最新高考数学(理)备考之百强校微测试系列：(第01期)测试二(解析版)

合集下载

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5AB =，则A B =（）A ．{}1,3,5-B ．{}1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,3,5--【答案】B【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得A B .【详解】{}5A B =，5∴是方程2100x mx +-=的解，255100m ∴+-=，3m ∴=-.解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（） A ．65-B ．65C ．152-D ．152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，故2150560m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（） A ．2人 B ．18人C ．40人D ．36人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案；【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20，则随机抽取60人，高级教师有9601830⨯=人. 故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252.故选：D . 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（）A ．8B ．3C ．2log 3D ．()22log log 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案；【详解】运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =；第二次，3y =，3n =，3x =；第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =；第五次，()22log log 322log 3y ==，6n =，2log 3x =；第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =；第七次()22log log 322log 3y ==，8n =，2log 3x =，此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（）（注：1丈10=尺.）A ．45000立方尺B ．52000立方尺C ．63000立方尺D ．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，故()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭立方尺.故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（） A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010【答案】D【解析】求出数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222n n n n nS n -+=+=， 2121121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，设1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，则111111112212233411121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+，故2019220192019201911010T ⨯==+. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（） A ．296 B ．296-C ．1864-D ．1376-【答案】C【解析】写出二项式()532x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】二项式()532x -展开式的通项为()()51532rrrr T C x -+=-，所以2x 的系数为()()()3523252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．1208286++B ．12085+C ．1208246++D ．120162+【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABD BCD EFGH --，如图所示则()14416,484242EFGH ADEH S S =⨯==⨯+⨯=, ()()1146420,6842822DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=12243462BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=，则双曲线C 的离心率为（）A B C ．32D 【答案】B【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，由23OB AB =，得2r OA =.由勾股定理得222+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =再根据点(),0M a 到直线0bx ay -=2r =，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2d=. 由23OB AB =，得3OB OA =，故2r OA =.因为OM a =，由勾股定理得222+r a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得r =又点(),0M a 到直线0bx ay -===化简可得2243b a =，故2c e a ===.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22xef x -<的解集为（）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【解析】令2()2(),xf xg x x R e+=∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22xe f x -<的解集.【详解】令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''2()2()4()xf x f xg x e--=，由'()2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.由2()2xef x -<，可得2()2x f x e +>，2()21xf x e +∴>，即()()(0)(01,1,)g x g g x g =∴>>，又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2xe f x -<的解集为(),0-∞.故选：A . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，则1a =（） A ．32B ．12C ．52D ．2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，故当n 为奇数时，12121,21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨+=+⎩22n n a a ++=，当n 为偶数时，12121,21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =+++-+++=，即1220182018(12018)11009201912a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=+=⨯+，又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯11210082021a =++⨯，所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，110092019100820212a ⨯-⨯=10082019201910082021322⨯+-⨯==.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑的灵活运用.二、填空题13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-，则,m n 夹角的余弦值为_________.【答案】65【解析】求出,,n m n ，根据cos ,m n m n m n=即得.【详解】()()2,3,24,7,13m m n m =-+=-=，()()21,2,52m n m n n +-∴==-=，2132865cos ,135m n m n m n⨯+-⨯-∴===⨯. 故答案为：865. 【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则3z x y =+的最小值为_________.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.【详解】设ln ()x f xx=，由2112ln lnx x x x<，得1212ln lnx xx x<，即当120x x m<<<时，都有()()12f x f x<，∴函数ln()xf xx=在()0,m上为增函数，'21ln()0xf xx-∴=≥，0x e∴<≤.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω）的部分图象如图所示，其中,33Mπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象的一个最高点，4,03Nπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象与x轴的交点，将函数()f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为________.【答案】5,93183k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）【解析】根据图像得到()f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A=，4433Tπππ=-=，即4Tπ=，故12ω=，1()3sin2f x xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；将,33π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，故23k πϕπ=+，k ∈Z ；不妨设0k =，故函数1()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，得到3sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位长度，得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令26223k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得593183k k x ππππ+≤≤+（k ∈Z ），故函数()g x 的单调递增区间为5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，4BAC π∠=，2AB =，2BC =，M 是线段AC 上的一点，且tan AMB ∠=-（1）求AM 的长度；（2）求BCM ∆的面积.【答案】（1）12AM =（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案；【详解】（1）因为sin tan cos AMBAMB AMB∠∠==-∠且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，联立两式，解得sin 3AMB ∠=，1cos 3AMB ∠=-，故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326-=-⨯=，由正弦定理sin sin AM ABABM AMB =∠∠，所以sin 1sin 2AB ABM AM AMB ⋅∠==∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，故1cos cos()cos 3CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=，所以sin 3CMB ∠=，在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM ABA AMB=∠，故sin 3sin 2AB A BM AMB ⋅==∠，在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠，得21793124423CM CM =+-⨯⨯⨯，解得2CM =或1CM =-（舍去）.所以BCM ∆的面积113sin 22223S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥；（2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =或32. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直；（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤，平面SCD 的一个法向量(1,3,1)m =，利用向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）依题意，2BD =，在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒，由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥，又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥，等边SBD ∆中，SA AD =，则BA SD ⊥，且BCBA B =，∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ，故(23,2,0)CD =-，(0,1,3)SD =，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2320,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，则3y =1z =，所以(1,3,1)m =，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤，故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-，故||sin cos ,||||m BA m BA m BA θ⋅==⋅2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，解得14λ=或34，则12AD =或32. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：22500(150********) 4.8312302703002006.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4，则1111(0)455100P X ==⨯⨯=， 1148(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，375(3)4100P X ===，14416(4)455100P X ==⨯⨯=，故X 的分布列为：所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100P P X =≥=+==，小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .（Ⅰ）若124PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭距离的最大值；（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）最大值52；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则2200143x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.【详解】（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.设点()00,P x y ，则2200143x y +=，故()22222220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中[]02,2x ∈-，故当02x =-时，2max254PM=， PM ∴的最大值为52.（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.依题意()()()22223244364120kk k ∆=--⨯+->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 因为2222121211AF BF EF FF y yk k k k x x +=+=+-- ()()()()()1212121212258441111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=+=---- ()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21．已知函数2()f x x m =+（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；（Ⅱ）若关于x 的不等式22()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⎡⎣.【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，22()ln 6ln 2mf x x x x x =+=-，则()('2622()23f x x x x x x x x=-=-=，当()2,3x ∈时，'()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，又()()()()2346ln 296ln30f f =--<，故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.（Ⅱ）令2()2()2ln g x f x x m x ==+，则[]2'4()4,1,2m x mg x x x x x+=+=∈；当16m ≤-时，'()0g x ≤对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-，不等式无解，m ∴∈∅；当4m ≥-时，'()0g x ≥对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-，m ≤≤当16m -<<-4时，令'()0g x =，得()1,22x =，当12x <<时，'()0g x <；当22x <<时，'()0g x >， ()g x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， ()2min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭；令4m t =-()14t <<，则114ln 22t t +≤，易知14ln 2y t t =+在()1,4t ∈上单调递增，则14ln 2t t +4>，从而114ln 22t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，曲线()221:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.（Ⅱ）联立222263660x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩，两式相减可得6-=x y ，即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 联立22660x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或60x y =⎧⎨=⎩ 故,M N的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23．已知函数()324f x x x =++-（1）求不等式()8f x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),13,-∞-+∞；（2）()3,-+∞. 【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248x x ++->当3x <-时，原式化为3428x x --+->，故73x <-，解得3x <-；当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->故3x >，解得3x >；综上所述，不等式()8f x >的解集为()(),13,-∞-+∞（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---对x ∈R 恒成立令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-故实数m 的取值范围是()3,-+∞【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。

全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅，所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的，如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈，所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈，所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=，两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -，点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =，因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥，所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$，故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=，所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和（1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ，所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ，又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>，所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =，即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ，因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------，化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=，所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-，同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ，联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程：（1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥，所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤，即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，（2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-，由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。

高考数学(理)备考之百强校微测试01(第02期)教师版Word版含解

班级姓名学号分数（测试时间：25分钟满分：50分）一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】设非空集合P Q 、满足P Q P =，则（）A ．x Q ∀∈，有x P ∈B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈D ．0x P ∃∈，使得0x Q ∉ 【答案】B考点：集合间的关系.2.【广东省韶关市2016届高三1月调研测试】如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形.如果三棱柱的体积为则圆柱的侧面积为（）A ．π12B ．π14C ．π16D ．π18【解析】设圆柱的底面半径为R ，则三棱柱的底面边长为R 3，由3122)3(432=⋅R R 得2=R ，.162R R 2ππ=⋅=圆柱侧S 故选 C3.【汕尾市2016 届高三学生调研考试】已知复数z 的共轭复数为z ，且21z i=+，则| z |等于（）A ．2 C.2 D.2【答案】B【考点】复数乘除和乘方4.【福建省厦门第一中学2015——2016学年度第一学期期中考试】已知函数()()1222,1l o g 1,1x xf x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，且()3f a =-，则()6f a -=（） A 、 74-B 、 54-C 、 34-D 、 14- 【答案】A考点：分段函数．5.【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】若函数cos 2y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>，[]0,2x π∈）的图象与直线12y =无公共点，则（） A ．103ω<<B ．102ω<<C ．7012ω<<D ．203ω<<【答案】C 【解析】试题分析：因为函数cos 2y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>，[]0,2x π∈）的图象与直线12y =无公共点，所以函数的最大值max 12y <，当[]0,2x π∈时，2222x πππωωπ≤+≤+，所以要使max 12y <，只要5223ππωπ⋅+<即可，解之得712πω<，又0ω>，所以7012πω<<，故选C.考点：三角函数的图象与性质.6.【河北省衡水中学2016届上学期高三年级四调考试】已知不等式422xxay y +-≤+对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】考点：基本不等式求最值二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7.【广东省韶关市2016届高三1月调研测试】抛物线24y x =的焦点为F ，倾斜角等于45的直线过F 交该抛物线于,A B 两点，则||AB =______.【解析】由题可知焦点(1,0)F ，直线AB 的方程1y x =-,设点12(,)A x y ，22(,)B x y联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩ 可得2610x x -+= ，126x x += ,12628AB x x p =++=+= .8. 【湖南省东部六校2016届高三联考】对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为)1,2(-，即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)1,2(-．参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++cx bx a x k 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为．【答案】()()3,11,2--【解析】试题分析：关于x 的不等式0<++++c x b x a x k 的解集为)1,21()31,1( --，得1011b kx a c x x++<++解集为()()3,11,2--，即关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为()()3,11,2--.考点：1.推理与证明；2.解不等式.三、解答题（共1小题，每题10分，共10分）【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】（本小题满分12分）已知()ln 1f x x x =-+()x R +∈，()1(0)g x mx m =->. （1）判断函数()y f x =的单调性，给出你的结论；（2）讨论函数()y f x =的图象与直线()1(0)g x mx m =->公共点的个数；（3）若数列{}n a 的各项均为正数，11a =，在2m =时，1()()2(*)n n n a f a g a n N +=++∈，求证：21nn a ≤-.【答案】（1）函数()y f x =在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数；（2）①当01m e <<-时，函数()y f x =的图象与直线()g x 有2个公共点；②当1m e =-时，函数()y f x =的图象与直线()g x 有1个公共点；③当1m e >-时，函数()y f x =的图象与直线()g x 有0个公共点；（3）略. 【解析】（2）当0x >时，函数()y f x =的图象与直线()1(0)g x mx m =->公共点的个数等价于曲线ln 21x y x+=-与直线(0)y m m =>公共点的个数. 令ln 2()1x h x x +=-，则'21ln ()x h x x +=-，所以'1()0h e =. 当1(0,)x e∈时，'()0h x >，()h x 在1(0,)e 上是增函数；当1(,)x e∈+∞时，'()0h x <，()h x 在1(,)e +∞上是减函数.所以，()h x 在(0,)+∞上的最大值为1()10h e e=->，且21()10h e =-<，224()10h e e =-<，如图：于是①当01m e <<-时，函数()y f x =的图象与直线()1(0)g x mx m =->有2个公共点； ②当1m e =-时，函数()y f x =的图象与直线()1(0)g x mx m =->有1个公共点； ③当1m e >-时，函数()y f x =的图象与直线()1(0)g x mx m =->有0个公共点.考点：导函数的应用；函数的零点个数；函数与数列；数列与不等式.。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷) (含答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(二)(全国Ⅱ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合M={y|y=8x+1,x∈N,y∈N}的非空子集个数是()A. 3B. 7C. 15D. 312.复数z满足z=2+ii+i，则|z|=()A. √2B. 2C. √5D. √103.已知cos(α+π3)+cosα=1，则sin(π3−α)=()A. 13B. √33C. √3D. −√334.给出50个数：1，3，5，7，…，99，要计算这50个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入()A. i≤50？和p=p+1B. i≤51？和p=p+1C. i≤51？和p=p+2D. i≤50？和p=p+25.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是()A. 1425B. 1225C. 34D. 356.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是()A. 相离B. 内切C. 相交D. 以上都有可能7. 在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 38. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞) B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞)9. 已知圆(x −1)2+(y −1)2=2经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. √2C. 2D. √2210. 已知(1−px)n =b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b n x n ，若b 1=−3，b 2=4，则p =( )A. 1B. 12C. 13D. 1411. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为( )A. 2√3B. 2√2C. √5D. 312. 函数f(x)=e x −x(e 为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是( )A. 1+1eB. 1C. e +1D. e −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=xlg(√a +x 2−x)为偶函数，则a =____.14.若实数x，y满足不等式组{y≥0x+y−1≥0x+2y−2≤0，则z=2x+y的最小值是____．15.已知圆x2+y2−2x+4y−20=0上一点P(a,b)，则a2+b2的最小值是______．16.如图，为测量某山峰的高度(即OP的长)，选择与O在同一水平面上的A，B为观测点．在A处测得山顶P的仰角为45°，在B处测得山顶P的仰角为60°.若AB=30米，∠AOB=30°，则山峰的高为______米．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在等差数列{a n}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1a n a n+1}的前n项和为S n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求锐二面角F−AB−P的余弦值．19.如图所示，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率存在的直线l交抛物线C于A，B两点，已知当直线l的斜率为1时，|AB|=8．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点A作抛物线C的切线交直线x=p于点D，试问：是否存在定点M在以AD为直径的圆2上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由20.某快餐连锁店，每天以每份5元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售，当天不能岀售的早餐立即以1元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量(单位：份)，整理得下表：日销售量253035404550频数10162824148如果这个早餐店每天购入40份早餐，完成下列问题：(1)写出每天获得利润y与销售早餐份数x(x∈N)的函数关系式；(2)估计每天利润不低于150元的概率；(3)估计该快餐店每天的平均利润．21.已知函数．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的极值点．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|．(1)解不等式f(x)≤x+2；(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了非空真子集，是一道基础题．先求出集合中元素的个数，从而求出其非空真子集个数．解：∵集合，∴集合M的非空子集个数是24−1=15，故选C.2.答案：A解析：解：∵z=2+ii+i，∴|z|=|1−i|=√2，故选：A．先化简z，再求模即可．本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3.答案：B解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．利用两角和与差的三角函数公式化简即可得解．解：由cos(α+π3)+cosα=1，得32cosα−√32sinα=1，所以√32cosα−12sinα=√33，从而sin(π3−α)=√33．故选B．4.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知，要计算50个数的和．故循环次数要50次，由循环变量的初值为1，故判断框①处应填：i ≤50？由于每次累加的值步长为2，故执行框②处应填：p =p +2，故选：D ．5.答案：A解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题型．由题意可知甲和乙分别中靶的概率，并且判断是甲和乙中靶是相互独立事件，由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可．解：因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)=45，P(乙)=710，所以他们都中靶的概率是P =45×710=1425．故选A ．6.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质以及圆与圆的位置关系的判断，属中档题．由双曲线的定义和M ，O 均为中点，可得|MF 1|−|OM|=a ，即|OM|=|MF 1|−a ，进而可判断圆心距等于两圆的半径之差，故可知两圆的位置关系．解：如图，∵P 在双曲线右支上， ∴|PF 1|−|PF 2|=2a ， ∵M 是线段PF 1的中点， ∴|MF 1|=|PM|=12|PF 1|，∵O 是线段F 1F 2的中点， ∴|MO|=12|PF 2|，∴12|PF 1|−12|PF 2|=a ，∴|MF 1|−|OM|=a ， ∴|OM|=|MF 1|−a ，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的位置关系是内切．故选B ．7.答案：C解析：本题考查了向量的线性运算，考查平面向量基本定理，属于较易题．由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到λ、μ的值．解：∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得到λ=32、μ=1， ∴λ+μ=52．故选：C ．8.答案：D解析：本题考查求由三角函数的单调性求最值的应用，属于中档题．分ω的正负讨论，要使函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3可知，−π2+2kπ∈[−π3ω,π4ω]或−π2+2kπ∈[π4ω,−π3ω]，分别求出ω的范围即可．解：当ω>0时，要使函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则−π3ω≤−π2+2kπ≤π4ω，k ∈Z ，即{ω≥32−6kω≥−2+8k，k ∈Z ，则可得ω≥32；当ω<0，则π4ω≤−π2+2kπ≤−π3ω，k ∈Z ，{ω≤−2+8k ω≤32−6k，k ∈Z ，则可得ω≤−2，故选：D ．9.答案：D解析：本题考查椭圆的简单几何性质，以及a 、b 、c 的关系，属于基础题．由椭圆方程求出F 、B 的坐标，把坐标代入圆的方程求出b 、c ，由a 2=b 2+c 2求出a ，再求出椭圆C 的离心率．解：由题意得，椭圆的右焦点F 为(c,0)、上顶点B 为(0,b)，因为圆(x −1)2+(y −1)2=2经过椭圆的右焦点F 和上顶点B ，所以{(c −1)2+1=21+(b −1)2=2，解得b =c =2，则a 2=b 2+c 2=8，解得a =2√2，所以椭圆C 的离心率e =ca=22=√22．故选：D ．10.答案：C解析：本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．由二项展开式的通项及题意，列方程组，解得n 与p 的值．解：(1−px)n =b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b n x n ，若b 1=−3，b 2=4，则{C n 1(−p )=−3C n 2(−p )2=4，解得{n =9p =13．故选C ．11.答案：D解析：本题考查简单几何体的三视图的应用，判断几何体的棱长是解题的关键，属于中档题．利用三视图画出几何体的直观图，通过三视图的数据，判断最长的棱长，求解即可．解：由题意可知几何体是正方体中的一部分，正方体的棱长为2，三视图对应的几何体的棱长分别为：AB =BC =BE =2，AE =AC =EC =2√2，AD =DE =√4+1=√5， DC =√5+4=3．最长的棱长为3．故选：D ．12.答案：D解析：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是求导确定函数的单调性，属于基础题．求导函数，确定函数的单调性，即可得到函数的最大值．解：求导函数，可得f ′(x)=e x −1 ∵x ∈[0,1]，∴f ′(x)≥0， f(x)在[0,1]单调递增， ∴f(x)max =f(1)=e −1，∴函数f(x)=e x −x 在区间[0,1]上的最大值是e −1，故选D ．13.答案：1解析：本题主要考查函数奇偶性，属于基础题．解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)−f(x)=0恒成立，所以−xlg(√a +x 2+x)−xlg(√a +x 2−x)=0恒成立，所以xlg a =0恒成立，所以lg a =0，故a =1．故答案为1．14.答案：1解析：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示阴影部分的△ABC(包含边界)，由z =2x +y 可得y =−2x +z ，则z 为直线在y 轴上的截距把直线L ：y =−2x 向上平移至经过点A 时，z 最小，此时由{x +y −1=0x +2y −2=0可得A(0,1) 此时z =1，故答案为：1．根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数z =2x +y 可得y =−2x +z ，此时z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求z 的最值.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z的意义是关键．15.答案：30−10√5解析：解：圆x 2+y 2−2x +4y −20=0，化为标准方程为(x −1)2+(y +2)2=25 ∴圆心坐标为(1,−2)，半径r =5，∴原点到圆心的距离为√5，则a 2+b 2最小值为(5−√5)2=30−10√5．故答案为：30−10√5将圆的方程化为标准方程，求出原点到圆心的距离，即可求得a 2+b 2的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：30√3解析：解：设OP =x ，在Rt △POA 中，由∠PAO =45°，得AO =x ，在Rt △POB 中，由∠PBO =60°，得OB =√33x ，在△AOB 中，∵AB =30，∠AOB =30°， ∴302=x 2+(√33x)2−2x ⋅√33x ⋅cos30°，得x 2=2700，x =30√3(米)．故答案为：30√3．设OP =x ，由已知求得OA ，OB ，在△AOB 中，由余弦定理列式求解x 值得答案．本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是中档题．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 1+a 2=5a 3=7，即{2a 1+d =5a 1+2d =7，解得{a 1=1d =3， ∴a n =a 1+(n −1)d =1+3(n −1)=3n −2， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3n −2，(n ∈N ∗). (2)∵1an a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)， ∴数列{1an a n+1}的前n 项和S n =1a 1a 2+1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n−1a n +1a n a n+1=13(1−14)+13(14−17)+13(17−110)+⋯+13(13n −5−13n −2)+13(13n −2−13n +1)=13(1−13n+1)=n3n+1．解析：本题考查等差数列的通项公式及裂项相消法求和，属于基础题． (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 1+a 2=5a 3=7可解得a 1，d ，从而可求得a n ；(2)表示出1an a n+1，利用裂项相消法可求得S n ．18.答案：证明：(1)∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由题意得：B(1,0，0)，P(0,0，2)，C(2,2，0)，E(1,1，1)，D(0,2，0)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以BE ⊥DC ；解：(2)BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，由点F 在棱PC 上，设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,2−2λ,2λ)， ∵BF ⊥AC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−2λ)+2(2−2λ)=0，解得：λ=34， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,32)，设平面FAB 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +32z =0，不妨令z =1，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,1)，因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AD ，又AD ⊥AB ，AP ∩AB =A ，AP ，AB ⊂平面ABP ，所以AD ⊥平面ABP ，可取平面ABP 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10=−3√1010，易知，二面角F −AB −P 是锐角，所以锐二面角F −AB −P 的余弦值为3√1010．解析：本题考查线面垂直的判定和性质，利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BE ⊥DC;(2)设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−2λ,2λ)，(0≤λ≤1)，通过BF ⊥AC ，解得：λ=34，求出平面FAB 的法向量，平面ABP 的一个法向量，即可得解．19.答案：解：(Ⅰ)由题意可得，直线l 的方程为y =x −p2，联立方程{y =x −p2y 2=2px，消去y 整理得x 2−3px +p 24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p ，故|AB|=x 1+x 2+p =4p =8，∴p =2， ∴抛物线C 方程为y 2=4x ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线x =−p2即x =−1，A(y 124,y 1)(y 1≠0)，设切线方程为y −y 1=k(x −y 124)，联立方程{y −y 1=k(x −y 124)y 2=4x，消去x 得：k 4y 2−y +y 1−ky 124=0，∵△=1−k(y 1−ky 124)=0，∴k 2y 124−ky 1+1=0，即k =2y 1，∴切线方程为y −y 1=2y 1(x −y 124)，则4x −2y 1y +y 12=0，令x =−1，得y =y 12−2y 1，即D(−1,y 12−2y 1y 12−2y 1)，∴以AD 为直径的圆为(x +1)(x −y 124)+(y −y 1)(y −y 12+2y 1)=0，由抛物线的对称性，若以AD 为直径的圆经过定点，则此定点一定在x 轴上， ∴令y =0，得(x −1)(x +2−y 124)=0，得x =1，故存在定点M(1,0)在以AD 为直径的圆上．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，再由抛物线的焦点弦长公式列式求得p ，则抛物线方程可求；(Ⅱ)设出A 的坐标，得到过A 点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式等于0把切线的斜率用A 的纵坐标表示，进一步求得D 点坐标，得到以AD 为直径的圆的方程，从而得到存在定点M(1,0)在以AD 为直径的圆上．20.答案：解：(1)y ={5x −4(40−x),x <40200,x ≥40，即y ={9x −160,x <40200,x ≥40．(2)根据(1)中函数关系完成统计表如下：所以获利不低于150元的概率为P =1−10+16100=0.74．(3)65×10100+110×16100+155×28100+200×(24100+14100+8100)=159.5，所以快餐店每天平均利润为159.5元．解析：【试题解析】本题考查函数与方程的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题． (1)利用已知条件，直接写出获得利润y 与销售早餐份数x(x ∈N)的函数关系式；(2)利用对立事件的概率以及古典概型求解即可．(3)利用分布表，转化求解期望即可得到该快餐店每天的平均利润．21.答案：解：f(x)的定义域为，(Ⅰ)若a =1，则，此时f(1)=2，因为f ′(x)=2x +1−12x ，所以f ′(1)=52，故所求切线方程为y −2=52(x −1)，即5x −2y −1=0； (Ⅱ)由于，，(1)当a ⩾0时，，f ′(x)=2x +a −12x=4x 2+2ax−12x，令f ′(x)=0，得x 1=−a+√a2+44>0，x 2=−a−√a 2+44<0(舍去)，且当x ∈(0,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0,x 1)上单调递减，在上单调递增，f(x)的极小值点为x =−a+√a2+44．(2)当a <0时，①当x ⩾−a 时，f ′(x)=4x 2+2ax−12x，令f ′(x)=0，得x 1=−a+√a2+44，x 2=−a−√a2+44<−a(舍去)，若−a+√a2+44⩽−a ，即a ⩽−√22时，则f ′(x)⩾0，所以f(x)在上单调递增；若−a+√a2+44>−a ，即−√22<a <0时，则当x ∈(−a,x 1)时，f ′(x)<0；当时，f ′(x)>0，所以f(x)在区间(−a,x 1)上单调递减，在上单调递增；②当0<x <−a 时，f ′(x)=−2x −a −12x =−4x 2−2ax−12x，令f ′(x)=0，得−4x 2−2ax −1=0，记，当，即−2⩽a <0时，f ′(x)⩽0，所以f(x)在(0,−a)上单调递减；当，即a <−2时，由f ′(x)=0，得x 3=−a−√a2−44，x 4=−a+√a2−44且0<x 3<x 4<−a ，当x ∈(0,x 3)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 3,x 4)时，f ′(x)>0；当x ∈(x 4,−a)时，f ′(x)<0，所以f(x)在区间(0,x 3)上单调递减，在(x 3,x 4)上单调递增；在(x 4,−a)上单调递减；综上所述，当a <−2时，f(x)的极小值点为x =−a−√a2−44和x =−a ，极大值点为x =−a+√a2−44；当−2⩽a ⩽√22时，f(x)的极小值点为x =−a ；当a >−√22时，f(x)的极小值点为x =−a+√a2+44．解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数求函数的极值，考查分类讨论思想，属于较难题． (1)求出f(1)，利用导数求出f′(1)，即得切线斜率，由点斜式求得切线方程；(2)当a ⩾0时，去绝对值，求出导函数，得到导函数的零点，即可求得原函数的单调性，求得极值点，当a <0时，分段去绝对值，化为分段函数，再根据分段函数分别研究单调性，求得极值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsinπ4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2，又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当x ≤−1时，不等式f(x)≤4可化为：−3x ≤x +2，解得：x ≥−12(舍去)；当−1<x <12时，不等式f(x)≤4可化为−x +2≤x +2，解得：x ≥0，即0≤x <12；当x ≥12时，不等式f(x)≤4可化为3x ≤x +2，解得：x ≤1，即12≤x ≤1．综上可得：不等式f(x)≤x +2的解集为[0,1]； (2)g(x)=|x +2019|+|x +2021−a|，则g(x)=|−x −2019|+|x +2021−a|≥|−x −2019+x +2021−a|=|a −2|， f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，图象如图：则当x =12时，函数f(x)取最小值32，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则|a −2|≤32，解得：12≤a ≤72．故实数a 的取值范围为[12,72].解析：(1)由函数f(x)=|x +1|+|2x −1|，利用零点分段法，可得不等式f(x)≤x +2的解集； (2)利用放缩法求得g(x)的最小值为|a −2|，由分段函数求得f(x)的最小值为32，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则|a −2|≤32，求解可得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷(二)

全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(二)数学(理科)一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.若复数312a i i++(,a R i ∈为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( ).A.2-B.4C.6-D.62.若函数()y f x =的反函数图象过点(2,3),则函数2log (1)y f x =+的图象必过点( ). A.(3,1) B.(2,1) C.(1,3) D.(1,2)3.“2cos 2α=512,k k Z παπ=+∈”的( ).A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.设集合2{|0}M x x ax =-<,2{|20}N x x x =--<,若M N ⊆,则a 的取值范围是( ).A.(1,2)-B.[1,2]-C.[1,0)(0,2]-D.(1,0)(0,2)- 5.设函数()20)f x x =≥,则其反函数1()f x -的图象( ).6.已知Rt ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且C 为直角,则“3c a =+”是“30A =︒”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离等于大圆周长的16,经过这三点的小圆周长为4π,则球的体积为( ).A.B. C.32πD. 8.若抛物线212y x =与圆222(3)x y r +-=相切,则公切线的方程为( ).A.220y x -+=B.220y x ++=C.220y x ±+=D.240y x ±+=C.A. B.沿脚手架到B ,则行走的最近线路有( ).A.80种B.120种C.90种D.180种 10.如图,P 是椭圆222591xy+=上一点,1F 、2F 是椭圆的左、右焦点,且Q 是1PF 的中点,4OQ =,则点P 到该椭圆左准线的距离为( ).A.6B.4C.3D.5211.若lg lg 0(1,1)a b a b +=≠≠,且()x f x a =与()x b g x b -=的图象关于直线1x =对称,则a b +=( ).A.2B.52 C.103D.17412.若向量a 、b 满足||||1a b == ,且()1a a kb ->-恒成立,则实数k 的取值范围是( ).A.(2,2)-B.(0,2)C.(2,0)-D.(1,2)- 二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 13.二项式27()axx +的展开式中的x 的系数是280,则a =__________.14.设z y ax =+,变量满足条件021032x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩或222032x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩,若使z 取得最小值的点(,)x y 有且仅有两个,则a =__________.15.在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中,1A B 与平面11A B C 所成的角的正弦值为__________.16.设数列{}n a 满足22(1)n n n a a +=-,且1236a a +=,则lim n n S →∞=__________.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足(2)c o s c o a c B b C -=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知函数2222(,)cos sin 1A C f A C =+-,求(,)f A C 的取值范围.18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖则商家返还顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ元,试分析小王出资50元增加1张奖券是否划算？19.(本小题满分12分)在三棱锥V ABC -中,底面ABC ∆是以ABC ∠为直角的等腰三角形.又V 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近点C ,4AC =,VA = VB 和底面ABC 所成的角为45︒. (Ⅰ)求点V 到底面ABC 的距离； (Ⅱ)求二面角V AB C --的大小. VBCAH20.(本小题满分12分)已知一列非零向量n a 满足111(,)a x y = ,111112(,)(,)(2)n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥ .(Ⅰ)证明：数列{||}n a 是等比数列；(Ⅱ)设1,n n n a a θ-=〈〉,21n n b n θ=-,12n n S b b b =+++ ,求n S .21.(本小题满分12分)如图,点F 为双曲线C 的左焦点,左准线l 交x点. 已知||||1PQ FQ ==,且线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上. (Ⅰ)求双曲线C 的标准方程；(Ⅱ)若过点F 的直线m 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 设FB FA λ=,当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围.22.(本小题满分14分) 已知函数2()2ln f x x x a x =++.(Ⅰ)若4a =-,求函数()f x 的极值；(Ⅱ)当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(二)数学(理科) 参考答案一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B C C B C C D B A二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13. 14. 1 15.1416. 4三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足(2)c o s c o a c B b C -=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知函数2222(,)cos sin 1A C f A C =+-,求(,)f A C 的取值范围.解：(Ⅰ)由(2)cos cos a c B b C -=,得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=,即2sin cos sin A B A =. ∵0B π<<,∴3B π=. (Ⅱ)23A C π+=,∴221cos 1cos 12222223(,)cos sin 11[cos cos()]A C ACf A C A A π++=+-=+-=--1322226(cos )cos()A A A π=-=+.∵230A π<<,∴5666A πππ<+<,∴3344(,)f A C -<<.18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖则商家返还顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ元,试分析小王出资50元增加1张奖券是否划算？解：ξ的可能取值为245-.34645125(2450)()P ξ===,123144855125(1450)()()P C ξ===,223141255125(450)()()P C ξ===,333115125(550)()P C ξ=-==.∴ξ的分布列为644812112512512512524501450450(550)1850E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=(元). 同理设小王不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为1ξ元,16812525125240014004002000E ξ=⨯+⨯+⨯=.1E E ξξ<,故小王出资50元增加1张奖券划算.19.(本小题满分12分)在三棱锥V ABC -中,底面ABC ∆是以ABC ∠为直角的等腰三角形.又V 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近点C ,4AC =,VA = VB 和底面ABC 所成的角为45︒.(Ⅰ)求点V 到底面ABC 的距离； (Ⅱ)求二面角V AB C --的大小.解：(Ⅰ)∵V 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近点C ,∴VH ⊥底面ABC .连BH ,则45VBH ∠=︒.设BH VH h ==,O 为AC 的中点, 则BO AC ⊥,BO OH ⊥.∴在R t A B C ∆中,122OB AC ==.在Rt OBH∆中,OH = 在Rt VAH ∆中,2222)h +=,解得h .故点V 到底面ABC的距离为(Ⅱ)∵h =∴1OH =.过H 作HM AB ⊥于M ,连结VM ,则VMH ∠为二V BCAHV AB C --的平面角.∵33442HM BC ==⨯=,∴32tan VMH ∠==,∴二面角V AB C --的大小为3arctan .20.(本小题满分12分)已知一列非零向量n a 满足111(,)a x y = ,111112(,)(,)(2)n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥ .(Ⅰ)证明：数列{||}n a 是等比数列；(Ⅱ)设1,n n n a a θ-=〈〉,21n n b n θ=-,12n n S b b b =+++ ,求n S .(Ⅰ)证明：12||||(2)n n a a n -≥,∴1||2||n n a a -=且1||0a ,∴数列{||}n a是公比为2的等比数列.(Ⅱ)解：∵2211211111111111222(,)(,)()||n n n n n n n n n n n a a x y x y x y x y a ----------⋅=⋅-+=+=,∴211111||1222||||||cos ,||n n n n n n n a a a a a a a ----⋅〈〉==⋅=,∴14,n n n a a πθ-=〈〉=,∴42211n n b n ππ=⋅-=-.即2(1)(1)222224(1)(1)(1)n n n n n n S n n πππππ++=-+-++-=⋅-=-21.如图,点F 为双曲线C 的左焦点,左准线l 交x 轴于点Q ,点P是l 上一点.已知||||1PQ FQ ==,且线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上.(Ⅰ)求双曲线C 的标准方程；(Ⅱ)若过点F 的直线m 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点,设FB FA λ=,当[6,)λ∈+∞时,求直线m 的斜率k 的取值范围解：(Ⅰ)设双曲线的方程为22221(0,0)x y aba b -=>>,则222c a b =+ ①,2||1acFQ c =-=,∴2b c = ②.又1122(,)M c -+在双曲线上,∴2211()()221c --= ③.由①②③解得,2a b c ===,故双曲线的方程为222x y -=.(Ⅱ)(2,0)F -,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线m 的方程为(2)y k x =+,则由FB FA λ=,得21(2)2x x λ=+-,21y y λ=.由22(2)2y k x x y =+⎧⎨-=⎩,得222(1)420k y ky k --+=.∴1241k ky y -+=,221221kky y -=,22222168(1)8(1)0k k k k k ∆=--=+>.由21y y λ=,21241k k y y -+=,221221kky y -=,消去12,y y ,得228(1)112kλλλλ+-==++.∵6λ≥,函数1()2g λλλ=++在[6,)+∞上单调递增. ∴2814916662k-≥++=,2149k ≥.又直线m 与双曲线交于两支,222(1)420k y ky k --+=的两根同号,∴21k <.∴21491k≤<,解得171k -<≤-或171k <≤.故斜率k 的取值范围为1177(1,][,1)-- .22.(本小题满分14分) 已知函数2()2ln f x x x a x =++.(Ⅰ)若4a =-,求函数()f x 的极值；(Ⅱ)当1t ≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.解：(Ⅰ)由题意得,24()24ln ()22x f x x x x f x x '=+-⇒=+-.由函数的定义域为0x >,∴()01f x x '>⇒>,()001f x x '<⇒<<.∴函数()f x 有极小值(1)3f =. (Ⅱ)∵2()2ln f x x x a x=++,∴2221(21)2()32422ln ln(21)lntt f t f t t t a t a t a --≥-⇒-+≥--=.当1t ≥时,221t t ≥-,∴221ln0tt -≥.即1t >时,222(1)ln21t tt a --≤恒成立.又易证ln(1)x x+≤在1x >-上恒成立,∴2222(1)(1)212121ln ln[1](1)tt t t t t t -----=+≤<-在1t >上恒成立.当1t =时取等号,∴当1t ≥时,2221ln (1)tt t -≤-,∴由上知2a ≤.故实数a 的取值范围是(,2]-∞.。

高考数学(理)之立体几何与空间向量专题01 空间几何体的结构及其三视图和直观图(解析版)

立体几何与空间向量01 空间几何体的结构及其三视图和直观图【考点讲解】一、具体目标：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

②会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

③会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.二、知识概述：1.空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面：在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高：在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．2.空间几何体的三视图三视图：几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．3.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.4.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．三、备考策略：1.以考查三视图、几何体的结构特征以及几何体的面积体积计算为主，三视图基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；几何体的结构特征往往在解答题中考查，与平行关系、垂直关系等相结合.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用的.3.备考重点：(1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握常见几何体的结构特征.四、常考题型：三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征． 4. 三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整． 1. 【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（）A ．158B ．162C ．182D ．324【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选B. 【答案】B2.【2018年高考全国Ⅰ卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）【真题分析】A ．172B ．52C ．3D ．2【分析】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M 在上底面上，点N 在下底面上，且可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为√42+22=2√5，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A ．【答案】A4.【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）俯视图正视图A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()112226,2⨯+⨯⨯=故选C. 【答案】C5.【2018年高考北京卷文数】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题要求会利用三视图的性质还原原立体图形，然后再应用立体图形的性质进行计算或验证. 由三视图可得四棱锥P ABCD -如图所示，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB △△△，共3个，故选C. 【答案】C6.【2017年高考全国Ⅰ卷理数】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解析】解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状和结构特征，要求熟悉常见几何体的三视图.由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B．【答案】B7.【2017年高考北京卷理数】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．B．C．D．2【解析】几何体是四棱锥P ABCD-，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为22222223l=++=，故选B．【答案】B8.【2017年高考全国Ⅱ卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【答案】B9.【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222V π⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．【答案】A10.【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【答案】401.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.60B.30C.20D.10【解析】本题主要考查的将三视图还原成几何体后求体积的问题。

高考数学(理)备考之百强校微测试系列01(第02期) Word版含解析

班级姓名学号分数
（测试时间：分钟满分：分）
一、选择题（共小题，每题分，共分）
.【河南省南阳、信阳等六市届高三第一次联考】已知集合
，，则的子集的个数是（）
. . . .
【答案】
.【届河南省安阳市高三第一次模拟】三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）
. . . .
【答案】
【解析】由题意，大正方形的边长为，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选.
.【江西省百校联盟届高三月联考】若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知为“理想复数”，则（）
. . . .
【答案】
【解析】因为，所以由题设中定义的新概念“理想复数”可得
，即，应选答案.
.【届陕西省西安市铁一中学高三第五次模拟】执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中可以填（）
. . . .
【答案】
.【湖北省七市（州）届高三第一次联合调考（月联考）】函数为上的偶函数，函数为上的奇函数，，,则可以是。

最新高考数学(文)备考之百强校微测试系列：(第01期)测试十(原卷版)

班级姓名学号分数（测试时间：25分钟满分：50分）一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】复数22cos sin33z i ππ=+在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．【2015届山西省临汾一中、康杰中学、长治二中、忻州一中联考】若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比q =A.1B.2C.2-D.43. 【2017河南省开封市高三上（10月）】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．73 B ．83π- C ．83 D ．73π-4．【2015届江西省师大附中、鹰潭一中高三联考】已知双曲线22221x y a b -=，过其左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点记作C ， D ,原点为O ,23COD π∠=，其双曲线的离心率为（）A ．32B ．2C 3D 235. 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】已知原点到直线l 的距离为1，圆22(2)(5)4x y -+-=与直线l 相切，则满足条件的直线l 有多少条？A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6.【2015届山东省枣庄市枣庄八中高三月考】设不等式组0303x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A ．9πB ．99π- C ．6πD ．33π- 二、填空题（共2小题，每题5分，共10分） 7.【2015届学年度吉林一中质检一】已知函数()()()()⎩⎨⎧>≤--=-77336x ax x a x f x ，若数列{}n a 满足()na f n =（n N *∈），且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ___________． 8. 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 . 三、解答题（共1小题，每题10分，共10分）9. 【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率12e =，且椭圆C 经过点(2,3)P ，过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求△1PFG 的面积S 的取值范围．。

最新高考数学(文)备考之百强校微测试系列：(第01期)测试三(原卷版)

班级姓名学号分数（测试时间：25分钟满分：50分）一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 【湖北省2017届百所重点校高三联合考试】已知集合{}{}21,,|540,A a B x x x x Z ==-+<∈，若Φ≠B A ，则a 等于（）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或42.【2015届西安市西北工业大学附属中学高三四模】如图，执行程序框图后，输出的结果为（）A ．8B ．10C ．12D ． 323. 江西省南昌市2017届新课标高三复习训练题（二）】已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且()1,b a a b N +-=∈，则a b +=（）A ．5B ．4C ．3D ．24.【2015届天津市南开中学高三第五次月考】已知双曲线2214x y -=的左右焦点为12F F 、，点P 为左支上一点，且满足1260F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积为（）A 3B 3C ． 3D ．235. 【河北衡水中学2017届高三9月联考摸底】若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（）A.1B.1.5C.0.75D.1.756.【2015届四川省雅安中学高三月考】函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线， “0)()(<•b f a f ”是“函数)(x f 在区间[],a b 上恰有一个零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7. 【四川省巴中市高中2017届毕业班10月零诊考试】正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗.登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 .8.【2015届长沙市长郡中学等十三校第二次联考】函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围为．三、解答题（共1小题，每题10分，共10分）9. 【广东省惠州市2017届高三上学期第二次调研模拟】已知点()1,0A ，点P 是圆C :()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ．（Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．。

高考数学(理)备考之百强校微测试03(第02期)教师版Word版含解

班级姓名学号分数（测试时间：25分钟满分：50分）一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.【福建省厦门第一中学2015——2016学年度第一学期期中考试】设全集{}{}{}15,1,2,5,14U x Z x A B x N x =∈-≤≤==∈-<<，则U B C A =（）A 、 {}3B 、 {}0,3C 、 {}0,4D 、 {}0,3,4 【答案】B【解析】由题意{1,0,1,2,3,4,5}U =-，所以{1,0,3,4}U C A =-，{0,3}U B C A =，故选B ．考点：集合的运算．2.【河北省衡水中学2016届上学期高三年级四调考试】设x ，y 满足约束条件320000x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数2m z x y =+（0m >）的最大值为2，则sin 3y mx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（） A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 2y x =D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】考点：线性规划求最值，三角函数图像变换3.【惠州市2016届高三第三次调研考试】已知圆O ：224x y +=上到直线:l x y a +=的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为（）A ．(-B ．(,(32,)-∞-+∞C ．(-D ．[-4.【河北省正定中学2015-2016学年高三第一学期期末考试】根据如图所示程序框图，若输入42=m ，30=n ，则输出m 的值为A ．0B ．3C ．6D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由程序框图知，本题算法是求两整数的最大公约数，42与30的最大公约数是6，因此输出结果为6．故选C ．考点：程序框图．5.【河北省衡水中学2016届上学期高三年级四调考试】函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】考点：函数图像与性质6.【河北省邯郸市第一中学2015-2016学年一轮收官考试题（一）】延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3【答案】D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以a b λμμ=-⎧⎨=⎩，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=,此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤;当P 在线段BC 上时，1,01,a b =≤≤,此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤;当P 在线段CD 上时，01,1,a b ≤≤=,此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤;当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤,此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤;由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错;使1λμ+=的点有两个,分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D.考点：向量的坐标运算.二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7.【安徽六校教育研究会2016届高三年级学生素质测试】若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且267n S n n =-++，则数列{}na 的最大项的值为 .【答案】12 【解析】考点：数列的通项公式.8. 【惠州市2016届高三第三次调研考试】设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为．【解析】函数xe y 21=和函数)2ln(x y =互为反函数图像关于y x =对称，则只有直线PQ 与直线y x =垂直时||PQ 才能取得最小值。

2022年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列09(第01期)解析版

班级姓名学号分数大题狂做测试卷9（测试时间：90分钟满分：120分）1.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题】（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角B 的值；（2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．【答案】（1）3B π=或23B π=;（2）3[,3)2 . （2）由于b a ≤，所以3B π=， 7分由正弦定理32sin sin sin 32a c bA C B====，得 2sin ,2sin a A c C ==，故12332sin sin 2sin sin sin cos 3sin 23226a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9分由于b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， 10分所以133sin [,3)262a c A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭． 12分考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数性质.2.【山东省枣庄市第八中学2021届高三4月模拟考试数学（理）】已知等差数列{n a }，公差0>d ，前n 项和为n S ，63=S ,且满足82132a a a a ，，-成等比数列．（I ）求{n a }的通项公式；（II ）设21+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 的值．【答案】（I ）na n ;（II ）235(II)4(1)(2)nn nT n n .考点：1.等差数列、等比数列的定义及性质；2.裂项相消法求和.3.【宁夏回族自治区银川一中2021届高三其次次模拟考试数学（理）】（本小题满分12分）如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观看站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【答案】(1) 230(2)1339+.考点：1.三角函数的实际应用问题；2.正弦定理解三角形.4.【山东师范高校附属中学2021届高三第七次模拟考试数学（理）】（本题满分12分）数列{}na的通项na是关于x的不等式2x x nx-<的解集中正整数的个数，111()12n n nf na a a n=++++++…．（1）求数列{}na的通项公式；（2）若2nn nab=，求数列{}nb的前n项和nS；（3）求证：对2n≥且*n N∈恒有7()112f n≤<．【答案】（1）na n=;（2）1112()()22n nnS n-=--⨯;（3）见解析.（3）111111 ()1212n n nf na a a n n n n n=+++=+++++++++……1111nn n n<+++=项………………………………9分由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=……………………………………11分综上可知7()112f n ≤<……………………12分考点：1.解不等式；2.错位相减法求和；3.数列的单调性与不等式.5.【湖南省长沙市长郡中学等十三校2021届高三其次次联考数学（理）试题】设函数ax xxx f -=ln )(． (1)若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)14; (2) 21124a e≥-.所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………4分（Ⅱ）命题“若存在212,[,],x x e e ∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”． ………………………5分由（Ⅰ），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”． …………………6分①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则min ()f x =2221()24e f e ae =-≤，故21124a e -≥． …………………8分②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，冲突．…………………9分（ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知，存在唯一20(,)x e e ∈，使'()0f x =，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈……………………11分所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<冲突．综上得21124a e ≥-……………………………………………………………12分考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的最值；3.函数与不等式.6.【吉林省吉林市第一中学校2021届高三3月“教与学”质量检测（一）数学（理）】 (本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为c ,b ,a ，其外接圆半径为6， 241=-B cos b ，34=+C sin A sin（Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值．【答案】（Ⅰ）35;（Ⅱ）max 1285S =.考点：1.正弦定理；2.基本不等式.7.【山东省试验中学2021届高三第一次模拟考试数学（理）试题】（本小题满分12分）设△ABC 的内角么，B ，c 所对的边分别为a ，b ，c 且acosC-12c=b ．（I ）求角A 的大小；（II ）若a=3，求△ABC 的周长l 的取值范围．【答案】（I ）23A π=;（II ）]323,6(+. 【解析】试题分析：（I ）利用正弦定理将条件中的边用角代替，由三角形内角和定理用A C 代替B 进行三角恒等变换可求cos A ；（II ）利用正弦定理将周长用角代替，并用一个角表示，由角的范围可求周长的范围. 试题解析：（I ）由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C C B -= …………2分又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+11sin cos sin ,sin 0,cos 22C A C C A ∴=-≠∴=- …………4分又0A π<<23A π∴= …………6分(II )由正弦定理得: C c B ABa b sin 32,sin 32sin sin ===, ))sin((sin 323)sin (sin 323B A B C B c b a l +++=++=++=)3sin(323)cos 23sin 21(323π++=++=B B B ………9分22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈,…………10分 3sin()(,1]32B π∴+∈故ABC ∆的周长l 的取值范围为]323,6(+. …………12分考点：1.正弦定理；2.三角函数性质.8.【陕西省西安市铁一中学国际合作学校2021届高三下学期第一次大练习数学（理）】（12分）设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.【答案】(Ⅰ)1a; (Ⅱ)()f x 在1x =处取得微小值()13f =,无极大值.(2)由(1)知()()13ln 1022f x x x x x =-+++>, ()222113321222x x f x x x x--'=--+= ()2(31)(1)2x x f x x+-'∴=令()0f x '=,解得1211,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去),当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数;故()f x 在1x =处取得微小值()13f =.考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性与极值.9.【陕西省西安市西北工业高校附属中学2021届高三下学期四模考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知函数xe xf =)(（Ⅰ）当a ex x f +≥)(对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++<--∈<)2(2)()(21)()(求证：,,,b a f b f a f a b a f b f R b a b a .【答案】（Ⅰ）0a;（Ⅱ）见解析；可以证明h(x)在()∞+，1上为增函数，h(x)>h(1)=0,令x=nm,得即,112ln+->nm n m nm4nm nm n m +<+- ……………………11分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++<--)2(2)()(21)()(b a f b f a f a b a f b f …………………12分考点：1.导数与函数的单调性；2.构造函数证明不等式.10.【江苏省泰州中学、扬州中学、靖江中学2021届高三下学期期初联考数学试题】已知函数2()f x x ax b =++，()ln g x x =.（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值；（2）记()()()f x G x g x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<<m 时，若函数()G x 的3个极值点为123123,,()x x x x x x <<，（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；（ⅱ）争辩函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）【答案】（1）max24ln2F xa b ；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）函数()x G 的单调递增是123(,),(,)x x x ，单调递减是123(0,),(,1),(1,)x x x .试题解析：(1)2()ln (0)F x x ax b x x2121()2x ax F x x axx……………………………………1分令()0F x 得2212880,044aa aa x x ，122()()()x x x x F x x…………………………………………………………2分列表如下：x()2,0x [2x()∞+，2x()x F ' － 0 ＋ ()x F '递减微小值递增易知()()(){}2,1m ax max F F x F =而()()()()32ln 2ln 42121-+-=-++-++=-a b a b a F F 所以当32ln -≤a 时， ()()11max ++==b a F x F当32ln ->a 时，()()2ln 422max -++==b a F x F ………4分考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值、最值.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

班级姓名学号分数
（测试时间：25分钟满分：50分）
一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1.【2015届山东省枣庄八中月考】复数21i a bi i
=+-（i 是虚数单位，a 、b R ∈），则（） A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =- C ．1a =-， 1b = D ．1a =，1b =-
【答案】C
【解析】由2z i =-得2z i =+，所以(2)(2)5z z i i ⋅=-⋅+=，故选C ．
考点： 1.复数的概念；2.复数的四则运算；
2.【河北省唐山市2016---2017学年度高三年级数学摸底考试】在四棱锥P ABCD -中，底面
ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4,,,PA AB E F H ==分别是棱,,PB BC PD 的中点，
则过,F,H E 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面面积为（）
A ．26
B ．46
C ．56
D ．2346+
【答案】C .
【解析】
考点：1、线面平行和垂直的判定定理；2、线面平行和垂直的性质定理．
3.【2015届江西省师大附中、鹰潭一中高三联考】在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长
给6位“萌娃”
布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，
所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的
食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的
搜寻方案有
A ．80 种
B ．70 种
C ．40 种
D ．10种
【答案】C
【解析】Grace 不参与该项任务，则有1254C C =30种；Grace 参与该项任务，则有25C =10种，
故共有30+10=40种，故选C ．考点：排列组合；两个计数原理 4．【河北省唐山市2016---2017学年度高三年级数学摸底考试】设函数
()3235f x x x ax a =--+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（）
A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．15,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．13,32⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B .
【解析】
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、导数的综合应用.
5.【2015届天津市南开中学高三三月月考】已知1F 和2F 分别是双曲线
22
22
1x y a b -=(0a >,0b >)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1||OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2F AB ∆是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )
31+ 31- C. 31 D.2
【答案】C
考点：双曲线的简单性质
6. 【2017届江西省高三第一次联考测试卷】已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2
x f x =，且()3111212
b
b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（） A ．2 B ．22 C ．92 D ． 9222+ 【答案】C
【解析】
试题分析：()2112f x x x '=⋅=,22311
111()222b b b dx x x -=-=-+⎰,所以 ()1311111212112222b
b dx f a b b b b x a -'=+-⇔-+=+-⎰，即2112a b
+=，所以()215252922222
22b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即2a b =时等号成立，所以则a b +的最小值为92
. 二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）
7.【2015届陕西省西北工业大学附属中学四模】已知多项式
+++++=+2210102)1()1(x a x a a x x
1010)1(++x a 则=9a _______
【答案】-10
【解析】102102)1)1((-++=+x x x x ,9a 是9)1(+x 的系数，
故10)1)1((-+x 的通项为=+1r T r r r x C )1()1(1010-+-，令1=r ，则991102)1(10)1(+-=+-=x x C T ，故109-=a
考点：二项式定理
8. 【河南省百校联盟2017届高三9月教学质监测数学】已知双曲线
()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，,A B 是圆()2224x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为______________．
【答案】3174
+ 【解析】
考点：双曲线定义及离心率
三、解答题（共1小题，每题10分，共10分）
9. 【河南省百校联盟2017届高三9月教学质监测数学】小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A B 、平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A B 、和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A B C 、、猜中的概率分别为111,,323
，且A B C 、、是否猜中互不影响．
（1）求A 恰好获得4元的概率；
（2）设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；
（3）设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y
的期望与Z 的期望之和．
【答案】（1）19（2） X 0 4
6 12 P 29 19 13 13 （3）A 所获得的金额的期望能超过Y 的期望与Z 的期望之和
【解析】
试题解析：（1）A 恰好获得4元的概率为21113239
⨯⨯=．（2）X 的可能取值为0，4，6，12， ()()121224,093239
P X P X ====⨯⨯=， ()()21116,123233
P X P X ==⨯===，所以X 的分布列为： X 0 4 6 12
P 29 19 13 13 （3）Y 的可能取值为0，4，6；Z 的可能取值为0，4．
因为()()()1212521112110,4,6332393239323
P Y P Y P Y ==
+⨯⨯===⨯⨯===⨯=， ()()121212821110,433232393239
P Z P Z ==+⨯+⨯⨯===⨯⨯=，所以51122814046,049939999
EY EZ =⨯+⨯+⨯==⨯+⨯=，所以269
EY EZ +=，又2111580461299339EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，由于EX EY EZ >+，所以A 所获得的金额的期望能超过Y 的期望与Z 的期望之和．考点：独立事件概率，概率分布与数学期望。