韦达定理判别式
(人教版初中数学)韦达定理
判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P,x 1x 2=q(3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力.考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是8．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根,则x 1＋x 2＝ ,x 1·x 2＝ ,（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数,则m ＝二、考点训练：1、 不解方程,判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、 当m= 时,方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35,则m= ,这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m 的值.5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根.6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式,则m= ;2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为 ;5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 7.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？8.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积.9．实数K 在什么范围取值时,方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？独立训练（一）1、 不解方程,请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u 2+1)－7u=0, ;2、 若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、 一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ,则p= ,q= ;4、 已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、 若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式m n = .7、 已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、 如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α; 9、 已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1 α＋1 β,求ｓ的取值范围. 独立训练（二）1、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、 如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、 已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k= ; 4、 若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、 方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;6、 若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、 已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、 以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1） 有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否存在实数ｋ,使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2,满足｜x 1 x 2｜＝32 ,如果存在,试求出所有满足条件的ｋ的值,如果不存在,请说明理由.。
判别式与韦达定理
判别式与韦达定理一、基本知识：1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2、一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、例题讲解：例1 已知关于x 的一元二次方程0221222=-+-k kx x ， （1）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设21、x x 是方程的两根，且52221121=+-x x kx x ，求k 之值。
例 2 已知关于x 的方程07442=++b bx x 有两个相等的实数根，21、yy 是关于y 的方程04)2(2=+-+y b y 的两个根，求以21y 、y 为根的一元二次方程。
例3 已知△ABC 的两边长a=3，c=5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，求证△ABC 为直角三角形。
例4 已知关于x 的一元二次方程01222=--+p px x 的两个实数根为1x 和2x 。
（1）若此方程的两根之和不大于两根之积，求p 之值；（2）若p=-1，求2223122x x x ++之值。
例5 若关于x 的方程012=++kx x 的一个根是32+，则方程的另一根是多少？k 值是多少？例6 已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1)2221x x +2111)2(x x + (3)21x x -)1)(1)(4(21--x x三、典型练习：（一）、选择题：1．方程022=+-m x x 的一个根是31+，则另一根和m 的值依次是（ ） A ． 13-和2B. 31-和2C. 31-和-2D. 13-和-22．设21、x x 是方程01322=--x x 的两根，则2111x x +的值是（ ） A ． 3B. -3C. 23D. 23-3．以数52+和52-为两根的一元二次方程是（ ） A ． 0142=-+x x B. 0142=--x x C. 0142=++x xD. 0142=+-x x4．已知方程05107,05207,05107,052072222=-+=-+=++=++x x x x x x x x 中，两根均为负数的方程的个数为（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45、设二次方程02=++q px x 的两个实数根恰为p 、q ，则pq 的值是（ ）A. 0B. -2C. 0或-2D. 非上述答案（二）、填空题：1．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= 。
韦达定理与根的判别式
韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
三次函数的根的判别式和韦达定理
三次函数，即形如f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数，其中a, b, c, d 为实数，且a不为0。
这种函数在数学中有着重要的应用价值。
对于三次函数，其根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究函数的性质。
首先，我们来了解一下根的判别式。
对于一元二次方程，根的判别式是b^2 - 4ac，而对于三次函数，我们可以通过对其进行求导，然后观察导函数的零点来找到极值点。
三次函数的导函数为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，对其求导后，再求出导函数的零点，即令f'(x) = 0，解出x的值，这些x的值就是三次函数的极值点。
接下来，我们来看看韦达定理。
韦达定理是用于求解一元二次方程的根的一种方法，但对于三次方程，我们可以通过观察其根的分布情况来找到三次函数的极值点。
如果三次方程有三个不同的实根，那么这三个实根就是三次函数的三个极值点。
如果三次方程有两个相同的实根，那么这两个相同的实根就是三次函数的拐点。
在实际应用中，我们可以利用韦达定理来判断三次函数的单调性。
如果三次函数在某个区间内单调递增，那么这个区间内一定存在一个或多个极小值点；反之，如果三次函数在某个区间内单调递减，那么这个区间内一定存在一个或多个极大值点。
此外，我们还可以利用韦达定理来判断三次函数的图像的形状。
如果三次函数的图像是一个连续的曲线，那么这个曲线一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的；如果三次函数的图像是一个折线图，那么这个折线图一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的。
综上所述，根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究三次函数的性质。
利用这两个工具，我们可以更好地理解三次函数的图像和性质，从而更好地解决相关的数学问题。
x1x2公式韦达定理
x1x2公式韦达定理
一元二次方程里，根与系数的关系称为韦达定理，在条件为a≠0，且a，b，c皆为常数的一元二次方程ax²+bx+c中，两根为x1、x2，那么两根的关系是：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，前提条件是判别式△=b²-4ac大于等于0。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。
韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
判别式与韦达定理(竞赛辅导)
判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明: △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△=（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3证明不可能分解为两个一次因式之积.分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明:将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△=显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 已知x，y，z是实数，且x+y+z=a……①x2+y2+z2=12a……②求证：0≤x≤23a, 0≤y≤23a, 0≤z≤23a.分析: 将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明: 由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤23a同理可证：0≤y≤23a ，0≤z≤23a .例5 设a 1，a 2，a 3，b 是满足不等式（a 1+a 2+a 3）2≥2（）+4b 的实数.求证：a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b. 证明: 由已知可得≤0.设则∵a 3是实数， 故△≥0，即有 （a 1+a 2）2≥（）-2a 1a 2+4b+r≥2（）-（a 1+a 2）2+4b.于是（a 1+a 2）2≥（）+2b ，∴a 1a 2≥b.同理有a 2a 3≥b，a 3a 1≥b.三式相加即得 a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b.例6 设a 、b 、c 为实数，方程组2y xy ax bx c=⎧⎨=++⎩与2y xy ax bx c=-⎧⎨=++⎩均无实数根.求证:对于一切实数x都有21 4ax bx ca++>.证明:由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组y xy bx c=⎧⎨=+⎩,y xy bx c=-⎧⎨=+⎩至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=(b1)2-4ac＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴2222424b ac bax bx c a xa a⎡⎤-⎛⎫++=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＞21144aaa•=.2．韦达定理的应用例7 假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时x13、x23是方程的根.证明：由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8 已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0…… ①a2x2+b2x+c2=0……②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程a1a2x2+b1b2x+c1c2=0…… ③也有两个负根.证明：∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值. 显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解：由韦达定理得=而 =（n≥3），∴原式=+=例10首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解：由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由a-1=1b-1=3⎧⎨⎩或a-1=3b-1=1⎧⎨⎩，解得a=2b=4⎧⎨⎩或a=4b=2⎧⎨⎩∴例11设实数a，b，c满足求证:1≤a≤9.证明：由（1）得bc=a2-8a+7.（1）-（2）得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 求证：对任一矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形A 和矩形B 的周长和面积比都等于常数k （k≥1）. 分析 设矩形A 及B 的长度分别是a ，b 及x ，y ，为证明满足条件的矩形B 存在，只须证明方程组(x y k a b xy kab ⎧⎨⎩+=+= （k ，a ，b 为已知数）有正整数解即可. 再由韦达定理，其解x ，y 可以看作是二次方程 z 2-k （a+b ）z+kab=0的两根. ∵k≥1，故判别式△ =k 2（a+b ）2-4kab≥k 2（a+b ）2-4k 2ab=k 2（a-b ）2≥0， ∴上述二次方程有两实根z 1，z 2. 又z 1+z 2=k （a+b ）＞0，z 1z 2=kab ＞0，从而，z 1＞0，z 2＞0，即方程组恒有x ＞0，y ＞0的解，所以矩形B 总是存在的. 练习 1．填空题（1） 设方程x-1x =1987的两根为m ，n （m ＞n ），则代数式311n m n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--的值是_______; （2）若r 和s 是方程x 2-px+q=0的两非零根,则以r 2+21s 和s 2+21r 为根的方程是______________________;（3）已知方程x 2-8x+15=0的两根可以写成a 2+b 2与a-b,其中a 与b 是方程x 2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________. 2.选择题(1)若p,q 都是自然数,方程px 2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p 2+q 的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程(1984x)2-1983·1985x -1=0的较大根为r,x 2+1983x-1984=0的较小根为s,则r-s 等于( ). (A)11985 (B)1985 (C)19841985 (D)-19831984(3)x 2+px+q 2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x 2-qx+p 2=0的两个根必为（ ）. (A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根个数为 (A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3． 设a 1≠0，方程a 1x 2+b 2x+c 1=0的两个根是1-a 1和1+a 1；a 1x 2+b 1x+c 2=0的两个根是12a -1和1-11a ；a 1x 2+b 1x+c 1=0的两根相等，求a 1，b 1，c 1，b 2，c 2的值. 4.常数a 是满足1≤a≤50的自然数.若关于x 的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x 2的两根都是自然数,试求a 的值. 5.设x 2、x 2为正系数方程ax 2+bx+c=0的两根，x 1+x 2=m ，x 1·x 2=n 2，且m ，n.求证: (1) 如果m ＜n ，那么方程有不等的实数根； (2) 如果m ＞n ，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足 7． 当a ，b 为何值时，方程x 2+（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实根？ 8． 试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax 2+bx+c=0的判别式的值. 9． 方程x 2+ax+1=b 的根是自然数，证明a 2+b 2是合数. 10． 不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习答案:1.(1)(2)(3)3.2. C B A.3.4.x=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5. 略6. 3x2-7x+2=0.7. 因为方程有实根,所以判别式8. 设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
韦达定理与根的判别式(解析版)
x 2 - 2 |x |-15 = ( )A. 0B. - 2C. 2D. 8 【解答】解：①当 x > 0 时，方程化为： x 2 - 2x - 15 = 0， 即 (x + 3) (x - 5) = 0， ∴ x + 3 = 0，x - 5 = 0， 解得 x 1 = -3( 舍去 )，x 2 = 5，②当 x < 0 时，方程化为： x 2 + 2x - 15 = 0， 即 (x - 3) (x + 5) = 0， ∴ x - 3 = 0，x + 5 = 0， 解得 x 3 = 3( 舍去 )，x 4 = -5，③当 x = 0 时，方程不成立．∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．或原方程可化为： (|x |-5) (|x |+3) = 0， 即 |x |-5 = 0，|x |+3 = 0， ∴ |x | = 5，|x | = -3( 舍去 )， 解得 x = 5 或 -5，∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．故选：A ．x x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 =(1(2【解答】解： (1) ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ b 2 - 4ac = (2m + 1)2 - 4(m 2 - 1) = 4m + 5 > 0，解得：m > - ，即 m 的取值范围是 m > - ；(2) 由 (1) 知：当 m > - 时，方程有两个不相等的实数根，∵ m 为不大于 1 的整数， ∴ m = 0，-1，1，又m = 0 时，方程北2+ 北 - 1 = 0 的根不是整数，当m = -1 时，则方程为北2- 北 = 0，解得：北1=1，北2=0，即当m = -1 时，方程的解是北1= 1，北2= 0．当m = 1 时，则方程为北2+ 3北 = 0，解得：北1= -3，北2= 0，即当m = 1 时，方程的解是北1= -3，北2= 0．(北 - 3)2 + (y - 3)2 =(北yy北【解答】解：设y= k北，则直线y= k北与圆 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6 相切时k有最大值和最小值，把y = k北代入 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6，得 (1 + k2)北2 - 6(k + 1)北 + 12 = 0，∴ Δ= 36(k + 1)2 - 4 × 12 × (1 + k2) = 0，即k2 - 6k + 1 = 0，解此方程得，k = 3 + 2 2 或3 - 2 2．所以y北= k 的最大值是3+ 2 2．北2北(北≥ 0)解：北2北28 = 2北 4 = 2(北 2 +北 2 ，因为北≥ 0，所以北 + 2 的最小值是2，所以北 2 的最大值是2，所以2 + 北 2 的最大值是4，即北2北 (北≥ 0) 的最大值是4．2北北【解答】解：2北北22210= 2北北2 6 = 2(北北2= 2 + 北2 2，∵ 北2≥ 0，∴北2 + 2 的最小值为2，∴北2 2的最大值为3，∴2 + 北2 2的最大值为5，∴分式2北北的最大值是5，故答案为：5．x(m - 4)x 2 + (2m - 1)x +1 = 0 s s【解答】解：根据题意得 m - 4 ≠ 0 且 Δ = (2m - 1)2 - 4(m - 4) ≥ 0，解得 m ≠ 4， x 1 + x 2 = - ，x 1x 2 =，s =+== -2m + 1，由于 m ≠ 4， 所以 s ≠ -7． 故答案为 s ≠ -7．x2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0(1)m(2) x 1x 2mx 12+ x 22【解答】解： (1) ∵ 一元二次方程 2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0 有两个实数根， ∴ b 2 - 4ac = (-4m )2 - 4 × 2(2m 2 + 3m - 2) ≥ 0， ∴ -24m + 16 ≥ 0， ∴ m ≤ ，∴ 实数 m 的取值范围为≤ ；(2) ∵ x 1 + x 2 = 2m ，x 1 •x 2 = (2m 2 + 3m - 2)，∴ x 12+ x 22= (x 1 + x 2)2 - 2x 1x 2 = (2m )2 - 2 × (2m 2 + 3m - 2) = 2m 2 - 3m + 2 = 2(m - 2+， ∵ m ≤ ， < ，∴ 当 m = 时，x + x 12 22= 2(- 2+ = ，∴ 当 m = 时，x 12+ x 22有最小值，最小值是 ．1.(x - 1) (x 2 - 2x + m ) =0m()A. 0 ≤ m ≤ 1B. ≤ mC. ≤ m ≤ 1D. < m ≤ 1【解答】解：∵ 方程(x- 1) (x2 - 2x+m) =0 有三根，∴ x1 = 1，x2 - 2x+m= 0 有根，方程x2 - 2x+m= 0 的Δ = 4 - 4m≥0，得m≤ 1．又∵ 原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴ 有x2 + x3 > x1 = 1，|x2 - x3 | < x1 = 1，而x2 + x3 = 2 > 1 已成立；当|x2 - x3 | < 1 时，两边平方得：(x2 + x3)2 - 4x2x3 < 1．即：4 - 4m<1．解得m>．∴ <m≤ 1．故选：D．x(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 =k( )A. k> k ≠ 1B. k≥ k≠ 1C. k >D. k ≥【解答】解：当k - 1 ≠ 0，即k≠ 1 时，此方程为一元二次方程．∵ 关于x的方程(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 = 0 有实数根，∴Δ = (2k+ 1)2- 4 × (k- 1)2× 1 = 12k- 3 ≥ 0，解得k≥；当k- 1 = 0，即k= 1 时，方程为3x+1 = 0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥，故选：D．3. m n x2 - 5x+ 1 = 0 S1= + S2= + ⋯St = + (t)S1 + S2 +⋯ S t= t2 - 56t( )A. 7B. 8C. 9D. 10【解答】解：∵ m，n是方程x2 - 5x+ 1 = 0 的两个根，∴m+n= 5，mn= 1，∴S1 = +1 + m+ 1 + n=(1 +m) (1 +n)2 + (m+ n)1+m+n+mn2 + 51 + 1 + 5= 1==，解得 - 3 < a < 1 2 2 ．1 + m2 1 + n 2 S 2 = +1 + m2 + 1 + n 2 =(1 + m 2) (1 + n 2) 2 + (m + n )2 - 2mn =1 + (m + n )2 - 2mn + (mn )22 + 5 - 21 + 5 -2 + 1= 1 …， ∴ S t =+= 1，∴ S 1 + S 2 +… S t = t 2 - 56， 1 + 1 +… +1 = t 2 - 56， t = t 2 - 56， t 2 - t - 56 = 0， (t - 8) (t + 7) = 0，解得： t = 8 或 t = -7( 舍去 )． 故选：B ．4.xx 2 - 2mx - 4m +1 = 0 (m - 2)2 - 2m (m - 1)【解答】解：由题意可知： Δ = 4m 2 - 2(1 - 4m ) = 4m 2 + 8m - 2 = 0， ∴ m 2 + 2m = ，∴ (m - 2)2 - 2m (m - 1) = -m 2 - 2m + 4 = - + 4= 7 2 ，故答案为： x 2 + 4ax - 4a + 3 = 0x 2 + (a - 1)x + 1 + a 2 = 0x 2 + 2ax - 2a + 3 = 0a(16a 2 + 16a - 12 < 0【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有〈(a - 1)2 - 4(a 2 + 1) < 0 ，(4a 2 - 4(3 - 2a ) < 01 1=，故答案为：a≤ - 或a≥．6. x (1 - 2k )x2 - 2x - 1 = 0 k【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程 (1 - 2k)x2 - 2x- 1 = 0 有两个不相等的实数根，(1 - 2k≠ 0∴〈k+ 3 ≥ 0 ，( △ = (-2)2 - 4(1 - 2k) × (-1) > 0解得： -3 ≤ k<4 且k≠ 1x x2 + ax- 1 = (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 =【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2 + ax- 1 = 0 的两个根分别为m、n，∴ m2 + am- 1 = 0，n2 + an- 1 = 0，设x+ 1 =m或n，则 (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0，∴ (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0 的根为x= m- 1 或n- 1，故答案为：x= m- 1 或n- 1．8. x y(2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = x+ y【解答】解：由 (2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = ，得(3x+ 1)2 + 3(x- y)2 = 0，则〈( x= -解得〈，故x+ y= - - = - ．x(a+ b)x2 + 2cx+ (b- a) =a b c△ABC(1x= -△ABC(2△ABC(3△ABC【解答】解： (1)△ABC是等腰三角形，理由：当x= -1 时，(a+ b) - 2c+ (b- a) = 0，2．故答案为： -3 ≤ k<4 且k≠．( y= - 312 ∴ b = c ，∴ △ABC 是等腰三角形，(2)△ABC 是直角三角形，理由： ∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = (2c )2 - 4(a + b ) (b - a ) = 0， ∴ a 2 + c 2 = b 2，∴ △ABC 是直角三角形；(3) ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ a = b = c ，∴ 原方程可化为： 2ax 2 + 2ax = 0， 即：x 2 + x = 0， ∴ x (x + 1) = 0， ∴ x 1 = 0，x 2 = -1，即：这个一元二次方程的根为 x 1 = 0，x 2 = -1．10.xax 2 + bx + c = 02t2tax 2 + bx + c = a (x - t ) (x - 2t ) = ax 2 - 3atx + 2t 2a b 2 - ac = 0K =b 2 - acK = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1x 2 - x - 2 = x 2 - 6x +8 = )(2(x - 2) (mx + n ) =4m 2 + 5mn + n(3) xx 2 -x + n = 0(m ≥ 0)A (m n )y =3x - 8【解答】解： (1) 在方程①x 2 - x - 2 = 0 中，K = (-1)2 - × 1 × (-2) = 10 ≠ 0；在方程② x 2 - 6x + 8 = 0 中，K = (-6)2 - × 1 × 8 = 0． ∴ 是倍根方程的是②x 2 - 6x + 8 = 0．故答案为：②．(2) 整理 (x - 2) (mx + n ) =0 得：mx 2 + (n - 2m )x - 2n = 0， ∵ (x - 2) (mx + n ) =0 是倍根方程， ∴ K = (n - 2m )2 - 9 m • (-2n ) = 0，∴ 4m2 + 5mn+n2 = 0．(3) ∵ x2 - x+ n= 0 是倍根方程，∴ K= (-)2 - × n= 0，整理得：m= 3n．∵ A(m，n) 在一次函数y= 3x- 8 的图象上，∴n= 3m- 8，∴n= 1，m= 3，∴ 此方程的表达式为x2 - 3x+ = 0．11. m-1 x x2 + 2(m - 2)x+ m2 - 3m+3 = 0x1x2(1) x2+ x22= 6m1(2) +【解答】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ Δ = b2 - 4ac= 4(m- 2)2 - 4(m2 - 3m+ 3) = -4m+ 4 > 0，∴m< 1，结合题意知： -1 ≤ m< 1．(1) ∵ x2+ x22= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m- 2)2 - 2(m2 - 3m+ 3) = 2m2 - 10m+ 10 = 61∴ m= ，∵ -1 ≤ m< 1，∴ m= ；(2) + = == = 2(m2 - 3m+ 1) = 2(m- 2 - (-1 ≤ m< 1)．∵对称轴m= ，2 > 0，∴当m= -1 时，式子取最大值为10．12. x2 + px+ q= 0 x1x2x1 + x2 = -p x1 •x2 = q(1) p= -4q= 3x2 + px+ q= 0则 x 1 + x 2 = x 1x 2 = - n ，x 1 • x 2 = x 1x 2 = n ，(2) a b a 2 - 15a - 5 = 0b 2 - 15b - 5 = 0 +(3x x 2 + mx + n = 0(n ≠ 0【解答】解： (1) 当 p = -4，q = 3，则方程为 x 2 - 4x + 3 = 0，解得： x 1 = 3，x 2 = 1．(2) ∵ a 、b 满足 a 2 - 15a - 5 = 0，b 2 - 15b - 5 = 0， ∴ a 、b 是x 2 - 15x - 5 = 0 的解， 当 a ≠ b 时，a + b = 15，ab = -5， + ==== -47；当 a = b 时，原式 = 2．(3) 设方程 x 2 + mx + n = 0，(n ≠ 0)，的两个根分别是 x 1，x 2， 1 1 x 1 + x 2 m 1 1 1 1 则方程 x 2 + x + = 0 的两个根分别是已知方程两根的倒数．以上就是韦达定理与根的判别式的全部内容~。
韦达定理,根的判别式携手求最值
韦达定理,根的判别式携手求最值
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a：x1*x2=c/a；x1+x2=-b/a。
韦达定理公式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2，
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为：（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
判别式与韦达定理
判别式与韦达定理1、 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1，那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝二、考点训练：1、 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、 当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。
根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为 【典型例题】1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
【课堂练习】一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+yy C 、021=++x D 、0232=+-x x 2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）A 、43<mB 、m ≤43C 、43>m 且m ≠2D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定一、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
初中数学知识点总结：判别式法与韦达定理
初中数学知识点总结：判别式法与韦达定理导读：数学，尤其是初中数学，就是一个梦魇，仿佛只是底下头捡了一只笔就错了一个世纪，再也听不懂数学课了。
为了解决尔等数学渣的苦恼，下面本店铺末宝介绍的9个方法贯穿了整个初中乃至高中数学，同学们务必要掌握哦!1、配方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。
配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
判别式和韦达定理
1、 当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．2、k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．3、已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．4、对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．5、求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．6、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．7、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范是 ．8、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ．9、已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为 ．这样的直角三角形有 个．韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212bc x +x =x x =a a -⋅，。
1、若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】2、若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】3、若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1•x 2的值分别是【 】4、已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】5.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1)2221x x +； 2111)2(x x +； (3)21x x -； )1)(1)(4(21--x x 。
圆锥曲线中韦达定理的运用技巧
一、复习
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a 0)
1.x1+x2=
b a
,x1x2=
c a
(韦达定理与判别式无关),
2.判别式∆=b2-4ac：用来判断一元二次方程有无实数根，
从而判断直线与圆锥曲线的位置关系.
∆>0：方程有两个不相等的实数根,直线与圆锥曲线相交，且
有两个交点；∆=0：方程有两个相等的实数根,直线与圆锥曲
(2)若经过 F(0,2)的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G,H(点
【 G 在解】 点设F,HH之(x1间，)y，1)且,G满(x2足，FyG2),F53(0FH，，2)求直线 l 的方程.
y
由FG
3 5
FH
得
x2
3 5
x1
①, y2
3 5
y1
4 5
.
F G
设
l:y=kx+2,代入
x2 2
G
在点
F,H
之间)，且满足FG
3 5
FH
，求直线
l
的方程.
【解】设 H(x1，y1),G(x2，y2),F(0，2)
y F
由
FG
3 5
FH
得
x2
3 5
x1
,
y
2
3 5
y1
4 5
.
设
l:y=kx+2，代入
x2 2
y2
1得
G
O
x
H
(1+2k2)x2+8kx+6=0，所以
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
如何用韦达定理还原方程
如何用韦达定理还原方程韦达定理是一种在代数中非常有用的工具，它告诉我们一个二次方程的根的和与积与系数之间的关系。
通过使用韦达定理，我们可以更轻松地解决各种与二次方程相关的问题。
首先，我们需要理解韦达定理的基本形式。
对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，韦达定理告诉我们：1. 根的和：x1 + x2 = -b/a2. 根的积：x1 * x2 = c/a其中，a、b 和 c 是方程的系数，x1 和 x2 是方程的根。
现在，我们将使用韦达定理来还原方程。
假设我们有一个方程的根的和与积，我们要找出相应的方程。
首先，我们可以使用根的和与积来找到 a 和 c 的值。
根据韦达定理，我们有：1. a = c / (x1 * x2)2. a = - (x1 + x2) / b然后我们可以使用这些信息来找到 b 的值：3) b = -(x1 + x2) * a有了 a、b 和 c 的值后，我们可以写出原始的二次方程。
例如，假设我们知道一个二次方程的两个根是 3 和 4，那么我们可以使用韦达定理来找到 a、b 和 c 的值：1. a = c / (3 * 4) = c / 122. a = - (3 + 4) / b = -7/b3. b = -(3 + 4) * a = -7 * a = -7 * (c / 12) = -7c/12将这些信息代入原方程 ax^2 + bx + c = 0 中，我们得到：a*x^2 - 7c/12*x + c/12 = 0这就是原始的二次方程。
接下来，我们可以使用求根公式或其他方法来求解这个方程。
然而，需要注意的是，由于方程的系数a、b和c是通过韦达定理推导出来的，所以在求解过程中，我们需要确保使用的是正确的数值。
有时候，可能会出现多解的情况，这意味着方程可能有多个根，或者有些根是重复的。
在这种情况下，我们可以使用判别式来判断方程的根的情况。
判别式的公式为：Δ = b^2 -4ac。
韦达定理
p考点·方法·破译…．．…………………………………………．1．判别式定理：对于一元二次方程似2+如+c=0(口≠0)，设a=b2—4ac，则有：(1)若a>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当a=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当a<0时，方程没有实数根．上述三个结论的逆命题也成立．特别注意判别式定理只适用于一元二次方程，若涉及方程似2+如+c=o有没有实根f=-l题，应对。
加以讨论．2．韦达定理：设茗。
，龙：是一元二次方程础2+k+c=0(a#0)的两根，则有菇。
+％：=一÷，茗m=÷，逆命题也成立．活用一元二次方程以下两条性质，可简捷求解与根有关问题．(1)设k为一元二次方程似2+阮+c=0(口≠0)的一个根，则有ak2+眦+C=0，反之亦然；(2)设戈l，龙2(菇1≥髫2)是一元二次方程础2+如+c=0(口≠0，A=b2—4a ≥o)的两根，则有：戈。
=半，戈：=半，反之亦然．3．对于整系数一元二次方程麟2+如+c=o(口≠0)有：(1)方程两根为整数甘62—4ac为完全平方数，且口I b，ol c；(2)方程两根为整数甘62—4∞为完全平方数，且(一b±,／b2+4ac)12a．o经典·考题·赏析………………………………………………例1(江苏盐城)若关于x的一元二次方程‟2—2戈+1=0有实数根，则k的取值范围是( )(A)k<1 (B)k≤1 (C)k<1且k≠0(D)k≤1且k≠O．【分析】若一元二次方程有实数根，则a I>0，本题还要考虑k#0．【解】根据题目条件，得(一2)2-4k一>0，且k#0，即I|}≤1且k#0，故选【点评】本题比较容易，但容易疏忽，它注重考查了两点，一是判别式要大于或等于零(不要漏掉等于零)，二是二次项系数不等于零．例2(天津)若关于髫的一元二次方程2x2—2x+3m一1=0的两个实数根为石I、龙l且菇I龙2>茁I+并2—4，则实数m的取值范围是( )A．m>一了5 B．m≤丁1c．m<一手 D．一了5<m≤虿1(天津市)已知关于菇的方程菇2一(o+2)x+o一2b=0的判别式等于0，R x=丢是方程的根，则口+6的值为——．例3 (河南省)已知关于戈的方程并2+(4后+1)石+2k一1=0．(1)求证此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果戈．、戈：是方程的两个实数根，且r，一2、．f龙．一2)=2k一3．求l|}的值．【分析】 (1)要证此方程有两个不等实根，只需证“△”大于零；(2)根据题目条件，需用韦达定理求出矗值．【解】(1)‘．’A=(4k+I)2—4(2k一1)=16k2+5>o．·．此方程一定有两个不相等的实数根．(2)‘．菇1+菇2=一(4后+1)，并l戈2=2k一1，i丽i(x．一2)(菇2—2)=算I省2—2(xl+并2)+4=2k一3，．·．2k—I+2(4k+1)+4=2k一3，．‘．I|}=一1．【点评】根的判别式和根与系数的关系常常是“结伴而行”，此题既考杏了根的判别式的运用，又考查了根与系数关系的知识，真是一箭双雕·(扬州市)已知关于菇的一元二次方程七2街2+(1—24)x+1=0有两个不相等的实数根菇。
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当 b 4ac 0 时，方程有两个相等实数根； ---------------------- 要注意：根的情况到底是作为已知条件出现
2
批注 1：利用根与系数之间的关系时特别需 的还是作为结论需要证明的。
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根；
2
当 b 4ac 0 时，方程有实数根。
七升八暑假班知识点整理
第四、五讲 一元二次方程判别式和韦达定理一、2一元二源自方程根的判别式”标号，记做
把 b 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0) 的根的判别式，通常用符号“
b 2 4ac 。
利用判别式判断方程根的情况： 当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等实数根；
b c ； x1 x2 a a
b x1 x2 a x x c 1 2 a
2
二、
韦达定理的认识
编者的话：有的时候我们发现，对于一元二次方程，我并不需要知道确切的两根的值，但是对于两根的和 与及我们会有较大的兴趣，下面我们来推导一下两根的和与积。 （1） 法一：利用求根公式
b b2 4ac b b2 4ac ； x2 x1 2a 2a
易得： x1 x2
b c ； x1 x2 a a
（2） 法二：利用因式分解 假设方程两根为 x1 、 x2 ；所以可以构造方程 ( x x1 )( x x2 ) 0
2 还原方程 x ( x1 x2 ) x x1 x2 0 ，比较 ax bx c 0
2
易得： x1 x2 韦达公式：