高考数学专题复习专题6数列第38练数列的前n项和练习理
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（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题6 数列 第38练 数列
的前n 项和练习 理
训练目标 (1)求数列前n 项和的常用方法；(2)数列通项求和的综合应用． 训练题型 (1)一般数列求和；(2)数列知识的综合应用．
解题策略
数列求和的常用方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)并项法；(4)倒序相加法；
(5)裂项相消法；(6)错位相减法.
1．(2016·东营期中)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.
2．(2017·山西晋中联考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
－12n ，其前n 项和S n ＝321
64，则项
数n ＝________.
3．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f (x )＝x 2
＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列{
1
f n
}的前n 项和为S n ，则S 20的值为________．
4．(2016·徐州模拟)若S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________.
5．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *
都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013
＝
________.
6．(2016·合肥第二次教学质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n
，则S n ＝________.
7．(2016·苏州模拟)设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有
f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12
，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是
________________．
8．(2016·宿迁模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π
2
＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝
________.
9．(2016·云南师大附中月考)设S ＝
1＋112＋1
2
2＋1＋122＋13
2＋ 1＋132＋1
4
2＋…＋ 1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数[S ]等于________． 10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0.
(1)求数列{a n}的通项公式a n；
(2)令b n＝
n＋1
n＋22a2n
，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n＜
5
64
.
答案精析
1．15 2.6 3.325462 4.－1
n
5.2 013
1 007
解析 因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ， 所以a n ＋1－a n ＝n ＋1.
用累加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋… ＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋1
2
，
所以1a n ＝
2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1. 所以1a 1＋1a 2
＋…＋1
a 2 013
＝2⎝ ⎛
1－12＋12－13＋13－1
4
＋…
⎭
⎪⎫＋12 013－12 014 ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫1－
12 014＝2 013
1 007
. 6．n ·2n
解析 ∵S n ＝2a n －2n
＝2(S n －S n －1)－2n
， 即S n ＝2S n －1＋2n (n ≥2)，
∴S n 2n ＝2S n －12n ＋1＝S n －1
2
n －1＋1， ∴S n 2n －S n －1
2n －1＝1， 且S 1＝a 1＝2，∴S 1
2
＝1，
∴数列{S n
2
n }是首项为1，公差为1的等差数列，
∴S n
2n ＝n ，∴S n ＝n ·2n
. 7．[1
2
，1)
解析 由已知可得a 1＝f (1)＝1
2
，
a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝(12
)2， a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)
＝[f (1)]3
＝(12
)3，…，
a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝(12
)n ，
所以S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n
＝
12[1－12n
]1－12
＝1－(12
)n
，
因为n ∈N *
，所以12≤S n ＜1.
8．3 018
解析 由于f (n )＝cos
n π
2
的值具有周期性，
所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决． 当n ＝4k ＋1(k ∈N)时，
a n ＝(4k ＋1)cos
4k ＋1
2
π＋1＝1， 当n ＝4k ＋2(k ∈N)时，
a n ＝(4k ＋2)cos
4k ＋2
2
π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1， 当n ＝4k ＋3(k ∈N)时，
a n ＝(4k ＋3)cos
4k ＋3
2
π＋1＝1， 当n ＝4k ＋4(k ∈N)时，