BCD9.（2021·山东曲阜师范大学附属中学高三模拟）如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 是线段PB 的中点，下列命题正确的是（）A ．//MO 平面PAC ；B ．//PA 平面MOB ；C ．OC ⊥平面PACD ．平面PAC ⊥平面PBC【答案】AD 【解析】因为 AB 为圆O 的直径，M 是线段PB 的中点，所以//OM PA ；又OM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以//MO 平面PAC ；即A 正确；又PA ⊂平面PAB ，即PA ⊂平面MOB ，故B 错；因为点C 在圆O 的圆周上，所以AC CB ⊥，故OC 不与AC 垂直，所以OC 不可能与平面PAC 垂直，即C 错；由直线PA 垂直于圆O 所在的平面，所以PA BC ⊥；又AC CB ⊥，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC 、PA ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC ，即D 正确.故选：AD.10（2021·福建三明市·三明一中高三模拟）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形1111D C B A 满足条件______时，有111AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）.【答案】1111AC B D ⊥【解析】连接11AC ，由直四棱柱1111ABCD A B C D -可得1CC ⊥平面1111D C B A ，因为11B D ⊂平面1111D C B A ，故111CC B D ⊥，当1111AC B D ⊥时，因为1111CC AC C ⋂=，故11B D ⊥平面11AC C ，而1AC ⊂平面11AC C ，故111AC B D ⊥.故答案为：1111AC B D ⊥.11.（2021·浙江镇海中学高三模拟）P 是ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足是O ，连接PA 、PB 、PC .（1）若PA PB PC ==，则O 为ABC 的__________心；（2）PA PB ⊥，PA PC ⊥，PC PB ⊥，则O 是ABC 的__________心.【答案】外垂【解析】（1）如下图所示：PO ⊥ 平面ABC ，OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ，PO OA ∴⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，PA PB PC == ，则POA 、POB 、POC △均为直角三角形且全等，所以，OA OB OC ==，因此，O 为ABC 的外心；（2）如下图所示：PA PB ⊥ ，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=，PA ∴⊥平面PBC ，BC ⊂ 平面ABC ，BC PA ∴⊥，PO ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥，PA PO P = ，BC ∴⊥平面PAO ，AO ⊂Q 平面PAO ，AO BC ∴⊥，同理可证AC BO ⊥，所以O 为ABC 三条边上高线的交点，即为垂心．故答案为：外；垂.12.（2021·广东珠海市·高三模拟）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为平面11AAC C 内的动点，12B E =，则AE 长度的最小值为___________.【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接B 1D 1交A 1C 1于点O ，则B 1D 1⊥A 1C 1，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，即B 1D 1⊥AA 1，如图：从而有B 1O ⊥平面A 1B 1C 1D 1，连OE ，Rt △B 1OE 中，1B O =，而12B E =，则EO =所以点E 在平面ACC 1A 1内的以O 为半径的矩形ACC 1A 1内的半圆上，而点A 及半圆弧在半圆O 的直径A 1C 1同侧，且点A 在半圆弧外，则有min ()AE AO ==13.（宁夏银川市第二中学2021届一模）如图，矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，E 为CD 的中点，把 ADE 沿AE 翻折，使得平面ADE ⊥平面ABCE ．（1）求证：AD BE ⊥；（2）在CD 上确定一点F ，使//AD 平面BEF ；（3）求四棱锥F ABCE -的体积．【解析】（1）证明：∵平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =又由已知可得2AE BE ==，2AB =，∴BE AE ⊥，则BE ⊥平面DAE ∵AD ⊂平面DAE ，∴BE AD ⊥，故AD BE ⊥；（2）连接AC 交BE 于G ，则12CG CE GA AB ==，在线段CD 上取CD 的三等分点F （靠近C ），连接FG ，则13CF CG CD CA ==，可得//AD FG 而AD ⊄平面,BEF FG ⊂平面BEF ，则//AD 平面BEF ；（3）取AE 中点O ，连接DO ，则DO AE⊥又平面ADE ⊥平面ABCE ，且平面ADE 平面ABCE AE=∴DO ⊥平面ABCE ，在Rt ADE △中，可得22DO =∵F 为CD 的三等分点F （靠近C ），∴F 到平面ABCE 的距离为122326⨯=．可得四棱锥F ABCE -的体积为1122(12)23266⨯+⨯⨯=．14．（安徽省蚌埠市2021届三模）已知平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，2AB AC AD CD ====，现将ABC 沿AC 折起，使得点B 移至点P 的位置(如图)，且PC PD =.（1）求证：CD PA ⊥；（2）若M 为PD 的中点，求点D 到平面ACM 的距离.【解析】（1）证明：由题意知，PA AC ⊥，即90PAC ∠=︒，∵AC AD =，PC PD =，PA PA =，∴PAC PAD ≅ ，则90PAD PAC ∠=∠=︒，∴PA AD ⊥，又AC AD A = ，∴PA ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，∴PA CD ⊥；（2）由M 为PD的中点，即MD =，又12cos CD MDC PD ∠==，在MCD △中，2222cos 24224MC MD DC MD DC MDC =+-⋅⋅∠=+-=，得2MC =，在AMC 中，2AC MC ==，AM =3cos 4ACM ∠=，sin 4ACM ∠=，∴11sin 222242AMC S AC CM ACM =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯= ，设点D 到平面ACM 的距离为d ，则由等体积法有D AMC M ADC V V --=，故111332AMC ADC S d S PA ⋅⋅=⋅⋅ ，即22124d =⨯⨯，解得2217d =，故点D 到平面ACM 的距离为2217.。

高考数学二轮专题三立体几何第讲空间位置关系的判断与证明课件

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∵EC∥平面 FBD，且平面 FBD∩平面 ACE＝FM， ∴EC∥FM. ∴EFAF＝CMMA＝12， ∴EAFE＝13.
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解题方略
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b ∥α⇒α∥β； (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a
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解题方略
判断与空间位置关系有关命题真假的方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断； (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理进行判断； (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
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(2)证明：∵平面 ABE⊥平面 ABCD，平面 ABE∩平面 ABCD＝AB，且 AB⊥BC，∴BC⊥ 平面 ABE，∴BC⊥AE.
又∵EA⊥EB，BC∩BE＝B，∴ AE⊥平面 BCE.
∵ AE ⊂ 平面 AED ， ∴ 平面 AED⊥平面 BCE.
(3)存在点 F，且EEFA＝13时，有 EC∥平面 FBD. 理由如下：连接 AC 交 BD 于点 M. ∵四边形 A＝12.
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[解] (1)证明：取 AB 的中点 O，连接 EO，DO.
由△ABE 为等腰直角三角形可得 EB＝EA，
∴EO⊥AB. ∵四边形 ABCD 为直角梯形， AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC， ∴四边形 OBCD 为正方形，则 AB⊥OD.又 OD∩OE＝O， ∴AB⊥平面 ODE，∴AB⊥ED.

空间位置关系的判断与证明.板块三.平行关系的判断与证明.学生版

P F A E B C D
行四边形， E 、 F 分别是 AB 、
AF ∥
面 PCE ．
例13
如图，四边形 ABCD 是矩形，P ∉ 面 ABCD ，过 BC 作面 BCEF 交 AP 于 E ，交 DP 于F ，求证四边形 BCEF 是梯形．
3
P E F D C
A
B
例14
已知 E , F , G , H 为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC , CD, DA
P
1 AB ， E 是 PB 的 2
EC ∥ 面 APD ．
E D A B C
例7
已知空间四边形 ABCD ，E 、F 、G 分别是 AB 、BC 、CD 的中点，求证 AC / / 面 EFG ， BD / / 面 EFG ．行四边形，E 是 PC 的中点．求
例8
如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是证
D
求证
AM / / 面 EFG ．
例11
如图，在底面是
P
行四边形的四棱锥 P − ABCD 中，点 E 在 PD
BF ∥
，且
PE : ED = 2 :1 ， F 为棱 PC 的中点．求证
面 AEC
F A B C
E D
例12
如图，四棱锥 P − ABCD 中，四边形 ABCD 是
PD 的中点．求证
B1 D1 的交点，则 MN 的长度为_______．
D1
N
C1 B1
M
A1
D A B
C
例18
如图，在正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， E 为 DD1 的中点．求证

专题16 立体几何中平行与垂直证明(学生版)

方法技巧专题16 立体几何中平行与垂直证明解析版一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒ 二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法 1.1 直线与直线平行的证明1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用三角形中位线性质1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

αbaabαβ ba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点 1.例题【例1】如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD ∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaP【例2】已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．【例3】如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ,且2====DG DE AD AB ,1==EF AC ．求证： BF ∥平面ACGD ；A BCDE G F【练习2】如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．求证：（1）EG ∥平面11BB D D ；（2）平面BDF ∥平面11B D H ．【练习3】在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.求证： //FM 平面BDE .【二】“垂直关系”常见证明方法 2.1直线与直线垂直的证明2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。

空间立体几何中的平行垂直证明课件

平行与垂直的关系
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平行与垂直的证明方法
利用公理、定理证明平行与垂直
01
02
03
公理
定理
应用
利用向量证明平行与垂直
向量平行的定义
两个向量平行当且仅当它们的方直线平行或垂直。
向量垂直的定义
两个向量垂直当且仅当它们的点积为零。
利用坐标系证明平行与垂直
坐标系定义
坐标表示
应用
CATALOGUE
平行与垂直的应用
平行与垂直在几何问题中的应用
平行与垂直在解决几何问题中具有广泛的应用，如证明线段平行、垂直、角相等、面积相等等。
通过平行和垂直的性质，可以推导出许多重要的几何定理，如勾股定理、余弦定理等。
平行与垂直在几何问题中的应用有助于培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
空间立体几何中的平行垂直证明课件
• 空间立体几何的基本概念 • 平行与垂直的定义与性质 • 平行与垂直的证明方法 • 平行与垂直的应用 • 习题与解析
CATALOGUE
空间立体几何的基本概念
空间几何体的定义与分类
定义分类
空间几何体的性质与关系
性质
关系
空间几何体之间存在平行、垂直、相交等位置关系，这些关系可以通过证明来确定。
平行与垂直在空间解析几何中的应用
空间解析几何是研究空间中点、线、面、体及其相互关系的数学分支，平行与垂直是其中的重要
概念。
通过平行与垂直的性质，可以确定点、线、面的位置关系，以及计算它们的长度、面积和体积等。
平行与垂直在空间解析几何中的应用有助于培养学生的数学思维
能力和解决实际问题的能力。
平行与垂直在物理学中的应用

高中数学复习提升-高中数学专题——立体几何专题(学生版)

立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算一、看图选择正确的三视图1、（2010广东理数）6.如图1，△ABC为三角形，AA'//BB'//CC' ,CC'⊥平面ABC且3AA'=32BB'=CC'=AB,则多面体△ABC -A B C'''的正视图（也称主视图）是2、（2010北京理数）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为二、根据三视图求几何体的面积、体积1、（2010安徽理数）8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A、280B、292C、360D、372A B C D2、（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题）已知一个正三棱锥P ABC -的主视图如图所示，若32AC BC ==， 6PC =_________．3、（2010全国卷1文数）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 2343 (C) 2383题型2 空间点、线、面位置关系的判断例1 （江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题：①若βα⊥⊥n m ,，m n ⊥，则βα⊥；②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//；④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断．例2 （浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是A ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβB ．若//,//,//,m n αβαβ则//m nC ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算例1．(2009江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为2的正方体 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥；（3）求三棱锥EFC B V -1的体积．例2．（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==．（1）求四棱锥P ABCD -的体积V ；（2）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（3）求证CE ∥平面PAB ．题型4 求空间的角的大小一、异面直线所成的角例1（2007年广东理数）如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=66CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且E F ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使P E ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

【高考数学二轮复习-经典微专题】第52讲用空间向量判断,证明平行与垂直-解析版

第52讲用空间向量判断，证明平行与垂直知识与方法1用空间向量判断证明线面平行或垂直,面面平行或垂直的思路 (1)直接利·用向量运算的几何意义进行证明.（2)通过建立三维坐标系,用向量的坐标形式进行运算和证明. 2用向量证明直线与平面平行的方法（1）证明直线的方向向量与平面某一法向量垂直. （2）证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向亘平行. (3)证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 3用向量证明直线与平面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的某一法向量平行.（2）证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直. （3)证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直. 4证明空间两个平面的平行与垂直关系的方法（1）利用两个平面的法向量的平行与垂直关系进行证明,关键是求出两个平面的法向量. （2)将证明两个平面的平行和垂直关系转化为证明直线与平面的平行与垂直关系,再利用上述介绍的证明方法进行证明.（3）利用面面平行、面面垂直判定定理的向量表示进行证明.典型例题【例1】如图52-1所示，在正方体111ABCD A BC D 中，M N ，分别是111C C B C ，的中点.证明：//MN 平面1.A BD【解析】【解法1】 ∵1111111111111()2222MN C N C M C B C C D A D D D A =-=-=-=1//.MN DA ∴又∵MN 与1DA 不共线，∴1//.MN DA 又MN ⊄平面11,A BD A D ⊂平面1A BD ,//MN ∴平面1A BD .【解法2】设正方体的棱长为1,以D 为原点,分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图52-2所示空间直角坐标系,则1110,1,,,1,1,(0,0,0),(1,0,1),(1,1,0).22M N D A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是111,0,,(1,0,1),(1,1,0)22MN DA DB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =,则0,,0n DA n DB ⎧⎪⋅⎨⎪⎩=⋅= 得00x z x y ⎧⎨⎩+=+=，取1x =,得1,1y z =-=-,∴()1,1,1n =--.又1111,0,(1,1,1)10(1)(1)02222n MN ⎛⎫⋅=⋅--=⨯+⨯-+⨯-= ⎪⎝⎭,MN n ∴⊥，又MN ⊄平面1A BD .∴//MN 平面1.A BD【解法3】如图52-2所示,1DA (1,0,1),(1,1,0),DB ==设1MN sDA tDB =+ , 即11,0,(1,0,1)(1,1,0),22s t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12012s t t s ⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪⎪=⎩解得1,0,2s t ==∴1,2MN DA =∴MN 与1DA 共线，∵MN ⊄平面1A BD ，∴//MN 平面1.A BD【例2】如图524-所示,四棱锥S ABCD -中,///,.CD AB CD BC ⊥侧面SAB 为等边三角形,2,1AB BC CD SD ====. (1)证明:SD ⊥平面SAB .(2)求点A 到平面SBC 的距离.【解析】（1）【证明】以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴建立如图525-所示的空间直角坐标系C xyz -.设(1,0,0)D ,则(2,2,0),(0,2,0)A B 又设(,,)S x y z ,则0,0,0.x y z >>>(2,2,),(,2,),(1AS x y z BS x y z DS x =--=-=-,)y z .由||||AS BS ==故1x =.由||1DS =,得221y z +=,又由||2BS =,得222(2)4x y z +-+=.即2410x y -+=,即可解得1,22y z ==,于是1333311,,1,,,1,,,0,222222S AS BS DS ⎛⎛⎫⎛⎫⎛=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 0,0DS AS DS BS ∴⋅=⋅=,故S ,AS B DS DS ⊥⊥,又BS AS S ⋂=,SD ∴⊥平面SAB .(2)设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =,则BS 0,CB 0a a ⋅=⋅=.又331,,,(0,2,0)22BS CB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,故30220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩则(a =，又(2,0,0),AB =-故点A 到平面SBC 的距离为||2||a AB d a ⋅==。

空间位置关系的判断与证明.板块四.垂直关系的判断与证明.学生版普通高中数学复习讲义Word版

【例1】下列说法正确的有．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例2】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个．【例3】已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．ABCE【例4】如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ∆是正三角形，PA ⊥PC ．求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．DPABC【例5】如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．典例分析板块四.垂直关系的判断与证明EBCFDGSA【例6】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．证明：面ABE ⊥面PCD ．【例7】如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．F EPABC【例8】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【例9】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例10】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【例11】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【例12】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD CAMN【例13】已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BD ．OABCD A 1B 1C 1D 1【例14】（2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）D 1C 1B 1A 1DCBA【例15】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC =边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例16】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥？【例17】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，1AA =，D 是11A B 的中点．⑴求证1C D ⊥平面1A B ；⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．C 1B 1A 1FEDC B A【例18】（2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．⑴ 证明1C C BD ⊥；⑵ 当1CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例19】已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例20】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【例21】（2009扬州中学高三期末）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．【例22】（2003京皖春）如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G =． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFEDCB A。

2025高考数学二轮复习空间位置关系的判断与证明

A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
解析如图,连接AD1,则AD1经过点M,且M为AD1的中点.
又N为BD1的中点,所以MN∥AB.
面 AA1B1B,所以 AD⊥BE,又 AD∩AB1=A,所以 BE⊥平面 AB1C1D,所以 AE 为 AB
在平面 AB1C1D 内的射影,则 AB 与平面 AB1C1D 所成的角为∠B1AB,又 AB= 2,
所以
1
tan∠B1AB=

=
1
2
=
2
,所以∠B1AB≠30°,B 错;因为
2
所以 AC≠CB1,C 错;由 DC⊥平面 BB1C1C,
由题意可知

2
πrl=2πr ,即

=
1
,所以
2
cos
1
θ= ,故
2
π
θ= .
3
突破点三立体几何中的动态问题
[例3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下3
个结论:
①三棱锥D-BPC1的体积为定值;②异面直线C1P与CB1所成的角为定值;③
二面角P-BC1-D的大小为定值.其中正确结论有( D )
又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.
易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.
在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,
∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.

高考数学复习空间位置关系的判断与证明.板块五.平行与垂直关系综合证明.学生版

空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版

空间位置关系的判断与证明板块五平行与垂直关系综合证明学生版1.平行关系的判断与证明平行关系是指两条直线在同一个平面上永远不会相交。

我们可以利用以下两个判定条件来判断平行关系。

(1)对于任意一点P，如果一条直线l上的一点P到另一条直线m的距离d恒为定值，那么直线l和直线m平行。

(2)如果两条直线分别与一平面中的一条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

为了更好地理解平行关系的证明过程，下面举例说明。

A----BC----D证明过程：首先，我们选择平面内的任意一点P作为参考点，计算点P到直线CD的距离d1，然后计算点P到直线AB的距离d2、如果d1与d2相等，那么可以判断直线AB和CD平行。

进一步，选择平面内的另一条直线EF与直线AB平行，计算EF与CD 的距离d3，再计算EF与CD的距离d4、如果d3与d4相等，那么可以证明直线AB和CD平行。

2.垂直关系的判断与证明垂直关系是指两条直线或一条直线与一个平面之间的关系，它们之间形成一个90度的角。

我们可以利用以下判定条件来判断垂直关系。

(1)如果两条直线的斜率乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。

(2)如果一条直线垂直于两个平行线，则这条直线与这两个平行线垂直。

为了更好地理解垂直关系的证明过程，下面举例说明。

C----DA--，--B证明过程：首先，选择平面内与直线AB平行的直线EF，如果EF与CD垂直，那么可以证明直线AB与平面CD平行。

其次，求出直线EF的斜率k1，求出直线CD的斜率k2，计算k1与k2的乘积。

如果k1*k2=-1，那么可以证明直线EF与CD垂直，进而证明直线AB与平面CD平行。

综合证明：C----DA----BE----F证明过程：首先，通过以上平行关系的证明可知直线AB和CD平行，直线EF和CD平行。

然后，通过以上垂直关系的证明可知直线AB和EF垂直，而直线EF和CD平行，所以可以证明直线AB既与直线CD平行，又与直线EF 垂直。

高中数学空间位置关系的判断与证明板块一对平面的进一步认识完整讲义(学生版)

题型一平面的基本性质【例1】在空间中，“两条直线没有公共点〞是“这两条直线平行〞的〔〕A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．【例2】判断下面说法是否正确：①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．④假设四边形的两条对角线相交于一点，那么该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．【例3】假设P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，那么B 、D 、P 三点可以确定平面〔〕A ．1个B ．2个C ．无数个D ．1个或无数个【例4】以下推理错误的是〔〕A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线⇒,αβ重合D ．,l A l A αα⊄∈⇒∉【例5】点A ，直线l ，平面α，①,A l l A αα∈⊄⇒∉ ②,A l l A αα∈∈⇒∈ ③,A l l A αα∉⊂⇒∉ ④,A l A l αα∈∉⇒⊄ 以上命题表达正确，且是真命题的有________．共线问题【例6】在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，典例分析那么O 、P 、1O 三点〔〕A ．不共面共线B ．共线C ．共面不共线D ．不共面【例7】如图，在空间四边形ABCD 中〔即这四点不共面〕，,,,E F G H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 上的点，且EH 交FG 于P ．求证：P 在直线BD 上．G FEDCBAP H【例8】在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点,,'E F D 的截面与正方体的下底面相交于直线l ， ①请画出直线l 的位置；②设l BC G =，求BG 的长．【例9】在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，假设,PQ CB 的延长线交于M ，,RQ DB 的延长线交于点N ，,RP DC 的延长线交于点K ．求证：,,M N K 三点共线．KRQP NMDBC A【例10】正方体1111ABCD A B C D -，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．求证：A ，Q ，1C 三点共线．【例11】在正方体1111ABCD A B C D -中〔如图〕，1A C 与截面1DBC 交于O 点，,AC BD 交于M ，求证：1,,C O M 三点共线．MODD 1A 1ABB 1CC 1【例12】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为上底面1111A B C D 的中心，M 是正方体对角线1A C 和截面11AB D 的交点．求证：O 、M 、A 三点共线．OM ABCDB 1C 1D 1A 1共面问题【例13】如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．【例14】如图，直线,a b 是异面直线，,,A B C 为直线a 上三点，D E F ，，是直线b 上三点，A B C D E '''''，，，，分别为AD DB BE EC CF ，，，，的中点，求证：⑴A B C C D E ''''''∠=∠；⑵A B C D E '''''，，，，共面．E'D'C'B'A'FED CBAab【例15】正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H K L 分别是111DC DD A D 、、、111A B BB BC 、、的中点，求证：这六点共面．LG F E D CBAK H A 1D 1B 1C 1【例16】正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，记1A C 与平面11ABC D 交于点Q ．⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；⑵求证：A ，Q ，1C 三点共线．【例17】正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别为11D C ，11B C 的中点，ACBD P =，11AC EF Q =．⑴求证：D 、B 、E 、F 四点共面；⑵假设1A C 交平面BDEF 于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．【例18】空间四边形ABCD 的对角线是,AC BD ，点,,,,,E F G H M N 分别是,,AB BC ,CD ,,DA AC BD 的中点，求证：三线段EG ，FH ，MN 交于一点且被该点平分．题型二平面分空间问题【例19】任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？【例20】〔2007某某理3〕假设三个平面两两相交，且三条交线互相平行，那么这三个平面把空间分成〔〕A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分【例21】把正方体的各个面伸展成平面，那么把空间分为〔〕A ．13部分B ．19部分C ．21部分D ．27部分【例22】把正四面体的各个面伸展成平面，那么把空间分为〔〕A ．11部分B ．13部分C ．15部分D ．17部分【例23】右图是一个长方体，问此长方体过点A 的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面ABB A ''，BCC B ''和对角面ACC A ''所在的三个平面将空间分成几个部分？D'C'B'A'CBA题型三截面问题【例24】在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，那么过点B P Q，，的截面〔〕A ．邻边不等的平行四边形B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【例25】如下图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为1，过1A A ，11A B 和AC 的中点E ，F ，G 画截面．EQM PFHGC 1B 1A 1CBA【例26】正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别为BC ，AB ，11C D 的中点，求作正方体的过P 、Q 、R 的截面．RS G QPAB CDA 1B 1C 1D 1EF MN【例27】如图，求作经过棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 的棱1AA 和1CC 的中点E 、F 及点1D 的截面．⑵求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．A BCDA 1B 1C 1D 1PFEQ。

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【例1】已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，
求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥
I H G F
E D
C
B
A P
【例2】（2008新课标江苏16）
如图，在四面体ABCD 中，CB CD =，AD BD ⊥，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：⑴直线EF ∥面ACD ；⑵面EFC ⊥面BCD ．
F D
E
A
B C
【例3】已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=o ，
且AB CD ∥，1
2
AB CD =，点F 为线段PC 的中点．
典例分析
板块五.平行与垂直关系综合
证明
E
F
D
C
B
A
P
⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．
【例4】（2010年一模·丰台·文科·题16）
如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． ⑴求证：BD FG ⊥；
⑵确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由．
P
G
F
E D
C
B
A
【例5】（2010年一模·宣武·文·题16）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AD BC >，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．
⑴求证：PE BC ⊥；
⑵求证：EF ∥平面PAD ．
F
E D
C
B
A P
【例6】（2010年二模·丰台·文·题16）
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的
中点，N 为CD 的中点．
⑴ 证明：平面SBD ⊥平面SAC ；
⑵ 证明：直线MN SBC 平面‖．
N
M
S
D
C
B
A
【例7】（2010年二模·朝阳·文·题17）
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ．
⑴求证：SO ⊥平面ABCD ；
⑵已知E 为侧棱SC 上一个动点．试问对于SC 上任意一点E ，平面BDE 与平面SAC 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
O
S
A
B
C
D
E
【例8】如图，已知PA O ⊥⊙所在的平面，AB 是O ⊙的直径，2AB =，C 是O ⊙上一点，
且AC BC =，PC 与O ⊙所在的平面成45︒角，E 是PC 中点．F 为PB 中点． ⑴求证：EF ABC 面∥；⑵求证：EF PAC ⊥面；⑶求三棱锥B PAC -的体积．
O F
E
C
A
P
【例9】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平
面11A C D ；⑵1//EF BD ．
F
E
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
【例10】（2010年一模·石景山·文·题17）
如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，14AA =．E 、
F 分别是棱1CC 、AB 中点．
⑴求证：CF ⊥1BB ；
⑵求四棱锥1A ECBB -的体积；
⑶判断直线CF 和平面1AEB 的位置关系，并加以证明．
C 1
B 1
A 1
F
E
C
B
A
【例11】（2010年二模·西城·文·题17）
如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，E 是侧棱1CC 的中点．
⑴ 求证：AC ⊥平面11BDD B ； ⑵ 求证：AC ⊥平面1B DE ．
【例12】（2010年二模·海淀·文·题17）
在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒． ⑴求证：1BC AA ⊥；
⑵若,M N 是棱BC 上的两个三等分点，求证：1A N ∥平面1AB M ．
M N
C 1
B 1
A 1
C
B A
【例13】如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，DB BC =， DB AC ⊥，点M 是棱1
BB 上一点．
⑴求证：11B D ∥面1A BD ；
⑵求证：MD AC ⊥．
⑶试确定点M 的位置，使得平面1DMC ⊥平面11CC D D ．
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
【例14】（2009山东文18）
如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，4AB =
2BC CD ==，12AA =，E ，1E 分别是棱AD ，1AA 的中点．
⑴设F 是棱AB 的中点，证明：直线1EE ∥平面1FCC ； ⑵证明：平面1D AC ⊥平面11BB C C ．
D 1
E
E 1
F
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
【例15】如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC 的中点，121AB AA ==，
⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．
D C
B
A A 1
B 1
C 1
【例16】（2006天津）
如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边
三角形，棱1
2
EF BC ∥．
⑴证明FO ∥平面CDE ；
⑵设3BC CD ，证明：EO ⊥平面CDF ．
O
F
E
D
C
B
A
【例17】（2009江苏高三调研）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别
为线段1111AC AC BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．
C 1
B 1
A 1
G
F
E C
B A
【例18】如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD CE ∥，2CE CA BD ==，M 是EA
的中点，
求证：⑴DE DA =；⑵平面BDM ⊥平面ECA ；⑶平面DEA ⊥平面ECA ．
E
D
M
C B
A。