北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试卷(word版)

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习

高三数学（理科）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，5-a }， =M C U {5，7}，则实数a 的值为

(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或8 2．“0x >”是“1

2x x

+

≥”的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是

(A)

13 (B) 12 (C) 23 (D) 56

4．如图，

则该三棱锥的四个面的面积中最大的是

(A)

(B) (C) 1 (D) 2

5．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是

(A) 2sin(2)4

y x π

=-

(B) 2sin(2)4

y x π

=+

(C) 32sin()8y x π

=+

(D) 72sin()216

x y π

=+

6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（[]x 表示不超过x 的最大整数）

(A) 4

(B) 5

(C) 7

(D) 9

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56

AOC π

∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（ ）

(A)

1 (B) 1

(C) -1

，1

8．已知函数f(x)=2

ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合A={m|f(m)<0}，则 (A) ,m A ∀∈都有f(m+3)>0 (B) ,m A ∀∈都有f(m+3)<0 (C) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)<0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．

9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．

10．已知直线y=x+b 与平面区域C:||2,

||2x y ≤⎧⎨≤⎩

的边界交于A ，B 两点，若|AB|≥

，则b 的

取值范围是________.

11．12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是 ．

12．圆2

2

()1x a y -+=与双曲线2

2

1x y -=的渐近线相切，则a 的值是 _______. 13．已知ABC ∆中，

，BC=1，

，则ABC ∆的面积为______． 14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为

ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.

三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．（本题共13分）

函数2

()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．

（Ⅰ）求集合A ，B ；

（Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B =,求实数a 的取值范围．

16．（本题共13分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．

（Ⅰ）若点A 的横坐标是

35，点B 的纵坐标是12

13

，求sin()αβ+的值；

（Ⅱ） 若∣AB ∣=3

2

, 求OA OB ⋅的值. 17．（本题共14分）

如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC =，

90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点.

（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ； （Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 18．（本题共14分）

已知函数2()(0)x

ax bx c

f x a e

++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若f(x)的极小值为3

e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值. 19．（本题共13分）

曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．

（Ⅰ）当

m=

5

4

AC =时，求椭圆12,C C 的方程；

（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 20．（本题共13分）

已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）

是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；

（Ⅲ）令1

,2

i

y i i i

b c a -==

，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有

1

1

n n

i

i

i i b c ==<∑∑，若存

在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．

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高三数学（理科）参考答案

一、选择题

二、填空题：

9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．(只写一个答案给3分)；

13．

2； 14．5,16 12

n m

+ (第一个空2分，第二个空3分) 三．解答题

15．（本题共13分）函数2

()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数

()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ．

（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足A

B B =,求实数a 的取值范围．