第三章 图与网络技术

4. 重复3，直至全部顶点属于 1 (即V 1 )。 V
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用避圈法解例2
v2
2
v1• 3 5 1
v3
2
7 5 3 5 v5
v6 1 7
5
v7
v4
最小部分树如图上红线所示； 最小权和为14。
思考：破圈法是怎样做的呢？ ——见圈就破，去掉其中权最大的。
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二. 最短路问题
②寻求增广链，若不存在，则已最优, 否则
③在增广链上调整流量，产生新的可行流。
重复②、③两步，直到最优。
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寻求增广链的方法
寻求流量增广链的方法，是依据增广链的性 质而产生的，其基本思路类似于最短树问题 的生长法。
从υs开始，逐个检查每个点υi，看是否存在从 υs到υi的增广链。
如果存在从υs到υi的增广链，
S v2 v 3 v4 v5 vt v3 v4 v5 vt v2 v4 v5 vt
割集
(vs v2) (vs v3) (vs v3) (v2 v4) (v2 v5) (vs v2) (v3 v2) (v3 v4) (v3 v5)
容量 24 20 29
…
…Baidu Nhomakorabea
…..
…
福德－富克逊方法原理
算法的原理 首先，依据最大流问题的要求，为网络分配 一个可行流。所谓可行流，是指所有弧上流 量满足容量限制，所有中间点满足平衡条件 的流；
网络割集容量
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ij ( i , j )C
b
最小割集
所有割集中容量最小的一个割集。
最大流最小割集定理2
网络中的最大流量fmax 值大小是由网络 中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。
S S V
S S
C {( i , j ) i S , j S }
年号 价格 汽车使用年龄 维修费用 1 2 0–1 0.7 2 2.1 1–2 1.1 3 2.3 2–3 1.5 4 2.4 3–4 2 5 2.6 4–5 2.5
试用网络分析中求最短路的方法确定公司可采用 的最优策略。
方法：以年号作顶点绘图，连线表示连续使用期间，以
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费用作路长。
福德－富克逊方法示例
②寻求增广链 如图v1是已经标记的点, 其它点是未标记的点 (v1 ,v2)是非饱和弧, v2可以标记: [v1+,e2] e2=min{e1,b12-x12} (v1 ,v3)是饱和弧, 目前v3和其它点暂时不能标 记，即暂时没有从v1 到v3或其它点的增广链。
第三章图与网络技术
图的概念 网络概念 网络最短树问题 网络最短路问题 网络最大流问题
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第一节
• 图的概念
图的基本概念
• 所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为 V，边的集合记为E，则图可以表示为：G＝ （V，E），点代表被研究的事物，边代表事 物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存 在，每条边都有两个端点。 • 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无 关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同 的，则两个图相同。
①其上的正向弧均为非饱和弧。 ②其上的逆向弧均为非零流弧。 则称该链为一条流量增广链。 2013-8-23
福德－富克逊方法讨论
流量增广链:
从υs到υt的某个初等链满足
①其上的正向弧均为非饱和弧。
②其上的逆向弧均为非零流弧。
结论：若在可行流中，存在从υs到υt的增广链 ，则该可行流不是最大流，其流量可以增加 ；否则若不存在从υs到υt的增广链，则该可行 流是最大流。
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v4
标号法步骤：
1. 给v 标号[0，v ];
1 1
V :已标号点集， 2. 把顶点集V 分为互补的两部分 V : 未标号点集； 3. 考虑所有这样的边[v ,v ], 其中v V ,v V ,
1 1
挑选其中与v 距最短（mind c )的v 进行标号。
1
1
e5
e7 v4
e5
v4
简单图：无环、无多重边的图。
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2 . 关联与相邻
关联（边与点关系）：若e是v ,v 二点间的边，
1 2
记e [v ,v ], 称v (或v )与e关联。
1 2 1 2
相邻（边与边、点与点）：点v 与v 有公共边，
1 2
称v 与v 相邻； e 与e 有公共点，称e 与e 相邻。 边
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增广链的性质
流量增广链:
从υs到υt的某个初等链满足
①其上的正向弧均为非饱和弧。 ②其上的逆向弧均为非零流弧。
增广链的性质： 1 Vs到增广链上任一点也有增广链; 2 增广链上任一点到Vt也有增广链;
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福德－富克逊方法步骤
算法的步骤 ： ①为网络分配初始流xij标在图中弧旁的( )内
若弧(vi,vj)上的流量满足xij=cij，则称该弧为饱和弧， 否则称为非饱和弧。 若弧(vi,vj)上的流量xij=0。则称该弧为零流弧，否则 称为非零流弧。 一条从υs到υt的初等链是由υs开始的点、边序列，其 中没有相同的点，也不考虑弧的方向。 把这条链中的υs到υt方向相同的弧称为正向弧。 把这条链中的υs到υt方向相反的弧称为逆向弧。 在上述的可行流中，从υs到υt的某个初等链满足：
v6 1 7
5
v7
避圈法是一种选边的过程，其步骤如下：
1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的 权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj； 2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V1 ，其中 V 与已选边相关联的点集， ， V 不与已选边相关联的点集； ，
1 1
3. 考虑所有这样的边v ,v ], 其中v V 1 ,v V 1 , 挑选 [ 其中权最小的；
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6.图的部分（支撑）树
若图G=（V，E）的子图T=（V，E’）是树， 则称T为G的部分树或支撑树。 特点——边少、点不少。
性质：G连通，则G必有部分树。 证：破圈、保连通。
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第二节 网络分析
图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而 不能研究这种关系的强弱程度。
网络——赋权图，记D=（V，E，C），其中C={c1，…，cn}， ci为边ei上的权（设ci 0 ）。
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最大流问题的数学模型
max
最大流 问题的
f is i s, t it
数学模型：
f x ji xij 0 s.t j j f 0 xij cij
v2 7 4 3 9 v3 5 6 v5 10 v4 11 vt
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1 . 图与子图
图G ( , E )，其中V ,,v V v
1
为顶点集，
E e ,, e 为边集。
1
子图G ( , E ), 其中V V , E E。 V
如 G： e1 v1 e2 e3 e4 v2 e6 v3 G1： v1 e2 e3 e4 v2 e6 v3
网络分析主要内容——最小部分树、最短路、最大流。
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一. 最小部分（支撑）树问题
问题：求网络D的部分树，使其权和最小。
方法：避圈法（Kruskal,1956）、破圈法(管梅谷，1975)。
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2 2 v1 3 5 1 v4
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v3
2
7 5 3 5 v5
而（Vi Vj）非饱和或（Vj Vi）非零流，
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则存在从V1到Vj的增广链。
福德－富克逊方法示例
标记化算法的步骤 ：
①为网络分配初始流xij标在图中弧旁的( )内
v2 vs 15 (4) 9 (9)
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4
3 (3)
7 (7)
v4 11
(8) 10 (5)
v5
vt
v3
5 (1) 6 (5)
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字 为两点间距离。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3
v6 1 7
5
v7
v5 5 2. 方法：标号法（Dijkstra，1959）
给每点vj标号[dj，vi]，其中dj为v1至vj的最短距，vi为 最短路上的前一点。
福德－富克逊方法示例
②寻求增广链
从υs开始，赋上标记（－，∞），表示υs是源点 ，能够得到任意多的量。υs 称为已标记的点。 也表示增广链可以从V1延伸到V1
v2 vs [-, ∞]
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15 (4) 9 (9)
4 3 (3)
7 (7)
v4 11 (8) 10 (5) v5 vt
v3
5 (1) 6 (5)
15
vs
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最大流最小割集定理1
网络中的最大流量fmax 值大小是由网络 中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。
最大流－最小割集定理揭示了最小割集（网络中的瓶颈 ）容量与最大流量的关系，也提供了一个求最大流的方 法。 割集
S S V
S S
C {( i , j ) i S , j S }
1 2 1 2 1 2
3 . 链与圈
链：由G中的某些点与边相间构成的序列 e v e e v v ，
1 1 2 2 1
若满足e [v ,v ], 则称此边点序列为G中的一条链。
1
圈：封闭的链。
连通图：图G中任二点间至少存在一 条链。
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4. 有向图与无向图
图G ( , E ), 也可记G ( , v ,v ]).若点对[v ,v ]无序， V v [ 称G为无向图；否则称G为有向图。为区别起见，称有向图 的边为弧，记（v ,v ), 在图上用箭线表示。
福德－富克逊方法示例
②寻求增广链 如果vi是已经标记的点, vj是未标记的点 则当(vi ,vj)是非饱和弧时, vj可以标记: [vi+,ej] ej=min{ei, bij-xij} 当(vj ,vi)是非零流弧时, vj可以标记: [vi-,ej] ej=min{ei, xji} 如果vt可以标记,则找到增广链, 否则继续. 如果对于一切未标记的点, 均不能再标记, 则已 经是最优. 2013-8-23
若这一可行流的流量就是最大流量，则问题 已经解决；
若不是最大流量，则增加流量获得流量更大 的可行流。
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福德－富克逊方法流图
求一个初始可行流
是 判断初始可行流是否最优 不是 求使目标得到改善的可行流
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结 束
福德－富克逊方法图示
算法原理图示
初始流
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福德－富克逊方法讨论
1
4. 重复3，直至终点（本例即v ）标上号[d ,v ]，则
7 7
d 即最短距，反向追踪可求出最短路。
7
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用标号法解例3
[2，v1] v2 [0，v1] v1 2 5 3
其中2=min{0+2,0+5,0+3}
7 v3 5 [4，v2] 1 3 2 5
[8，v5] v6 1 7
5
三. 最大流问题
所谓最大流问题就是在一定的条件下，要求流过网 络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题，在最 大流问题中一般有如下规定： ①网络有一个起点υs和一个终点υt ②网络是有向网络，即流有方向性。 ③在网络各条弧上都有一个权，表示允许流过的最大流 量。若以cij 表示由υi 到υj 的弧上允许流过的最大流量， 以xij表示实际流过该弧的流量，则0≤ xij ≤cij ④网络中，除起点υs和终点υt之外的任何顶点，流入量 总和应该等于流出量的总和。
比较：
无向图：边[v i ,v j ]，链 有向图：弧（v i ,v j ），路
，圈 ，回路
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5. 树
一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个林的每个连通子图 都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： ①无圈连通图。 ②无圈，q=p-1。 ③连通，q=p-1。 ④无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一 个圈。 ⑤连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 ⑥每一对顶点之间有一条且仅有一条链。
[13，v6] v7
v4 [3，v1]
v5 [7，v3]
其中3=min{0+3，0+5，2+2，2+7}
最短距为13；
最短路为v1-v2-v3-v5-v6-v7。
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最短路问题的应用例子
某汽车公司正在制订5年内购买汽车的计划。 下面给出一辆新汽车的价格以及一辆汽车的使用 维修费用(万元)：
网络割集容量 最小割集
2013-8-23
ij ( i , j )C
b
所有割集中容量最小的一个割集。
最大流－最小割集定理
流过网络的最大流量等于最小割集的容量。
最大流最小割集定理3
v2
7
4
v4
15
vs 9 v3 3
11 vt
10 6 v5
5
S vs v s v2 v s v3
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